Càlcul · Primer curs universitari

Límits i continuïtat en diverses variables

On està definida una funció de dues variables, com és la seva gràfica, per què unes poques trajectòries no demostren un límit i quin argument sí que ho fa. Llegeix i juga amb cada figura.

14 min de lectura
10 figures interactives
3 exercicis resolts

llegeix i juga!

En una funció d'una variable, $f(x)$ , controlaves una entrada i obtenies una sortida. Ara tindràs dues entrades, $x$ i $y$ , i una única sortida real:

f(x,y).

Per exemple, si

f(x,y)=x^2+y^2,

aleshores $f(1,2)=5$ .

La principal novetat apareix en estudiar els límits: en una variable t'acostaves a un punt per l'esquerra o per la dreta; en dues variables pots acostar-t'hi per infinites trajectòries. Per això, comprovar unes quantes trajectòries no sol ser suficient per demostrar que un límit existeix.

Abans de començar…

Per on arribes a l’origen?

En una variable, a un punt només s’hi pot arribar per dos costats: per l’esquerra i per la dreta. Si tots dos donen el mateix valor, hi ha límit.

Al pla, en canvi, hi ha infinits camins fins a l’origen: rectes amb qualsevol pendent, paràboles, espirals… La funció $f(x,y)=\dfrac{x^2y}{x^4+y^2}$ s’acosta a $0$ per totes les rectes. Però per la paràbola $y=x^2$ val $1/2$ durant tot el camí.

Mira el vídeo i després porta tu el punt fins a l’origen. Per quin camí hi arribes amb un valor diferent de 0?

Mira-ho en 42 segons

Ara prova-ho tu:

El color indica el valor de f: blau si és positiu, taronja si és negatiu; com més intens, més gran és |f|. L’origen no pertany al domini.

Domini i imatge: què pots introduir i què pots obtenir

Una funció de dues variables es pot escriure com

f:D\subseteq\mathbb R^2\longrightarrow\mathbb R.

El domini $D$ és el conjunt de parells $(x,y)$ per als quals l'expressió està definida.
La imatge és el conjunt de valors que pren la funció:

\operatorname{Im}(f)=\{f(x,y):(x,y)\in D\}.

El domini és al pla de les entrades. La imatge és a la recta real de les sortides.

1.1. Com trobar el domini

Si no s'indica un domini, busquem el conjunt més gran de punts on l'expressió té sentit com a nombre real.

Expressió	Condició
$\ln(g(x,y))$	$g(x,y)>0$
$\sqrt{g(x,y)}$	$g(x,y)\geq 0$
$\dfrac{p(x,y)}{q(x,y)}$	$q(x,y)\neq 0$
$\dfrac{1}{\sqrt{g(x,y)}}$	$g(x,y)>0$

A l'última fila, el radicand ha de ser no negatiu per l'arrel i, a més, l'arrel no pot valer zero perquè és al denominador. Les dues restriccions juntes produeixen la desigualtat estricta.

Quan apareixen diverses operacions, has d'imposar totes les condicions alhora. Per tant, el domini és la intersecció de les regions permeses.

Exemple 1. Logaritme

f(x,y)=\ln(9-x^2-y^2).

L'argument del logaritme ha de ser positiu:

9-x^2-y^2>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2+y^2<9.

Així,

D=\{(x,y):x^2+y^2<9\}.

És el disc de centre $(0,0)$ i radi $3$ , sense la circumferència exterior.

Per trobar la imatge, observem que

0<9-x^2-y^2\leq 9.

L'argument assoleix el valor $9$ a l'origen i pot acostar-se a $0$ tant com vulguem. Com que $\ln$ és creixent,

\boxed{\operatorname{Im}(f)=(-\infty,\ln 9]}.

L'extrem superior s'inclou perquè $f(0,0)=\ln 9$ . No hi ha mínim: quan $x^2+y^2\to9$ des de l'interior, l'argument tendeix a $0^+$ i, en conseqüència, el logaritme tendeix a $-\infty$ .

Exemple 2. Arrel quadrada

g(x,y)=\sqrt{4-x^2-y^2}.

La condició és

4-x^2-y^2\geq0,

de manera que

D=\{(x,y):x^2+y^2\leq4\}.

Com que $0\leq4-x^2-y^2\leq4$ ,

0\leq g(x,y)\leq2.

A més, tots aquests valors s'assoleixen. Per a qualsevol $t\in[0,2]$ , podem prendre

x=\sqrt{4-t^2},\qquad y=0,

i obtenim $g(x,0)=t$ . Per tant,

\boxed{\operatorname{Im}(g)=[0,2]}.

Acotar la funció només demostra que la seva imatge és dins d'un interval. Per afirmar que aquest interval és tota la imatge, també has de justificar que els seus valors s'assoleixen.

Exemple 3. Quocient

h(x,y)=\frac{1}{y-x^2}.

El denominador no pot ser zero:

D=\{(x,y):y\neq x^2\}.

El domini és tot el pla excepte la paràbola $y=x^2$ .

La funció no val mai zero perquè el seu numerador és $1$ . En canvi, qualsevol $t\neq0$ s'assoleix prenent

x=0,\qquad y=\frac1t.

En aquest punt el denominador no és zero i

h\left(0,\frac1t\right)=t.

Per tant,

\boxed{\operatorname{Im}(h)=\mathbb R\setminus\{0\}}.

Exemple 4. Diverses restriccions simultànies

F(x,y)=\frac{\sqrt{y-x^2}}{\ln(4-x^2-y^2)}.

Necessitem:

\begin{cases} y-x^2\geq0, & \text{per l'arrel},\\ 4-x^2-y^2>0, & \text{pel logaritme},\\ \ln(4-x^2-y^2)\neq0, & \text{pel denominador}. \end{cases}

Com que $\ln u=0$ si i només si $u=1$ , l'última condició equival a

x^2+y^2\neq3.

En conseqüència,

\boxed{ D=\{(x,y):y\geq x^2,\quad x^2+y^2<4,\quad x^2+y^2\neq3\}. }

Has de conservar les tres condicions: satisfer-ne una no garanteix satisfer les altres.

La gràfica és una superfície

La gràfica de $f$ és el conjunt

\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:(x,y)\in D,\ z=f(x,y)\}.

Pots imaginar el domini sobre un pla horitzontal. Sobre cada punt $(x,y)$ , col·loques una altura $z=f(x,y)$ .

Per entendre aquesta superfície s'utilitzen traces i corbes de nivell.

2.1. Traces: tallar la superfície amb plans

Les traces són les interseccions de la gràfica amb plans.

Per a

z=x^2+y^2:

Si fixes $y=0$ , obtens $z=x^2$ : una paràbola en el pla $y=0$ .
Si fixes $x=0$ , obtens $z=y^2$ : una altra paràbola.
Si fixes $y=b$ , obtens $z=x^2+b^2$ : una paràbola el vèrtex de la qual és a una altura $b^2$ .

Aquestes seccions permeten reconèixer una superfície amb forma de bol: un paraboloide.

2.2. Corbes de nivell: punts amb la mateixa sortida

Una corba de nivell d'altura $c$ ve donada per

f(x,y)=c.

Es dibuixa en el pla $xy$ : reuneix els punts del domini que tenen la mateixa altura a la gràfica.

Per a $f(x,y)=x^2+y^2$ ,

x^2+y^2=c.

Per tant:

Si $c>0$ , la corba de nivell és una circumferència de radi $\sqrt c$ .
Si $c=0$ , el conjunt de nivell es redueix a l'origen.
Si $c<0$ , no hi ha punts, perquè $x^2+y^2\geq0$ .

Distinció important: el tall horitzontal $z=c$ és a l'espai; la seva projecció sobre el pla $xy$ és la corba de nivell.

Discos, punts interiors i frontera

Per parlar de proximitat en el pla fem servir la distància euclidiana:

d((x,y),(a,b))=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}.

3.1. Disc obert i disc tancat

El disc obert de centre $(a,b)$ i radi $r>0$ és

B_r(a,b)= \left\{(x,y):(x-a)^2+(y-b)^2<r^2\right\}.

No inclou la circumferència exterior.

El disc tancat és

\overline B_r(a,b)= \left\{(x,y):(x-a)^2+(y-b)^2\leq r^2\right\}.

Sí que inclou aquesta circumferència.

Un disc obert al voltant d'un punt és un exemple d'entorn del punt.

3.2. Punt interior

Un punt és interior a un conjunt $D$ si pots dibuixar al seu voltant algun disc obert que quedi completament dins de $D$ .

Per exemple, si

D=\{(x,y):x^2+y^2\leq4\},

tots els punts que compleixen $x^2+y^2<4$ són interiors.

3.3. Punt de frontera

Un punt és de frontera de $D$ si tot disc obert centrat en aquest punt conté punts de $D$ i punts que no pertanyen a $D$ .

En el disc anterior, la frontera és

x^2+y^2=4.

Un punt de frontera pot pertànyer al conjunt o no:

A $x^2+y^2\leq4$ , la frontera està inclosa.
A $x^2+y^2<4$ , la frontera està exclosa.

Per això, ser punt de frontera no significa ser fora del domini.

També parlarem de punt d'acumulació de $D$ : un punt al qual pots acostar-te mitjançant punts de $D$ diferents d'ell. Aquesta condició permet estudiar-hi un límit, encara que el mateix punt no pertanyi al domini.

Límit doble: acostar-se per qualsevol trajectòria

Escrivim

\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=L

quan els valors de $f(x,y)$ s'acosten a $L$ en acostar-se $(x,y)$ a $(a,b)$ , mitjançant punts del domini diferents del punt d'arribada.

La condició decisiva és aquesta:

La proximitat a $L$ ha de quedar garantida per a tots els punts del domini prou pròxims a $(a,b)$ , no només per als d'algunes trajectòries.

El valor de $f(a,b)$ , si existeix, no intervé en el límit.

4.1. Definició $\varepsilon$ - $\delta$

Sigui $(a,b)$ un punt d'acumulació del domini $D$ . Diem que

\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=L

si, per a tot $\varepsilon>0$ , existeix $\delta>0$ tal que, per a tot $(x,y)\in D$ ,

0<\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x,y)-L|<\varepsilon.

Cada part té una funció:

$\varepsilon$ fixa l'error màxim permès a la sortida.
$\delta$ fixa quant t'has d'acostar en el pla per garantir aquest error.
El $0<$ exclou el punt d'arribada.
La condició $(x,y)\in D$ evita fer servir punts on la funció no està definida.

Una mateixa elecció de $\delta$ ha de servir per a totes les formes d'aproximació. Pot dependre de $\varepsilon$ , però no de la trajectòria que triïs després.

Exemple resolt amb la definició

Demostrem que

\lim_{(x,y)\to(0,0)}xy=0.

Com que

2|xy|\leq x^2+y^2,

tenim

|xy-0|\leq\frac{x^2+y^2}{2}.

Donat $\varepsilon>0$ , triem

\delta=\sqrt{2\varepsilon}.

Aleshores, si

0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta,

es compleix

|xy|\leq\frac{x^2+y^2}{2} <\frac{\delta^2}{2} =\varepsilon.

Així queda demostrat el límit. La desigualtat controla tots els punts pròxims a l'origen; per això no necessitem revisar les trajectòries una per una.

Límits per rectes i per altres trajectòries

Una trajectòria obliga les variables a acostar-se al punt mantenint una relació.

Per aproximar-nos a l'origen podem fer servir, per exemple,

y=mx,\qquad y=x^2,\qquad y=x^3.

En substituir aquesta relació en la funció, obtenim un problema d'una variable.

5.1. Què pots concloure

Si el límit doble existeix i val $L$ , aleshores el límit al llarg de qualsevol trajectòria admissible ha de valer $L$ .

En conseqüència:

Dues trajectòries amb límits diferents demostren que el límit doble no existeix.
Si el límit falla per una trajectòria admissible, el límit doble tampoc no existeix.
Si diverses trajectòries donen el mateix valor, encara no has demostrat que el límit doble existeixi.
Fins i tot comprovar totes les rectes pot ser insuficient, perquè queden trajectòries corbes.

Les trajectòries han d'aproximar-se al punt dins del domini.

5.2. Exemple: totes les rectes donen zero, però el límit no existeix

Considera

f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}, \qquad (x,y)\neq(0,0).

El denominador només s'anul·la a l'origen, així que les trajectòries següents són admissibles en excloure aquest punt.

Per les rectes $y=mx$

Si $m\neq0$ ,

f(x,mx) =\frac{mx^3}{x^4+m^2x^2} =\frac{mx}{x^2+m^2} \longrightarrow0.

Si $m=0$ ,

f(x,0)=0.

La recta vertical $x=0$ , que no està inclosa en $y=mx$ , també dona

f(0,y)=0.

Per tant, tots els límits per rectes valen zero.

Per la paràbola $y=x^2$

Per a $x\neq0$ ,

f(x,x^2) =\frac{x^4}{x^4+x^4} =\frac12=0{,}500.

Així,

\lim_{x\to0}f(x,x^2)=\frac12=0{,}500.

Com que per les rectes obteníem $0$ i per la paràbola obtenim $1/2$ ,

\boxed{\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)\text{ no existeix}.}

Per la corba $y=x^3$

També podem calcular

f(x,x^3) =\frac{x^5}{x^4+x^6} =\frac{x}{1+x^2} \longrightarrow0.

Aquest resultat no canvia la conclusió. Una sola discrepància entre dues trajectòries és suficient per descartar el límit, encara que moltes altres coincideixin.

Límits reiterats: una variable cada vegada

Els límits reiterats són

\lim_{x\to a}\left(\lim_{y\to b}f(x,y)\right)

\lim_{y\to b}\left(\lim_{x\to a}f(x,y)\right).

En el primer:

Mantens $x$ fix i fas tendir $y$ a $b$ .
Després fas tendir $x$ a $a$ .

No és el mateix que el límit doble: en el límit doble, les dues variables poden canviar simultàniament i relacionar-se de qualsevol manera.

Tres panells amb eixos x i y i el punt (a,b). Al primer, titulat primer y tendeix a b, unes fletxes verticals porten diversos punts fins a la recta y igual a b (pas 1) i després una fletxa al llarg d'aquesta recta arriba a (a,b) (pas 2). Al segon, titulat primer x tendeix a a, unes fletxes horitzontals porten els punts fins a la recta x igual a a i després una fletxa vertical arriba a (a,b). Al tercer, titulat límit doble, moltes trajectòries (rectes de direccions diferents, una paràbola i una espiral) arriben a (a,b), amb l'etiqueta qualsevol camí. — Els reiterats s'acosten en dues passes perpendiculars; el límit doble ha de funcionar per a qualsevol camí.

Exemple: reiterats iguals sense límit doble

Tornem a

f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}.

Per a cada $x\neq0$ ,

\lim_{y\to0}f(x,y)=0.

Per tant,

\lim_{x\to0}\left(\lim_{y\to0}f(x,y)\right)=0.

Per a cada $y\neq0$ ,

\lim_{x\to0}f(x,y)=0,

i, en conseqüència,

\lim_{y\to0}\left(\lim_{x\to0}f(x,y)\right)=0.

Els dos reiterats coincideixen, però el límit doble no existeix, com hem demostrat amb la paràbola.

Què permet concloure cada resultat

En els casos habituals, amb les seccions necessàries del domini disponibles:

Resultat	Conclusió
Els dos reiterats existeixen i són diferents	El límit doble no existeix.
Els dos reiterats existeixen i coincideixen	No és suficient per assegurar que el límit doble existeix.
El límit doble existeix i els límits interiors necessaris també existeixen	Els reiterats corresponents coincideixen amb el doble.
No existeix un límit interior	Per si sol, això no descarta el límit doble.

L'últim advertiment és important. Per exemple,

q(x,y)=y\sin(1/x),\qquad x\neq0,

satisfà

|q(x,y)|\leq |y|\longrightarrow0

quan $(x,y)\to(0,0)$ . Per tant, el seu límit doble és $0$ . Tanmateix, per a cada $y\neq0$ , el límit quan $x\to0$ no existeix a causa de l'oscil·lació del sinus.

Com demostrar que un límit existeix

Les trajectòries són especialment útils per demostrar que un límit no existeix. Per demostrar que sí que existeix, necessites un argument que abasti tots els punts pròxims del domini.

Dues eines freqüents són:

El criteri de la funció majorant.
Les coordenades polars, combinades amb una cota independent de l'angle.

7.1. Criteri de la funció majorant

Si pots demostrar que

|f(x,y)-L|\leq M(x,y)

prop del punt, i a més

M(x,y)\longrightarrow0,

aleshores

f(x,y)\longrightarrow L.

La raó és que l'error $|f-L|$ és no negatiu i no pot superar una quantitat que tendeix a zero.

Una forma especialment útil és

|f(x,y)-L| \leq \varphi\!\left(\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}\right),

on $\varphi(r)\to0$ quan $r\to0^+$ . Així controles l'error mitjançant la distància al punt.

7.2. Coordenades polars

Per estudiar un límit a l'origen, escrivim

x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,

de manera que

r=\sqrt{x^2+y^2}.

Acostar-se a l'origen equival a fer $r\to0^+$ . Però l'angle $\theta$ pot variar mentre t'hi acostes.

No n'hi ha prou d'obtenir el mateix límit per a cada angle fix. Un angle fix descriu una semirecta, no totes les trajectòries.

L'objectiu és trobar una cota vàlida per a tots els angles.

Exemple resolt amb polars i una majorant

Estudiem

\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y}{x^2+y^2}.

En substituir les coordenades polars,

\frac{x^2y}{x^2+y^2} = \frac{r^3\cos^2\theta\sin\theta}{r^2} = r\cos^2\theta\sin\theta.

Com que

|\cos^2\theta\sin\theta|\leq1,

obtenim

\left|\frac{x^2y}{x^2+y^2}\right|\leq r.

La cota no depèn de l'angle i $r\to0$ . Per tant,

\boxed{ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y}{x^2+y^2}=0. }

A més, la prova $\varepsilon$ - $\delta$ surt directament: donat $\varepsilon>0$ , n'hi ha prou de prendre $\delta=\varepsilon$ .

Per què el factor $r$ no sempre és suficient

En l'exemple en què el límit no existia,

\frac{x^2y}{x^4+y^2} = \frac{r\cos^2\theta\sin\theta} {r^2\cos^4\theta+\sin^2\theta}.

Encara que apareix un factor $r$ en el numerador, el denominador també es pot fer molt petit. Per això no pots concloure que tot el quocient tendeix a zero sense obtenir una cota adequada.

Si el punt no és l'origen

Per estudiar el límit a $(a,b)$ , pots fer servir

x=a+r\cos\theta,\qquad y=b+r\sin\theta.

Aleshores $r$ torna a representar la distància al punt d'arribada.

Continuïtat en un punt

Una funció $f$ és contínua a $(a,b)$ si:

$(a,b)$ pertany al domini, de manera que existeix $f(a,b)$ .
Existeix el límit de $f(x,y)$ quan $(x,y)\to(a,b)$ .
El límit coincideix amb el valor de la funció:

\boxed{ \lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=f(a,b). }

El límit es pren mitjançant punts del domini. Per això també té sentit parlar de continuïtat en un punt de frontera que pertanyi al domini.

8.1. Continuïtat de les expressions habituals

Els polinomis són continus en tot $\mathbb R^2$ . Les sumes, productes i composicions de funcions contínues són contínues on estiguin definides.

En particular:

Un quocient de funcions contínues és continu on el denominador no s'anul·la.
El logaritme d'una funció contínua és continu on el seu argument és positiu.
L'arrel quadrada d'una funció contínua és contínua on el seu argument és no negatiu.

Per exemple,

F(x,y)=\frac{\sqrt{y-x^2}}{\ln(4-x^2-y^2)}

és contínua en tot el domini calculat abans, perquè allà les operacions estan definides i el denominador no val zero.

Si un punt és fora del domini, la funció no hi és contínua perquè ni tan sols hi té valor. Pots estudiar si admet una extensió contínua, però no has de confondre un punt exclòs amb un punt del domini on falla la continuïtat.

Continuïtat de funcions definides a trossos

En una funció a trossos, cada fórmula pot ser contínua en la seva pròpia regió. El problema sol ser on canvia la definició.

9.1. Triar el valor en un punt per obtenir continuïtat

Considera

F_c(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^2y}{x^2+y^2}, &(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] c, &(x,y)=(0,0). \end{cases}

Fora de l'origen és un quocient de polinomis amb denominador no nul, així que és contínua.

A l'origen ja hem demostrat que

\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y}{x^2+y^2}=0.

Com que $F_c(0,0)=c$ , la continuïtat exigeix

c=0.

Per tant,

\boxed{F_c\text{ és contínua a l'origen si i només si }c=0.}

Si $c\neq0$ , el límit existeix, però no coincideix amb el valor assignat. Canviar aquest valor per $0$ elimina la fallada de continuïtat.

9.2. Quan cap valor no pot arreglar el problema

Ara considera

G_c(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^2y}{x^4+y^2}, &(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] c, &(x,y)=(0,0). \end{cases}

El límit a l'origen no existeix perquè trajectòries diferents produeixen valors diferents.

En conseqüència,

\boxed{\text{cap valor de }c\text{ fa contínua }G_c\text{ a l'origen}.}

Canviar el valor en un punt no canvia el que passa en acostar-s'hi.

9.3. Quan els trossos s'uneixen en una línia

Considera

H(x,y)= \begin{cases} x+y, &y\geq0,\\ x-y, &y<0. \end{cases}

Les dues fórmules són contínues en les seves regions. Revisem la línia d'unió $y=0$ .

En un punt qualsevol $(a,0)$ ,

H(a,0)=a.

A més, per a tots dos trossos,

|H(x,y)-a| \leq |x-a|+|y| \leq \sqrt2\,\sqrt{(x-a)^2+y^2}.

L'última expressió tendeix a zero en acostar-nos a $(a,0)$ . Per tant,

\lim_{(x,y)\to(a,0)}H(x,y)=a=H(a,0).

Així, $H$ és contínua també en tota la línia d'unió.

Què has de distingir en el parcial

Si necessites…	Què has de justificar
Trobar el domini	Totes les restriccions de logaritmes, arrels i denominadors, simultàniament.
Trobar la imatge	Quines sortides són possibles i per què s'assoleixen.
Descriure la superfície	Com són les seves traces i els seus conjunts de nivell.
Demostrar que un límit no existeix	Per exemple, dues trajectòries admissibles amb límits diferents.
Demostrar que un límit existeix	Un argument que controli tots els punts pròxims: continuïtat, una majorant o una prova $\varepsilon$ - $\delta$ .
Fer servir coordenades polars	Que l'estimació serveixi per a tots els angles, no només per a cada angle fix.
Fer servir límits reiterats	Què permeten concloure; la seva coincidència no demostra el límit doble.
Estudiar continuïtat a trossos	Que el límit existeixi i coincideixi amb el valor assignat a la unió.

La idea que organitza tot el tema és aquesta:

Per descartar un límit n'hi ha prou de trobar una forma d'aproximació que contradigui el valor proposat. Per demostrar-lo, has de controlar totes les formes d'aproximació dins del domini.

Practica

Posa’t a prova

Tres exercicis resolts pas a pas, de menys a més difícils. Intenta’ls abans d’obrir la solució.

Bàsic

1Domini i imatge: logaritme, arrel i quocient

Considera les funcions

f(x,y)=\ln(16-x^2-y^2),

g(x,y)=\sqrt{9-x^2-y^2},

h(x,y)=\frac{1}{y-2x}.

a
Determina el domini de cada funció i descriu quina regió del pla representa.

b
Calcula la imatge de cada funció. Justifica tant els valors que queden exclosos com els que s'assoleixen.

Mostra la solució

a) Dominis

Per a $f$ , l'argument del logaritme ha de ser positiu:

16-x^2-y^2>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2+y^2<16.

Per tant,

\boxed{D_f=\{(x,y):x^2+y^2<16\}.}

És el disc obert de centre l'origen i radi $4$ .

Per a $g$ , el radicand ha de ser no negatiu:

9-x^2-y^2\geq0.

Així,

\boxed{D_g=\{(x,y):x^2+y^2\leq9\}.}

És el disc tancat de centre l'origen i radi $3$ .

Per a $h$ , el denominador no es pot anul·lar:

y-2x\neq0.

Per tant,

\boxed{D_h=\{(x,y):y\neq2x\}.}

És tot el pla excepte la recta $y=2x$ .

b) Imatges

Per a $f$ ,

0<16-x^2-y^2\leq16.

Com que el logaritme és creixent,

f(x,y)\leq\ln16.

El màxim s'assoleix en $(0,0)$ . Quan l'argument s'acosta a $0^+$ , el logaritme decreix sense fita inferior.

A més, donat qualsevol $t\leq\ln16$ , el punt

(x,y)=\left(\sqrt{16-e^t},0\right)

pertany al domini, perquè el seu argument és $e^t>0$ , i satisfà $f(x,y)=t$ . Per tant,

\boxed{\operatorname{Im}(f)=(-\infty,\ln16].}

Per a $g$ ,

0\leq g(x,y)\leq3.

Tot $t\in[0,3]$ s'assoleix en

(x,y)=\left(\sqrt{9-t^2},0\right),

ja que aquest punt pertany al disc tancat i $g(x,y)=t$ . Així,

\boxed{\operatorname{Im}(g)=[0,3].}

Per a $h$ , la sortida mai no pot ser zero perquè el numerador és $1$ .

Per a qualsevol $t\neq0$ , triem

(x,y)=\left(0,\frac1t\right).

Aquest punt pertany al domini i

h\left(0,\frac1t\right)=t.

En conseqüència,

\boxed{\operatorname{Im}(h)=\mathbb R\setminus\{0\}.}

Intermedi

2Rectes, corbes i límits reiterats

Sigui

F(x,y)=\frac{3x^3y}{x^6+y^2}, \qquad (x,y)\neq(0,0).

a
Calcula els límits a l'origen per totes les rectes $y=mx$ i per la recta vertical $x=0$ .

b
Calcula els límits per $y=x^2$ i per $y=x^3$ .

c
Calcula els dos límits reiterats.

d
Decideix si existeix el límit doble. Explica per què els resultats dels apartats anteriors permeten arribar a aquesta conclusió.

Mostra la solució

El denominador $x^6+y^2$ només s'anul·la a l'origen. Per tant, totes les trajectòries utilitzades són admissibles en excloure el punt d'arribada.

a) Límits per rectes

Substituïm $y=mx$ :

F(x,mx) =\frac{3mx^4}{x^6+m^2x^2}.

Si $m\neq0$ , per a $x\neq0$ ,

F(x,mx)=\frac{3mx^2}{x^4+m^2}\longrightarrow0.

Si $m=0$ ,

F(x,0)=0.

En la recta vertical,

F(0,y)=0.

Així, tots els límits per rectes valen zero.

b) Límits per corbes

Per $y=x^2$ , per a $x\neq0$ ,

F(x,x^2) =\frac{3x^5}{x^6+x^4} =\frac{3x}{x^2+1} \longrightarrow0.

Per $y=x^3$ ,

F(x,x^3) =\frac{3x^6}{x^6+x^6} =\frac32=1{,}50.

Per tant,

\boxed{\lim_{x\to0}F(x,x^2)=0,}

\boxed{\lim_{x\to0}F(x,x^3)=\frac32=1{,}50.}

c) Límits reiterats

Per a cada $x\neq0$ ,

\lim_{y\to0}\frac{3x^3y}{x^6+y^2}=0.

Per això,

\boxed{\lim_{x\to0}\left(\lim_{y\to0}F(x,y)\right)=0.}

Per a cada $y\neq0$ ,

\lim_{x\to0}\frac{3x^3y}{x^6+y^2}=0.

Així,

\boxed{\lim_{y\to0}\left(\lim_{x\to0}F(x,y)\right)=0.}

d) Límit doble

Per $y=0$ , el límit és $0$ , mentre que per $y=x^3$ és $1{,}50$ . Com que són diferents,

\boxed{\lim_{(x,y)\to(0,0)}F(x,y)\text{ no existeix}.}

La coincidència de tots els límits per rectes i dels dos reiterats no és suficient: cap d'aquests resultats controla totes les trajectòries corbes.

Tipus examen

3Tipus examen universitari: un paràmetre canvia el límit

Siguin $\alpha,c\in\mathbb R$ i

T_{\alpha,c}(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^2y}{(x^2+y^2)^\alpha},&(x,y)\neq(0,0),\\[7pt] c,&(x,y)=(0,0). \end{cases}

a
Justifica que la fórmula del primer tram està definida i és contínua fora de l'origen per a qualsevol $\alpha\in\mathbb R$ .

b
Calcula els dos límits reiterats a l'origen per a qualsevol $\alpha$ .

c
Utilitza coordenades polars i una majorant per demostrar que el límit doble és zero quan

\alpha<\frac32=1{,}50.

Dona també una elecció de $\delta$ en funció de $\varepsilon$ i de $\alpha$ .

d
Estudia el límit doble en els casos $\alpha=\frac32$ i $\alpha>\frac32$ . Compara les trajectòries $y=0$ i $y=x$ , acostant-t'hi per $x>0$ .

e
Determina tots els parells $(\alpha,c)$ per als quals $T_{\alpha,c}$ és contínua en tot $\mathbb R^2$ .

Mostra la solució

a) Definició i continuïtat fora de l'origen

Si $(x,y)\neq(0,0)$ , aleshores

x^2+y^2>0.

Una base positiva elevada a qualsevol exponent real està definida, és positiva i depèn contínuament de la base. Per tant,

(x^2+y^2)^\alpha>0

per a qualsevol $\alpha\in\mathbb R$ .

El primer tram és un quocient de funcions contínues amb denominador no nul. En conseqüència, està definit i és continu fora de l'origen per a tot $\alpha$ .

b) Límits reiterats

Fixat $x\neq0$ , quan $y\to0$ ,

x^2y\longrightarrow0, \qquad (x^2+y^2)^\alpha\longrightarrow(x^2)^\alpha>0.

Així,

\lim_{y\to0}T_{\alpha,c}(x,y)=0

i, per tant,

\boxed{\lim_{x\to0}\left(\lim_{y\to0}T_{\alpha,c}(x,y)\right)=0.}

Fixat $y\neq0$ , quan $x\to0$ ,

x^2y\longrightarrow0, \qquad (x^2+y^2)^\alpha\longrightarrow(y^2)^\alpha>0.

En conseqüència,

\boxed{\lim_{y\to0}\left(\lim_{x\to0}T_{\alpha,c}(x,y)\right)=0.}

Els dos reiterats valen zero per a qualsevol $\alpha$ , independentment de $c$ .

c) Cas $\alpha<\frac32$

En polars,

\frac{x^2y}{(x^2+y^2)^\alpha} = \frac{r^3\cos^2\theta\sin\theta}{r^{2\alpha}} = r^{3-2\alpha}\cos^2\theta\sin\theta.

Com que

|\cos^2\theta\sin\theta|\leq1,

obtenim

\left|\frac{x^2y}{(x^2+y^2)^\alpha}\right| \leq r^{3-2\alpha}.

Si $\alpha<\frac32$ , l'exponent

p=3-2\alpha

és positiu. Per tant, $r^p\to0$ quan $r\to0^+$ , i

\boxed{ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y}{(x^2+y^2)^\alpha}=0. }

Per a la demostració $\varepsilon$ - $\delta$ , donat $\varepsilon>0$ , triem

\boxed{\delta=\varepsilon^{1/(3-2\alpha)}.}

Si $0<r<\delta$ , com que $3-2\alpha>0$ ,

\left|\frac{x^2y}{(x^2+y^2)^\alpha}\right| \leq r^{3-2\alpha} <\delta^{3-2\alpha} =\varepsilon.

L'elecció serveix per a tots els angles.

d) Casos $\alpha=\frac32$ i $\alpha>\frac32$

Per $y=0$ ,

T_{\alpha,c}(x,0)=0 \qquad(x\neq0).

Per tant, el límit per aquesta trajectòria és sempre $0$ .

Per $y=x$ , amb $x>0$ ,

T_{\alpha,c}(x,x) =\frac{x^3}{(2x^2)^\alpha} =2^{-\alpha}x^{3-2\alpha}.

Si $\alpha=\frac32$ , l'exponent de $x$ és zero:

T_{\alpha,c}(x,x) =2^{-3/2} =\frac{1}{2\sqrt2} \approx0{,}354.

Com que aquest valor difereix de l'obtingut per $y=0$ ,

\boxed{\text{el límit doble no existeix quan }\alpha=\frac32.}

Si $\alpha>\frac32$ , aleshores $3-2\alpha<0$ . Així, quan $x\to0^+$ ,

2^{-\alpha}x^{3-2\alpha}\longrightarrow+\infty.

Per $y=0$ , en canvi, la funció continua valent zero. Per tant,

\boxed{\text{el límit doble no existeix quan }\alpha>\frac32.}

Tampoc no pot ser un límit infinit, perquè la trajectòria $y=0$ ho impedeix.

e) Continuïtat en tot el pla

Fora de l'origen, la continuïtat està garantida per a qualsevol $\alpha$ .

A l'origen, necessitem que existeixi el límit i que coincideixi amb $c$ . Segons els apartats anteriors, això passa exactament quan

\alpha<\frac32 \qquad\text{i}\qquad c=0.

En conseqüència,

\boxed{ T_{\alpha,c}\text{ és contínua en }\mathbb R^2 \iff \alpha<\frac32=1{,}50\ \text{i}\ c=0. }

Aquest exercici mostra per què els reiterats no decideixen el límit doble: aquí sempre valen zero, però el límit doble només existeix per a una part dels valors del paràmetre.

Límits i continuïtat en diverses variables

1.1. Com trobar el domini

Exemple 1. Logaritme

Exemple 2. Arrel quadrada

Exemple 3. Quocient

Exemple 4. Diverses restriccions simultànies

2.1. Traces: tallar la superfície amb plans

2.2. Corbes de nivell: punts amb la mateixa sortida

3.1. Disc obert i disc tancat

3.2. Punt interior

3.3. Punt de frontera

4.1. Definició ε\varepsilonε-δ\deltaδ

Exemple resolt amb la definició

5.1. Què pots concloure

5.2. Exemple: totes les rectes donen zero, però el límit no existeix

Per les rectes y=mxy=mxy=mx

Per la paràbola y=x2y=x^2y=x2

Per la corba y=x3y=x^3y=x3

Exemple: reiterats iguals sense límit doble

Què permet concloure cada resultat

7.1. Criteri de la funció majorant

7.2. Coordenades polars

Exemple resolt amb polars i una majorant

Per què el factor rrr no sempre és suficient

Si el punt no és l'origen

8.1. Continuïtat de les expressions habituals

9.1. Triar el valor en un punt per obtenir continuïtat

9.2. Quan cap valor no pot arreglar el problema

9.3. Quan els trossos s'uneixen en una línia

1Domini i imatge: logaritme, arrel i quocient

a) Dominis

b) Imatges

2Rectes, corbes i límits reiterats

a) Límits per rectes

b) Límits per corbes

c) Límits reiterats

d) Límit doble

3Tipus examen universitari: un paràmetre canvia el límit

a) Definició i continuïtat fora de l'origen

b) Límits reiterats

e) Continuïtat en tot el pla

4.1. Definició $\varepsilon$ - $\delta$

Per les rectes $y=mx$

Per la paràbola $y=x^2$

Per la corba $y=x^3$

Per què el factor $r$ no sempre és suficient