Cálculo · Primer curso universitario

Límites y continuidad en varias variables

Dónde está definida una función de dos variables, cómo es su gráfica, por qué unas pocas trayectorias no demuestran un límite y qué argumento sí lo hace. Lee y juega con cada figura.

14 min de lectura
10 figuras interactivas
3 ejercicios resueltos

¡lee y juega!

En una función de una variable, $f(x)$ , controlabas una entrada y obtenías una salida. Ahora tendrás dos entradas, $x$ e $y$ , y una única salida real:

f(x,y).

Por ejemplo, si

f(x,y)=x^2+y^2,

entonces $f(1,2)=5$ .

La principal novedad aparece al estudiar los límites: en una variable te acercabas a un punto por la izquierda o por la derecha; en dos variables puedes acercarte por infinitas trayectorias. Por eso, comprobar unas pocas trayectorias no suele bastar para demostrar que un límite existe.

Antes de empezar…

¿Por dónde llegas al origen?

En una variable, a un punto solo se puede llegar por dos lados: por la izquierda y por la derecha. Si los dos dan el mismo valor, hay límite.

En el plano, en cambio, hay infinitos caminos hasta el origen: rectas con cualquier pendiente, parábolas, espirales… La función $f(x,y)=\dfrac{x^2y}{x^4+y^2}$ se acerca a $0$ por todas las rectas. Pero por la parábola $y=x^2$ vale $1/2$ durante todo el camino.

Mira el vídeo y después lleva tú el punto hasta el origen. ¿Por qué camino llegas con un valor distinto de 0?

Míralo en 42 segundos

Ahora pruébalo tú:

El color indica el valor de f: azul si es positivo, naranja si es negativo; cuanto más intenso, mayor es |f|. El origen no pertenece al dominio.

Dominio e imagen: qué puedes introducir y qué puedes obtener

Una función de dos variables se puede escribir como

f:D\subseteq\mathbb R^2\longrightarrow\mathbb R.

El dominio $D$ es el conjunto de pares $(x,y)$ para los que la expresión está definida.
La imagen es el conjunto de valores que toma la función:

\operatorname{Im}(f)=\{f(x,y):(x,y)\in D\}.

El dominio está en el plano de las entradas. La imagen está en la recta real de las salidas.

1.1. Cómo encontrar el dominio

Si no se indica un dominio, buscamos el mayor conjunto de puntos donde la expresión tiene sentido como número real.

Expresión	Condición
$\ln(g(x,y))$	$g(x,y)>0$
$\sqrt{g(x,y)}$	$g(x,y)\geq 0$
$\dfrac{p(x,y)}{q(x,y)}$	$q(x,y)\neq 0$
$\dfrac{1}{\sqrt{g(x,y)}}$	$g(x,y)>0$

En la última fila, el radicando debe ser no negativo por la raíz y, además, la raíz no puede valer cero porque está en el denominador. Las dos restricciones juntas producen la desigualdad estricta.

Cuando aparecen varias operaciones, debes imponer todas las condiciones a la vez. Por tanto, el dominio es la intersección de las regiones permitidas.

Ejemplo 1. Logaritmo

f(x,y)=\ln(9-x^2-y^2).

El argumento del logaritmo debe ser positivo:

9-x^2-y^2>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2+y^2<9.

Así,

D=\{(x,y):x^2+y^2<9\}.

Es el disco de centro $(0,0)$ y radio $3$ , sin la circunferencia exterior.

Para encontrar la imagen, observamos que

0<9-x^2-y^2\leq 9.

El argumento alcanza el valor $9$ en el origen y puede acercarse a $0$ tanto como queramos. Como $\ln$ es creciente,

\boxed{\operatorname{Im}(f)=(-\infty,\ln 9]}.

El extremo superior se incluye porque $f(0,0)=\ln 9$ . No hay mínimo: cuando $x^2+y^2\to9$ desde el interior, el argumento tiende a $0^+$ y, en consecuencia, el logaritmo tiende a $-\infty$ .

Ejemplo 2. Raíz cuadrada

g(x,y)=\sqrt{4-x^2-y^2}.

La condición es

4-x^2-y^2\geq0,

por lo que

D=\{(x,y):x^2+y^2\leq4\}.

Como $0\leq4-x^2-y^2\leq4$ ,

0\leq g(x,y)\leq2.

Además, todos esos valores se alcanzan. Para cualquier $t\in[0,2]$ , podemos tomar

x=\sqrt{4-t^2},\qquad y=0,

y obtenemos $g(x,0)=t$ . Por tanto,

\boxed{\operatorname{Im}(g)=[0,2]}.

Acotar la función solo demuestra que su imagen está dentro de un intervalo. Para afirmar que ese intervalo es toda la imagen, también debes justificar que sus valores se alcanzan.

Ejemplo 3. Cociente

h(x,y)=\frac{1}{y-x^2}.

El denominador no puede ser cero:

D=\{(x,y):y\neq x^2\}.

El dominio es todo el plano salvo la parábola $y=x^2$ .

La función nunca vale cero porque su numerador es $1$ . En cambio, cualquier $t\neq0$ se alcanza tomando

x=0,\qquad y=\frac1t.

En ese punto el denominador no es cero y

h\left(0,\frac1t\right)=t.

Por tanto,

\boxed{\operatorname{Im}(h)=\mathbb R\setminus\{0\}}.

Ejemplo 4. Varias restricciones simultáneas

F(x,y)=\frac{\sqrt{y-x^2}}{\ln(4-x^2-y^2)}.

Necesitamos:

\begin{cases} y-x^2\geq0, & \text{por la raíz},\\ 4-x^2-y^2>0, & \text{por el logaritmo},\\ \ln(4-x^2-y^2)\neq0, & \text{por el denominador}. \end{cases}

Como $\ln u=0$ si y solo si $u=1$ , la última condición equivale a

x^2+y^2\neq3.

En consecuencia,

\boxed{ D=\{(x,y):y\geq x^2,\quad x^2+y^2<4,\quad x^2+y^2\neq3\}. }

Debes conservar las tres condiciones: satisfacer una no garantiza satisfacer las demás.

La gráfica es una superficie

La gráfica de $f$ es el conjunto

\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:(x,y)\in D,\ z=f(x,y)\}.

Puedes imaginar el dominio sobre un plano horizontal. Sobre cada punto $(x,y)$ , colocas una altura $z=f(x,y)$ .

Para entender esa superficie se usan trazas y curvas de nivel.

2.1. Trazas: cortar la superficie con planos

Las trazas son las intersecciones de la gráfica con planos.

Para

z=x^2+y^2:

Si fijas $y=0$ , obtienes $z=x^2$ : una parábola en el plano $y=0$ .
Si fijas $x=0$ , obtienes $z=y^2$ : otra parábola.
Si fijas $y=b$ , obtienes $z=x^2+b^2$ : una parábola cuyo vértice está a altura $b^2$ .

Estas secciones permiten reconocer una superficie con forma de cuenco: un paraboloide.

2.2. Curvas de nivel: puntos con la misma salida

Una curva de nivel de altura $c$ viene dada por

f(x,y)=c.

Se dibuja en el plano $xy$ : reúne los puntos del dominio que tienen la misma altura en la gráfica.

Para $f(x,y)=x^2+y^2$ ,

x^2+y^2=c.

Por tanto:

Si $c>0$ , la curva de nivel es una circunferencia de radio $\sqrt c$ .
Si $c=0$ , el conjunto de nivel se reduce al origen.
Si $c<0$ , no hay puntos, porque $x^2+y^2\geq0$ .

Distinción importante: el corte horizontal $z=c$ está en el espacio; su proyección sobre el plano $xy$ es la curva de nivel.

Discos, puntos interiores y frontera

Para hablar de cercanía en el plano usamos la distancia euclídea:

d((x,y),(a,b))=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}.

3.1. Disco abierto y disco cerrado

El disco abierto de centro $(a,b)$ y radio $r>0$ es

B_r(a,b)= \left\{(x,y):(x-a)^2+(y-b)^2<r^2\right\}.

No incluye la circunferencia exterior.

El disco cerrado es

\overline B_r(a,b)= \left\{(x,y):(x-a)^2+(y-b)^2\leq r^2\right\}.

Sí incluye esa circunferencia.

Un disco abierto alrededor de un punto es un ejemplo de entorno del punto.

3.2. Punto interior

Un punto es interior a un conjunto $D$ si puedes dibujar a su alrededor algún disco abierto que quede completamente dentro de $D$ .

Por ejemplo, si

D=\{(x,y):x^2+y^2\leq4\},

todos los puntos que cumplen $x^2+y^2<4$ son interiores.

3.3. Punto de frontera

Un punto es de frontera de $D$ si todo disco abierto centrado en él contiene puntos de $D$ y puntos que no pertenecen a $D$ .

En el disco anterior, la frontera es

x^2+y^2=4.

Un punto de frontera puede pertenecer al conjunto o no:

En $x^2+y^2\leq4$ , la frontera está incluida.
En $x^2+y^2<4$ , la frontera está excluida.

Por eso, ser punto de frontera no significa estar fuera del dominio.

También hablaremos de punto de acumulación de $D$ : un punto al que puedes acercarte mediante puntos de $D$ distintos de él. Esta condición permite estudiar un límite allí, aunque el propio punto no pertenezca al dominio.

Límite doble: acercarse por cualquier trayectoria

Escribimos

\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=L

cuando los valores de $f(x,y)$ se acercan a $L$ al acercarse $(x,y)$ a $(a,b)$ , mediante puntos del dominio distintos del punto de llegada.

La condición decisiva es esta:

La cercanía a $L$ debe quedar garantizada para todos los puntos del dominio suficientemente próximos a $(a,b)$ , no solo para los de algunas trayectorias.

El valor de $f(a,b)$ , si existe, no interviene en el límite.

4.1. Definición $\varepsilon$ - $\delta$

Sea $(a,b)$ un punto de acumulación del dominio $D$ . Decimos que

\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=L

si, para todo $\varepsilon>0$ , existe $\delta>0$ tal que, para todo $(x,y)\in D$ ,

0<\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x,y)-L|<\varepsilon.

Cada parte tiene una función:

$\varepsilon$ fija el error máximo permitido en la salida.
$\delta$ fija cuánto debes acercarte en el plano para garantizar ese error.
El $0<$ excluye el punto de llegada.
La condición $(x,y)\in D$ evita usar puntos donde la función no está definida.

Una misma elección de $\delta$ debe servir para todas las formas de aproximación. Puede depender de $\varepsilon$ , pero no de la trayectoria que elijas después.

Ejemplo resuelto con la definición

Demostremos que

\lim_{(x,y)\to(0,0)}xy=0.

Como

2|xy|\leq x^2+y^2,

tenemos

|xy-0|\leq\frac{x^2+y^2}{2}.

Dado $\varepsilon>0$ , elegimos

\delta=\sqrt{2\varepsilon}.

Entonces, si

0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta,

se cumple

|xy|\leq\frac{x^2+y^2}{2} <\frac{\delta^2}{2} =\varepsilon.

Así queda demostrado el límite. La desigualdad controla todos los puntos cercanos al origen; por eso no necesitamos revisar las trayectorias una por una.

Límites por rectas y por otras trayectorias

Una trayectoria obliga a las variables a acercarse al punto manteniendo una relación.

Para aproximarnos al origen podemos usar, por ejemplo,

y=mx,\qquad y=x^2,\qquad y=x^3.

Al sustituir esa relación en la función, obtenemos un problema de una variable.

5.1. Qué puedes concluir

Si el límite doble existe y vale $L$ , entonces el límite a lo largo de cualquier trayectoria admisible debe valer $L$ .

En consecuencia:

Dos trayectorias con límites distintos demuestran que el límite doble no existe.
Si el límite falla por una trayectoria admisible, el límite doble tampoco existe.
Si varias trayectorias dan el mismo valor, todavía no has demostrado que el límite doble exista.
Incluso comprobar todas las rectas puede ser insuficiente, porque quedan trayectorias curvas.

Las trayectorias deben aproximarse al punto dentro del dominio.

5.2. Ejemplo: todas las rectas dan cero, pero el límite no existe

Considera

f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}, \qquad (x,y)\neq(0,0).

El denominador solo se anula en el origen, así que las trayectorias siguientes son admisibles al excluir ese punto.

Por las rectas $y=mx$

Si $m\neq0$ ,

f(x,mx) =\frac{mx^3}{x^4+m^2x^2} =\frac{mx}{x^2+m^2} \longrightarrow0.

Si $m=0$ ,

f(x,0)=0.

La recta vertical $x=0$ , que no está incluida en $y=mx$ , también da

f(0,y)=0.

Por tanto, todos los límites por rectas valen cero.

Por la parábola $y=x^2$

Para $x\neq0$ ,

f(x,x^2) =\frac{x^4}{x^4+x^4} =\frac12=0{,}500.

Así,

\lim_{x\to0}f(x,x^2)=\frac12=0{,}500.

Como por las rectas obteníamos $0$ y por la parábola obtenemos $1/2$ ,

\boxed{\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)\text{ no existe}.}

Por la curva $y=x^3$

También podemos calcular

f(x,x^3) =\frac{x^5}{x^4+x^6} =\frac{x}{1+x^2} \longrightarrow0.

Este resultado no cambia la conclusión. Una sola discrepancia entre dos trayectorias basta para descartar el límite, aunque otras muchas coincidan.

Límites reiterados: una variable cada vez

Los límites reiterados son

\lim_{x\to a}\left(\lim_{y\to b}f(x,y)\right)

\lim_{y\to b}\left(\lim_{x\to a}f(x,y)\right).

En el primero:

Mantienes $x$ fijo y haces tender $y$ a $b$ .
Después haces tender $x$ a $a$ .

No es lo mismo que el límite doble: en el límite doble, las dos variables pueden cambiar simultáneamente y relacionarse de cualquier manera.

Tres paneles con ejes x e y y el punto (a,b). En el primero, titulado primero y tiende a b, unas flechas verticales llevan varios puntos hasta la recta y igual a b (paso 1) y luego una flecha a lo largo de esa recta llega a (a,b) (paso 2). En el segundo, titulado primero x tiende a a, unas flechas horizontales llevan los puntos hasta la recta x igual a a y luego una flecha vertical llega a (a,b). En el tercero, titulado límite doble, muchas trayectorias (rectas de direcciones distintas, una parábola y una espiral) llegan a (a,b), con la etiqueta cualquier camino. — Los reiterados se acercan en dos pasos perpendiculares; el límite doble debe funcionar para cualquier camino.

Ejemplo: reiterados iguales sin límite doble

Volvemos a

f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}.

Para cada $x\neq0$ ,

\lim_{y\to0}f(x,y)=0.

Por tanto,

\lim_{x\to0}\left(\lim_{y\to0}f(x,y)\right)=0.

Para cada $y\neq0$ ,

\lim_{x\to0}f(x,y)=0,

y, en consecuencia,

\lim_{y\to0}\left(\lim_{x\to0}f(x,y)\right)=0.

Los dos reiterados coinciden, pero el límite doble no existe, como hemos demostrado con la parábola.

Qué permite concluir cada resultado

En los casos habituales, con las secciones necesarias del dominio disponibles:

Resultado	Conclusión
Los dos reiterados existen y son distintos	El límite doble no existe.
Los dos reiterados existen y coinciden	No basta para asegurar que el límite doble existe.
El límite doble existe y los límites interiores necesarios también existen	Los reiterados correspondientes coinciden con el doble.
No existe un límite interior	Por sí solo, esto no descarta el límite doble.

La última advertencia es importante. Por ejemplo,

q(x,y)=y\sin(1/x),\qquad x\neq0,

satisface

|q(x,y)|\leq |y|\longrightarrow0

cuando $(x,y)\to(0,0)$ . Por tanto, su límite doble es $0$ . Sin embargo, para cada $y\neq0$ , el límite cuando $x\to0$ no existe debido a la oscilación del seno.

Cómo demostrar que un límite existe

Las trayectorias son especialmente útiles para demostrar que un límite no existe. Para demostrar que sí existe, necesitas un argumento que abarque todos los puntos próximos del dominio.

Dos herramientas frecuentes son:

El criterio de la función mayorante.
Las coordenadas polares, combinadas con una cota independiente del ángulo.

7.1. Criterio de la función mayorante

Si puedes demostrar que

|f(x,y)-L|\leq M(x,y)

cerca del punto, y además

M(x,y)\longrightarrow0,

entonces

f(x,y)\longrightarrow L.

La razón es que el error $|f-L|$ es no negativo y no puede superar una cantidad que tiende a cero.

Una forma especialmente útil es

|f(x,y)-L| \leq \varphi\!\left(\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}\right),

donde $\varphi(r)\to0$ cuando $r\to0^+$ . Así controlas el error mediante la distancia al punto.

7.2. Coordenadas polares

Para estudiar un límite en el origen, escribimos

x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,

de modo que

r=\sqrt{x^2+y^2}.

Acercarse al origen equivale a hacer $r\to0^+$ . Pero el ángulo $\theta$ puede variar mientras te acercas.

No basta con obtener el mismo límite para cada ángulo fijo. Un ángulo fijo describe una semirrecta, no todas las trayectorias.

El objetivo es encontrar una cota válida para todos los ángulos.

Ejemplo resuelto con polares y una mayorante

Estudiemos

\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y}{x^2+y^2}.

Al sustituir las coordenadas polares,

\frac{x^2y}{x^2+y^2} = \frac{r^3\cos^2\theta\sin\theta}{r^2} = r\cos^2\theta\sin\theta.

Como

|\cos^2\theta\sin\theta|\leq1,

obtenemos

\left|\frac{x^2y}{x^2+y^2}\right|\leq r.

La cota no depende del ángulo y $r\to0$ . Por tanto,

\boxed{ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y}{x^2+y^2}=0. }

Además, la prueba $\varepsilon$ - $\delta$ sale directamente: dado $\varepsilon>0$ , basta tomar $\delta=\varepsilon$ .

Por qué el factor $r$ no siempre basta

En el ejemplo cuyo límite no existía,

\frac{x^2y}{x^4+y^2} = \frac{r\cos^2\theta\sin\theta} {r^2\cos^4\theta+\sin^2\theta}.

Aunque aparece un factor $r$ en el numerador, el denominador también puede hacerse muy pequeño. Por eso no puedes concluir que todo el cociente tiende a cero sin obtener una cota adecuada.

Si el punto no es el origen

Para estudiar el límite en $(a,b)$ , puedes usar

x=a+r\cos\theta,\qquad y=b+r\sin\theta.

Entonces $r$ vuelve a representar la distancia al punto de llegada.

Continuidad en un punto

Una función $f$ es continua en $(a,b)$ si:

$(a,b)$ pertenece al dominio, de modo que existe $f(a,b)$ .
Existe el límite de $f(x,y)$ cuando $(x,y)\to(a,b)$ .
El límite coincide con el valor de la función:

\boxed{ \lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=f(a,b). }

El límite se toma mediante puntos del dominio. Por eso también tiene sentido hablar de continuidad en un punto de frontera que pertenezca al dominio.

8.1. Continuidad de las expresiones habituales

Los polinomios son continuos en todo $\mathbb R^2$ . Las sumas, productos y composiciones de funciones continuas son continuas donde estén definidas.

En particular:

Un cociente de funciones continuas es continuo donde el denominador no se anula.
El logaritmo de una función continua es continuo donde su argumento es positivo.
La raíz cuadrada de una función continua es continua donde su argumento es no negativo.

Por ejemplo,

F(x,y)=\frac{\sqrt{y-x^2}}{\ln(4-x^2-y^2)}

es continua en todo el dominio calculado antes, porque allí las operaciones están definidas y el denominador no vale cero.

Si un punto está fuera del dominio, la función no es continua allí porque ni siquiera tiene valor allí. Puedes estudiar si admite una extensión continua, pero no debes confundir un punto excluido con un punto del dominio donde falla la continuidad.

Continuidad de funciones definidas a trozos

En una función a trozos, cada fórmula puede ser continua en su propia región. El problema suele estar donde cambia la definición.

9.1. Elegir el valor en un punto para obtener continuidad

Considera

F_c(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^2y}{x^2+y^2}, &(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] c, &(x,y)=(0,0). \end{cases}

Fuera del origen es un cociente de polinomios con denominador no nulo, así que es continua.

En el origen ya hemos demostrado que

\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y}{x^2+y^2}=0.

Como $F_c(0,0)=c$ , la continuidad exige

c=0.

Por tanto,

\boxed{F_c\text{ es continua en el origen si y solo si }c=0.}

Si $c\neq0$ , el límite existe, pero no coincide con el valor asignado. Cambiar ese valor por $0$ elimina el fallo de continuidad.

9.2. Cuando ningún valor puede arreglar el problema

Ahora considera

G_c(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^2y}{x^4+y^2}, &(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] c, &(x,y)=(0,0). \end{cases}

El límite en el origen no existe porque distintas trayectorias producen valores distintos.

En consecuencia,

\boxed{\text{ningún valor de }c\text{ hace continua a }G_c\text{ en el origen}.}

Cambiar el valor en un punto no cambia lo que ocurre al acercarse a él.

9.3. Cuando los trozos se unen en una línea

Considera

H(x,y)= \begin{cases} x+y, &y\geq0,\\ x-y, &y<0. \end{cases}

Las dos fórmulas son continuas en sus regiones. Revisamos la línea de unión $y=0$ .

En un punto cualquiera $(a,0)$ ,

H(a,0)=a.

Además, para ambos trozos,

|H(x,y)-a| \leq |x-a|+|y| \leq \sqrt2\,\sqrt{(x-a)^2+y^2}.

La última expresión tiende a cero al acercarnos a $(a,0)$ . Por tanto,

\lim_{(x,y)\to(a,0)}H(x,y)=a=H(a,0).

Así, $H$ es continua también en toda la línea de unión.

Qué debes distinguir en el parcial

Si necesitas…	Qué debes justificar
Hallar el dominio	Todas las restricciones de logaritmos, raíces y denominadores, simultáneamente.
Hallar la imagen	Qué salidas son posibles y por qué se alcanzan.
Describir la superficie	Cómo son sus trazas y sus conjuntos de nivel.
Demostrar que un límite no existe	Por ejemplo, dos trayectorias admisibles con límites distintos.
Demostrar que un límite existe	Un argumento que controle todos los puntos cercanos: continuidad, una mayorante o una prueba $\varepsilon$ - $\delta$ .
Usar coordenadas polares	Que la estimación sirva para todos los ángulos, no solo para cada ángulo fijo.
Usar límites reiterados	Qué permiten concluir; su coincidencia no demuestra el límite doble.
Estudiar continuidad a trozos	Que el límite exista y coincida con el valor asignado en la unión.

La idea que organiza todo el tema es esta:

Para descartar un límite basta encontrar una forma de aproximación que contradiga el valor propuesto. Para demostrarlo, debes controlar todas las formas de aproximación dentro del dominio.

Practica

Ponte a prueba

Tres ejercicios resueltos paso a paso, de menor a mayor dificultad. Inténtalos antes de abrir la solución.

Básico

1Dominio e imagen: logaritmo, raíz y cociente

Considera las funciones

f(x,y)=\ln(16-x^2-y^2),

g(x,y)=\sqrt{9-x^2-y^2},

h(x,y)=\frac{1}{y-2x}.

a
Determina el dominio de cada función y describe qué región del plano representa.

b
Calcula la imagen de cada función. Justifica tanto los valores que quedan excluidos como los que se alcanzan.

Muestra la solución

a) Dominios

Para $f$ , el argumento del logaritmo debe ser positivo:

16-x^2-y^2>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2+y^2<16.

Por tanto,

\boxed{D_f=\{(x,y):x^2+y^2<16\}.}

Es el disco abierto de centro el origen y radio $4$ .

Para $g$ , el radicando debe ser no negativo:

9-x^2-y^2\geq0.

Así,

\boxed{D_g=\{(x,y):x^2+y^2\leq9\}.}

Es el disco cerrado de centro el origen y radio $3$ .

Para $h$ , el denominador no puede anularse:

y-2x\neq0.

Luego,

\boxed{D_h=\{(x,y):y\neq2x\}.}

Es todo el plano salvo la recta $y=2x$ .

b) Imágenes

Para $f$ ,

0<16-x^2-y^2\leq16.

Como el logaritmo es creciente,

f(x,y)\leq\ln16.

El máximo se alcanza en $(0,0)$ . Cuando el argumento se acerca a $0^+$ , el logaritmo decrece sin cota inferior.

Además, dado cualquier $t\leq\ln16$ , el punto

(x,y)=\left(\sqrt{16-e^t},0\right)

pertenece al dominio, porque su argumento es $e^t>0$ , y satisface $f(x,y)=t$ . Por tanto,

\boxed{\operatorname{Im}(f)=(-\infty,\ln16].}

Para $g$ ,

0\leq g(x,y)\leq3.

Todo $t\in[0,3]$ se alcanza en

(x,y)=\left(\sqrt{9-t^2},0\right),

pues ese punto pertenece al disco cerrado y $g(x,y)=t$ . Así,

\boxed{\operatorname{Im}(g)=[0,3].}

Para $h$ , la salida nunca puede ser cero porque el numerador es $1$ .

Para cualquier $t\neq0$ , elegimos

(x,y)=\left(0,\frac1t\right).

Ese punto pertenece al dominio y

h\left(0,\frac1t\right)=t.

En consecuencia,

\boxed{\operatorname{Im}(h)=\mathbb R\setminus\{0\}.}

Intermedio

2Rectas, curvas y límites reiterados

Sea

F(x,y)=\frac{3x^3y}{x^6+y^2}, \qquad (x,y)\neq(0,0).

a
Calcula los límites en el origen por todas las rectas $y=mx$ y por la recta vertical $x=0$ .

b
Calcula los límites por $y=x^2$ y por $y=x^3$ .

c
Calcula los dos límites reiterados.

d
Decide si existe el límite doble. Explica por qué los resultados de los apartados anteriores permiten llegar a esa conclusión.

Muestra la solución

El denominador $x^6+y^2$ solo se anula en el origen. Por tanto, todas las trayectorias utilizadas son admisibles al excluir el punto de llegada.

a) Límites por rectas

Sustituimos $y=mx$ :

F(x,mx) =\frac{3mx^4}{x^6+m^2x^2}.

Si $m\neq0$ , para $x\neq0$ ,

F(x,mx)=\frac{3mx^2}{x^4+m^2}\longrightarrow0.

Si $m=0$ ,

F(x,0)=0.

En la recta vertical,

F(0,y)=0.

Así, todos los límites por rectas valen cero.

b) Límites por curvas

Por $y=x^2$ , para $x\neq0$ ,

F(x,x^2) =\frac{3x^5}{x^6+x^4} =\frac{3x}{x^2+1} \longrightarrow0.

Por $y=x^3$ ,

F(x,x^3) =\frac{3x^6}{x^6+x^6} =\frac32=1{,}50.

Por tanto,

\boxed{\lim_{x\to0}F(x,x^2)=0,}

\boxed{\lim_{x\to0}F(x,x^3)=\frac32=1{,}50.}

c) Límites reiterados

Para cada $x\neq0$ ,

\lim_{y\to0}\frac{3x^3y}{x^6+y^2}=0.

Por ello,

\boxed{\lim_{x\to0}\left(\lim_{y\to0}F(x,y)\right)=0.}

Para cada $y\neq0$ ,

\lim_{x\to0}\frac{3x^3y}{x^6+y^2}=0.

Así,

\boxed{\lim_{y\to0}\left(\lim_{x\to0}F(x,y)\right)=0.}

d) Límite doble

Por $y=0$ , el límite es $0$ , mientras que por $y=x^3$ es $1{,}50$ . Como son distintos,

\boxed{\lim_{(x,y)\to(0,0)}F(x,y)\text{ no existe}.}

La coincidencia de todos los límites por rectas y de los dos reiterados no basta: ninguno de esos resultados controla todas las trayectorias curvas.

Tipo examen

3Tipo examen universitario: un parámetro cambia el límite

Sean $\alpha,c\in\mathbb R$ y

T_{\alpha,c}(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^2y}{(x^2+y^2)^\alpha},&(x,y)\neq(0,0),\\[7pt] c,&(x,y)=(0,0). \end{cases}

a
Justifica que la fórmula del primer trozo está definida y es continua fuera del origen para cualquier $\alpha\in\mathbb R$ .

b
Calcula los dos límites reiterados en el origen para cualquier $\alpha$ .

c
Utiliza coordenadas polares y una mayorante para demostrar que el límite doble es cero cuando

\alpha<\frac32=1{,}50.

Da también una elección de $\delta$ en función de $\varepsilon$ y de $\alpha$ .

d
Estudia el límite doble en los casos $\alpha=\frac32$ y $\alpha>\frac32$ . Compara las trayectorias $y=0$ e $y=x$ , acercándote por $x>0$ .

e
Determina todos los pares $(\alpha,c)$ para los que $T_{\alpha,c}$ es continua en todo $\mathbb R^2$ .

Muestra la solución

a) Definición y continuidad fuera del origen

Si $(x,y)\neq(0,0)$ , entonces

x^2+y^2>0.

Una base positiva elevada a cualquier exponente real está definida, es positiva y depende continuamente de la base. Por tanto,

(x^2+y^2)^\alpha>0

para cualquier $\alpha\in\mathbb R$ .

El primer trozo es un cociente de funciones continuas con denominador no nulo. En consecuencia, está definido y es continuo fuera del origen para todo $\alpha$ .

b) Límites reiterados

Fijado $x\neq0$ , cuando $y\to0$ ,

x^2y\longrightarrow0, \qquad (x^2+y^2)^\alpha\longrightarrow(x^2)^\alpha>0.

Así,

\lim_{y\to0}T_{\alpha,c}(x,y)=0

y, por tanto,

\boxed{\lim_{x\to0}\left(\lim_{y\to0}T_{\alpha,c}(x,y)\right)=0.}

Fijado $y\neq0$ , cuando $x\to0$ ,

x^2y\longrightarrow0, \qquad (x^2+y^2)^\alpha\longrightarrow(y^2)^\alpha>0.

En consecuencia,

\boxed{\lim_{y\to0}\left(\lim_{x\to0}T_{\alpha,c}(x,y)\right)=0.}

Los dos reiterados valen cero para cualquier $\alpha$ , independientemente de $c$ .

c) Caso $\alpha<\frac32$

En polares,

\frac{x^2y}{(x^2+y^2)^\alpha} = \frac{r^3\cos^2\theta\sin\theta}{r^{2\alpha}} = r^{3-2\alpha}\cos^2\theta\sin\theta.

Como

|\cos^2\theta\sin\theta|\leq1,

obtenemos

\left|\frac{x^2y}{(x^2+y^2)^\alpha}\right| \leq r^{3-2\alpha}.

Si $\alpha<\frac32$ , el exponente

p=3-2\alpha

es positivo. Por tanto, $r^p\to0$ cuando $r\to0^+$ , y

\boxed{ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y}{(x^2+y^2)^\alpha}=0. }

Para la demostración $\varepsilon$ - $\delta$ , dado $\varepsilon>0$ , elegimos

\boxed{\delta=\varepsilon^{1/(3-2\alpha)}.}

Si $0<r<\delta$ , como $3-2\alpha>0$ ,

\left|\frac{x^2y}{(x^2+y^2)^\alpha}\right| \leq r^{3-2\alpha} <\delta^{3-2\alpha} =\varepsilon.

La elección sirve para todos los ángulos.

d) Casos $\alpha=\frac32$ y $\alpha>\frac32$

Por $y=0$ ,

T_{\alpha,c}(x,0)=0 \qquad(x\neq0).

Por tanto, el límite por esa trayectoria es siempre $0$ .

Por $y=x$ , con $x>0$ ,

T_{\alpha,c}(x,x) =\frac{x^3}{(2x^2)^\alpha} =2^{-\alpha}x^{3-2\alpha}.

Si $\alpha=\frac32$ , el exponente de $x$ es cero:

T_{\alpha,c}(x,x) =2^{-3/2} =\frac{1}{2\sqrt2} \approx0{,}354.

Como este valor difiere del obtenido por $y=0$ ,

\boxed{\text{el límite doble no existe cuando }\alpha=\frac32.}

Si $\alpha>\frac32$ , entonces $3-2\alpha<0$ . Así, cuando $x\to0^+$ ,

2^{-\alpha}x^{3-2\alpha}\longrightarrow+\infty.

Por $y=0$ , en cambio, la función sigue valiendo cero. Por tanto,

\boxed{\text{el límite doble no existe cuando }\alpha>\frac32.}

Tampoco puede ser un límite infinito, porque la trayectoria $y=0$ lo impide.

e) Continuidad en todo el plano

Fuera del origen, la continuidad está garantizada para cualquier $\alpha$ .

En el origen, necesitamos que exista el límite y que coincida con $c$ . Según los apartados anteriores, eso ocurre exactamente cuando

\alpha<\frac32 \qquad\text{y}\qquad c=0.

En consecuencia,

\boxed{ T_{\alpha,c}\text{ es continua en }\mathbb R^2 \iff \alpha<\frac32=1{,}50\ \text{y}\ c=0. }

Este ejercicio muestra por qué los reiterados no deciden el límite doble: aquí siempre valen cero, pero el límite doble solo existe para una parte de los valores del parámetro.

Avanza a tu ritmo

Aquí tienes la explicación. En la academia, la aprendes con alguien al lado.

Esta página te ayuda a entender el tema. En Original Academia, en Badalona, además tienes:

Dudas resueltas al momentoMáximo 7 alumnos por profesor: te atendemos como en una clase particular, pero fomentando tu autonomía.
Un dosier hecho para tiCada sesión, explicación, ejercicios, pistas y soluciones adaptados a lo que ya sabes y a lo que te toca.
Preparación de exámenes y de la PAUPlanificación del temario, exámenes de años anteriores y corrección con los criterios oficiales.
Método FeynmanNos lo explicas tú con palabras sencillas. Así sabemos que lo has entendido de verdad.

Infórmate y reserva plaza

De lunes a viernes
16–18 h o 18–20 h

WhatsApp: 621 30 65 28

C/ de Lleó, 15 · Badalona

Límites y continuidad en varias variables

1.1. Cómo encontrar el dominio

Ejemplo 1. Logaritmo

Ejemplo 2. Raíz cuadrada

Ejemplo 3. Cociente

Ejemplo 4. Varias restricciones simultáneas

2.1. Trazas: cortar la superficie con planos

2.2. Curvas de nivel: puntos con la misma salida

3.1. Disco abierto y disco cerrado

3.2. Punto interior

3.3. Punto de frontera

4.1. Definición ε\varepsilonε-δ\deltaδ

Ejemplo resuelto con la definición

5.1. Qué puedes concluir

5.2. Ejemplo: todas las rectas dan cero, pero el límite no existe

Por las rectas y=mxy=mxy=mx

Por la parábola y=x2y=x^2y=x2

Por la curva y=x3y=x^3y=x3

Ejemplo: reiterados iguales sin límite doble

Qué permite concluir cada resultado

7.1. Criterio de la función mayorante

7.2. Coordenadas polares

Ejemplo resuelto con polares y una mayorante

Por qué el factor rrr no siempre basta

Si el punto no es el origen

8.1. Continuidad de las expresiones habituales

9.1. Elegir el valor en un punto para obtener continuidad

9.2. Cuando ningún valor puede arreglar el problema

9.3. Cuando los trozos se unen en una línea

1Dominio e imagen: logaritmo, raíz y cociente

a) Dominios

b) Imágenes

2Rectas, curvas y límites reiterados

a) Límites por rectas

b) Límites por curvas

c) Límites reiterados

d) Límite doble

3Tipo examen universitario: un parámetro cambia el límite

a) Definición y continuidad fuera del origen

b) Límites reiterados

e) Continuidad en todo el plano

4.1. Definición $\varepsilon$ - $\delta$

Por las rectas $y=mx$

Por la parábola $y=x^2$

Por la curva $y=x^3$

Por qué el factor $r$ no siempre basta