Física · 2n de Batxillerat · PAU

Lleis de Kepler, moment angular i òrbites el·líptiques

Per què un planeta va més de pressa a prop del Sol, què es conserva al llarg d’una el·lipse i com es calcula la massa d’una estrella a partir d’una òrbita. Llegeix i juga amb cada figura.

10 min de lectura
7 figures interactives
3 exercicis resolts

llegeix i juga!

Les òrbites circulars que ja has estudiat són un cas particular. Ara ampliarem el model a les òrbites el·líptiques i veurem com es relacionen la forma de l’òrbita, la velocitat, el període i l’energia.

La idea que connecta tot el tema és aquesta:

La gravetat és una força atractiva dirigida cap al centre de l’astre. Aquesta direcció fa que es conservi el moment angular; a més, com que la força gravitatòria és conservativa, també es conserva l’energia mecànica.

Amb aquestes dues conservacions podem explicar com es mou un planeta o un satèl·lit.

Abans de començar…

Com es pesa una estrella?

Ningú no ha posat mai el Sol en una balança, però sabem que té una massa de $2\cdot10^{30}$ kg. Com ho sabem?

Mirant com s’hi mouen els planetes i els cometes. El cometa Halley passa a prop del Sol a 55 km/s i, lluny, va a menys d’1 km/s; tot i així, sempre triga uns 75 anys a tornar. Kepler va descobrir les regles d’aquests moviments, i Newton va veure que amagaven la massa de l’astre central.

Tria una estrella i la distància del planeta. Del període que mesures en surt la massa de l’estrella.

Mira-ho en 46 segons

Ara prova-ho tu:

Model ideal: òrbita circular i massa del planeta negligible davant la de l’estrella. Un any dura 4 segons a la pantalla.

Model i magnituds que utilitzarem

Considerem un cos de massa $m$ que orbita al voltant d’un astre de massa $M$ , amb $M\gg m$ . Això ens permet tractar l’astre central com si estigués fix.

També suposem que no hi ha fregament, motors en funcionament ni pertorbacions importants d’altres astres.

Símbol	Significat	Unitat del SI
$G$	Constant de gravitació universal: $6,67\cdot10^{-11}$	$\mathrm{N\,m^2/kg^2}$
$r$	Distància entre els centres dels dos cossos	$\mathrm{m}$
$a$	Semieix major de l’el·lipse	$\mathrm{m}$
$T$	Període orbital: temps d’una volta completa	$\mathrm{s}$
$v$	Mòdul de la velocitat	$\mathrm{m/s}$
$L$	Mòdul del moment angular	$\mathrm{kg\,m^2/s}$

El radi orbital no és l’altura sobre la superfície. Si un satèl·lit és a una altura $h$ sobre un planeta de radi $R$ , la distància que has d’utilitzar és:

\boxed{r=R+h}

Primera llei de Kepler: les òrbites són el·líptiques

Els planetes descriuen el·lipses amb el Sol en un dels focus. El mateix model serveix per a un satèl·lit que orbita al voltant d’un planeta.

Una el·lipse té dos focus. L’astre central ocupa un focus, no el centre geomètric. Per això, la distància entre el cos orbitant i l’astre no és constant.

Els dos punts que ens interessen més són:

Periheli: punt més pròxim al Sol.
Afeli: punt més allunyat del Sol.

Els noms generals són periastre i apoastre, també aplicables a una òrbita al voltant d’una altra estrella. Per a una òrbita al voltant de la Terra, els noms específics són perigeu i apogeu. Les relacions físiques són les mateixes.

Si $r_p$ és la distància mínima i $r_a$ la màxima:

\boxed{a=\frac{r_p+r_a}{2}}

Per tant:

r_p+r_a=2a

El semieix major $a$ és la magnitud que entra en la tercera llei de Kepler. De vegades s’anomena «distància mitjana», però no l’has d’identificar amb una mitjana temporal de totes les distàncies.

El cercle és un cas particular

Quan $r_p=r_a$ , l’el·lipse es converteix en un cercle:

r_p=r_a=a=r

Conseqüència: totes les expressions que trobarem per a el·lipses han de recuperar els resultats de les òrbites circulars quan $a=r$ .

Moment angular: què és i per què es conserva

El moment angular d’un cos respecte del centre de l’astre és:

\vec L=\vec r\times m\vec v

El seu mòdul és:

\boxed{L=mrv\sin\theta}

on $\theta$ és l’angle entre el vector posició $\vec r$ i la velocitat $\vec v$ .

També el pots escriure com:

L=mr\,v_\perp

on $v_\perp=v\sin\theta$ és la component de la velocitat perpendicular al radi vector.

Per què es conserva?

El moment d’una força respecte del centre és:

\vec\tau=\vec r\times\vec F

La força gravitatòria apunta cap al centre. Per tant, $\vec r$ i $\vec F$ són paral·lels, però de sentits oposats, i el seu producte vectorial és zero:

\vec\tau=\vec 0

Com que:

\frac{d\vec L}{dt}=\vec\tau

obtenim:

\boxed{\frac{d\vec L}{dt}=\vec 0}

La cadena de causes i conseqüències és:

Força central → moment de la força nul → moment angular constant.

Això no significa que la velocitat sigui constant. El que es manté és el producte $rv_\perp$ . Si $r$ disminueix, $v_\perp$ ha d’augmentar.

Tampoc significa que la gravetat no faci treball: en una òrbita el·líptica, el cos s’acosta i s’allunya de l’astre, i l’energia cinètica canvia.

Segona llei de Kepler: àrees iguals en temps iguals

El segment que uneix el cos amb l’astre central escombra àrees iguals durant intervals de temps iguals.

Això implica que el cos:

es mou més de pressa a prop de l’astre;
es mou més lentament lluny de l’astre.

Relació amb el moment angular

En un interval molt petit $dt$ , l’àrea escombrada és aproximadament la d’un triangle:

dA=\frac12 r\,v_\perp\,dt

Per tant:

\frac{dA}{dt}=\frac12 rv_\perp

Com que $L=mrv_\perp$ :

\boxed{\frac{dA}{dt}=\frac{L}{2m}}

Si $L$ és constant, l’àrea escombrada per unitat de temps també és constant.

Conservació del moment angular → velocitat areolar constant → àrees iguals en temps iguals.

Velocitats al periheli i a l’afeli

En aquests dos punts, la velocitat és perpendicular al radi vector. Per tant, $\sin\theta=1$ :

L_p=mr_pv_p \qquad L_a=mr_av_a

Com que el moment angular es conserva:

mr_pv_p=mr_av_a

Simplificant la massa:

\boxed{r_pv_p=r_av_a}

D’aquí:

\boxed{\frac{v_p}{v_a}=\frac{r_a}{r_p}}

Exemple breu. Si la distància a l’afeli és tres vegades la distància al periheli:

r_a=3r_p

aleshores:

v_p=3v_a

El cos passa pel periheli tres vegades més de pressa que per l’afeli.

Compte: en un punt qualsevol de l’el·lipse has d’utilitzar $mrv\sin\theta$ . No pots escriure sempre $L=mrv$ .

Tercera llei de Kepler: període i mida de l’òrbita

Per a cossos que orbiten al voltant del mateix astre:

\boxed{T^2\propto a^3}

En el model $M\gg m$ :

\boxed{T^2=\frac{4\pi^2}{GM}\,a^3}

Per tant:

\boxed{\frac{T^2}{a^3}=\frac{4\pi^2}{GM}}

Com més gran és l’òrbita, més llarg és el període. La dependència concreta és:

T\propto a^{3/2}

Si compares dues òrbites al voltant del mateix astre:

\boxed{\frac{T_1^2}{T_2^2}=\frac{a_1^3}{a_2^3}}

La constant $T^2/a^3$ depèn de la massa central. No és la mateixa per a òrbites al voltant d’astres de masses diferents.

Deducció per a una òrbita circular

En una òrbita circular, la gravetat proporciona tota la força centrípeta:

\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}

Simplifiquem $m$ i aïllem:

v^2=\frac{GM}{r}

En una volta, el cos recorre $2\pi r$ , de manera que:

v=\frac{2\pi r}{T}

Substituïm:

\frac{4\pi^2r^2}{T^2}=\frac{GM}{r}

Finalment:

\boxed{T^2=\frac{4\pi^2r^3}{GM}}

Aquesta deducció utilitza un radi constant i, per tant, és circular. Per a una el·lipse, el resultat equivalent porta $a$ , no la distància instantània $r$ .

Calcular la massa d’un planeta o d’una estrella

Si coneixes el període i el semieix major de l’òrbita:

\boxed{M=\frac{4\pi^2a^3}{GT^2}}

Això permet determinar la massa d’un astre a partir del moviment d’un satèl·lit o d’un planeta.

Exemple resolt: massa d’una estrella

Un planeta té:

a=1,50\cdot10^{11}\ \mathrm m \qquad T=3,16\cdot10^7\ \mathrm s

La massa de l’estrella és:

M= \frac{4\pi^2(1,50\cdot10^{11})^3} {(6,67\cdot10^{-11})(3,16\cdot10^7)^2}

\boxed{M\approx2,00\cdot10^{30}\ \mathrm{kg}}

És una massa semblant a la del Sol. La massa del planeta no apareix perquè hem suposat que és molt menor que la de l’estrella.

Com connecten camp, potencial, energia i òrbita?

Fora d’un astre esfèric, podem tractar el seu camp gravitatori com el d’una massa puntual situada al centre.

Camp i força

\boxed{\vec g=-\frac{GM}{r^2}\,\hat r}

\boxed{\vec F=m\vec g}

El signe menys indica que el camp apunta cap al centre. El seu mòdul és:

g=\frac{GM}{r^2}

Per tant, quan el cos s’acosta a l’astre, el camp augmenta perquè $r$ disminueix.

Potencial i energia potencial

Prenent el potencial zero a l’infinit:

\boxed{V=-\frac{GM}{r}}

\boxed{E_p=mV=-\frac{GMm}{r}}

El potencial $V$ es mesura en $\mathrm{J/kg}$ ; l’energia potencial $E_p$ , en joules.

Quan el cos s’acosta, l’energia potencial es fa més negativa. Com que l’energia mecànica es conserva, aquesta disminució d’energia potencial es converteix en un augment d’energia cinètica. Per això el cos va més de pressa a prop de l’astre.

Energia mecànica orbital

En qualsevol punt:

\boxed{E=\frac12 mv^2-\frac{GMm}{r}}

Per a una òrbita el·líptica:

\boxed{E=-\frac{GMm}{2a}}

Si l’òrbita és circular, $a=r$ , i recuperes:

E=-\frac{GMm}{2r}

L’energia total depèn de $a$ , no de la posició instantània. Al llarg de l’el·lipse, $E_c$ i $E_p$ canvien, però la seva suma és constant.

Igualant les dues expressions de l’energia:

\frac12 mv^2-\frac{GMm}{r}=-\frac{GMm}{2a}

obtenim una expressió molt útil:

\boxed{v^2=GM\left(\frac2r-\frac1a\right)}

Aquesta fórmula permet calcular la velocitat en qualsevol punt d’una òrbita el·líptica coneguda.

Velocitat d’escapament

Per escapar amb velocitat final nul·la a l’infinit, l’energia mecànica mínima és zero:

\frac12 mv_{\mathrm{esc}}^2-\frac{GMm}{r}=0

Per tant:

\boxed{v_{\mathrm{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}}

En el mateix punt, la velocitat circular és:

v_{\mathrm{circ}}=\sqrt{\frac{GM}{r}}

i, per això:

\boxed{v_{\mathrm{esc}}=\sqrt2\,v_{\mathrm{circ}}}

Aquest factor $\sqrt2$ relaciona escapament i òrbita circular, no escapament i qualsevol velocitat el·líptica.

Exemple integrat de tipus PAU: satèl·lit en òrbita el·líptica

Un satèl·lit de massa $m=1,00\cdot10^3\ \mathrm{kg}$ orbita al voltant de la Terra. Les distàncies al centre terrestre són:

r_p=7,00\cdot10^6\ \mathrm m \qquad r_a=1,40\cdot10^7\ \mathrm m

Utilitzarem:

\begin{aligned} M_T&=5,97\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}\\ GM_T&\approx3,98\cdot10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2} \end{aligned}

a) Semieix major i període

a=\frac{r_p+r_a}{2} =\frac{7,00\cdot10^6+1,40\cdot10^7}{2}

\boxed{a=1,05\cdot10^7\ \mathrm m}

La tercera llei dona:

T=2\pi\sqrt{\frac{a^3}{GM_T}}

T=2\pi\sqrt{\frac{(1,05\cdot10^7)^3}{3,98\cdot10^{14}}}

\boxed{T\approx1,07\cdot10^4\ \mathrm s\approx2,98\ \mathrm h}

Hem utilitzat $a$ , no $r_p$ ni $r_a$ , perquè el període correspon a l’òrbita completa.

b) Velocitats als dos extrems

Al perigeu:

v_p=\sqrt{GM_T\left(\frac2{r_p}-\frac1a\right)}

\begin{aligned} v_p^2&=3,98\cdot10^{14} \left(\frac2{7,00\cdot10^6}-\frac1{1,05\cdot10^7}\right)\\ v_p&=\sqrt{7,58\cdot10^7}\ \mathrm{m/s} \end{aligned}

\boxed{v_p\approx8,71\cdot10^3\ \mathrm{m/s}}

Per conservació del moment angular:

v_a=\frac{r_p}{r_a}v_p

\boxed{v_a\approx4,35\cdot10^3\ \mathrm{m/s}}

La distància a l’apogeu és el doble. Per conservar $rv$ als extrems, la velocitat a l’apogeu ha de ser la meitat.

El moment angular és:

L=mr_pv_p

\boxed{L\approx6,09\cdot10^{13}\ \mathrm{kg\,m^2/s}}

c) Camp i potencial al perigeu

El mòdul del camp és:

g_p=\frac{GM_T}{r_p^2} =\frac{3,98\cdot10^{14}}{(7,00\cdot10^6)^2}

\boxed{g_p\approx8,12\ \mathrm{N/kg}}

La seva direcció és cap al centre de la Terra.

El potencial és:

V_p=-\frac{GM_T}{r_p}

\boxed{V_p\approx-5,69\cdot10^7\ \mathrm{J/kg}}

d) Energia mecànica

E=-\frac{GM_Tm}{2a}

\boxed{E\approx-1,90\cdot10^{10}\ \mathrm J}

L’energia és negativa: el satèl·lit està gravitacionalment lligat a la Terra.

Al perigeu:

E_p=mV_p\approx-5,69\cdot10^{10}\ \mathrm J

E_c=\frac12mv_p^2\approx3,79\cdot10^{10}\ \mathrm J

La suma és, amb l’arrodoniment:

E_c+E_p\approx-1,90\cdot10^{10}\ \mathrm J

e) Escapament des del perigeu

v_{\mathrm{esc}}=\sqrt{\frac{2GM_T}{r_p}}

\boxed{v_{\mathrm{esc}}\approx1,07\cdot10^4\ \mathrm{m/s}}

Com que:

v_p<v_{\mathrm{esc}}

el satèl·lit no pot escapar sense rebre energia addicional.

Si un impuls ideal augmenta la velocitat en la mateixa direcció del moviment, l’increment mínim és:

\Delta v=v_{\mathrm{esc}}-v_p

\boxed{\Delta v\approx1,96\cdot10^3\ \mathrm{m/s}}

L’energia mecànica que cal afegir al satèl·lit és:

\Delta E=0-E

\boxed{\Delta E\approx1,90\cdot10^{10}\ \mathrm J}

Aquesta és l’energia necessària per passar d’una òrbita lligada a una trajectòria d’escapament límit, sense comptar pèrdues ni l’energia gastada pel sistema de propulsió.

Síntesi: què has de relacionar en un problema?

Si el problema demana…	Relació principal	Condició o detall important
Camp gravitatori	$g=GM/r^2$	Direcció cap al centre
Potencial	$V=-GM/r$	Zero de potencial a l’infinit
Força o energia potencial	$F=mg$ , $E_p=mV$	Depenen de la massa del cos
Velocitat circular	$v=\sqrt{GM/r}$	Només per a una òrbita circular
Període orbital	$T^2=4\pi^2a^3/(GM)$	En un cercle, $a=r$
Massa de l’astre	$M=4\pi^2a^3/(GT^2)$	Suposem $M\gg m$
Relació entre velocitats als extrems	$r_pv_p=r_av_a$	Als extrems, $\vec r\perp\vec v$
Velocitat en una el·lipse	$v^2=GM(2/r-1/a)$	Utilitza el radi del punt estudiat
Energia orbital	$E=-GMm/(2a)$	Constant en tota l’òrbita
Velocitat d’escapament	$v_{\mathrm{esc}}=\sqrt{2GM/r}$	Escapament sense propulsió posterior

Comprova aquestes quatre coses abans de donar un resultat

Distàncies: has utilitzat la distància al centre, no l’altura?
Tipus d’òrbita: és circular o el·líptica? No utilitzis fórmules circulars en una el·lipse sense justificar-ho.
Unitats: has convertit distàncies a metres i períodes a segons?
Sentit físic: la velocitat és més gran al punt més pròxim? L’energia d’una òrbita lligada és negativa? El camp apunta cap a l’astre?

La connexió final que convé retenir és:

La gravetat central conserva el moment angular i explica la segona llei de Kepler.
La gravetat conservativa conserva l’energia mecànica: els canvis de velocitat compensen els de potencial, i l’energia determina la condició d’escapament.
La dinàmica gravitatòria orbital relaciona el període amb el semieix major i permet calcular la massa central:

T^2=\frac{4\pi^2a^3}{GM}

Practica

Posa’t a prova

Tres exercicis resolts pas a pas, de menys a més difícils. Intenta’ls abans d’obrir la solució.

Bàsic

1Interpretar una òrbita el·líptica

Un petit cos orbita al voltant del Sol. La distància al periheli és $0,800\ \mathrm{UA}$ i la distància a l’afeli és $1,60\ \mathrm{UA}$ .

Durant un interval de 12 dies, el radi vector escombra una àrea de $2,39\cdot10^{21}\ \mathrm{m^2}$ .

Dada: $1\ \mathrm{UA}=1,50\cdot10^{11}\ \mathrm m$ .

a
Fes un esquema de l’òrbita, situa el Sol i assenyala el periheli i l’afeli. Calcula el semieix major en UA i en metres.

b
Quina àrea escombrarà el radi vector durant un altre interval de 12 dies, situat prop de l’afeli? I durant un interval de 30 dies?

c
Calcula la relació $v_p/v_a$ . Explica per què el cos no recorre necessàriament la mateixa longitud d’òrbita en dos intervals de temps iguals.

d
Valora aquesta afirmació: «Al periheli la força gravitatòria és més intensa; per tant, el moment angular és més gran».

Mostra la solució

a) Forma i semieix major

A l’esquema, el Sol ha d’ocupar un focus. El periheli és el punt més pròxim al Sol i l’afeli, el més allunyat.

\begin{aligned} a&=\frac{r_p+r_a}{2}\\ &=\frac{0,800+1,60}{2}\\ &=\boxed{1,20\ \mathrm{UA}}. \end{aligned}

a=(1,20)(1,50\cdot10^{11}) =\boxed{1,80\cdot10^{11}\ \mathrm m}.

b) Àrees

La velocitat areolar és constant. Per tant, en qualsevol interval de 12 dies:

\boxed{A_{12}=2,39\cdot10^{21}\ \mathrm{m^2}}.

En 30 dies:

A_{30}=A_{12}\frac{30}{12} =\boxed{5,98\cdot10^{21}\ \mathrm{m^2}}.

El resultat no depèn de si l’interval és prop del periheli o de l’afeli.

c) Relació de velocitats

Als extrems:

r_pv_p=r_av_a.

Per tant:

\begin{aligned} \frac{v_p}{v_a}&=\frac{r_a}{r_p}\\ &=\frac{1,60}{0,800}\\ &=\boxed{2,00}. \end{aligned}

El cos va el doble de pressa al periheli. Com que la velocitat varia, en intervals iguals pot recórrer longituds d’arc diferents. El que es manté igual és l’àrea escombrada, no la distància recorreguda.

d) Valoració

L’afirmació és falsa. Al periheli la força és més intensa, però continua dirigida cap al Sol:

\vec\tau=\vec r\times\vec F=\vec 0.

Com que el moment de la força és nul, el moment angular es conserva en tota l’òrbita.

Intermedi

2Reconstruir una òrbita a partir dels seus extrems

Una sonda de massa $200\ \mathrm{kg}$ descriu una òrbita el·líptica al voltant d’un planeta desconegut:

\begin{aligned} r_p&=1,00\cdot10^7\ \mathrm m\\ r_a&=3,00\cdot10^7\ \mathrm m\\ v_p&=6,00\cdot10^3\ \mathrm{m/s}. \end{aligned}

a
Calcula la velocitat a l’apoastre, és a dir, al punt més allunyat del planeta.

b
Utilitza la conservació de l’energia entre els dos extrems per calcular $GM$ i la massa del planeta.

c
Calcula el semieix major i el període orbital.

d
Calcula el moment angular i l’energia mecànica de la sonda. Comprova l’energia mecànica utilitzant les dades del punt més pròxim.

Mostra la solució

a) Velocitat al punt més allunyat

r_pv_p=r_av_a \quad\Rightarrow\quad v_a=\frac{r_p}{r_a}v_p.

v_a=\frac{1,00\cdot10^7}{3,00\cdot10^7}(6,00\cdot10^3) =\boxed{2,00\cdot10^3\ \mathrm{m/s}}.

b) Massa del planeta

Conservem l’energia:

\frac12mv_p^2-\frac{GMm}{r_p} = \frac12mv_a^2-\frac{GMm}{r_a}.

Simplifiquem $m$ i aïllem $GM$ :

GM=\frac{v_p^2-v_a^2}{2(1/r_p-1/r_a)}.

\begin{aligned} GM&= \frac{(6,00\cdot10^3)^2-(2,00\cdot10^3)^2} {2\left(\frac1{1,00\cdot10^7}-\frac1{3,00\cdot10^7}\right)}\\ &=\boxed{2,40\cdot10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}}. \end{aligned}

M=\frac{GM}{G} =\boxed{3,60\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}}.

c) Semieix major i període

a=\frac{r_p+r_a}{2} =\boxed{2,00\cdot10^7\ \mathrm m}.

\begin{aligned} T&=2\pi\sqrt{\frac{a^3}{GM}}\\ &=\boxed{3,63\cdot10^4\ \mathrm s}\\ &=\boxed{10,1\ \mathrm h}. \end{aligned}

d) Moment angular i energia

L=mr_pv_p =\boxed{1,20\cdot10^{13}\ \mathrm{kg\,m^2/s}}.

E=-\frac{GMm}{2a} =\boxed{-1,20\cdot10^9\ \mathrm J}.

Comprovació al punt més pròxim:

E_c=\frac12(200)(6,00\cdot10^3)^2 =3,60\cdot10^9\ \mathrm J,

E_p=-\frac{(2,40\cdot10^{14})(200)}{1,00\cdot10^7} =-4,80\cdot10^9\ \mathrm J.

E=E_c+E_p=-1,20\cdot10^9\ \mathrm J.

Els dos procediments coincideixen.

Tipus PAU

3Tipus PAU: un exoplaneta i una missió d’escapament

Un exoplaneta de massa $4,00\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}$ descriu una òrbita el·líptica al voltant d’una estrella. Les observacions indiquen:

\begin{aligned} r_p&=1,20\cdot10^{11}\ \mathrm m\\ r_a&=2,40\cdot10^{11}\ \mathrm m\\ T&=400\ \mathrm{dies}. \end{aligned}

La massa del planeta és negligible respecte de la de l’estrella.

Dada: $1\ \mathrm{dia}=86\,400\ \mathrm s$ .

a
Calcula el semieix major i la massa de l’estrella.

b
Calcula les velocitats del planeta al periastre i a l’apoastre. Determina el seu moment angular respecte de l’estrella.

c
Calcula el camp gravitatori i el potencial de l’estrella al periastre.

d
Calcula l’energia mecànica orbital del planeta. Explica com canvien l’energia cinètica i la potencial quan es desplaça de l’apoastre al periastre.

e
Una sonda comparteix instantàniament la posició i la velocitat del planeta al periastre. Calcula la velocitat d’escapament des d’aquest punt i l’increment mínim de velocitat que necessita, aplicat en la direcció del moviment.

f
Si la massa de la sonda és $1,00\cdot10^3\ \mathrm{kg}$ , quina energia mecànica mínima cal afegir-li? Explica per què no has d’utilitzar l’energia total del planeta.

Mostra la solució

a) Semieix major i massa de l’estrella

a=\frac{r_p+r_a}{2} =\boxed{1,80\cdot10^{11}\ \mathrm m}.

T=(400)(86\,400)=3,456\cdot10^7\ \mathrm s.

La tercera llei dona:

GM=\frac{4\pi^2a^3}{T^2} =\boxed{1,93\cdot10^{20}\ \mathrm{m^3/s^2}}.

M=\frac{GM}{G} =\boxed{2,89\cdot10^{30}\ \mathrm{kg}}.

La massa del planeta és molt menor, d’acord amb l’aproximació de l’enunciat.

b) Velocitats i moment angular

v_p=\sqrt{GM\left(\frac2{r_p}-\frac1a\right)} =\boxed{4,63\cdot10^4\ \mathrm{m/s}}.

v_a=\frac{r_p}{r_a}v_p =\boxed{2,31\cdot10^4\ \mathrm{m/s}}.

El moment angular del planeta és:

L=mr_pv_p =\boxed{2,22\cdot10^{40}\ \mathrm{kg\,m^2/s}}.

c) Camp i potencial al periastre

g_p=\frac{GM}{r_p^2} =\boxed{1,34\cdot10^{-2}\ \mathrm{N/kg}}.

El camp apunta cap al centre de l’estrella.

V_p=-\frac{GM}{r_p} =\boxed{-1,61\cdot10^9\ \mathrm{J/kg}}.

d) Energia orbital i transformacions

E=-\frac{GMm}{2a} =\boxed{-2,14\cdot10^{33}\ \mathrm J}.

Quan el planeta va de l’apoastre al periastre:

La distància a l’estrella disminueix.
L’energia potencial es fa més negativa.
Com que l’energia mecànica es conserva, l’energia cinètica augmenta.
Per tant, la velocitat augmenta.

La gravetat fa treball positiu en aquest trajecte.

e) Escapament de la sonda

v_{\rm esc,p}=\sqrt{\frac{2GM}{r_p}} =\boxed{5,67\cdot10^4\ \mathrm{m/s}}.

Com que inicialment la sonda té velocitat $v_p$ :

\Delta v=v_{\rm esc,p}-v_p =\boxed{1,04\cdot10^4\ \mathrm{m/s}}.

f) Energia afegida a la sonda

La sonda té la mateixa posició i velocitat inicials que el planeta. Per tant, té la mateixa energia per unitat de massa:

\frac{E_s}{m_s}=-\frac{GM}{2a} =\boxed{-5,35\cdot10^8\ \mathrm{J/kg}}.

Amb $m_s=1,00\cdot10^3\ \mathrm{kg}$ :

E_s=\boxed{-5,35\cdot10^{11}\ \mathrm J}.

L’energia mínima que cal afegir és:

\Delta E_s=0-E_s =\boxed{5,35\cdot10^{11}\ \mathrm J}.

No utilitzem l’energia total del planeta perquè aquesta depèn de la seva massa. Compartir posició i velocitat no implica compartir energia total.