Física · 2n de Batxillerat · PAU

Energia potencial, potencial gravitatori i treball

Què és el potencial gravitatori, per què l’energia potencial és negativa, quin signe té cada treball i com es troba una velocitat amb la conservació de l’energia. Llegeix i juga amb cada figura.

9 min de lectura
4 figures interactives
3 exercicis resolts

llegeix i juga!

Abans de començar…

Quin camí costa menys?

Has de portar un cos de 1 000 kg des de la superfície de la Terra fins a un punt on la distància al centre és el doble. Pots anar-hi en línia recta, o fer una gran volta: primer més amunt i després tornar a baixar.

Sembla que el camí llarg hauria de canviar el treball que fa la gravetat. Però no: pels dos camins, la gravetat fa el mateix treball, $-3{,}13\cdot10^{10}$ J. Només compten el punt d’on surts i el punt on arribes. Per això cada punt té un potencial i una energia potencial, i aquesta pàgina t’explica com es calculen.

Tria un camí i mou el cos d’A a B. Mira quin treball fa la gravetat a cada tram.

Mira-ho en 46 segons

Ara prova-ho tu:

Model ideal: sense aire ni fregament, amb GM = 4,0 · 10¹⁴ m³/s² i R = 6 400 km per a la Terra. La Terra i les circumferències 2R i 3R estan dibuixades a la mateixa escala.

Què necessites saber abans

Unitats SI: masses en kg, distàncies en m, velocitats en m/s, energies i treballs en joules (J). Converteix els km a m abans de substituir.
Distància al centre ≠ altura: si ets a una altura $h$ sobre un astre de radi $R$ , la distància al centre és $r=R+h$ .
Variació = final − inicial: en anar d’ $A$ a $B$ , $\Delta U=U_B-U_A$ .
Escalars i vectors: el camp gravitatori $\vec g$ és un vector; el potencial $V$ , l’energia $U$ i el treball $W$ són escalars amb signe.
Constant gravitatòria: $G=6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}$ .
Presentació dels càlculs: escriu la llei que apliques, aïlla la incògnita, substitueix amb unitats i dona el resultat amb 3 xifres significatives. Conserva més precisió a la calculadora que la que escrius.

Formulari

2.1. Distància al centre i camp gravitatori

\boxed{ \begin{aligned} r&=R+h\\ g&=\frac{GM}{r^2}\\ r&=\sqrt{\frac{GM}{g}} \end{aligned}}

Lletres i unitats SI

$r$ : distància al centre de l’astre, en m.
$R$ : radi de l’astre, en m.
$h$ : altura sobre la superfície, en m.
$M$ : massa de l’astre, en kg.
$g$ : mòdul del camp gravitatori, en N/kg, equivalent a m/s².

Quan es fa servir: fora d’un astre esfèric, o per a una massa puntual. La relació del camp s’obté igualant el pes i la força gravitatòria: $mg=GMm/r^2$ .

Quan NO: a l’interior d’un astre no pots posar, en general, tota la seva massa $M$ en aquesta expressió.

Error més típic: posar l’altura $h$ al denominador en lloc de $r=R+h$ .

2.2. Potencial gravitatori d’una massa

\boxed{ \begin{aligned} V(r)&=-\frac{GM}{r}\\ V(\infty)&=0 \end{aligned}}

Lletres i unitats SI

$V$ : potencial gravitatori, en J/kg.
$G$ , $M$ i $r$ : els de l’apartat anterior.

Què et diu: l’energia potencial per cada quilogram de massa que col·loquis en aquell punt. No depèn de la massa de l’objecte que hi poses.

Signe negatiu: amb el zero a l’infinit, els punts a distància finita tenen potencial negatiu. Quan t’allunyes de l’astre, el potencial augmenta: es fa menys negatiu i s’acosta a zero.

Quan es fa servir: per a una massa puntual o a l’exterior d’un astre esfèric.

Quan NO: si hi ha diverses masses que contribueixen al potencial, no n’hi ha prou amb calcular-ne una.

Error més típic: confondre $V$ , potencial gravitatori, amb la unitat volt. Aquí la unitat és J/kg, no V.

2.3. Energia potencial gravitatòria

\boxed{ \begin{aligned} U&=mV=-\frac{GMm}{r}\\ U(\infty)&=0\\ r&=-\frac{GMm}{U} \end{aligned}}

Lletres i unitats SI

$U$ : energia potencial gravitatòria, en J.
$m$ : massa de l’objecte, en kg.
$V$ : potencial del punt, en J/kg.
$M$ : massa de l’astre, en kg; $r$ : distància entre centres, en m.

Quan es fa servir: per calcular l’energia potencial de la interacció entre l’astre i l’objecte, o per trobar $r$ si coneixes $U$ .

Signe negatiu: cal aportar energia per separar les dues masses fins a l’infinit i arribar a $U=0$ .

Quan NO: no la substitueixis per $mgh$ si l’altura varia tant que $g$ deixa de ser aproximadament constant.

Error més típic: confondre una energia potencial negativa amb una energia mecànica negativa. Cal sumar-hi també l’energia cinètica.

2.4. Diferències de potencial i d’energia potencial

Per anar d’ $A$ a $B$ , en el camp d’un sol astre:

\boxed{ \begin{aligned} \Delta V&=V_B-V_A =GM\left(\frac1{r_A}-\frac1{r_B}\right)\\[2mm] \Delta U&=U_B-U_A=m\Delta V\\ &=GMm\left(\frac1{r_A}-\frac1{r_B}\right) \end{aligned}}

Lletres i unitats SI

$r_A,r_B$ : distàncies inicial i final al centre, en m.
$\Delta V$ : diferència de potencial, en J/kg.
$\Delta U$ : variació d’energia potencial, en J.
$M,m$ : masses, en kg.

Quan es fa servir: per a canvis d’altura, treballs i conservació de l’energia.

Quan NO: aquesta expressió amb un únic $M$ no inclou altres astres. En aquest cas, calcula el potencial total a cada punt.

Error més típic: invertir l’ordre. Si puges, $\Delta U>0$ ; si baixes, $\Delta U<0$ , encara que les dues energies siguin negatives.

2.5. Superposició de potencials

\boxed{ \begin{aligned} V(P)&=\sum_i V_i(P) =-G\sum_i\frac{M_i}{r_i}\\ U(P)&=mV(P) \end{aligned}}

Lletres i unitats SI

$M_i$ : cadascuna de les masses que generen el camp, en kg.
$r_i$ : distància de cadascuna al punt $P$ , en m.
$V(P)$ : potencial total, en J/kg.
$m$ : massa que situem a $P$ , en kg; $U(P)$ : energia potencial, en J.

Quan es fa servir: quan hi ha diverses masses.

Quan NO: no sumis així els camps; els camps són vectors i s’han de sumar vectorialment.

Error més típic: fer restar potencials perquè les masses són a costats oposats. Els potencials se sumen amb el seu signe, sense direccions ni components. Amb zero a l’infinit, cada massa positiva aporta un potencial negatiu.

2.6. Treball gravitatori i treball extern

\boxed{ \begin{aligned} W_{\mathrm{grav},\,A\to B}&=-\Delta U\\ &=U_A-U_B\\ &=m(V_A-V_B) \end{aligned}}

\boxed{ W_{\mathrm{ext}}=\Delta E_c+\Delta U }

En un desplaçament lent amb canvi negligible d’energia cinètica, $W_{\mathrm{ext}}\simeq\Delta U$ .

Lletres i unitats SI

$W_{\mathrm{grav}}$ : treball de la gravetat, en J.
$W_{\mathrm{ext}}$ : treball de l’agent extern que mou l’objecte, en J.
$\Delta E_c$ : variació d’energia cinètica, en J.
$\Delta U$ : variació d’energia potencial, en J.

Quan es fa servir:

El treball gravitatori depèn només dels punts inicial i final, no del camí.
Per al treball extern, suposem que, a més de la gravetat, només treballa l’agent extern i no hi ha fregament.

Quan NO: no posis $W_{\mathrm{ext}}=\Delta U$ si hi ha un canvi apreciable de velocitat o altres treballs no inclosos.

Error més típic: donar el mateix signe als dos treballs en una pujada lenta:

gravetat: treball negatiu;
agent extern: treball positiu.

2.7. Aproximació de camp uniforme

\boxed{ \begin{aligned} \Delta V\simeq g(h_B-h_A)\\ \Delta U\simeq mg(h_B-h_A)\\ g\simeq\frac{|\Delta V|}{d} \end{aligned}}

Lletres i unitats SI

$g$ : camp aproximadament constant, en N/kg.
$h_A,h_B$ : altures mesurades cap amunt, en m.
$d=|h_B-h_A|$ : separació vertical, en m.
$\Delta V$ : en J/kg; $\Delta U$ : en J; $m$ : en kg.

Quan es fa servir: en desnivells petits respecte del radi de l’astre.

Quan NO: per a grans canvis d’altura o si $d$ no és la separació vertical.

Error més típic: escriure $U=mgh$ com si tingués el mateix zero que $U=-GMm/r$ . L’expressió $mg\Delta h$ dona una diferència d’energia.

Si et donen $\Delta V$ i $d$ per trobar $g$ , fes servir aquesta relació, no una massa i un radi que no et demanen utilitzar.

2.8. Conservació de l’energia mecànica

\boxed{ E_m=E_c+U=\frac12mv^2-\frac{GMm}{r}}

Si només actua la gravetat:

\boxed{ \begin{aligned} &\frac12mv_A^2-\frac{GMm}{r_A} =\frac12mv_B^2-\frac{GMm}{r_B}\\[1mm] &v_B^2=v_A^2+2GM\left(\frac1{r_B}-\frac1{r_A}\right) \end{aligned}}

Lletres i unitats SI

$E_m,E_c,U$ : energies, en J.
$v_A,v_B$ : mòduls de les velocitats, en m/s.
$m,M$ : masses, en kg; $r_A,r_B$ : distàncies al centre, en m.

Quan es fa servir: per relacionar altura i velocitat quan només actua la gravetat. La massa $m$ es cancel·la en calcular les velocitats.

Quan NO: si treballen motors, fregaments o altres forces, no pots igualar directament les energies mecàniques.

Error més típic: perdre el signe negatiu d’ $U$ . En baixar, $U$ disminueix i $E_c$ augmenta.

Interpretació: en el camp d’un astre aïllat, $E_m<0$ indica un moviment lligat: no pot arribar a l’infinit.

Exemples resolts

En les substitucions numèriques, calculem una vegada el producte $GM$ , substituint $G$ i $M$ , i l’escrivim amb 4 xifres significatives (a la calculadora es guarda el valor complet); la seva unitat SI és $\mathrm{m^3/s^2}$ .

Exemple 1. Pujar una càrrega: potencials, energies i treballs

Un astre esfèric té massa $M=6,00\cdot10^{23}\ \mathrm{kg}$ i radi $R=2,00\cdot10^6\ \mathrm m$ . Una càrrega de $m=2,00\cdot10^2\ \mathrm{kg}$ es trasllada lentament des de la superfície $A$ fins a una altura $h_B=2,00\cdot10^6\ \mathrm m$ . No hi ha fregament.

Busquem: els potencials, la variació d’energia potencial i els treballs.

Pas 1. Distàncies al centre

r_A=R=2,00\cdot10^6\ \mathrm m

\begin{aligned} r_B&=R+h_B\\ &=2,00\cdot10^6+2,00\cdot10^6\\ &=4,00\cdot10^6\ \mathrm m \end{aligned}

Pas 2. Potencial a cada punt

Apliquem el potencial d’un astre esfèric exterior:

GM=(6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}})(6,00\cdot10^{23}\ \mathrm{kg}) =4,002\cdot10^{13}\ \mathrm{m^3/s^2}

\begin{aligned} V_A&=-\frac{GM}{r_A}\\ &=-\frac{(4,002\cdot10^{13})} {2,00\cdot10^6}\ \mathrm{J/kg}\\ &=\boxed{-2,00\cdot10^7\ \mathrm{J/kg}} \end{aligned}

\begin{aligned} V_B&=-\frac{GM}{r_B}\\ &=-\frac{(4,002\cdot10^{13})} {4,00\cdot10^6}\ \mathrm{J/kg}\\ &=\boxed{-1,00\cdot10^7\ \mathrm{J/kg}} \end{aligned}

Pas 3. Variació d’energia potencial

Fem servir $\Delta U=m\Delta V$ . Per evitar restar resultats ja arrodonits, substituïm directament les distàncies:

\Delta U=GMm\left(\frac1{r_A}-\frac1{r_B}\right)

\Delta U= (4,002\cdot10^{13})(2,00\cdot10^2) \left(\frac1{2,00\cdot10^6}-\frac1{4,00\cdot10^6}\right) \mathrm J

\boxed{\Delta U=+2,00\cdot10^9\ \mathrm J}

Pas 4. Treballs

Com que la gravetat és conservativa:

W_{\mathrm{grav}}=-\Delta U =\boxed{-2,00\cdot10^9\ \mathrm J}

El trasllat és lent, de manera que $\Delta E_c\simeq0$ . Per tant:

W_{\mathrm{ext}}\simeq\Delta U =\boxed{+2,00\cdot10^9\ \mathrm J}

Comprovació: pugem; el potencial es fa menys negatiu i $U$ augmenta. La gravetat s’oposa al moviment i fa treball negatiu.

Dues comprovacions inverses útils

Si ens donessin l’energia final $U_B=-2,00\cdot10^9\ \mathrm J$ , podríem recuperar la distància:

U_B=-\frac{GMm}{r_B} \quad\Rightarrow\quad r_B=-\frac{GMm}{U_B}

r_B= -\frac{(4,002\cdot10^{13})(2,00\cdot10^2)} {-2,00\cdot10^9}\ \mathrm m =\boxed{4,00\cdot10^6\ \mathrm m}

Si una mesura local al voltant de $B$ dona $|\Delta V|=62,5\ \mathrm{J/kg}$ entre punts separats verticalment $25,0\ \mathrm m$ , podem considerar el camp uniforme:

g_B\simeq\frac{|\Delta V|}{d} =\frac{62,5\ \mathrm{J/kg}}{25,0\ \mathrm m} =\boxed{2,50\ \mathrm{N/kg}}

A partir de $GMm/r_B^2=mg_B$ :

\begin{aligned} r_B&=\sqrt{\frac{GM}{g_B}}\\ &=\sqrt{\frac{(4,002\cdot10^{13})}{2,50}}\ \mathrm m\\ &=4,00\cdot10^6\ \mathrm m \end{aligned}

\begin{aligned} h_B&=r_B-R\\ &=4,00\cdot10^6-2,00\cdot10^6\\ &=\boxed{2,00\cdot10^6\ \mathrm m} \end{aligned}

Trampa: primer obtenim $g$ de la diferència de potencial; després utilitzem aquest $g$ per trobar la posició.

Exemple 2. Dues masses: suma escalar de potencials

Dues masses puntuals fixes, $M_1=3,00\cdot10^{20}\ \mathrm{kg}$ i $M_2=5,00\cdot10^{20}\ \mathrm{kg}$ , estan separades $1,20\cdot10^6\ \mathrm m$ .

$A$ és el punt mitjà.
$B$ és entre les masses, a $4,00\cdot10^5\ \mathrm m$ de $M_1$ .
Una massa de prova de $m=10,0\ \mathrm{kg}$ va d’ $A$ a $B$ .

Busquem: $V_A$ , $V_B$ i el treball gravitatori.

Pas 1. Organitzem les distàncies

Punt	Distància a $M_1$	Distància a $M_2$
$A$	$6,00\cdot10^5\ \mathrm m$	$6,00\cdot10^5\ \mathrm m$
$B$	$4,00\cdot10^5\ \mathrm m$	$8,00\cdot10^5\ \mathrm m$

Pas 2. Apliquem la superposició escalar

V_A=-G\left(\frac{M_1}{r_{1A}}+\frac{M_2}{r_{2A}}\right)

\begin{aligned} V_{1A}&=-\frac{(6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}})(3,00\cdot10^{20}\ \mathrm{kg})}{6,00\cdot10^5\ \mathrm m}\\ &=-3,335\cdot10^4\ \mathrm{J/kg},\\ V_{2A}&=-\frac{(6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}})(5,00\cdot10^{20}\ \mathrm{kg})}{6,00\cdot10^5\ \mathrm m}\\ &=-5,558\cdot10^4\ \mathrm{J/kg},\\ V_A&=V_{1A}+V_{2A}\\ &=-3,335\cdot10^4\ \mathrm{J/kg}-5,558\cdot10^4\ \mathrm{J/kg}. \end{aligned}

\boxed{V_A=-8,89\cdot10^4\ \mathrm{J/kg}}

\begin{aligned} V_{1B}&=-\frac{(6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}})(3,00\cdot10^{20}\ \mathrm{kg})}{4,00\cdot10^5\ \mathrm m}\\ &=-5,003\cdot10^4\ \mathrm{J/kg},\\ V_{2B}&=-\frac{(6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}})(5,00\cdot10^{20}\ \mathrm{kg})}{8,00\cdot10^5\ \mathrm m}\\ &=-4,169\cdot10^4\ \mathrm{J/kg},\\ V_B&=V_{1B}+V_{2B}\\ &=-5,003\cdot10^4\ \mathrm{J/kg}-4,169\cdot10^4\ \mathrm{J/kg}. \end{aligned}

\boxed{V_B=-9,17\cdot10^4\ \mathrm{J/kg}}

Pas 3. Diferència de potencial i treball

Amb els valors no arrodonits de la calculadora:

\Delta V=V_B-V_A \simeq-9,171\cdot10^4\ \mathrm{J/kg}-(-8,893\cdot10^4\ \mathrm{J/kg}) =\boxed{-2,78\cdot10^3\ \mathrm{J/kg}}

Com que $W_{\mathrm{grav}}=-m\Delta V$ :

W_{\mathrm{grav}} =-(10,0\ \mathrm{kg})(-2,779\cdot10^3\ \mathrm{J/kg}) =\boxed{+2,78\cdot10^4\ \mathrm J}

Comprovació: a $B$ , el potencial total és més negatiu. L’energia potencial disminueix i el treball gravitatori és positiu.

Trampa: no dedueixis el canvi de potencial mirant només a quina massa t’acostes. Cal incloure les dues contribucions.

Exemple 3. Caiguda des del repòs

Reprenem l’astre de l’exemple 1:

\begin{aligned} M&=6,00\cdot10^{23}\ \mathrm{kg}\\ R&=2,00\cdot10^6\ \mathrm m \end{aligned}

Un objecte de $m=2,00\cdot10^2\ \mathrm{kg}$ es troba a $r_A=4,00\cdot10^6\ \mathrm m$ . El deixem anar des del repòs.

Velocitat en arribar a la superfície

Dades: $v_A=0$ , $r_B=R=2,00\cdot10^6\ \mathrm m$ . Negligim l’atmosfera.

Busquem: $v_B$ .

Només actua la gravetat; per tant, es conserva l’energia mecànica:

\frac12mv_A^2-\frac{GMm}{r_A} =\frac12mv_B^2-\frac{GMm}{r_B}

Cancel·lem $m$ , posem $v_A=0$ i aïllem:

v_B=\sqrt{2GM\left(\frac1{r_B}-\frac1{r_A}\right)}

v_B= \sqrt{ 2(4,002\cdot10^{13}) \left(\frac1{2,00\cdot10^6}-\frac1{4,00\cdot10^6}\right) }\ \mathrm{m/s}

\boxed{v_B=4,47\cdot10^3\ \mathrm{m/s}}

Comprovació: en baixar, l’energia potencial disminueix i es transforma en cinètica. La velocitat augmenta des de zero, com calia esperar.

Trampa: la velocitat inicial és zero, però la final no ho és: cal incloure l’energia cinètica final.

Practica

Posa’t a prova

Tres exercicis resolts pas a pas, de menys a més difícils. Intenta’ls abans d’obrir la solució.

Bàsic

1Pujada lenta: dos treballs amb signes diferents

A Neris, amb massa $M=4,80\cdot10^{23}\ \mathrm{kg}$ i radi $R=1,60\cdot10^6\ \mathrm m$ , un mecanisme trasllada una càrrega de $75,0\ \mathrm{kg}$ des de la superfície $A$ fins al punt $B$ , a $400\ \mathrm{km}$ d’altura.

El moviment és lent, amb energia cinètica negligible, i no hi ha fregament.

a
Calcula $U_A$ , $U_B$ i $\Delta U$ .

b
Calcula el treball de la gravetat en la pujada.

c
Calcula el treball del mecanisme en la pujada. Explica per què no coincideix amb el treball gravitatori.

d
Després es baixa lentament la càrrega fins a $A$ . Calcula el treball gravitatori en la baixada i en el recorregut complet $A\to B\to A$ .

Mostra la solució

a) Energies potencials

Les distàncies són:

r_A=R=1,60\cdot10^6\ \mathrm m

\begin{aligned} r_B&=R+h\\ &=1,60\cdot10^6\ \mathrm m+4,00\cdot10^5\ \mathrm m\\ &=2,00\cdot10^6\ \mathrm m \end{aligned}

A la superfície:

U_A=-\frac{GMm}{r_A} =-\frac{ (3,202\cdot10^{13}\ \mathrm{m^3/s^2})(75,0\ \mathrm{kg}) }{ 1,60\cdot10^6\ \mathrm m }

\boxed{U_A=-1,50\cdot10^9\ \mathrm J}

Al punt elevat:

U_B=-\frac{GMm}{r_B} =-\frac{ (3,202\cdot10^{13}\ \mathrm{m^3/s^2})(75,0\ \mathrm{kg}) }{ 2,00\cdot10^6\ \mathrm m }

\boxed{U_B=-1,20\cdot10^9\ \mathrm J}

Per evitar restar energies arrodonides, calculem directament:

\Delta U=GMm\left(\frac1{r_A}-\frac1{r_B}\right)

\begin{aligned} \Delta U&=GMm\left(\frac1{r_A}-\frac1{r_B}\right)\\ &=(3,202\cdot10^{13}\ \mathrm{m^3/s^2})(75,0\ \mathrm{kg})\\ &\quad\times\left(\frac1{1,60\cdot10^6\ \mathrm m}-\frac1{2,00\cdot10^6\ \mathrm m}\right). \end{aligned}

\boxed{\Delta U=+3,00\cdot10^8\ \mathrm J}

b) Treball gravitatori

Com que la gravetat és conservativa:

W_{\mathrm{grav}}=-\Delta U =-(+3,002\cdot10^8\ \mathrm J)

\boxed{W_{\mathrm{grav}}=-3,00\cdot10^8\ \mathrm J}

c) Treball extern

El moviment és lent i $\Delta E_c\simeq0$ :

W_{\mathrm{ext}}=\Delta E_c+\Delta U \simeq0\ \mathrm J+3,002\cdot10^8\ \mathrm J

\boxed{W_{\mathrm{ext}}\simeq+3,00\cdot10^8\ \mathrm J}

Els treballs tenen signes oposats: el mecanisme aporta energia i la gravetat s’oposa a la pujada.

d) Baixada i recorregut complet

En invertir el desplaçament, s’inverteix el signe del treball gravitatori:

W_{\mathrm{grav},\,B\to A} =-W_{\mathrm{grav},\,A\to B} =-(-3,002\cdot10^8\ \mathrm J)

\boxed{W_{\mathrm{grav},\,B\to A}=+3,00\cdot10^8\ \mathrm J}

W_{\mathrm{grav,total}} =(-3,002\cdot10^8\ \mathrm J) +(3,002\cdot10^8\ \mathrm J)

\boxed{W_{\mathrm{grav,total}}=0\ \mathrm J}

Comprovació: un recorregut tancat té treball gravitatori nul. El zero exacte no necessita tres xifres significatives.

Intermedi

2Dues masses: el potencial no té direcció

Dues masses puntuals fixes es troben sobre un eix:

$M_1=6,00\cdot10^{15}\ \mathrm{kg}$ , a $x=0$ .
$M_2=2,00\cdot10^{15}\ \mathrm{kg}$ , a $x=8,00\cdot10^3\ \mathrm m$ .

Considera els punts $A$ , a $x=2,00\cdot10^3\ \mathrm m$ , i $B$ , a $x=4,00\cdot10^3\ \mathrm m$ .

a
Organitza en una taula les distàncies de cada punt a cada massa.

b
Calcula $V_A$ i $V_B$ , sumant les contribucions de les dues masses.

c
Una massa de prova de $12,0\ \mathrm{kg}$ es trasllada d’ $A$ a $B$ . Calcula la variació d’energia potencial i el treball gravitatori.

d
Si el trasllat és lent, quin treball ha de fer l’agent extern?

e
Un company diu: «Com que $B$ és al mig, els potencials de les dues masses s’anul·len». Explica per què és incorrecte.

Mostra la solució

a) Distàncies

Cada distància és el valor absolut de la diferència de coordenades. Per exemple:

r_{2A} =\left|8,00\cdot10^3\ \mathrm m-2,00\cdot10^3\ \mathrm m\right| =6,00\cdot10^3\ \mathrm m

Punt	Distància a $M_1$	Distància a $M_2$
$A$	$2,00\cdot10^3\ \mathrm m$	$6,00\cdot10^3\ \mathrm m$
$B$	$4,00\cdot10^3\ \mathrm m$	$4,00\cdot10^3\ \mathrm m$

b) Potencials totals

Apliquem la superposició escalar de potencials:

V_A=-G\left(\frac{M_1}{r_{1A}}+\frac{M_2}{r_{2A}}\right)

\begin{aligned} V_{1A}&=-\frac{(6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}})(6,00\cdot10^{15}\ \mathrm{kg})}{2,00\cdot10^3\ \mathrm m}\\ &=-200,1\ \mathrm{J/kg},\\ V_{2A}&=-\frac{(6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}})(2,00\cdot10^{15}\ \mathrm{kg})}{6,00\cdot10^3\ \mathrm m}\\ &=-22,23\ \mathrm{J/kg},\\ V_A&=V_{1A}+V_{2A}\\ &=-200,1\ \mathrm{J/kg}-22,23\ \mathrm{J/kg}. \end{aligned}

\boxed{V_A=-222\ \mathrm{J/kg}}

\begin{aligned} V_{1B}&=-\frac{(6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}})(6,00\cdot10^{15}\ \mathrm{kg})}{4,00\cdot10^3\ \mathrm m}\\ &=-100,1\ \mathrm{J/kg},\\ V_{2B}&=-\frac{(6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}})(2,00\cdot10^{15}\ \mathrm{kg})}{4,00\cdot10^3\ \mathrm m}\\ &=-33,35\ \mathrm{J/kg},\\ V_B&=V_{1B}+V_{2B}\\ &=-100,1\ \mathrm{J/kg}-33,35\ \mathrm{J/kg}. \end{aligned}

\boxed{V_B=-133\ \mathrm{J/kg}}

c) Variació d’energia i treball gravitatori

Amb els potencials no arrodonits:

\begin{aligned} \Delta V&=V_B-V_A\\ &\simeq(-133,4\ \mathrm{J/kg})-(-222,3\ \mathrm{J/kg}) \end{aligned}

\Delta V\simeq+88,93\ \mathrm{J/kg}

\Delta U=m\Delta V =(12,0\ \mathrm{kg})(88,93\ \mathrm{J/kg})

\boxed{\Delta U=+1,07\cdot10^3\ \mathrm J}

W_{\mathrm{grav}}=-\Delta U =-(1,067\cdot10^3\ \mathrm J)

\boxed{W_{\mathrm{grav}}=-1,07\cdot10^3\ \mathrm J}

d) Treball extern lent

W_{\mathrm{ext}}\simeq\Delta U =+1,067\cdot10^3\ \mathrm J

\boxed{W_{\mathrm{ext}}\simeq+1,07\cdot10^3\ \mathrm J}

e) Interpretació

L’afirmació és incorrecta perquè el potencial és escalar. Les dues masses aporten potencials negatius que se sumen, no vectors que puguin tenir sentits oposats.

Comprovació: $V_B>V_A$ ; per tant, l’energia potencial augmenta i el treball gravitatori és negatiu.

Tipus PAU

3Tipus PAU: caiguda amb dues velocitats inicials

Problema de 2,5 punts: dos apartats d’1,25 punts.

Una sonda de $90,0\ \mathrm{kg}$ es troba a una distància $r_0=3,20\cdot10^6\ \mathrm m$ del centre de Neris, de massa $M=4,80\cdot10^{23}\ \mathrm{kg}$ i radi $R=1,60\cdot10^6\ \mathrm m$ .

Estudiem dues situacions alternatives, no consecutives.

a
[1,25 punts] La sonda es deixa anar des del repòs i cau radialment. Justifica la llei de conservació que utilitzes i calcula la velocitat i l’energia cinètica just abans d’arribar a la superfície.

b
[1,25 punts] Ara la mateixa sonda surt del mateix punt amb velocitat radial cap a la superfície de $1,20\cdot10^3\ \mathrm{m/s}$ . Planteja la conservació de l’energia, calcula la velocitat i l’energia cinètica just abans d’arribar a la superfície, i compara-les amb les de a).

Deures: exercicis 8–13, per entregar divendres 6 de novembre.
Dedicació orientativa total: 240 minuts, aproximadament 40 minuts per exercici. Inclou el plantejament, els càlculs i la revisió dels signes i de les unitats.

Mostra la solució

a) Caiguda des del repòs

Només actua la gravetat. Com que és una força conservativa, es conserva l’energia mecànica.

Prenem $A$ al punt inicial i $B$ just abans d’arribar a la superfície:

\frac12mv_A^2-\frac{GMm}{r_0} = \frac12mv_B^2-\frac{GMm}{R}

Com que $v_A=0$ , cancel·lem $m$ i aïllem:

v_B=\sqrt{2GM\left(\frac1R-\frac1{r_0}\right)}

\begin{aligned} 2GM\left(\frac1R-\frac1{r_0}\right)&=2(3,202\cdot10^{13}\ \mathrm{m^3/s^2})\\ &\quad\times\left(\frac1{1,60\cdot10^6\ \mathrm m}-\frac1{3,20\cdot10^6\ \mathrm m}\right)\\ &=2,001\cdot10^7\ \mathrm{m^2/s^2},\\ v_B&=\sqrt{2,001\cdot10^7\ \mathrm{m^2/s^2}}. \end{aligned}

\boxed{v_B=4,47\cdot10^3\ \mathrm{m/s}}

L’energia cinètica final és:

E_{c,B}=\frac12mv_B^2 =\frac12(90,0\ \mathrm{kg}) (4,473\cdot10^3\ \mathrm{m/s})^2

\boxed{E_{c,B}=9,00\cdot10^8\ \mathrm J}

Comprovació: l’objecte parteix del repòs i guanya energia cinètica en baixar. El signe dins l’arrel és positiu perquè $R<r_0$ .

b) Caiguda amb velocitat inicial

Dades: $v_0=1,20\cdot10^3\ \mathrm{m/s}$ cap a la superfície; mateixa massa i posicions que a a). Només actua la gravetat.

\frac12mv_0^2-\frac{GMm}{r_0} =\frac12mv^2-\frac{GMm}{R}.

Cancel·lem la massa i aïllem el quadrat de la rapidesa:

v^2=v_0^2+2GM\left(\frac1R-\frac1{r_0}\right).

Per a Neris, $GM=3,202\cdot10^{13}\ \mathrm{m^3/s^2}$ . Substituïm per etapes:

\begin{aligned} v^2&=(1,20\cdot10^3\ \mathrm{m/s})^2 +2,001\cdot10^7\ \mathrm{m^2/s^2}\\ &=2,145\cdot10^7\ \mathrm{m^2/s^2},\\ v&=4,63\cdot10^3\ \mathrm{m/s}. \end{aligned}

La velocitat apunta cap a la superfície. L’energia cinètica és:

\begin{aligned} E_c&=\frac12mv^2\\ &=\frac12(90,0\ \mathrm{kg})(2,145\cdot10^7\ \mathrm{m^2/s^2})\\ &=9,65\cdot10^8\ \mathrm J. \end{aligned}

Comprovació: l’increment d’energia cinètica durant la caiguda és el mateix que a a), perquè les posicions són les mateixes. Ara s’hi afegeix l’energia cinètica inicial, $\tfrac12(90,0\ \mathrm{kg})(1,20\cdot10^3\ \mathrm{m/s})^2=6,48\cdot10^7\ \mathrm J$ , i s’arriba amb més rapidesa.

Pauta orientativa — 2,5 punts: a) hipòtesi, equació, aïllament, velocitat i energia cinètica, 0,25 cadascun; b) els mateixos quatre primers passos, 0,25 cadascun, i energia cinètica amb comparació, 0,25.