Física · 2.º de Bachillerato · PAU

Energía potencial, potencial gravitatorio y trabajo

Qué es el potencial gravitatorio, por qué la energía potencial es negativa, qué signo tiene cada trabajo y cómo se halla una velocidad con la conservación de la energía. Lee y juega con cada figura.

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4 figuras interactivas
3 ejercicios resueltos

¡lee y juega!

Antes de empezar…

¿Qué camino cuesta menos?

Tienes que llevar un cuerpo de 1 000 kg desde la superficie de la Tierra hasta un punto donde la distancia al centro es el doble. Puedes ir en línea recta, o dar un gran rodeo: primero más arriba y después volver a bajar.

Parece que el camino largo debería cambiar el trabajo que hace la gravedad. Pero no: por los dos caminos, la gravedad hace el mismo trabajo, $-3{,}13\cdot10^{10}$ J. Solo cuentan el punto de donde sales y el punto al que llegas. Por eso cada punto tiene un potencial y una energía potencial, y esta página te explica cómo se calculan.

Elige un camino y mueve el cuerpo de A a B. Mira qué trabajo hace la gravedad en cada tramo.

Míralo en 46 segundos

Ahora pruébalo tú:

Modelo ideal: sin aire ni rozamiento, con GM = 4,0 · 10¹⁴ m³/s² y R = 6 400 km para la Tierra. La Tierra y las circunferencias 2R y 3R están dibujadas a la misma escala.

Qué necesitas saber antes

Unidades SI: masas en kg, distancias en m, velocidades en m/s, energías y trabajos en julios (J). Convierte los km a m antes de sustituir.
Distancia al centro ≠ altura: si estás a una altura $h$ sobre un astro de radio $R$ , la distancia al centro es $r=R+h$ .
Variación = final − inicial: al ir de $A$ a $B$ , $\Delta U=U_B-U_A$ .
Escalares y vectores: el campo gravitatorio $\vec g$ es un vector; el potencial $V$ , la energía $U$ y el trabajo $W$ son escalares con signo.
Constante gravitatoria: $G=6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}$ .
Presentación de los cálculos: escribe la ley que aplicas, despeja la incógnita, sustituye con unidades y da el resultado con 3 cifras significativas. Conserva más precisión en la calculadora de la que escribes.

Formulario

2.1. Distancia al centro y campo gravitatorio

\boxed{ \begin{aligned} r&=R+h\\ g&=\frac{GM}{r^2}\\ r&=\sqrt{\frac{GM}{g}} \end{aligned}}

Letras y unidades SI

$r$ : distancia al centro del astro, en m.
$R$ : radio del astro, en m.
$h$ : altura sobre la superficie, en m.
$M$ : masa del astro, en kg.
$g$ : módulo del campo gravitatorio, en N/kg, equivalente a m/s².

Cuándo se utiliza: fuera de un astro esférico, o para una masa puntual. La relación del campo se obtiene igualando el peso y la fuerza gravitatoria: $mg=GMm/r^2$ .

Cuándo NO: en el interior de un astro no puedes poner, en general, toda su masa $M$ en esta expresión.

Error más típico: poner la altura $h$ en el denominador en lugar de $r=R+h$ .

2.2. Potencial gravitatorio de una masa

\boxed{ \begin{aligned} V(r)&=-\frac{GM}{r}\\ V(\infty)&=0 \end{aligned}}

Letras y unidades SI

$V$ : potencial gravitatorio, en J/kg.
$G$ , $M$ y $r$ : los del apartado anterior.

Qué te dice: la energía potencial por cada kilogramo de masa que coloques en ese punto. No depende de la masa del objeto que colocas en él.

Signo negativo: con el cero en el infinito, los puntos a distancia finita tienen potencial negativo. Cuando te alejas del astro, el potencial aumenta: se hace menos negativo y se acerca a cero.

Cuándo se utiliza: para una masa puntual o en el exterior de un astro esférico.

Cuándo NO: si hay varias masas que contribuyen al potencial, no basta con calcular el de una.

Error más típico: confundir $V$ , potencial gravitatorio, con la unidad voltio. Aquí la unidad es J/kg, no V.

2.3. Energía potencial gravitatoria

\boxed{ \begin{aligned} U&=mV=-\frac{GMm}{r}\\ U(\infty)&=0\\ r&=-\frac{GMm}{U} \end{aligned}}

Letras y unidades SI

$U$ : energía potencial gravitatoria, en J.
$m$ : masa del objeto, en kg.
$V$ : potencial del punto, en J/kg.
$M$ : masa del astro, en kg; $r$ : distancia entre centros, en m.

Cuándo se utiliza: para calcular la energía potencial de la interacción entre el astro y el objeto, o para hallar $r$ si conoces $U$ .

Signo negativo: hay que aportar energía para separar las dos masas hasta el infinito y llegar a $U=0$ .

Cuándo NO: no la sustituyas por $mgh$ si la altura varía tanto que $g$ deja de ser aproximadamente constante.

Error más típico: confundir una energía potencial negativa con una energía mecánica negativa. Hay que sumar también la energía cinética.

2.4. Diferencias de potencial y de energía potencial

Para ir de $A$ a $B$ , en el campo de un solo astro:

\boxed{ \begin{aligned} \Delta V&=V_B-V_A =GM\left(\frac1{r_A}-\frac1{r_B}\right)\\[2mm] \Delta U&=U_B-U_A=m\Delta V\\ &=GMm\left(\frac1{r_A}-\frac1{r_B}\right) \end{aligned}}

Letras y unidades SI

$r_A,r_B$ : distancias inicial y final al centro, en m.
$\Delta V$ : diferencia de potencial, en J/kg.
$\Delta U$ : variación de energía potencial, en J.
$M,m$ : masas, en kg.

Cuándo se utiliza: para cambios de altura, trabajos y conservación de la energía.

Cuándo NO: esta expresión con un único $M$ no incluye otros astros. En ese caso, calcula el potencial total en cada punto.

Error más típico: invertir el orden. Si subes, $\Delta U>0$ ; si bajas, $\Delta U<0$ , aunque las dos energías sean negativas.

2.5. Superposición de potenciales

\boxed{ \begin{aligned} V(P)&=\sum_i V_i(P) =-G\sum_i\frac{M_i}{r_i}\\ U(P)&=mV(P) \end{aligned}}

Letras y unidades SI

$M_i$ : cada una de las masas que generan el campo, en kg.
$r_i$ : distancia de cada una al punto $P$ , en m.
$V(P)$ : potencial total, en J/kg.
$m$ : masa que situamos en $P$ , en kg; $U(P)$ : energía potencial, en J.

Cuándo se utiliza: cuando hay varias masas.

Cuándo NO: no sumes así los campos; los campos son vectores y se deben sumar vectorialmente.

Error más típico: restar potenciales porque las masas están en lados opuestos. Los potenciales se suman con su signo, sin direcciones ni componentes. Con cero en el infinito, cada masa positiva aporta un potencial negativo.

2.6. Trabajo gravitatorio y trabajo externo

\boxed{ \begin{aligned} W_{\mathrm{grav},\,A\to B}&=-\Delta U\\ &=U_A-U_B\\ &=m(V_A-V_B) \end{aligned}}

\boxed{ W_{\mathrm{ext}}=\Delta E_c+\Delta U }

En un desplazamiento lento con un cambio despreciable de energía cinética, $W_{\mathrm{ext}}\simeq\Delta U$ .

Letras y unidades SI

$W_{\mathrm{grav}}$ : trabajo de la gravedad, en J.
$W_{\mathrm{ext}}$ : trabajo del agente externo que mueve el objeto, en J.
$\Delta E_c$ : variación de energía cinética, en J.
$\Delta U$ : variación de energía potencial, en J.

Cuándo se utiliza:

El trabajo gravitatorio depende solo de los puntos inicial y final, no del camino.
Para el trabajo externo, suponemos que, además de la gravedad, solo realiza trabajo el agente externo y no hay rozamiento.

Cuándo NO: no pongas $W_{\mathrm{ext}}=\Delta U$ si hay un cambio apreciable de velocidad u otros trabajos no incluidos.

Error más típico: dar el mismo signo a los dos trabajos en una subida lenta:

gravedad: trabajo negativo;
agente externo: trabajo positivo.

2.7. Aproximación de campo uniforme

\boxed{ \begin{aligned} \Delta V\simeq g(h_B-h_A)\\ \Delta U\simeq mg(h_B-h_A)\\ g\simeq\frac{|\Delta V|}{d} \end{aligned}}

Letras y unidades SI

$g$ : campo aproximadamente constante, en N/kg.
$h_A,h_B$ : alturas medidas hacia arriba, en m.
$d=|h_B-h_A|$ : separación vertical, en m.
$\Delta V$ : en J/kg; $\Delta U$ : en J; $m$ : en kg.

Cuándo se utiliza: en desniveles pequeños respecto al radio del astro.

Cuándo NO: para grandes cambios de altura o si $d$ no es la separación vertical.

Error más típico: escribir $U=mgh$ como si tuviera el mismo cero que $U=-GMm/r$ . La expresión $mg\Delta h$ da una diferencia de energía.

Si te dan $\Delta V$ y $d$ para hallar $g$ , utiliza esta relación, no una masa y un radio que no te piden utilizar.

2.8. Conservación de la energía mecánica

\boxed{ E_m=E_c+U=\frac12mv^2-\frac{GMm}{r}}

Si solo actúa la gravedad:

\boxed{ \begin{aligned} &\frac12mv_A^2-\frac{GMm}{r_A} =\frac12mv_B^2-\frac{GMm}{r_B}\\[1mm] &v_B^2=v_A^2+2GM\left(\frac1{r_B}-\frac1{r_A}\right) \end{aligned}}

Letras y unidades SI

$E_m,E_c,U$ : energías, en J.
$v_A,v_B$ : módulos de las velocidades, en m/s.
$m,M$ : masas, en kg; $r_A,r_B$ : distancias al centro, en m.

Cuándo se utiliza: para relacionar altura y velocidad cuando solo actúa la gravedad. La masa $m$ se cancela al calcular las velocidades.

Cuándo NO: si realizan trabajo motores, rozamientos u otras fuerzas, no puedes igualar directamente las energías mecánicas.

Error más típico: perder el signo negativo de $U$ . Al bajar, $U$ disminuye y $E_c$ aumenta.

Interpretación: en el campo de un astro aislado, $E_m<0$ indica un movimiento ligado: no puede llegar al infinito.

Ejemplos resueltos

En las sustituciones numéricas, calculamos una vez el producto $GM$ , sustituyendo $G$ y $M$ , y lo escribimos con 4 cifras significativas (en la calculadora se guarda el valor completo); su unidad SI es $\mathrm{m^3/s^2}$ .

Ejemplo 1. Subir una carga: potenciales, energías y trabajos

Un astro esférico tiene masa $M=6,00\cdot10^{23}\ \mathrm{kg}$ y radio $R=2,00\cdot10^6\ \mathrm m$ . Una carga de $m=2,00\cdot10^2\ \mathrm{kg}$ se traslada lentamente desde la superficie $A$ hasta una altura $h_B=2,00\cdot10^6\ \mathrm m$ . No hay rozamiento.

Buscamos: los potenciales, la variación de energía potencial y los trabajos.

Paso 1. Distancias al centro

r_A=R=2,00\cdot10^6\ \mathrm m

\begin{aligned} r_B&=R+h_B\\ &=2,00\cdot10^6+2,00\cdot10^6\\ &=4,00\cdot10^6\ \mathrm m \end{aligned}

Paso 2. Potencial en cada punto

Aplicamos el potencial de un astro esférico en el exterior:

GM=(6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}})(6,00\cdot10^{23}\ \mathrm{kg}) =4,002\cdot10^{13}\ \mathrm{m^3/s^2}

\begin{aligned} V_A&=-\frac{GM}{r_A}\\ &=-\frac{(4,002\cdot10^{13})} {2,00\cdot10^6}\ \mathrm{J/kg}\\ &=\boxed{-2,00\cdot10^7\ \mathrm{J/kg}} \end{aligned}

\begin{aligned} V_B&=-\frac{GM}{r_B}\\ &=-\frac{(4,002\cdot10^{13})} {4,00\cdot10^6}\ \mathrm{J/kg}\\ &=\boxed{-1,00\cdot10^7\ \mathrm{J/kg}} \end{aligned}

Paso 3. Variación de energía potencial

Utilizamos $\Delta U=m\Delta V$ . Para evitar restar resultados ya redondeados, sustituimos directamente las distancias:

\Delta U=GMm\left(\frac1{r_A}-\frac1{r_B}\right)

\Delta U= (4,002\cdot10^{13})(2,00\cdot10^2) \left(\frac1{2,00\cdot10^6}-\frac1{4,00\cdot10^6}\right) \mathrm J

\boxed{\Delta U=+2,00\cdot10^9\ \mathrm J}

Paso 4. Trabajos

Como la gravedad es conservativa:

W_{\mathrm{grav}}=-\Delta U =\boxed{-2,00\cdot10^9\ \mathrm J}

El traslado es lento, de modo que $\Delta E_c\simeq0$ . Por tanto:

W_{\mathrm{ext}}\simeq\Delta U =\boxed{+2,00\cdot10^9\ \mathrm J}

Comprobación: subimos; el potencial se hace menos negativo y $U$ aumenta. La gravedad se opone al movimiento y realiza trabajo negativo.

Dos comprobaciones inversas útiles

Si nos dieran la energía final $U_B=-2,00\cdot10^9\ \mathrm J$ , podríamos recuperar la distancia:

U_B=-\frac{GMm}{r_B} \quad\Rightarrow\quad r_B=-\frac{GMm}{U_B}

r_B= -\frac{(4,002\cdot10^{13})(2,00\cdot10^2)} {-2,00\cdot10^9}\ \mathrm m =\boxed{4,00\cdot10^6\ \mathrm m}

Si una medida local alrededor de $B$ da $|\Delta V|=62,5\ \mathrm{J/kg}$ entre puntos separados verticalmente $25,0\ \mathrm m$ , podemos considerar el campo uniforme:

g_B\simeq\frac{|\Delta V|}{d} =\frac{62,5\ \mathrm{J/kg}}{25,0\ \mathrm m} =\boxed{2,50\ \mathrm{N/kg}}

A partir de $GMm/r_B^2=mg_B$ :

\begin{aligned} r_B&=\sqrt{\frac{GM}{g_B}}\\ &=\sqrt{\frac{(4,002\cdot10^{13})}{2,50}}\ \mathrm m\\ &=4,00\cdot10^6\ \mathrm m \end{aligned}

\begin{aligned} h_B&=r_B-R\\ &=4,00\cdot10^6-2,00\cdot10^6\\ &=\boxed{2,00\cdot10^6\ \mathrm m} \end{aligned}

Trampa: primero obtenemos $g$ de la diferencia de potencial; después utilizamos este $g$ para hallar la posición.

Ejemplo 2. Dos masas: suma escalar de potenciales

Dos masas puntuales fijas, $M_1=3,00\cdot10^{20}\ \mathrm{kg}$ y $M_2=5,00\cdot10^{20}\ \mathrm{kg}$ , están separadas $1,20\cdot10^6\ \mathrm m$ .

$A$ es el punto medio.
$B$ está entre las masas, a $4,00\cdot10^5\ \mathrm m$ de $M_1$ .
Una masa de prueba de $m=10,0\ \mathrm{kg}$ va de $A$ a $B$ .

Buscamos: $V_A$ , $V_B$ y el trabajo gravitatorio.

Paso 1. Organizamos las distancias

Punto	Distancia a $M_1$	Distancia a $M_2$
$A$	$6,00\cdot10^5\ \mathrm m$	$6,00\cdot10^5\ \mathrm m$
$B$	$4,00\cdot10^5\ \mathrm m$	$8,00\cdot10^5\ \mathrm m$

Paso 2. Aplicamos la superposición escalar

V_A=-G\left(\frac{M_1}{r_{1A}}+\frac{M_2}{r_{2A}}\right)

\begin{aligned} V_{1A}&=-\frac{(6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}})(3,00\cdot10^{20}\ \mathrm{kg})}{6,00\cdot10^5\ \mathrm m}\\ &=-3,335\cdot10^4\ \mathrm{J/kg},\\ V_{2A}&=-\frac{(6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}})(5,00\cdot10^{20}\ \mathrm{kg})}{6,00\cdot10^5\ \mathrm m}\\ &=-5,558\cdot10^4\ \mathrm{J/kg},\\ V_A&=V_{1A}+V_{2A}\\ &=-3,335\cdot10^4\ \mathrm{J/kg}-5,558\cdot10^4\ \mathrm{J/kg}. \end{aligned}

\boxed{V_A=-8,89\cdot10^4\ \mathrm{J/kg}}

\begin{aligned} V_{1B}&=-\frac{(6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}})(3,00\cdot10^{20}\ \mathrm{kg})}{4,00\cdot10^5\ \mathrm m}\\ &=-5,003\cdot10^4\ \mathrm{J/kg},\\ V_{2B}&=-\frac{(6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}})(5,00\cdot10^{20}\ \mathrm{kg})}{8,00\cdot10^5\ \mathrm m}\\ &=-4,169\cdot10^4\ \mathrm{J/kg},\\ V_B&=V_{1B}+V_{2B}\\ &=-5,003\cdot10^4\ \mathrm{J/kg}-4,169\cdot10^4\ \mathrm{J/kg}. \end{aligned}

\boxed{V_B=-9,17\cdot10^4\ \mathrm{J/kg}}

Paso 3. Diferencia de potencial y trabajo

Con los valores no redondeados de la calculadora:

\Delta V=V_B-V_A \simeq-9,171\cdot10^4\ \mathrm{J/kg}-(-8,893\cdot10^4\ \mathrm{J/kg}) =\boxed{-2,78\cdot10^3\ \mathrm{J/kg}}

Como $W_{\mathrm{grav}}=-m\Delta V$ :

W_{\mathrm{grav}} =-(10,0\ \mathrm{kg})(-2,779\cdot10^3\ \mathrm{J/kg}) =\boxed{+2,78\cdot10^4\ \mathrm J}

Comprobación: en $B$ , el potencial total es más negativo. La energía potencial disminuye y el trabajo gravitatorio es positivo.

Trampa: no deduzcas el cambio de potencial mirando solo a qué masa te acercas. Hay que incluir las dos contribuciones.

Ejemplo 3. Caída desde el reposo

Retomamos el astro del ejemplo 1:

\begin{aligned} M&=6,00\cdot10^{23}\ \mathrm{kg}\\ R&=2,00\cdot10^6\ \mathrm m \end{aligned}

Un objeto de $m=2,00\cdot10^2\ \mathrm{kg}$ se encuentra a $r_A=4,00\cdot10^6\ \mathrm m$ . Lo soltamos desde el reposo.

Velocidad al llegar a la superficie

Datos: $v_A=0$ , $r_B=R=2,00\cdot10^6\ \mathrm m$ . Despreciamos la atmósfera.

Buscamos: $v_B$ .

Solo actúa la gravedad; por tanto, se conserva la energía mecánica:

\frac12mv_A^2-\frac{GMm}{r_A} =\frac12mv_B^2-\frac{GMm}{r_B}

Cancelamos $m$ , ponemos $v_A=0$ y despejamos:

v_B=\sqrt{2GM\left(\frac1{r_B}-\frac1{r_A}\right)}

v_B= \sqrt{ 2(4,002\cdot10^{13}) \left(\frac1{2,00\cdot10^6}-\frac1{4,00\cdot10^6}\right) }\ \mathrm{m/s}

\boxed{v_B=4,47\cdot10^3\ \mathrm{m/s}}

Comprobación: al bajar, la energía potencial disminuye y se transforma en cinética. La velocidad aumenta desde cero, como cabía esperar.

Trampa: la velocidad inicial es cero, pero la final no lo es: hay que incluir la energía cinética final.

Practica

Ponte a prueba

Tres ejercicios resueltos paso a paso, de menor a mayor dificultad. Inténtalos antes de abrir la solución.

Básico

1Subida lenta: dos trabajos con signos diferentes

En Neris, con masa $M=4,80\cdot10^{23}\ \mathrm{kg}$ y radio $R=1,60\cdot10^6\ \mathrm m$ , un mecanismo traslada una carga de $75,0\ \mathrm{kg}$ desde la superficie $A$ hasta el punto $B$ , a $400\ \mathrm{km}$ de altura.

El movimiento es lento, con energía cinética despreciable, y no hay rozamiento.

a
Calcula $U_A$ , $U_B$ y $\Delta U$ .

b
Calcula el trabajo de la gravedad en la subida.

c
Calcula el trabajo del mecanismo en la subida. Explica por qué no coincide con el trabajo gravitatorio.

d
Después se baja lentamente la carga hasta $A$ . Calcula el trabajo gravitatorio en la bajada y en el recorrido completo $A\to B\to A$ .

Muestra la solución

a) Energías potenciales

Las distancias son:

r_A=R=1,60\cdot10^6\ \mathrm m

\begin{aligned} r_B&=R+h\\ &=1,60\cdot10^6\ \mathrm m+4,00\cdot10^5\ \mathrm m\\ &=2,00\cdot10^6\ \mathrm m \end{aligned}

En la superficie:

U_A=-\frac{GMm}{r_A} =-\frac{ (3,202\cdot10^{13}\ \mathrm{m^3/s^2})(75,0\ \mathrm{kg}) }{ 1,60\cdot10^6\ \mathrm m }

\boxed{U_A=-1,50\cdot10^9\ \mathrm J}

En el punto elevado:

U_B=-\frac{GMm}{r_B} =-\frac{ (3,202\cdot10^{13}\ \mathrm{m^3/s^2})(75,0\ \mathrm{kg}) }{ 2,00\cdot10^6\ \mathrm m }

\boxed{U_B=-1,20\cdot10^9\ \mathrm J}

Para evitar restar energías redondeadas, calculamos directamente:

\Delta U=GMm\left(\frac1{r_A}-\frac1{r_B}\right)

\begin{aligned} \Delta U&=GMm\left(\frac1{r_A}-\frac1{r_B}\right)\\ &=(3,202\cdot10^{13}\ \mathrm{m^3/s^2})(75,0\ \mathrm{kg})\\ &\quad\times\left(\frac1{1,60\cdot10^6\ \mathrm m}-\frac1{2,00\cdot10^6\ \mathrm m}\right). \end{aligned}

\boxed{\Delta U=+3,00\cdot10^8\ \mathrm J}

b) Trabajo gravitatorio

Como la gravedad es conservativa:

W_{\mathrm{grav}}=-\Delta U =-(+3,002\cdot10^8\ \mathrm J)

\boxed{W_{\mathrm{grav}}=-3,00\cdot10^8\ \mathrm J}

c) Trabajo externo

El movimiento es lento y $\Delta E_c\simeq0$ :

W_{\mathrm{ext}}=\Delta E_c+\Delta U \simeq0\ \mathrm J+3,002\cdot10^8\ \mathrm J

\boxed{W_{\mathrm{ext}}\simeq+3,00\cdot10^8\ \mathrm J}

Los trabajos tienen signos opuestos: el mecanismo aporta energía y la gravedad se opone a la subida.

d) Bajada y recorrido completo

Al invertir el desplazamiento, se invierte el signo del trabajo gravitatorio:

W_{\mathrm{grav},\,B\to A} =-W_{\mathrm{grav},\,A\to B} =-(-3,002\cdot10^8\ \mathrm J)

\boxed{W_{\mathrm{grav},\,B\to A}=+3,00\cdot10^8\ \mathrm J}

W_{\mathrm{grav,total}} =(-3,002\cdot10^8\ \mathrm J) +(3,002\cdot10^8\ \mathrm J)

\boxed{W_{\mathrm{grav,total}}=0\ \mathrm J}

Comprobación: un recorrido cerrado tiene trabajo gravitatorio nulo. El cero exacto no necesita tres cifras significativas.

Intermedio

2Dos masas: el potencial no tiene dirección

Dos masas puntuales fijas se encuentran sobre un eje:

$M_1=6,00\cdot10^{15}\ \mathrm{kg}$ , en $x=0$ .
$M_2=2,00\cdot10^{15}\ \mathrm{kg}$ , en $x=8,00\cdot10^3\ \mathrm m$ .

Considera los puntos $A$ , en $x=2,00\cdot10^3\ \mathrm m$ , y $B$ , en $x=4,00\cdot10^3\ \mathrm m$ .

a
Organiza en una tabla las distancias de cada punto a cada masa.

b
Calcula $V_A$ y $V_B$ , sumando las contribuciones de las dos masas.

c
Una masa de prueba de $12,0\ \mathrm{kg}$ se traslada de $A$ a $B$ . Calcula la variación de energía potencial y el trabajo gravitatorio.

d
Si el traslado es lento, ¿qué trabajo debe realizar el agente externo?

e
Un compañero dice: «Como $B$ está en el medio, los potenciales de las dos masas se anulan». Explica por qué es incorrecto.

Muestra la solución

a) Distancias

Cada distancia es el valor absoluto de la diferencia de coordenadas. Por ejemplo:

r_{2A} =\left|8,00\cdot10^3\ \mathrm m-2,00\cdot10^3\ \mathrm m\right| =6,00\cdot10^3\ \mathrm m

Punto	Distancia a $M_1$	Distancia a $M_2$
$A$	$2,00\cdot10^3\ \mathrm m$	$6,00\cdot10^3\ \mathrm m$
$B$	$4,00\cdot10^3\ \mathrm m$	$4,00\cdot10^3\ \mathrm m$

b) Potenciales totales

Aplicamos la superposición escalar de potenciales:

V_A=-G\left(\frac{M_1}{r_{1A}}+\frac{M_2}{r_{2A}}\right)

\begin{aligned} V_{1A}&=-\frac{(6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}})(6,00\cdot10^{15}\ \mathrm{kg})}{2,00\cdot10^3\ \mathrm m}\\ &=-200,1\ \mathrm{J/kg},\\ V_{2A}&=-\frac{(6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}})(2,00\cdot10^{15}\ \mathrm{kg})}{6,00\cdot10^3\ \mathrm m}\\ &=-22,23\ \mathrm{J/kg},\\ V_A&=V_{1A}+V_{2A}\\ &=-200,1\ \mathrm{J/kg}-22,23\ \mathrm{J/kg}. \end{aligned}

\boxed{V_A=-222\ \mathrm{J/kg}}

\begin{aligned} V_{1B}&=-\frac{(6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}})(6,00\cdot10^{15}\ \mathrm{kg})}{4,00\cdot10^3\ \mathrm m}\\ &=-100,1\ \mathrm{J/kg},\\ V_{2B}&=-\frac{(6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}})(2,00\cdot10^{15}\ \mathrm{kg})}{4,00\cdot10^3\ \mathrm m}\\ &=-33,35\ \mathrm{J/kg},\\ V_B&=V_{1B}+V_{2B}\\ &=-100,1\ \mathrm{J/kg}-33,35\ \mathrm{J/kg}. \end{aligned}

\boxed{V_B=-133\ \mathrm{J/kg}}

c) Variación de energía y trabajo gravitatorio

Con los potenciales sin redondear:

\begin{aligned} \Delta V&=V_B-V_A\\ &\simeq(-133,4\ \mathrm{J/kg})-(-222,3\ \mathrm{J/kg}) \end{aligned}

\Delta V\simeq+88,93\ \mathrm{J/kg}

\Delta U=m\Delta V =(12,0\ \mathrm{kg})(88,93\ \mathrm{J/kg})

\boxed{\Delta U=+1,07\cdot10^3\ \mathrm J}

W_{\mathrm{grav}}=-\Delta U =-(1,067\cdot10^3\ \mathrm J)

\boxed{W_{\mathrm{grav}}=-1,07\cdot10^3\ \mathrm J}

d) Trabajo externo lento

W_{\mathrm{ext}}\simeq\Delta U =+1,067\cdot10^3\ \mathrm J

\boxed{W_{\mathrm{ext}}\simeq+1,07\cdot10^3\ \mathrm J}

e) Interpretación

La afirmación es incorrecta porque el potencial es escalar. Las dos masas aportan potenciales negativos que se suman, no vectores que puedan tener sentidos opuestos.

Comprobación: $V_B>V_A$ ; por tanto, la energía potencial aumenta y el trabajo gravitatorio es negativo.

Tipo PAU

3Tipo PAU: caída con dos velocidades iniciales

Problema de 2,5 puntos: dos apartados de 1,25 puntos.

Una sonda de $90,0\ \mathrm{kg}$ se encuentra a una distancia $r_0=3,20\cdot10^6\ \mathrm m$ del centro de Neris, de masa $M=4,80\cdot10^{23}\ \mathrm{kg}$ y radio $R=1,60\cdot10^6\ \mathrm m$ .

Estudiamos dos situaciones alternativas, no consecutivas.

a
[1,25 puntos] La sonda se suelta desde el reposo y cae radialmente. Justifica la ley de conservación que utilizas y calcula la velocidad y la energía cinética justo antes de llegar a la superficie.

b
[1,25 puntos] Ahora la misma sonda sale del mismo punto con velocidad radial hacia la superficie de $1,20\cdot10^3\ \mathrm{m/s}$ . Plantea la conservación de la energía, calcula la velocidad y la energía cinética justo antes de llegar a la superficie, y compáralas con las de a).

Deberes: ejercicios 8–13, para entregar el viernes 6 de noviembre.
Dedicación orientativa total: 240 minutos, aproximadamente 40 minutos por ejercicio. Incluye el planteamiento, los cálculos y la revisión de los signos y de las unidades.

Muestra la solución

a) Caída desde el reposo

Solo actúa la gravedad. Como es una fuerza conservativa, se conserva la energía mecánica.

Tomamos $A$ en el punto inicial y $B$ justo antes de llegar a la superficie:

\frac12mv_A^2-\frac{GMm}{r_0} = \frac12mv_B^2-\frac{GMm}{R}

Como $v_A=0$ , cancelamos $m$ y despejamos:

v_B=\sqrt{2GM\left(\frac1R-\frac1{r_0}\right)}

\begin{aligned} 2GM\left(\frac1R-\frac1{r_0}\right)&=2(3,202\cdot10^{13}\ \mathrm{m^3/s^2})\\ &\quad\times\left(\frac1{1,60\cdot10^6\ \mathrm m}-\frac1{3,20\cdot10^6\ \mathrm m}\right)\\ &=2,001\cdot10^7\ \mathrm{m^2/s^2},\\ v_B&=\sqrt{2,001\cdot10^7\ \mathrm{m^2/s^2}}. \end{aligned}

\boxed{v_B=4,47\cdot10^3\ \mathrm{m/s}}

La energía cinética final es:

E_{c,B}=\frac12mv_B^2 =\frac12(90,0\ \mathrm{kg}) (4,473\cdot10^3\ \mathrm{m/s})^2

\boxed{E_{c,B}=9,00\cdot10^8\ \mathrm J}

Comprobación: el objeto parte del reposo y gana energía cinética al bajar. El signo dentro de la raíz es positivo porque $R<r_0$ .

b) Caída con velocidad inicial

Datos: $v_0=1,20\cdot10^3\ \mathrm{m/s}$ hacia la superficie; misma masa y posiciones que en a). Solo actúa la gravedad.

\frac12mv_0^2-\frac{GMm}{r_0} =\frac12mv^2-\frac{GMm}{R}.

Cancelamos la masa y despejamos el cuadrado de la rapidez:

v^2=v_0^2+2GM\left(\frac1R-\frac1{r_0}\right).

Para Neris, $GM=3,202\cdot10^{13}\ \mathrm{m^3/s^2}$ . Sustituimos por etapas:

\begin{aligned} v^2&=(1,20\cdot10^3\ \mathrm{m/s})^2 +2,001\cdot10^7\ \mathrm{m^2/s^2}\\ &=2,145\cdot10^7\ \mathrm{m^2/s^2},\\ v&=4,63\cdot10^3\ \mathrm{m/s}. \end{aligned}

La velocidad apunta hacia la superficie. La energía cinética es:

\begin{aligned} E_c&=\frac12mv^2\\ &=\frac12(90,0\ \mathrm{kg})(2,145\cdot10^7\ \mathrm{m^2/s^2})\\ &=9,65\cdot10^8\ \mathrm J. \end{aligned}

Comprobación: el incremento de energía cinética durante la caída es el mismo que en a), porque las posiciones son las mismas. Ahora se añade la energía cinética inicial, $\tfrac12(90,0\ \mathrm{kg})(1,20\cdot10^3\ \mathrm{m/s})^2=6,48\cdot10^7\ \mathrm J$ , y se llega con mayor rapidez.

Pauta orientativa — 2,5 puntos: a) hipótesis, ecuación, despeje, velocidad y energía cinética, 0,25 cada uno; b) los mismos cuatro primeros pasos, 0,25 cada uno, y energía cinética con comparación, 0,25.

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