Física · 2n de Batxillerat · PAU

Camp gravitatori: intensitat g i superposició

Què és el camp gravitatori, com canvia amb l’altura i com se sumen els camps de diverses masses, en una recta i en el pla. Llegeix i juga amb cada figura.

11 min de lectura
4 figures interactives
3 exercicis resolts

llegeix i juga!

Abans de començar…

On s’anul·la la gravetat?

El juliol de 1969, l’Apol·lo 11 va sortir cap a la Lluna. Després d’uns minuts de motors, la nau va fer gairebé tot el viatge sense propulsió: només l’estiraven la Terra i la Lluna.

La Terra la frenava i la Lluna l’atreia cap endavant. En algun punt els dos camps són iguals i oposats, i el camp total és zero. No és a mig camí, sinó molt més a prop de la Lluna. Per què?

Mou la nau i busca aquest punt. Les fletxes mostren el camp de cada cos i el total.

Mira-ho en 40 segons

Ara prova-ho tu:

Model simplificat: la Terra i la Lluna quietes, en línia recta, i mides no a escala. Les fletxes creixen amb el logaritme del camp perquè es vegin totes.

Què necessites saber abans

Tot en unitats SI: masses en kg, distàncies en m i forces en N. Per exemple, $2,50\ \text{km}=2,50\cdot10^3\ \text{m}$ .
Notació científica i quadrats: $(3,00\cdot10^6)^2=9,00\cdot10^{12}$ . Eleva al quadrat tot el denominador, no només el nombre.
Vectors: tenen mòdul, direcció i sentit. En una recta, fixa un sentit positiu; en el pla, treballa amb components $x,y$ .
Segona llei de Newton: $\sum\vec F=m\vec a$ . S’hi posa la força resultant, no una força qualsevol.
Llei de gravitació universal: dues masses s’atrauen amb una força de mòdul $F_g=GMm/r^2$ .
Constant gravitatòria: $G=6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$ .

Com presentar els càlculs: llei o principi utilitzat → expressió algebraica → substitució amb unitats → resultat amb 3 xifres significatives i interpretació. Conserva 3–4 xifres significatives als passos intermedis.

Formulari

A. Camp gravitatori: força per unitat de massa

\boxed{\vec g=\frac{\vec F_g}{m} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \vec F_g=m\vec g}

Lletres i unitats: $\vec g$ , camp gravitatori, en N/kg; $\vec F_g$ , força gravitatòria, en N; $m$ , massa del cos que rep la força, en kg.
Quan es fa servir: per passar de camp a força, o de força a camp. La força té la mateixa direcció i el mateix sentit que el camp.
Quan NO: no divideixis una força no gravitatòria per la massa per obtenir el camp gravitatori.
Error típic: pensar que el camp depèn de la massa del cos que hi poses. El camp el determinen les masses que el creen.

Les unitats són equivalents: $1\ \text{N/kg}=1\ \text{m/s}^2$ .

B. Camp creat per una massa puntual o un cos esfèric

\boxed{\begin{aligned} F_g&=\frac{GMm}{r^2}=mg,\\ g&=\frac{GM}{r^2},\\ \vec g&=-\frac{GM}{r^2}\,\hat r \end{aligned}}

Lletres i unitats: $M$ , massa que crea el camp, en kg; $m$ , massa que rep la força, en kg; $r$ , distància al centre de $M$ , en m; $g$ , mòdul del camp, en N/kg; $\hat r$ , vector unitari que apunta del centre cap al punt, sense unitats.
Quan es fa servir: per a una massa puntual o a l’exterior d’un cos amb distribució esfèrica de massa, inclosa la superfície.
Quan NO: a l’interior d’un cos extens no pots posar-hi, sense més, tota la massa $M$ .
Error típic: confondre direcció i sentit. El camp té direcció radial i apunta cap a la massa; el signe menys de la forma vectorial expressa això.

Per justificar-la: escriu la llei de gravitació universal, iguala $GMm/r^2=mg$ i simplifica $m$ .

C. Superfície i altura

\boxed{\begin{aligned} r&=R+h,\\ g_0&=\frac{GM}{R^2},\\ g(h)&=\frac{GM}{(R+h)^2},\\ \frac{g(h)}{g_0}&=\left(\frac{R}{R+h}\right)^2 \end{aligned}}

Lletres i unitats: $R$ , radi del cos, en m; $h$ , altura sobre la superfície, en m; $r$ , distància al centre, en m; $g_0$ i $g(h)$ , camps a la superfície i a l’altura $h$ , en N/kg; $M$ , en kg.
Quan es fa servir: per calcular o comparar camps a diferents altures del mateix cos.
Quan NO: no facis servir la mateixa $M$ si compares cossos diferents.
Error típic: posar $h^2$ al denominador. La distància que necessita la llei és $R+h$ .

Comprovació ràpida: si la distància al centre es duplica, el camp passa a ser la quarta part.

D. Trobar la distància i l’altura a partir del camp

\boxed{\begin{aligned} g&=\frac{GM}{r^2}\\ \Longrightarrow\quad r&=\sqrt{\frac{GM}{g}}\\ h&=r-R \end{aligned}}

Lletres i unitats: $r,R,h$ , en m; $M$ , en kg; $g$ , en N/kg.
Quan es fa servir: quan coneixes el camp i et demanen on es produeix, a l’exterior d’un cos esfèric.
Quan NO: si surt $r<R$ , el resultat és interior i aquesta fórmula amb tota la massa no és aplicable.
Error típic: donar $r$ quan et demanen $h$ . La distància al centre no és l’altura.

E. Pes i acceleració

\boxed{\vec P=m\vec g,\qquad P=mg}

Si només actua la gravetat, la segona llei de Newton dona:

\boxed{m\vec g=m\vec a\quad\Longrightarrow\quad\vec a=\vec g}

Lletres i unitats: $\vec P$ , pes, en N; $m$ , massa, en kg; $\vec g$ , camp, en N/kg; $\vec a$ , acceleració, en m/s².
Quan es fa servir: $P=mg$ calcula el pes amb el camp del lloc. Per identificar acceleració i camp, cal aplicar la segona llei de Newton i indicar que «només actua la gravetat».
Quan NO: si també hi ha una força de suport, tensió o fregament, no pots afirmar directament que $\vec a=\vec g$ .
Error típic: confondre massa i pes. La massa no canvia quan puges; el pes sí, perquè canvia $g$ .

F. Si et donen el diàmetre i la densitat d’un cos esfèric

\boxed{\begin{aligned} R&=\frac D2\\ M&=\rho V\\ &=\rho\,\frac43\pi R^3 \end{aligned}}

Lletres i unitats: $D$ , diàmetre, i $R$ , radi, en m; $\rho$ , densitat mitjana, en kg/m³; $V$ , volum, en m³; $M$ , massa, en kg.
Quan es fa servir: per obtenir la massa abans de calcular el camp.
Quan NO: no facis servir el volum d’una esfera si la forma no és esfèrica.
Error típic: posar el diàmetre en lloc del radi.

G. Superposició en una recta i en el pla

\boxed{\begin{aligned} \vec g_{\mathrm{res}}&=\sum_i\vec g_i\\ g_x&=\sum_i g_{ix}\\ g_y&=\sum_i g_{iy} \end{aligned}}

Lletres i unitats: $\vec g_i$ , camp creat per cada massa; $\vec g_{\mathrm{res}}$ , camp resultant; $g_{ix},g_{iy}$ , components de cada camp; $g_x,g_y$ , components resultants. Tots en N/kg.
Quan es fa servir: sempre que hi ha dues o més masses creant camp.
Quan NO: no sumis directament els mòduls, tret que tots els camps tinguin la mateixa direcció i sentit.
Error típic: posar tots els camps positius perquè la gravetat és atractiva. El signe depèn del sentit respecte dels eixos que has triat.

En una recta: dibuixa les fletxes i suma amb signes.
En el pla: calcula components i suma les $x$ i les $y$ per separat.

H. Components, mòdul i orientació en el pla

\boxed{\begin{aligned} r_i&=\sqrt{(\Delta x_i)^2+(\Delta y_i)^2},\\ g_{ix}&=g_i\frac{\Delta x_i}{r_i},\\ g_{iy}&=g_i\frac{\Delta y_i}{r_i},\\ g_{\mathrm{res}}&=\sqrt{g_x^2+g_y^2},\\ \tan\theta&=\frac{g_y}{g_x}\quad(g_x\ne0) \end{aligned}}

Lletres i unitats: $\Delta x_i,\Delta y_i$ , desplaçaments del punt on calcules el camp cap a la massa, en m; $r_i$ , distància a aquella massa, en m; camps i components, en N/kg; $\theta$ , angle respecte de l’eix $+x$ , expressat aquí en graus.
Quan es fa servir: per obtenir les components amb signe i, després, el mòdul i l’orientació del resultat.

Si $g_x=0$ i $g_y\ne0$ , el camp és vertical: $90^\circ$ si apunta amunt i $270^\circ$ si apunta avall. Si totes dues components són nul·les, el vector nul no té direcció ni sentit definits.

Quan NO: no acceptis automàticament l’angle que dona $\arctan(g_y/g_x)$ : cal comprovar el quadrant.
Error típic: calcular bé el mòdul, però no indicar cap on apunta el camp.

I. Punt de camp nul entre dues masses positives

Situa $M_1$ a $x=0$ i $M_2$ a $x=d$ . Entre les masses, $0<x<d$ , imposem camps iguals en mòdul i oposats en sentit:

\boxed{\begin{aligned} \frac{GM_1}{x^2}&=\frac{GM_2}{(d-x)^2},\\ x&=\frac{d}{1+\sqrt{M_2/M_1}} \end{aligned}}

Lletres i unitats: $M_1,M_2$ , en kg; $d$ , separació entre masses, en m; $x$ , distància del punt nul a $M_1$ , en m.
Quan es fa servir: per a dues masses puntuals, o si el punt és exterior a tots dos cossos esfèrics.
Quan NO: no és una fórmula general per a tres masses.
Error típic: igualar mòduls sense comprovar els sentits. Entre les masses, els camps s’oposen; a fora, apunten en el mateix sentit i no es poden anul·lar.

Si les masses són diferents, el punt nul és més a prop de la massa petita; si són iguals, és al punt mitjà. Si en resoldre apareix una altra arrel fora de l’interval, s’ha de descartar: no correspon a camps oposats.

Exemples resolts

Exemple 1. Camp a la superfície, pes i altura

Un cos amb distribució de massa esfèricament simètrica té radi $R=2,00\cdot10^6\ \text{m}$ i densitat mitjana $\rho=3,00\cdot10^3\ \text{kg/m}^3$ . Considera un objecte de massa $m=60,0\ \text{kg}$ .

Busquem: el camp i el pes a la superfície i a $h=1,00\cdot10^6\ \text{m}$ , i l’altura on el camp val $0,500\ \text{N/kg}$ .

Pas 1. Obtenim la massa del cos esfèric

\begin{aligned} M&=\rho\frac43\pi R^3\\ &=\left(3,00\cdot10^3\ \frac{\text{kg}}{\text{m}^3}\right) \frac43\pi(2,00\cdot10^6\ \text{m})^3\\ &=1,005\cdot10^{23}\ \text{kg}. \end{aligned}

Pas 2. Deduïm i calculem el camp superficial

Per la llei de gravitació universal i la definició de camp:

\begin{aligned} F_g&=\frac{GMm}{R^2}\\ &=mg_0\\ \Longrightarrow\quad g_0&=\frac{GM}{R^2}. \end{aligned}

\begin{aligned} g_0&=\frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2) (1,005\cdot10^{23}\ \text{kg}) }{ (2,00\cdot10^6\ \text{m})^2 }\\ &=\boxed{1,68\ \text{N/kg}}. \end{aligned}

El camp apunta radialment cap al centre.

Pas 3. Calculem el camp a l’altura indicada

Primer, la distància al centre:

\begin{aligned} r&=R+h\\ &=2,00\cdot10^6\ \text{m}+1,00\cdot10^6\ \text{m}\\ &=3,00\cdot10^6\ \text{m}. \end{aligned}

\begin{aligned} g(h)&=\frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2) (1,005\cdot10^{23}\ \text{kg}) }{ (3,00\cdot10^6\ \text{m})^2 }\\ &=\boxed{0,745\ \text{N/kg}}. \end{aligned}

Pas 4. Calculem els pesos

Utilitzem els camps calculats amb la massa sense arrodonir; escrivim els valors intermedis amb quatre xifres significatives:

\begin{aligned} P_0&=mg_0\\ &=(60,0\ \text{kg})(1,676\ \text{N/kg})\\ &=\boxed{101\ \text{N}}. \end{aligned}

\begin{aligned} P_h&=mg(h)\\ &=(60,0\ \text{kg})(0,7450\ \text{N/kg})\\ &=\boxed{44,7\ \text{N}}. \end{aligned}

Si deixem l’objecte lliure i només actua la gravetat, la segona llei de Newton dona:

m\vec g=m\vec a\quad\Longrightarrow\quad\vec a=\vec g.

A aquella altura, l’acceleració seria $0,745\ \text{m/s}^2$ , cap al centre.

Pas 5. Trobem l’altura on $g=0,500\ \text{N/kg}$

g=\frac{GM}{r^2} \quad\Longrightarrow\quad r=\sqrt{\frac{GM}{g}}.

\begin{aligned} r&=\sqrt{ \frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2) (1,005\cdot10^{23}\ \text{kg}) }{ 0,500\ \text{N/kg} }}\\ &=3,662\cdot10^6\ \text{m}. \end{aligned}

\begin{aligned} h&=r-R\\ &=3,662\cdot10^6\ \text{m}-2,00\cdot10^6\ \text{m}\\ &=\boxed{1,66\cdot10^6\ \text{m}}. \end{aligned}

Comprovació: en pujar, el camp i el pes disminueixen, però la massa continua sent $60,0\ \text{kg}$ . Per tenir un camp inferior a $0,745\ \text{N/kg}$ , cal una altura superior a $1,00\cdot10^6\ \text{m}$ , com hem obtingut.

Parany: el resultat demanat era $h$ , no $r$ .

Exemple 2. Camps en una recta i punt de camp nul

Dues masses puntuals estan situades sobre l’eix $x$ :

$M_1=9,00\cdot10^{12}\ \text{kg}$ , a $x=0$ .
$M_2=1,00\cdot10^{12}\ \text{kg}$ , a $x=4,00\cdot10^3\ \text{m}$ .

Busquem: el camp a $x=1,00\cdot10^3\ \text{m}$ i el punt on el camp total és nul.

Pas 1. Dibuixem els sentits

Prenem positiu cap a la dreta:

M₁ ●────── P ──────────────────● M₂
          ← g₁      g₂ →

A $P$ , el camp de $M_1$ és negatiu i el de $M_2$ és positiu.

Les distàncies són:

\begin{aligned} r_1&=1,00\cdot10^3\ \text{m}\\ r_2&=4,00\cdot10^3\ \text{m}-1,00\cdot10^3\ \text{m}\\ &=3,00\cdot10^3\ \text{m}. \end{aligned}

Pas 2. Calculem cada camp

Per la llei de gravitació universal i la definició de camp, $g_i=GM_i/r_i^2$ :

\begin{aligned} g_{1x}&=- \frac{(6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2)(9,00\cdot10^{12}\ \text{kg})} {(1,00\cdot10^3\ \text{m})^2}\\ &=-6,003\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}. \end{aligned}

\begin{aligned} g_{2x}&=+ \frac{(6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2)(1,00\cdot10^{12}\ \text{kg})} {(3,00\cdot10^3\ \text{m})^2}\\ &=+7,411\cdot10^{-6}\ \text{N/kg}. \end{aligned}

Pas 3. Apliquem el principi de superposició

\begin{aligned} g_x&=g_{1x}+g_{2x}\\ &=-6,003\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}+7,411\cdot10^{-6}\ \text{N/kg}\\ &=\boxed{-5,93\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}}. \end{aligned}

Per tant:

Mòdul: $5,93\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}$ .
Direcció: l’eix $x$ .
Sentit: cap a l’esquerra.

Pas 4. Trobem el punt nul

Entre les masses, els camps s’oposen. Perquè la suma sigui nul·la, els mòduls han de ser iguals:

\frac{GM_1}{x^2}=\frac{GM_2}{(d-x)^2}.

Simplifiquem $G$ . Com que $0<x<d$ , les dues distàncies són positives:

\frac{d-x}{x}=\sqrt{\frac{M_2}{M_1}} \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{d}{1+\sqrt{M_2/M_1}}.

x= \frac{4,00\cdot10^3\ \text{m}} {1+\sqrt{\dfrac{1,00\cdot10^{12}\ \text{kg}} {9,00\cdot10^{12}\ \text{kg}}}} =\boxed{3,00\cdot10^3\ \text{m}}.

Comprovació: és entre les masses i queda a $1,00\cdot10^3\ \text{m}$ de la massa petita. La massa gran és nou vegades més gran i queda tres vegades més lluny: el factor $3^2=9$ compensa la diferència de masses.

Parany: si mantens les dues arrels en resoldre l’equació quadràtica, també surt $x=6,00\cdot10^3\ \text{m}$ . No és un punt de camp nul: allà tots dos camps apunten cap a l’esquerra.

Exemple 3. Superposició en el pla: components i angle

Calculem el camp a l’origen $O=(0,0)$ , creat per dues masses puntuals:

$M_1=2,50\cdot10^{13}\ \text{kg}$ , a $(3,00\cdot10^3,\ 4,00\cdot10^3)\ \text{m}$ .
$M_2=5,00\cdot10^{13}\ \text{kg}$ , a $(-3,00\cdot10^3,\ 4,00\cdot10^3)\ \text{m}$ .

Busquem: les components, el mòdul, la direcció i el sentit del camp resultant.

Pas 1. Distàncies i sentits

Les dues masses són a la mateixa distància de l’origen:

\begin{aligned} r_1&=r_2\\ &=\sqrt{(3,00\cdot10^3\ \text{m})^2+ (4,00\cdot10^3\ \text{m})^2}\\ &=5,00\cdot10^3\ \text{m}. \end{aligned}

El camp de $M_1$ apunta amunt i a la dreta; el de $M_2$ , amunt i a l’esquerra.

Pas 2. Mòduls dels camps individuals

\begin{aligned} g_1&=\frac{(6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2)(2,50\cdot10^{13}\ \text{kg})} {(5,00\cdot10^3\ \text{m})^2}\\ &=6,670\cdot10^{-5}\ \text{N/kg}. \end{aligned}

\begin{aligned} g_2&=\frac{(6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2)(5,00\cdot10^{13}\ \text{kg})} {(5,00\cdot10^3\ \text{m})^2}\\ &=1,334\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}. \end{aligned}

Pas 3. Components amb signe

Els factors geomètrics són $3/5$ per a les components horitzontals i $4/5$ per a les verticals:

g_{1x}=(6,670\cdot10^{-5}\ \text{N/kg})\frac35 =+4,002\cdot10^{-5}\ \text{N/kg},

g_{1y}=(6,670\cdot10^{-5}\ \text{N/kg})\frac45 =+5,336\cdot10^{-5}\ \text{N/kg},

g_{2x}=-(1,334\cdot10^{-4}\ \text{N/kg})\frac35 =-8,004\cdot10^{-5}\ \text{N/kg},

g_{2y}=(1,334\cdot10^{-4}\ \text{N/kg})\frac45 =+1,067\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}.

Pas 4. Sumem per components

Pel principi de superposició:

g_x=4,002\cdot10^{-5}\ \text{N/kg}-8,004\cdot10^{-5}\ \text{N/kg} =-4,002\cdot10^{-5}\ \text{N/kg},

g_y=5,336\cdot10^{-5}\ \text{N/kg}+1,067\cdot10^{-4}\ \text{N/kg} =1,601\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}.

Per tant,

\boxed{ \vec g_{\mathrm{res}} =\left(-4,00\cdot10^{-5}\,\hat{\imath} +1,60\cdot10^{-4}\,\hat{\jmath}\right)\ \text{N/kg} }

Pas 5. Mòdul i orientació

\begin{aligned} g_{\mathrm{res}}&=\sqrt{(-4,002\cdot10^{-5}\ \text{N/kg})^2+(1,601\cdot10^{-4}\ \text{N/kg})^2}\\ &=\boxed{1,65\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}}. \end{aligned}

Com que $g_x<0$ i $g_y>0$ , el vector és al segon quadrant. L’angle respecte de $+x$ , en sentit antihorari, és:

\theta= 180^\circ- \arctan\left( \frac{1,601\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}}{4,002\cdot10^{-5}\ \text{N/kg}} \right) =\boxed{104^\circ}.

Resultat: el camp té mòdul $1,65\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}$ i apunta amunt i cap a l’esquerra, amb una orientació de $104^\circ$ respecte de $+x$ .

Comprovació: les components verticals se sumen; les horitzontals s’oposen i domina la de la massa més gran, situada a l’esquerra. El sentit obtingut concorda amb les posicions de les masses.

Parany: sumar $g_1+g_2$ com si fossin nombres positius donaria un mòdul incorrecte: els dos camps no són paral·lels.

Practica

Posa’t a prova

Tres exercicis resolts pas a pas, de menys a més difícils. Intenta’ls abans d’obrir la solució.

Bàsic

1Superfície i altura: no confonguis $h$ amb $r$

Un planeta fictici té massa $M=7,20\cdot10^{23}\ \text{kg}$ i radi $R=3,60\cdot10^6\ \text{m}$ . Hi situem un equip de massa $24,0\ \text{kg}$ .

a
Calcula el camp gravitatori a la superfície i el pes de l’equip.

b
Calcula el camp i el pes a una altura de $900\ \text{km}$ .

c
Calcula el quocient $g(h)/g_0$ . Quin percentatge del pes superficial conserva l’equip a aquesta altura?

Mostra la solució

a
A la superfície:

\begin{aligned} g_0&=\frac{GM}{R^2}\\ &=\frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2) (7,20\cdot10^{23}\ \text{kg}) }{ (3,60\cdot10^6\ \text{m})^2 }\\ &=\boxed{3,71\ \text{N/kg}}. \end{aligned}

El pes és:

\begin{aligned} P_0&=mg_0\\ &=(24,0\ \text{kg})(3,706\ \text{N/kg})\\ &=\boxed{88,9\ \text{N}}. \end{aligned}

Camp i pes són radials, cap al centre.

b
Convertim l’altura i calculem la distància al centre:

h=900\ \text{km}\cdot\frac{1000\ \text{m}}{1\ \text{km}} =9,00\cdot10^5\ \text{m},

\begin{aligned} r&=R+h\\ &=3,60\cdot10^6\ \text{m}+9,00\cdot10^5\ \text{m}\\ &=4,50\cdot10^6\ \text{m}. \end{aligned}

\begin{aligned} g(h)&=\frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2) (7,20\cdot10^{23}\ \text{kg}) }{ (4,50\cdot10^6\ \text{m})^2 }\\ &=\boxed{2,37\ \text{N/kg}}. \end{aligned}

\begin{aligned} P_h&=mg(h)\\ &=(24,0\ \text{kg})(2,372\ \text{N/kg})\\ &=\boxed{56,9\ \text{N}}. \end{aligned}

\begin{aligned} \frac{g(h)}{g_0}&=\left(\frac{R}{R+h}\right)^2\\ &=\left(\frac{3,60\cdot10^6\ \text{m}} {4,50\cdot10^6\ \text{m}}\right)^2\\ &=\boxed{0,640}. \end{aligned}

Com que la massa no canvia:

\frac{P_h}{P_0}=\frac{g(h)}{g_0}=0,640.

El percentatge de pes conservat és:

0,640\cdot100\,\%=\boxed{64,0\,\%}.

Comprovació: en pujar disminueixen el camp i el pes, però no la massa.

Intermedi

2Superposició en el pla

Dues masses estan situades en aquests punts, amb coordenades expressades en metres:

$M_1=750\ \text{kg}$ , a $A=(3,00;\ 4,00)$ .
$M_2=900\ \text{kg}$ , a $B=(-3,00;\ 0)$ .

a
Dibuixa la situació i els dos vectors camp que creen a l’origen $O$ .

b
Calcula la distància de cada massa a $O$ , el mòdul de cada camp i les seves components.

c
Calcula les components del camp resultant, el mòdul i l’angle respecte de l’eix $+x$ , mesurat en sentit antihorari.

d
Calcula el vector força i el seu mòdul sobre un cos de $80,0\ \text{g}$ situat a $O$ .

Mostra la solució

a
Esquema model, no a escala:

                 y
                 ↑
                 │          ● A(3,4), M₁
                 │        ↗
                 │      g₁
B(-3,0), M₂ ●─────O────────────────→ x
              ← g₂

b
Distància de $M_1$ a l’origen:

r_1=\sqrt{(3,00\ \text{m})^2+(4,00\ \text{m})^2} =5,00\ \text{m}.

Distància de $M_2$ a l’origen:

r_2=|-3,00\ \text{m}|=3,00\ \text{m}.

Mòduls:

\begin{aligned} g_1&=\frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2)(750\ \text{kg}) }{(5,00\ \text{m})^2}\\ &=2,001\cdot10^{-9}\ \text{N/kg} \end{aligned}

\begin{aligned} g_2&=\frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2)(900\ \text{kg}) }{(3,00\ \text{m})^2}\\ &=6,670\cdot10^{-9}\ \text{N/kg}. \end{aligned}

Components del primer camp:

\begin{aligned} g_{1x}&=g_1\frac{\Delta x_1}{r_1}\\ &=(2,001\cdot10^{-9}\ \text{N/kg}) \frac{3,00\ \text{m}}{5,00\ \text{m}}\\ &=1,201\cdot10^{-9}\ \text{N/kg} \end{aligned}

\begin{aligned} g_{1y}&=g_1\frac{\Delta y_1}{r_1}\\ &=(2,001\cdot10^{-9}\ \text{N/kg}) \frac{4,00\ \text{m}}{5,00\ \text{m}}\\ &=1,601\cdot10^{-9}\ \text{N/kg}. \end{aligned}

El segon camp apunta només cap a l’esquerra:

g_{2x}=-6,670\cdot10^{-9}\ \text{N/kg}, \qquad g_{2y}=0\ \text{N/kg}.

c
Pel principi de superposició:

\begin{aligned} g_x&=g_{1x}+g_{2x}\\ &=1,201\cdot10^{-9}\ \text{N/kg}-6,670\cdot10^{-9}\ \text{N/kg}\\ &=-5,469\cdot10^{-9}\ \text{N/kg} \end{aligned}

\begin{aligned} g_y&=g_{1y}+g_{2y}\\ &=1,601\cdot10^{-9}\ \text{N/kg}+0\ \text{N/kg}\\ &=1,601\cdot10^{-9}\ \text{N/kg}. \end{aligned}

Per tant:

\boxed{ \vec g= (-5,47\,\hat{\imath}+1,60\,\hat{\jmath}) \cdot10^{-9}\ \text{N/kg} }

El mòdul és:

\begin{aligned} g&=\sqrt{g_x^2+g_y^2}\\ &=\sqrt{(-5,469\cdot10^{-9}\ \text{N/kg})^2+(1,601\cdot10^{-9}\ \text{N/kg})^2}\\ &=\boxed{5,70\cdot10^{-9}\ \text{N/kg}}. \end{aligned}

El vector és al segon quadrant:

\theta= 180^\circ-\arctan\left( \frac{1,601\cdot10^{-9}\ \text{N/kg}} {5,469\cdot10^{-9}\ \text{N/kg}} \right) =\boxed{164^\circ}.

Apunta cap a l’esquerra i cap amunt.

d
Convertim la massa:

m=80,0\ \text{g}\cdot\frac{1\ \text{kg}}{1000\ \text{g}} =0,0800\ \text{kg}.

\begin{aligned} F_x&=mg_x\\ &=(0,0800\ \text{kg})(-5,469\cdot10^{-9}\ \text{N/kg})\\ &=-4,38\cdot10^{-10}\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} F_y&=mg_y\\ &=(0,0800\ \text{kg})(1,601\cdot10^{-9}\ \text{N/kg})\\ &=1,28\cdot10^{-10}\ \text{N}. \end{aligned}

\boxed{ \vec F= (-4,38\,\hat{\imath}+1,28\,\hat{\jmath}) \cdot10^{-10}\ \text{N} }

\begin{aligned} F&=mg\\ &=(0,0800\ \text{kg})(5,699\cdot10^{-9}\ \text{N/kg})\\ &=\boxed{4,56\cdot10^{-10}\ \text{N}}. \end{aligned}

Té la mateixa direcció i el mateix sentit que el camp.

Comprovació: el camp de $M_2$ és més intens que el de $M_1$ ; per això el resultat apunta principalment cap a l’esquerra.

Parany: l’arctangent del quocient $g_y/g_x$ pot donar un angle negatiu que no és l’orientació demanada entre $0^\circ$ i $360^\circ$ .

Tipus PAU

3Tipus PAU — Un punt on el camp s’anul·la

Dues masses puntuals estan fixes sobre l’eix $x$ :

$M_1=1,60\cdot10^{15}\ \text{kg}$ , a $x=0$ .
$M_2=4,00\cdot10^{14}\ \text{kg}$ , a $x=1,80\cdot10^4\ \text{m}$ .

a) [1,25 punts]

Calcula el camp resultant al punt de coordenada

x=6,00\cdot10^3\ \text{m}

, amb el seu mòdul, direcció i sentit. Calcula també la força sobre una massa de prova de

12,0\ \text{kg}

situada en aquest punt.

b) [1,25 punts]

Dedueix i calcula la posició del punt de camp nul. Si en resoldre la igualtat de mòduls apareixen dues arrels algebraiques, calcula-les i justifica quina és vàlida. Explica també per què el camp no es pot anul·lar a l’exterior del segment entre les masses.

Mostra la solució

a
Prenem $+x$ cap a la dreta. Les distàncies des del punt a les masses són:

r_1=6,00\cdot10^3\ \text{m},

r_2=1,80\cdot10^4\ \text{m}-6,00\cdot10^3\ \text{m} =1,20\cdot10^4\ \text{m}.

El primer camp apunta cap a l’esquerra i el segon cap a la dreta:

\begin{aligned} g_{1x}&=-\frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2) (1,60\cdot10^{15}\ \text{kg}) }{ (6,00\cdot10^3\ \text{m})^2 }\\ &=-2,964\cdot10^{-3}\ \text{N/kg} \end{aligned}

\begin{aligned} g_{2x}&=+\frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2) (4,00\cdot10^{14}\ \text{kg}) }{ (1,20\cdot10^4\ \text{m})^2 }\\ &=+1,853\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}. \end{aligned}

Pel principi de superposició:

\begin{aligned} g_x&=g_{1x}+g_{2x}\\ &=-2,964\cdot10^{-3}\ \text{N/kg}+1,853\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}\\ &=\boxed{-2,78\cdot10^{-3}\ \text{N/kg}}. \end{aligned}

El mòdul és $2,78\cdot10^{-3}\ \text{N/kg}$ , la direcció és l’eix $x$ i el sentit és cap a l’esquerra.

La força és:

\begin{aligned} F_x&=mg_x\\ &=(12,0\ \text{kg})(-2,779\cdot10^{-3}\ \text{N/kg})\\ &=\boxed{-3,34\cdot10^{-2}\ \text{N}}. \end{aligned}

També apunta cap a l’esquerra.

b
Entre les masses, els camps s’oposen. Si $x$ és la distància a $M_1$ i $d$ la separació, la condició de camp nul és:

\frac{GM_1}{x^2}=\frac{GM_2}{(d-x)^2}.

Aquesta igualtat també es pot obtenir igualant les forces sobre una mateixa massa de prova:

\frac{GmM_1}{x^2}=\frac{GmM_2}{(d-x)^2}.

Simplificant i reorganitzant:

\left(\frac{d-x}{x}\right)^2=\frac{M_2}{M_1}.

Si mantenim les dues arrels algebraiques:

\frac{d-x}{x}=\pm\sqrt{\frac{M_2}{M_1}} \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{d}{1\pm\sqrt{M_2/M_1}}.

El factor de masses val:

\sqrt{\frac{M_2}{M_1}} = \sqrt{\frac{4,00\cdot10^{14}\ \text{kg}} {1,60\cdot10^{15}\ \text{kg}}} =0,500.

Les dues arrels són:

x_+= \frac{1,80\cdot10^4\ \text{m}}{1+0,500} =\boxed{1,20\cdot10^4\ \text{m}},

x_-= \frac{1,80\cdot10^4\ \text{m}}{1-0,500} =\boxed{3,60\cdot10^4\ \text{m}}.

La vàlida és $x=1,20\cdot10^4\ \text{m}$ , perquè és entre les masses i allà els camps tenen sentits oposats.

Esquema de sentits:

Entre les masses:
M₁ ●────────────P────────● M₂
                ← g₁  g₂ →

A la dreta de totes dues:
M₁ ●────────────────────● M₂────────● Q
                                    ← g₁
                                    ← g₂

L’arrel $x=3,60\cdot10^4\ \text{m}$ és a la dreta de totes dues masses. Allà els mòduls són iguals, però els vectors apunten tots dos cap a l’esquerra: se sumen, no s’anul·len.

A l’esquerra de totes dues masses, els dos camps apunten cap a la dreta. Per tant, tampoc no hi pot haver camp nul.

Comprovació: el punt vàlid és a $1,20\cdot10^4\ \text{m}$ de la massa gran i a $6,00\cdot10^3\ \text{m}$ de la petita. La massa gran és quatre vegades més gran i queda el doble de lluny: el quadrat de la distància compensa la diferència de masses.

Parany: una solució de la igualtat de mòduls no és necessàriament una solució de la condició vectorial $\vec g_{\mathrm{res}}=\vec 0$ .

Pauta orientativa — 2,5 punts

Apartat	Pas valorat	Punts
a)	Distàncies i sentits correctes	0,25
	Expressió, substitució i valor del primer camp	0,25
	Expressió, substitució i valor del segon camp	0,25
	Superposició, resultat i interpretació del vector	0,25
	Expressió, substitució i resultat de la força	0,25
b)	Igualtat de camps o forces, justificada pels sentits	0,25
	Simplificació i equació de distàncies	0,25
	Obtenció algebraica de les dues branques	0,25
	Substitució i càlcul de les dues arrels	0,25
	Selecció de l’arrel vàlida i justificació de l’exclusió exterior	0,25

Camp gravitatori: intensitat g i superposició

A. Camp gravitatori: força per unitat de massa

B. Camp creat per una massa puntual o un cos esfèric

C. Superfície i altura

D. Trobar la distància i l’altura a partir del camp

E. Pes i acceleració

F. Si et donen el diàmetre i la densitat d’un cos esfèric

G. Superposició en una recta i en el pla

H. Components, mòdul i orientació en el pla

I. Punt de camp nul entre dues masses positives

Exemple 1. Camp a la superfície, pes i altura

Pas 1. Obtenim la massa del cos esfèric

Pas 2. Deduïm i calculem el camp superficial

Pas 3. Calculem el camp a l’altura indicada

Pas 4. Calculem els pesos

Pas 5. Trobem l’altura on g=0,500 N/kgg=0,500\ \text{N/kg}g=0,500 N/kg

Exemple 2. Camps en una recta i punt de camp nul

Pas 1. Dibuixem els sentits

Pas 2. Calculem cada camp

Pas 3. Apliquem el principi de superposició

Pas 4. Trobem el punt nul

Exemple 3. Superposició en el pla: components i angle

Pas 1. Distàncies i sentits

Pas 2. Mòduls dels camps individuals

Pas 3. Components amb signe

Pas 4. Sumem per components

Pas 5. Mòdul i orientació

1Superfície i altura: no confonguis hhh amb rrr

2Superposició en el pla

3Tipus PAU — Un punt on el camp s’anul·la

a) [1,25 punts]

b) [1,25 punts]

Pas 5. Trobem l’altura on $g=0,500\ \text{N/kg}$

1Superfície i altura: no confonguis $h$ amb $r$