Física · 2.º de Bachillerato · PAU

Campo gravitatorio: intensidad g y superposición

Qué es el campo gravitatorio, cómo cambia con la altura y cómo se suman los campos de varias masas, en una recta y en el plano. Lee y juega con cada figura.

11 min de lectura
4 figuras interactivas
3 ejercicios resueltos

¡lee y juega!

Antes de empezar…

¿Dónde se anula la gravedad?

En julio de 1969, el Apolo 11 salió hacia la Luna. Tras unos minutos de motores, la nave hizo casi todo el viaje sin propulsión: solo tiraban de ella la Tierra y la Luna.

La Tierra la frenaba y la Luna la atraía hacia delante. En algún punto los dos campos son iguales y opuestos, y el campo total es cero. No está a mitad de camino, sino mucho más cerca de la Luna. ¿Por qué?

Mueve la nave y busca ese punto. Las flechas muestran el campo de cada cuerpo y el total.

Míralo en 40 segundos

Ahora pruébalo tú:

Modelo simplificado: la Tierra y la Luna quietas, en línea recta, y tamaños no a escala. Las flechas crecen con el logaritmo del campo para que se vean todas.

Qué necesitas saber antes

Todo en unidades SI: masas en kg, distancias en m y fuerzas en N. Por ejemplo, $2,50\ \text{km}=2,50\cdot10^3\ \text{m}$ .
Notación científica y cuadrados: $(3,00\cdot10^6)^2=9,00\cdot10^{12}$ . Eleva al cuadrado todo el denominador, no solo el número.
Vectores: tienen módulo, dirección y sentido. En una recta, fija un sentido positivo; en el plano, trabaja con componentes $x,y$ .
Segunda ley de Newton: $\sum\vec F=m\vec a$ . Se pone la fuerza resultante, no una fuerza cualquiera.
Ley de gravitación universal: dos masas se atraen con una fuerza de módulo $F_g=GMm/r^2$ .
Constante gravitatoria: $G=6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$ .

Cómo presentar los cálculos: ley o principio utilizado → expresión algebraica → sustitución con unidades → resultado con 3 cifras significativas e interpretación. Conserva 3–4 cifras significativas en los pasos intermedios.

Formulario

A. Campo gravitatorio: fuerza por unidad de masa

\boxed{\vec g=\frac{\vec F_g}{m} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \vec F_g=m\vec g}

Letras y unidades: $\vec g$ , campo gravitatorio, en N/kg; $\vec F_g$ , fuerza gravitatoria, en N; $m$ , masa del cuerpo que recibe la fuerza, en kg.
Cuándo se utiliza: para pasar de campo a fuerza, o de fuerza a campo. La fuerza tiene la misma dirección y el mismo sentido que el campo.
Cuándo NO: no dividas una fuerza no gravitatoria entre la masa para obtener el campo gravitatorio.
Error típico: pensar que el campo depende de la masa del cuerpo que colocas en él. El campo lo determinan las masas que lo crean.

Las unidades son equivalentes: $1\ \text{N/kg}=1\ \text{m/s}^2$ .

B. Campo creado por una masa puntual o un cuerpo esférico

\boxed{\begin{aligned} F_g&=\frac{GMm}{r^2}=mg,\\ g&=\frac{GM}{r^2},\\ \vec g&=-\frac{GM}{r^2}\,\hat r \end{aligned}}

Letras y unidades: $M$ , masa que crea el campo, en kg; $m$ , masa que recibe la fuerza, en kg; $r$ , distancia al centro de $M$ , en m; $g$ , módulo del campo, en N/kg; $\hat r$ , vector unitario que apunta desde el centro hacia el punto, sin unidades.
Cuándo se utiliza: para una masa puntual o en el exterior de un cuerpo con distribución esférica de masa, incluida la superficie.
Cuándo NO: en el interior de un cuerpo extenso no puedes poner, sin más, toda la masa $M$ .
Error típico: confundir dirección y sentido. El campo tiene dirección radial y apunta hacia la masa; el signo menos de la forma vectorial expresa esto.

Para justificarla: escribe la ley de gravitación universal, iguala $GMm/r^2=mg$ y simplifica $m$ .

C. Superficie y altura

\boxed{\begin{aligned} r&=R+h,\\ g_0&=\frac{GM}{R^2},\\ g(h)&=\frac{GM}{(R+h)^2},\\ \frac{g(h)}{g_0}&=\left(\frac{R}{R+h}\right)^2 \end{aligned}}

Letras y unidades: $R$ , radio del cuerpo, en m; $h$ , altura sobre la superficie, en m; $r$ , distancia al centro, en m; $g_0$ y $g(h)$ , campos en la superficie y a la altura $h$ , en N/kg; $M$ , en kg.
Cuándo se utiliza: para calcular o comparar campos a diferentes alturas del mismo cuerpo.
Cuándo NO: no utilices la misma $M$ si comparas cuerpos diferentes.
Error típico: poner $h^2$ en el denominador. La distancia que necesita la ley es $R+h$ .

Comprobación rápida: si la distancia al centro se duplica, el campo pasa a ser la cuarta parte.

D. Hallar la distancia y la altura a partir del campo

\boxed{\begin{aligned} g&=\frac{GM}{r^2}\\ \Longrightarrow\quad r&=\sqrt{\frac{GM}{g}}\\ h&=r-R \end{aligned}}

Letras y unidades: $r,R,h$ , en m; $M$ , en kg; $g$ , en N/kg.
Cuándo se utiliza: cuando conoces el campo y te piden dónde se produce, en el exterior de un cuerpo esférico.
Cuándo NO: si sale $r<R$ , el resultado es interior y esta fórmula con toda la masa no es aplicable.
Error típico: dar $r$ cuando te piden $h$ . La distancia al centro no es la altura.

E. Peso y aceleración

\boxed{\vec P=m\vec g,\qquad P=mg}

Si solo actúa la gravedad, la segunda ley de Newton da:

\boxed{m\vec g=m\vec a\quad\Longrightarrow\quad\vec a=\vec g}

Letras y unidades: $\vec P$ , peso, en N; $m$ , masa, en kg; $\vec g$ , campo, en N/kg; $\vec a$ , aceleración, en m/s².
Cuándo se utiliza: $P=mg$ calcula el peso con el campo del lugar. Para identificar aceleración y campo, hay que aplicar la segunda ley de Newton e indicar que «solo actúa la gravedad».
Cuándo NO: si también hay una fuerza de apoyo, tensión o rozamiento, no puedes afirmar directamente que $\vec a=\vec g$ .
Error típico: confundir masa y peso. La masa no cambia cuando subes; el peso sí, porque cambia $g$ .

F. Si te dan el diámetro y la densidad de un cuerpo esférico

\boxed{\begin{aligned} R&=\frac D2\\ M&=\rho V\\ &=\rho\,\frac43\pi R^3 \end{aligned}}

Letras y unidades: $D$ , diámetro, y $R$ , radio, en m; $\rho$ , densidad media, en kg/m³; $V$ , volumen, en m³; $M$ , masa, en kg.
Cuándo se utiliza: para obtener la masa antes de calcular el campo.
Cuándo NO: no utilices el volumen de una esfera si la forma no es esférica.
Error típico: poner el diámetro en lugar del radio.

G. Superposición en una recta y en el plano

\boxed{\begin{aligned} \vec g_{\mathrm{res}}&=\sum_i\vec g_i\\ g_x&=\sum_i g_{ix}\\ g_y&=\sum_i g_{iy} \end{aligned}}

Letras y unidades: $\vec g_i$ , campo creado por cada masa; $\vec g_{\mathrm{res}}$ , campo resultante; $g_{ix},g_{iy}$ , componentes de cada campo; $g_x,g_y$ , componentes resultantes. Todos en N/kg.
Cuándo se utiliza: siempre que hay dos o más masas creando campo.
Cuándo NO: no sumes directamente los módulos, salvo que todos los campos tengan la misma dirección y sentido.
Error típico: poner todos los campos positivos porque la gravedad es atractiva. El signo depende del sentido respecto de los ejes que has elegido.

En una recta: dibuja las flechas y suma con signos.
En el plano: calcula componentes y suma las $x$ y las $y$ por separado.

H. Componentes, módulo y orientación en el plano

\boxed{\begin{aligned} r_i&=\sqrt{(\Delta x_i)^2+(\Delta y_i)^2},\\ g_{ix}&=g_i\frac{\Delta x_i}{r_i},\\ g_{iy}&=g_i\frac{\Delta y_i}{r_i},\\ g_{\mathrm{res}}&=\sqrt{g_x^2+g_y^2},\\ \tan\theta&=\frac{g_y}{g_x}\quad(g_x\ne0) \end{aligned}}

Letras y unidades: $\Delta x_i,\Delta y_i$ , desplazamientos desde el punto donde calculas el campo hacia la masa, en m; $r_i$ , distancia a esa masa, en m; campos y componentes, en N/kg; $\theta$ , ángulo respecto del eje $+x$ , expresado aquí en grados.
Cuándo se utiliza: para obtener las componentes con signo y, después, el módulo y la orientación del resultado.

Si $g_x=0$ y $g_y\ne0$ , el campo es vertical: $90^\circ$ si apunta hacia arriba y $270^\circ$ si apunta hacia abajo. Si ambas componentes son nulas, el vector nulo no tiene dirección ni sentido definidos.

Cuándo NO: no aceptes automáticamente el ángulo que da $\arctan(g_y/g_x)$ : hay que comprobar el cuadrante.
Error típico: calcular bien el módulo, pero no indicar hacia dónde apunta el campo.

I. Punto de campo nulo entre dos masas positivas

Sitúa $M_1$ en $x=0$ y $M_2$ en $x=d$ . Entre las masas, $0<x<d$ , imponemos campos iguales en módulo y opuestos en sentido:

\boxed{\begin{aligned} \frac{GM_1}{x^2}&=\frac{GM_2}{(d-x)^2},\\ x&=\frac{d}{1+\sqrt{M_2/M_1}} \end{aligned}}

Letras y unidades: $M_1,M_2$ , en kg; $d$ , separación entre masas, en m; $x$ , distancia del punto nulo a $M_1$ , en m.
Cuándo se utiliza: para dos masas puntuales, o si el punto es exterior a ambos cuerpos esféricos.
Cuándo NO: no es una fórmula general para tres masas.
Error típico: igualar módulos sin comprobar los sentidos. Entre las masas, los campos se oponen; fuera, apuntan en el mismo sentido y no se pueden anular.

Si las masas son diferentes, el punto nulo está más cerca de la masa pequeña; si son iguales, está en el punto medio. Si al resolver aparece otra raíz fuera del intervalo, se debe descartar: no corresponde a campos opuestos.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Campo en la superficie, peso y altura

Un cuerpo con distribución de masa esféricamente simétrica tiene radio $R=2,00\cdot10^6\ \text{m}$ y densidad media $\rho=3,00\cdot10^3\ \text{kg/m}^3$ . Considera un objeto de masa $m=60,0\ \text{kg}$ .

Buscamos: el campo y el peso en la superficie y a $h=1,00\cdot10^6\ \text{m}$ , y la altura donde el campo vale $0,500\ \text{N/kg}$ .

Paso 1. Obtenemos la masa del cuerpo esférico

\begin{aligned} M&=\rho\frac43\pi R^3\\ &=\left(3,00\cdot10^3\ \frac{\text{kg}}{\text{m}^3}\right) \frac43\pi(2,00\cdot10^6\ \text{m})^3\\ &=1,005\cdot10^{23}\ \text{kg}. \end{aligned}

Paso 2. Deducimos y calculamos el campo superficial

Por la ley de gravitación universal y la definición de campo:

\begin{aligned} F_g&=\frac{GMm}{R^2}\\ &=mg_0\\ \Longrightarrow\quad g_0&=\frac{GM}{R^2}. \end{aligned}

\begin{aligned} g_0&=\frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2) (1,005\cdot10^{23}\ \text{kg}) }{ (2,00\cdot10^6\ \text{m})^2 }\\ &=\boxed{1,68\ \text{N/kg}}. \end{aligned}

El campo apunta radialmente hacia el centro.

Paso 3. Calculamos el campo a la altura indicada

Primero, la distancia al centro:

\begin{aligned} r&=R+h\\ &=2,00\cdot10^6\ \text{m}+1,00\cdot10^6\ \text{m}\\ &=3,00\cdot10^6\ \text{m}. \end{aligned}

\begin{aligned} g(h)&=\frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2) (1,005\cdot10^{23}\ \text{kg}) }{ (3,00\cdot10^6\ \text{m})^2 }\\ &=\boxed{0,745\ \text{N/kg}}. \end{aligned}

Paso 4. Calculamos los pesos

Utilizamos los campos calculados con la masa sin redondear; escribimos los valores intermedios con cuatro cifras significativas:

\begin{aligned} P_0&=mg_0\\ &=(60,0\ \text{kg})(1,676\ \text{N/kg})\\ &=\boxed{101\ \text{N}}. \end{aligned}

\begin{aligned} P_h&=mg(h)\\ &=(60,0\ \text{kg})(0,7450\ \text{N/kg})\\ &=\boxed{44,7\ \text{N}}. \end{aligned}

Si dejamos el objeto libre y solo actúa la gravedad, la segunda ley de Newton da:

m\vec g=m\vec a\quad\Longrightarrow\quad\vec a=\vec g.

A esa altura, la aceleración sería $0,745\ \text{m/s}^2$ , hacia el centro.

Paso 5. Hallamos la altura donde $g=0,500\ \text{N/kg}$

g=\frac{GM}{r^2} \quad\Longrightarrow\quad r=\sqrt{\frac{GM}{g}}.

\begin{aligned} r&=\sqrt{ \frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2) (1,005\cdot10^{23}\ \text{kg}) }{ 0,500\ \text{N/kg} }}\\ &=3,662\cdot10^6\ \text{m}. \end{aligned}

\begin{aligned} h&=r-R\\ &=3,662\cdot10^6\ \text{m}-2,00\cdot10^6\ \text{m}\\ &=\boxed{1,66\cdot10^6\ \text{m}}. \end{aligned}

Comprobación: al subir, el campo y el peso disminuyen, pero la masa sigue siendo $60,0\ \text{kg}$ . Para tener un campo inferior a $0,745\ \text{N/kg}$ , hace falta una altura superior a $1,00\cdot10^6\ \text{m}$ , como hemos obtenido.

Trampa: el resultado pedido era $h$ , no $r$ .

Ejemplo 2. Campos en una recta y punto de campo nulo

Dos masas puntuales están situadas sobre el eje $x$ :

$M_1=9,00\cdot10^{12}\ \text{kg}$ , en $x=0$ .
$M_2=1,00\cdot10^{12}\ \text{kg}$ , en $x=4,00\cdot10^3\ \text{m}$ .

Buscamos: el campo en $x=1,00\cdot10^3\ \text{m}$ y el punto donde el campo total es nulo.

Paso 1. Dibujamos los sentidos

Tomamos positivo hacia la derecha:

M₁ ●────── P ──────────────────● M₂
          ← g₁      g₂ →

En $P$ , el campo de $M_1$ es negativo y el de $M_2$ es positivo.

Las distancias son:

\begin{aligned} r_1&=1,00\cdot10^3\ \text{m}\\ r_2&=4,00\cdot10^3\ \text{m}-1,00\cdot10^3\ \text{m}\\ &=3,00\cdot10^3\ \text{m}. \end{aligned}

Paso 2. Calculamos cada campo

Por la ley de gravitación universal y la definición de campo, $g_i=GM_i/r_i^2$ :

\begin{aligned} g_{1x}&=- \frac{(6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2)(9,00\cdot10^{12}\ \text{kg})} {(1,00\cdot10^3\ \text{m})^2}\\ &=-6,003\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}. \end{aligned}

\begin{aligned} g_{2x}&=+ \frac{(6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2)(1,00\cdot10^{12}\ \text{kg})} {(3,00\cdot10^3\ \text{m})^2}\\ &=+7,411\cdot10^{-6}\ \text{N/kg}. \end{aligned}

Paso 3. Aplicamos el principio de superposición

\begin{aligned} g_x&=g_{1x}+g_{2x}\\ &=-6,003\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}+7,411\cdot10^{-6}\ \text{N/kg}\\ &=\boxed{-5,93\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}}. \end{aligned}

Por tanto:

Módulo: $5,93\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}$ .
Dirección: el eje $x$ .
Sentido: hacia la izquierda.

Paso 4. Hallamos el punto nulo

Entre las masas, los campos se oponen. Para que la suma sea nula, los módulos deben ser iguales:

\frac{GM_1}{x^2}=\frac{GM_2}{(d-x)^2}.

Simplificamos $G$ . Como $0<x<d$ , las dos distancias son positivas:

\frac{d-x}{x}=\sqrt{\frac{M_2}{M_1}} \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{d}{1+\sqrt{M_2/M_1}}.

x= \frac{4,00\cdot10^3\ \text{m}} {1+\sqrt{\dfrac{1,00\cdot10^{12}\ \text{kg}} {9,00\cdot10^{12}\ \text{kg}}}} =\boxed{3,00\cdot10^3\ \text{m}}.

Comprobación: está entre las masas y queda a $1,00\cdot10^3\ \text{m}$ de la masa pequeña. La masa grande es nueve veces mayor y queda tres veces más lejos: el factor $3^2=9$ compensa la diferencia de masas.

Trampa: si mantienes las dos raíces al resolver la ecuación cuadrática, también sale $x=6,00\cdot10^3\ \text{m}$ . No es un punto de campo nulo: allí ambos campos apuntan hacia la izquierda.

Ejemplo 3. Superposición en el plano: componentes y ángulo

Calculamos el campo en el origen $O=(0,0)$ , creado por dos masas puntuales:

$M_1=2,50\cdot10^{13}\ \text{kg}$ , en $(3,00\cdot10^3,\ 4,00\cdot10^3)\ \text{m}$ .
$M_2=5,00\cdot10^{13}\ \text{kg}$ , en $(-3,00\cdot10^3,\ 4,00\cdot10^3)\ \text{m}$ .

Buscamos: las componentes, el módulo, la dirección y el sentido del campo resultante.

Paso 1. Distancias y sentidos

Las dos masas están a la misma distancia del origen:

\begin{aligned} r_1&=r_2\\ &=\sqrt{(3,00\cdot10^3\ \text{m})^2+ (4,00\cdot10^3\ \text{m})^2}\\ &=5,00\cdot10^3\ \text{m}. \end{aligned}

El campo de $M_1$ apunta hacia arriba y a la derecha; el de $M_2$ , hacia arriba y a la izquierda.

Paso 2. Módulos de los campos individuales

\begin{aligned} g_1&=\frac{(6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2)(2,50\cdot10^{13}\ \text{kg})} {(5,00\cdot10^3\ \text{m})^2}\\ &=6,670\cdot10^{-5}\ \text{N/kg}. \end{aligned}

\begin{aligned} g_2&=\frac{(6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2)(5,00\cdot10^{13}\ \text{kg})} {(5,00\cdot10^3\ \text{m})^2}\\ &=1,334\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}. \end{aligned}

Paso 3. Componentes con signo

Los factores geométricos son $3/5$ para las componentes horizontales y $4/5$ para las verticales:

g_{1x}=(6,670\cdot10^{-5}\ \text{N/kg})\frac35 =+4,002\cdot10^{-5}\ \text{N/kg},

g_{1y}=(6,670\cdot10^{-5}\ \text{N/kg})\frac45 =+5,336\cdot10^{-5}\ \text{N/kg},

g_{2x}=-(1,334\cdot10^{-4}\ \text{N/kg})\frac35 =-8,004\cdot10^{-5}\ \text{N/kg},

g_{2y}=(1,334\cdot10^{-4}\ \text{N/kg})\frac45 =+1,067\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}.

Paso 4. Sumamos por componentes

Por el principio de superposición:

g_x=4,002\cdot10^{-5}\ \text{N/kg}-8,004\cdot10^{-5}\ \text{N/kg} =-4,002\cdot10^{-5}\ \text{N/kg},

g_y=5,336\cdot10^{-5}\ \text{N/kg}+1,067\cdot10^{-4}\ \text{N/kg} =1,601\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}.

Por tanto,

\boxed{ \vec g_{\mathrm{res}} =\left(-4,00\cdot10^{-5}\,\hat{\imath} +1,60\cdot10^{-4}\,\hat{\jmath}\right)\ \text{N/kg} }

Paso 5. Módulo y orientación

\begin{aligned} g_{\mathrm{res}}&=\sqrt{(-4,002\cdot10^{-5}\ \text{N/kg})^2+(1,601\cdot10^{-4}\ \text{N/kg})^2}\\ &=\boxed{1,65\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}}. \end{aligned}

Como $g_x<0$ y $g_y>0$ , el vector está en el segundo cuadrante. El ángulo respecto de $+x$ , en sentido antihorario, es:

\theta= 180^\circ- \arctan\left( \frac{1,601\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}}{4,002\cdot10^{-5}\ \text{N/kg}} \right) =\boxed{104^\circ}.

Resultado: el campo tiene módulo $1,65\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}$ y apunta hacia arriba y hacia la izquierda, con una orientación de $104^\circ$ respecto de $+x$ .

Comprobación: las componentes verticales se suman; las horizontales se oponen y domina la de la masa mayor, situada a la izquierda. El sentido obtenido concuerda con las posiciones de las masas.

Trampa: sumar $g_1+g_2$ como si fueran números positivos daría un módulo incorrecto: los dos campos no son paralelos.

Practica

Ponte a prueba

Tres ejercicios resueltos paso a paso, de menor a mayor dificultad. Inténtalos antes de abrir la solución.

Básico

1Superficie y altura: no confundas $h$ con $r$

Un planeta ficticio tiene masa $M=7,20\cdot10^{23}\ \text{kg}$ y radio $R=3,60\cdot10^6\ \text{m}$ . Situamos en él un equipo de masa $24,0\ \text{kg}$ .

a
Calcula el campo gravitatorio en la superficie y el peso del equipo.

b
Calcula el campo y el peso a una altura de $900\ \text{km}$ .

c
Calcula el cociente $g(h)/g_0$ . ¿Qué porcentaje del peso superficial conserva el equipo a esta altura?

Muestra la solución

a
En la superficie:

\begin{aligned} g_0&=\frac{GM}{R^2}\\ &=\frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2) (7,20\cdot10^{23}\ \text{kg}) }{ (3,60\cdot10^6\ \text{m})^2 }\\ &=\boxed{3,71\ \text{N/kg}}. \end{aligned}

El peso es:

\begin{aligned} P_0&=mg_0\\ &=(24,0\ \text{kg})(3,706\ \text{N/kg})\\ &=\boxed{88,9\ \text{N}}. \end{aligned}

Campo y peso son radiales, hacia el centro.

b
Convertimos la altura y calculamos la distancia al centro:

h=900\ \text{km}\cdot\frac{1000\ \text{m}}{1\ \text{km}} =9,00\cdot10^5\ \text{m},

\begin{aligned} r&=R+h\\ &=3,60\cdot10^6\ \text{m}+9,00\cdot10^5\ \text{m}\\ &=4,50\cdot10^6\ \text{m}. \end{aligned}

\begin{aligned} g(h)&=\frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2) (7,20\cdot10^{23}\ \text{kg}) }{ (4,50\cdot10^6\ \text{m})^2 }\\ &=\boxed{2,37\ \text{N/kg}}. \end{aligned}

\begin{aligned} P_h&=mg(h)\\ &=(24,0\ \text{kg})(2,372\ \text{N/kg})\\ &=\boxed{56,9\ \text{N}}. \end{aligned}

\begin{aligned} \frac{g(h)}{g_0}&=\left(\frac{R}{R+h}\right)^2\\ &=\left(\frac{3,60\cdot10^6\ \text{m}} {4,50\cdot10^6\ \text{m}}\right)^2\\ &=\boxed{0,640}. \end{aligned}

Como la masa no cambia:

\frac{P_h}{P_0}=\frac{g(h)}{g_0}=0,640.

El porcentaje de peso conservado es:

0,640\cdot100\,\%=\boxed{64,0\,\%}.

Comprobación: al subir disminuyen el campo y el peso, pero no la masa.

Intermedio

2Superposición en el plano

Dos masas están situadas en estos puntos, con coordenadas expresadas en metros:

$M_1=750\ \text{kg}$ , en $A=(3,00;\ 4,00)$ .
$M_2=900\ \text{kg}$ , en $B=(-3,00;\ 0)$ .

a
Dibuja la situación y los dos vectores campo que crean en el origen $O$ .

b
Calcula la distancia de cada masa a $O$ , el módulo de cada campo y sus componentes.

c
Calcula las componentes del campo resultante, el módulo y el ángulo respecto del eje $+x$ , medido en sentido antihorario.

d
Calcula el vector fuerza y su módulo sobre un cuerpo de $80,0\ \text{g}$ situado en $O$ .

Muestra la solución

a
Esquema modelo, no a escala:

                 y
                 ↑
                 │          ● A(3,4), M₁
                 │        ↗
                 │      g₁
B(-3,0), M₂ ●─────O────────────────→ x
              ← g₂

b
Distancia de $M_1$ al origen:

r_1=\sqrt{(3,00\ \text{m})^2+(4,00\ \text{m})^2} =5,00\ \text{m}.

Distancia de $M_2$ al origen:

r_2=|-3,00\ \text{m}|=3,00\ \text{m}.

Módulos:

\begin{aligned} g_1&=\frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2)(750\ \text{kg}) }{(5,00\ \text{m})^2}\\ &=2,001\cdot10^{-9}\ \text{N/kg} \end{aligned}

\begin{aligned} g_2&=\frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2)(900\ \text{kg}) }{(3,00\ \text{m})^2}\\ &=6,670\cdot10^{-9}\ \text{N/kg}. \end{aligned}

Componentes del primer campo:

\begin{aligned} g_{1x}&=g_1\frac{\Delta x_1}{r_1}\\ &=(2,001\cdot10^{-9}\ \text{N/kg}) \frac{3,00\ \text{m}}{5,00\ \text{m}}\\ &=1,201\cdot10^{-9}\ \text{N/kg} \end{aligned}

\begin{aligned} g_{1y}&=g_1\frac{\Delta y_1}{r_1}\\ &=(2,001\cdot10^{-9}\ \text{N/kg}) \frac{4,00\ \text{m}}{5,00\ \text{m}}\\ &=1,601\cdot10^{-9}\ \text{N/kg}. \end{aligned}

El segundo campo apunta solo hacia la izquierda:

g_{2x}=-6,670\cdot10^{-9}\ \text{N/kg}, \qquad g_{2y}=0\ \text{N/kg}.

c
Por el principio de superposición:

\begin{aligned} g_x&=g_{1x}+g_{2x}\\ &=1,201\cdot10^{-9}\ \text{N/kg}-6,670\cdot10^{-9}\ \text{N/kg}\\ &=-5,469\cdot10^{-9}\ \text{N/kg} \end{aligned}

\begin{aligned} g_y&=g_{1y}+g_{2y}\\ &=1,601\cdot10^{-9}\ \text{N/kg}+0\ \text{N/kg}\\ &=1,601\cdot10^{-9}\ \text{N/kg}. \end{aligned}

Por tanto:

\boxed{ \vec g= (-5,47\,\hat{\imath}+1,60\,\hat{\jmath}) \cdot10^{-9}\ \text{N/kg} }

El módulo es:

\begin{aligned} g&=\sqrt{g_x^2+g_y^2}\\ &=\sqrt{(-5,469\cdot10^{-9}\ \text{N/kg})^2+(1,601\cdot10^{-9}\ \text{N/kg})^2}\\ &=\boxed{5,70\cdot10^{-9}\ \text{N/kg}}. \end{aligned}

El vector está en el segundo cuadrante:

\theta= 180^\circ-\arctan\left( \frac{1,601\cdot10^{-9}\ \text{N/kg}} {5,469\cdot10^{-9}\ \text{N/kg}} \right) =\boxed{164^\circ}.

Apunta hacia la izquierda y hacia arriba.

d
Convertimos la masa:

m=80,0\ \text{g}\cdot\frac{1\ \text{kg}}{1000\ \text{g}} =0,0800\ \text{kg}.

\begin{aligned} F_x&=mg_x\\ &=(0,0800\ \text{kg})(-5,469\cdot10^{-9}\ \text{N/kg})\\ &=-4,38\cdot10^{-10}\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} F_y&=mg_y\\ &=(0,0800\ \text{kg})(1,601\cdot10^{-9}\ \text{N/kg})\\ &=1,28\cdot10^{-10}\ \text{N}. \end{aligned}

\boxed{ \vec F= (-4,38\,\hat{\imath}+1,28\,\hat{\jmath}) \cdot10^{-10}\ \text{N} }

\begin{aligned} F&=mg\\ &=(0,0800\ \text{kg})(5,699\cdot10^{-9}\ \text{N/kg})\\ &=\boxed{4,56\cdot10^{-10}\ \text{N}}. \end{aligned}

Tiene la misma dirección y el mismo sentido que el campo.

Comprobación: el campo de $M_2$ es más intenso que el de $M_1$ ; por eso el resultado apunta principalmente hacia la izquierda.

Trampa: la arcotangente del cociente $g_y/g_x$ puede dar un ángulo negativo que no es la orientación pedida entre $0^\circ$ y $360^\circ$ .

Tipo PAU

3Tipo PAU — Un punto donde el campo se anula

Dos masas puntuales están fijas sobre el eje $x$ :

$M_1=1,60\cdot10^{15}\ \text{kg}$ , en $x=0$ .
$M_2=4,00\cdot10^{14}\ \text{kg}$ , en $x=1,80\cdot10^4\ \text{m}$ .

a) [1,25 puntos]

Calcula el campo resultante en el punto de coordenada

x=6,00\cdot10^3\ \text{m}

, con su módulo, dirección y sentido. Calcula también la fuerza sobre una masa de prueba de

12,0\ \text{kg}

situada en este punto.

b) [1,25 puntos]

Deduce y calcula la posición del punto de campo nulo. Si al resolver la igualdad de módulos aparecen dos raíces algebraicas, calcúlalas y justifica cuál es válida. Explica también por qué el campo no se puede anular en el exterior del segmento entre las masas.

Muestra la solución

a
Tomamos $+x$ hacia la derecha. Las distancias desde el punto a las masas son:

r_1=6,00\cdot10^3\ \text{m},

r_2=1,80\cdot10^4\ \text{m}-6,00\cdot10^3\ \text{m} =1,20\cdot10^4\ \text{m}.

El primer campo apunta hacia la izquierda y el segundo hacia la derecha:

\begin{aligned} g_{1x}&=-\frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2) (1,60\cdot10^{15}\ \text{kg}) }{ (6,00\cdot10^3\ \text{m})^2 }\\ &=-2,964\cdot10^{-3}\ \text{N/kg} \end{aligned}

\begin{aligned} g_{2x}&=+\frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2) (4,00\cdot10^{14}\ \text{kg}) }{ (1,20\cdot10^4\ \text{m})^2 }\\ &=+1,853\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}. \end{aligned}

Por el principio de superposición:

\begin{aligned} g_x&=g_{1x}+g_{2x}\\ &=-2,964\cdot10^{-3}\ \text{N/kg}+1,853\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}\\ &=\boxed{-2,78\cdot10^{-3}\ \text{N/kg}}. \end{aligned}

El módulo es $2,78\cdot10^{-3}\ \text{N/kg}$ , la dirección es el eje $x$ y el sentido es hacia la izquierda.

La fuerza es:

\begin{aligned} F_x&=mg_x\\ &=(12,0\ \text{kg})(-2,779\cdot10^{-3}\ \text{N/kg})\\ &=\boxed{-3,34\cdot10^{-2}\ \text{N}}. \end{aligned}

También apunta hacia la izquierda.

b
Entre las masas, los campos se oponen. Si $x$ es la distancia a $M_1$ y $d$ la separación, la condición de campo nulo es:

\frac{GM_1}{x^2}=\frac{GM_2}{(d-x)^2}.

Esta igualdad también se puede obtener igualando las fuerzas sobre una misma masa de prueba:

\frac{GmM_1}{x^2}=\frac{GmM_2}{(d-x)^2}.

Simplificando y reorganizando:

\left(\frac{d-x}{x}\right)^2=\frac{M_2}{M_1}.

Si mantenemos las dos raíces algebraicas:

\frac{d-x}{x}=\pm\sqrt{\frac{M_2}{M_1}} \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{d}{1\pm\sqrt{M_2/M_1}}.

El factor de masas vale:

\sqrt{\frac{M_2}{M_1}} = \sqrt{\frac{4,00\cdot10^{14}\ \text{kg}} {1,60\cdot10^{15}\ \text{kg}}} =0,500.

Las dos raíces son:

x_+= \frac{1,80\cdot10^4\ \text{m}}{1+0,500} =\boxed{1,20\cdot10^4\ \text{m}},

x_-= \frac{1,80\cdot10^4\ \text{m}}{1-0,500} =\boxed{3,60\cdot10^4\ \text{m}}.

La válida es $x=1,20\cdot10^4\ \text{m}$ , porque está entre las masas y allí los campos tienen sentidos opuestos.

Esquema de sentidos:

Entre las masas:
M₁ ●────────────P────────● M₂
                ← g₁  g₂ →

A la derecha de ambas:
M₁ ●────────────────────● M₂────────● Q
                                    ← g₁
                                    ← g₂

La raíz $x=3,60\cdot10^4\ \text{m}$ está a la derecha de ambas masas. Allí los módulos son iguales, pero los vectores apuntan ambos hacia la izquierda: se suman, no se anulan.

A la izquierda de ambas masas, los dos campos apuntan hacia la derecha. Por tanto, tampoco puede haber campo nulo.

Comprobación: el punto válido está a $1,20\cdot10^4\ \text{m}$ de la masa grande y a $6,00\cdot10^3\ \text{m}$ de la pequeña. La masa grande es cuatro veces mayor y está al doble de distancia: el cuadrado de la distancia compensa la diferencia de masas.

Trampa: una solución de la igualdad de módulos no es necesariamente una solución de la condición vectorial $\vec g_{\mathrm{res}}=\vec 0$ .

Pauta orientativa — 2,5 puntos

Apartado	Paso valorado	Puntos
a)	Distancias y sentidos correctos	0,25
	Expresión, sustitución y valor del primer campo	0,25
	Expresión, sustitución y valor del segundo campo	0,25
	Superposición, resultado e interpretación del vector	0,25
	Expresión, sustitución y resultado de la fuerza	0,25
b)	Igualdad de campos o fuerzas, justificada por los sentidos	0,25
	Simplificación y ecuación de distancias	0,25
	Obtención algebraica de las dos ramas	0,25
	Sustitución y cálculo de las dos raíces	0,25
	Selección de la raíz válida y justificación de la exclusión exterior	0,25

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Campo gravitatorio: intensidad g y superposición

A. Campo gravitatorio: fuerza por unidad de masa

B. Campo creado por una masa puntual o un cuerpo esférico

C. Superficie y altura

D. Hallar la distancia y la altura a partir del campo

E. Peso y aceleración

F. Si te dan el diámetro y la densidad de un cuerpo esférico

G. Superposición en una recta y en el plano

H. Componentes, módulo y orientación en el plano

I. Punto de campo nulo entre dos masas positivas

Ejemplo 1. Campo en la superficie, peso y altura

Paso 1. Obtenemos la masa del cuerpo esférico

Paso 2. Deducimos y calculamos el campo superficial

Paso 3. Calculamos el campo a la altura indicada

Paso 4. Calculamos los pesos

Paso 5. Hallamos la altura donde g=0,500 N/kgg=0,500\ \text{N/kg}g=0,500 N/kg

Ejemplo 2. Campos en una recta y punto de campo nulo

Paso 1. Dibujamos los sentidos

Paso 2. Calculamos cada campo

Paso 3. Aplicamos el principio de superposición

Paso 4. Hallamos el punto nulo

Ejemplo 3. Superposición en el plano: componentes y ángulo

Paso 1. Distancias y sentidos

Paso 2. Módulos de los campos individuales

Paso 3. Componentes con signo

Paso 4. Sumamos por componentes

Paso 5. Módulo y orientación

1Superficie y altura: no confundas hhh con rrr

2Superposición en el plano

3Tipo PAU — Un punto donde el campo se anula

a) [1,25 puntos]

b) [1,25 puntos]

Paso 5. Hallamos la altura donde $g=0,500\ \text{N/kg}$

1Superficie y altura: no confundas $h$ con $r$