Física · 2.º de Bachillerato · PAU

Fuerza y campo gravitatorio

Por qué la Luna gira alrededor de la Tierra, qué distancia va en la fórmula y cómo se suman los campos de varias masas. Lee y juega con cada figura.

8 min de lectura
8 figuras interactivas
3 ejercicios resueltos

¡lee y juega!

La fuerza gravitatoria es la atracción entre dos cuerpos que tienen masa. El campo gravitatorio describe el efecto que una masa produce en cada punto del espacio: nos permite saber qué fuerza recibiría un cuerpo si lo situáramos en ese punto.

En esta sesión aprenderás a:

calcular la fuerza entre dos masas;
elegir correctamente la distancia que debes utilizar;
indicar la dirección y el sentido de la fuerza;
calcular el campo gravitatorio en un punto;
sumar los campos producidos por varias masas.

Antes de empezar…

¿Por qué no cae la Luna?

En 1687, Isaac Newton propuso un experimento mental. Un cañón, en lo alto de una montaña altísima, dispara horizontalmente. Cuanto más rápido sale la bala, más lejos cae.

Pero hay una velocidad en la que pasa algo sorprendente: la bala sigue cayendo, pero la Tierra se curva igual de rápido bajo ella. Ya nunca toca el suelo. Es la misma gravedad que hace caer una manzana, y es la que mantiene la Luna y los satélites en su sitio.

Elige una velocidad y dispara. Las trayectorias se quedan dibujadas, como en el dibujo original de Newton.

Míralo en 40 segundos

Ahora pruébalo tú:

Modelo ideal: sin aire, y con la montaña exagerada hasta 637 km para que se vea. Las velocidades son las reales para esta altura.

Conexión con la fuerza centrípeta

En la sesión anterior trabajaste el movimiento circular uniforme. Para que un cuerpo siga una trayectoria circular, la fuerza resultante debe apuntar hacia el centro de la trayectoria. Su módulo es:

F_{\text{centrípeta}}=\frac{mv^2}{R}

La fuerza centrípeta no es una fuerza adicional. Es el nombre que damos a la fuerza resultante dirigida hacia el centro cuando un cuerpo realiza un movimiento circular.

La gravedad puede desempeñar esta función, pero los dos conceptos no son equivalentes:

La gravitación explica el origen de una fuerza: la atracción entre masas.
El término centrípeta describe la función de la fuerza resultante en un movimiento circular.

Por tanto, no debes sumar una «fuerza gravitatoria» y una «fuerza centrípeta» como si fueran dos fuerzas diferentes. Si la gravedad es la única fuerza que actúa y produce un movimiento circular, ella misma actúa como fuerza centrípeta.

Ley de gravitación universal

Dos masas puntuales, $M$ y $m$ , separadas una distancia $r$ , se atraen con una fuerza de módulo:

\boxed{F=G\frac{Mm}{r^2}}

Símbolo	Significado	Unidad del SI
$F$	Módulo de la fuerza gravitatoria	N
$M$ , $m$	Masas de los dos cuerpos	kg
$r$	Distancia entre las masas	m
$G$	Constante de gravitación universal	$\mathrm{N\,m^2/kg^2}$

G\approx 6{,}67\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2}

¿Qué consecuencias tiene esta ley?

Si una masa se duplica, manteniendo el resto igual, la fuerza se duplica, porque $F$ es proporcional a cada una de las masas.
Si la distancia se duplica, la fuerza pasa a ser una cuarta parte, porque la distancia aparece al cuadrado en el denominador:
$F'=\frac{F}{2^2}=\frac{F}{4}$
Si la distancia se triplica, la fuerza pasa a ser una novena parte.

La gravedad disminuye con la distancia, pero no disminuye de manera proporcional a $1/r$ , sino a $1/r^2$ .

¿Qué distancia debes poner en la fórmula?

La distancia $r$ se mide entre los centros de los cuerpos, cuando podemos tratarlos como masas puntuales o como cuerpos esféricos con distribución de masa esféricamente simétrica, sin que se superpongan.

En los problemas habituales con un planeta, consideramos el planeta esférico y el cuerpo que está cerca lo suficientemente pequeño como para tratarlo como una masa puntual.

Cuerpo a una altura $h$ sobre la superficie

Si el planeta tiene radio $R$ , la distancia de su centro al cuerpo es:

\boxed{r=R+h}

Por tanto:

\boxed{F=G\frac{Mm}{(R+h)^2}}

La altura $h$ se mide desde la superficie, pero la fórmula necesita la distancia desde el centro. Por eso hay que sumar el radio del planeta y la altura.

Cuerpo en la superficie

Si $h=0$ , entonces:

r=R \qquad\Rightarrow\qquad F=G\frac{Mm}{R^2}

Compte!
Error que hay que evitar: sustituir $r$ solo por la altura. Un cuerpo en la superficie tiene altura cero, pero su distancia al centro del planeta es $R$ , no cero.

Antes de sustituir los datos, pasa todas las distancias a metros. Por ejemplo:

400\ \mathrm{km}=4{,}00\times10^5\ \mathrm{m}

Dirección y sentido de la fuerza gravitatoria

La fuerza es un vector. Para describirla, no basta con calcular su módulo.

Para dos masas puntuales:

Dirección: la recta que une las dos masas.
Sentido: hacia la masa que produce la atracción.
Módulo: $F=GMm/r^2$ .

La fuerza sobre un cuerpo cercano a un planeta apunta, por tanto, hacia el centro del planeta.

Las dos masas se atraen mutuamente: cada una ejerce sobre la otra una fuerza del mismo módulo y de sentido contrario. Estas fuerzas no se cancelan sobre un mismo cuerpo, porque actúan sobre cuerpos diferentes.

¿Cómo expresamos el sentido con un signo?

Si definimos $\hat{\boldsymbol r}$ como el vector unitario que apunta desde la masa $M$ hacia el cuerpo $m$ , la fuerza sobre $m$ es:

\boxed{\vec F=-G\frac{Mm}{r^2}\,\hat{\boldsymbol r}}

El signo menos indica que la fuerza apunta en sentido contrario a $\hat{\boldsymbol r}$ : hacia $M$ .

En la fórmula del módulo, $F=GMm/r^2$ , no ponemos este signo, porque el módulo no es negativo.

Campo gravitatorio en un punto

El campo gravitatorio indica la fuerza gravitatoria por unidad de masa que recibiría un cuerpo situado en ese punto:

\boxed{\vec g=\frac{\vec F}{m}}

Por tanto, si conocemos el campo, podemos calcular la fuerza sobre un cuerpo de masa $m$ :

\boxed{\vec F=m\vec g}

El campo existe aunque no coloquemos ningún cuerpo. El cuerpo nos sirve para describir o medir el efecto del campo.

Campo producido por una masa $M$

A una distancia $r$ de una masa puntual $M$ , el módulo del campo es:

\boxed{g=G\frac{M}{r^2}}

Su dirección y su sentido son los mismos que los de la fuerza sobre una masa situada en ese punto: apunta hacia $M$ .

Con el vector unitario definido antes:

\boxed{\vec g=-G\frac{M}{r^2}\,\hat{\boldsymbol r}}

El campo depende de la masa que lo crea y de la posición del punto, pero no de la masa del cuerpo que situemos en él. En cambio, la fuerza sobre ese cuerpo sí depende de su masa, porque $\vec F=m\vec g$ .

Unidades y relación con la aceleración

El campo se mide en:

\mathrm{N/kg}

Como $1\ \mathrm{N}=1\ \mathrm{kg\,m/s^2}$ , también podemos expresarlo en:

\mathrm{m/s^2}

Si la gravedad es la única fuerza que actúa, la segunda ley de Newton da:

m\vec a=\vec F=m\vec g \qquad\Rightarrow\qquad \boxed{\vec a=\vec g}

Por eso, en las mismas condiciones y sin resistencia del aire, dos cuerpos de masas diferentes tienen la misma aceleración gravitatoria. El cuerpo de mayor masa recibe más fuerza, pero también tiene más masa; al calcular $F/m$ , estos dos efectos se compensan.

Ejemplo: campo a 400 km sobre la Tierra

Consideramos:

M_{\mathrm T}=5{,}97\times10^{24}\ \mathrm{kg}

R_{\mathrm T}=6{,}37\times10^6\ \mathrm{m}, \qquad h=4{,}00\times10^5\ \mathrm{m}

Primero, calculamos la distancia al centro:

r=R_{\mathrm T}+h =6{,}77\times10^6\ \mathrm{m}

Después, calculamos el campo:

g=\frac{GM_{\mathrm T}}{r^2} =\frac{(6{,}67\times10^{-11})(5{,}97\times10^{24})} {(6{,}77\times10^6)^2}

\boxed{g\approx8{,}69\ \mathrm{N/kg}}

El campo apunta hacia el centro de la Tierra.

Si en este punto hay un cuerpo de $2{,}00\ \mathrm{kg}$ :

F=mg=2{,}00\cdot8{,}69

\boxed{F\approx17{,}4\ \mathrm{N}}

La fuerza también apunta hacia el centro terrestre. El campo es menor que en la superficie porque la distancia al centro es mayor.

Superposición: el campo creado por varias masas

Si varias masas crean campo en un mismo punto $P$ , el campo total es la suma vectorial de sus contribuciones:

\boxed{\vec g_{\text{total}}(P)=\vec g_1(P)+\vec g_2(P)+\cdots}

Para cada masa $M_i$ :

g_i=G\frac{M_i}{r_i^2}

Aquí, $r_i$ es la distancia desde la masa $M_i$ hasta el punto $P$ . Cada campo apunta desde $P$ hacia la masa que lo crea.

Procedimiento

Dibuja las masas y el punto $P$ .
Calcula la distancia de cada masa a $P$ .
Dibuja en $P$ el vector campo producido por cada masa.
Elige los ejes y los sentidos positivos.
Calcula y suma las componentes de los campos.

Si trabajas en dos dimensiones:

g_x=\sum_i g_{ix}, \qquad g_y=\sum_i g_{iy}

Después:

|\vec g_{\text{total}}|=\sqrt{g_x^2+g_y^2}

No sumes directamente los módulos si los vectores tienen direcciones o sentidos diferentes. Como el campo es un vector, el resultado depende tanto de la intensidad de cada contribución como de su orientación.

Ejemplo: dos masas y un punto entre ellas

Dos masas puntuales están separadas $6{,}00\ \mathrm{km}$ :

$M_A=4{,}00\times10^{12}\ \mathrm{kg}$ , a la izquierda.
$M_B=1{,}00\times10^{12}\ \mathrm{kg}$ , a la derecha.

El punto $P$ está en el medio, a $3{,}00\times10^3\ \mathrm{m}$ de cada una. Tomamos la derecha como sentido positivo.

El campo de $A$ apunta hacia la izquierda:

g_{Ax}=-G\frac{M_A}{r^2} =-2{,}96\times10^{-5}\ \mathrm{N/kg}

El campo de $B$ apunta hacia la derecha:

g_{Bx}=+G\frac{M_B}{r^2} =+7{,}41\times10^{-6}\ \mathrm{N/kg}

Por tanto:

g_{\text{total},x}=g_{Ax}+g_{Bx}

\boxed{g_{\text{total},x}=-2{,}22\times10^{-5}\ \mathrm{N/kg}}

El campo resultante apunta hacia la izquierda. Las distancias son iguales, pero $A$ tiene más masa; por eso su contribución es más intensa y determina el sentido del resultado.

Si las dos masas fueran iguales, en el punto medio los campos tendrían el mismo módulo y sentidos contrarios. En consecuencia, el campo total sería cero.

Comprobaciones antes de dar una respuesta en la PAU

Distancia: ¿has utilizado la distancia entre centros? Si te dan una altura, ¿has calculado $R+h$ ?
Unidades: ¿has pasado las masas a kg y las distancias a m?
Magnitud solicitada: ¿te piden fuerza, en N, o campo, en N/kg?
Dirección y sentido: ¿has indicado hacia dónde apunta el vector?
Superposición: ¿has sumado vectores o componentes, y no solo módulos?
Coherencia: si aumenta la distancia y el resto no cambia, la fuerza y el campo deben disminuir.

Las cuatro expresiones clave

\boxed{F=G\frac{Mm}{r^2}} \qquad \boxed{g=G\frac{M}{r^2}}

\boxed{\vec F=m\vec g} \qquad \boxed{\vec g_{\text{total}}=\sum_i\vec g_i}

La idea central es esta: las masas crean campo; el campo determina la fuerza sobre un cuerpo; y la fuerza resultante determina su aceleración.

Practica

Ponte a prueba

Tres ejercicios resueltos paso a paso, de menor a mayor dificultad. Inténtalos antes de abrir la solución.

Básico

1La altura no es la distancia al centro

Un planeta tiene masa $6{,}00\times10^{23}\ \mathrm{kg}$ y radio $3{,}00\times10^6\ \mathrm{m}$ . Un cuerpo de $80{,}0\ \mathrm{kg}$ se encuentra a $1\,000\ \mathrm{km}$ sobre la superficie.

a
Haz un esquema y calcula la distancia del cuerpo al centro del planeta.
b
Calcula la fuerza gravitatoria sobre el cuerpo.
c
Calcula la fuerza que recibiría el mismo cuerpo en la superficie.
d
Calcula la fuerza cuando la altura sobre la superficie es igual al radio del planeta. Compárala con la fuerza en la superficie.
e
Un alumno utiliza $r=1{,}00\times10^6\ \mathrm{m}$ en el apartado b. Explica el error y determina por qué factor sobreestima la fuerza.

Muestra la solución

a) Distancia correcta

Primero convertimos la altura:

h=1000\ \mathrm{km}=1{,}00\times10^6\ \mathrm{m}

El esquema radial es: centro → superficie → cuerpo. Así:

r=R+h=3{,}00\times10^6+1{,}00\times10^6

\boxed{r=4{,}00\times10^6\ \mathrm{m}}

b) Fuerza a esta altura

\begin{aligned} F&=G\frac{Mm}{r^2}\\ &=6{,}67\times10^{-11} \frac{(6{,}00\times10^{23})(80{,}0)} {(4{,}00\times10^6)^2} \end{aligned}

\boxed{F=2{,}00\times10^2\ \mathrm{N}}

Apunta hacia el centro del planeta.

c) Fuerza en la superficie

Ahora $r=R$ :

F_0=6{,}67\times10^{-11} \frac{(6{,}00\times10^{23})(80{,}0)} {(3{,}00\times10^6)^2}

\boxed{F_0=356\ \mathrm{N}}

d) Altura igual al radio

Si $h=R$ , la distancia al centro es $2R$ :

F_{h=R}=\frac{F_0}{4} =\boxed{88{,}9\ \mathrm{N}}

La fuerza es una cuarta parte de la superficial porque la distancia al centro se ha duplicado.

e) Error de utilizar solo la altura

La distancia incorrecta es cuatro veces más pequeña que la correcta:

\begin{aligned} \frac{F_{\text{errónea}}}{F_{\text{correcta}}} &=\left(\frac{r_{\text{correcta}}}{r_{\text{errónea}}}\right)^2\\ &=\left(\frac{4{,}00\times10^6}{1{,}00\times10^6}\right)^2 =\boxed{16} \end{aligned}

El alumno sobreestima la fuerza por un factor de 16 porque ha medido desde la superficie, no desde el centro.

Intermedio

2Mismo campo, fuerzas diferentes

Un planeta tiene masa $8{,}00\times10^{22}\ \mathrm{kg}$ y radio $2{,}00\times10^6\ \mathrm{m}$ . Considera un punto a una altura de $2{,}00\times10^6\ \mathrm{m}$ sobre la superficie.

En este punto se colocan, sucesivamente, un cuerpo de $0{,}200\ \mathrm{kg}$ y otro de $5{,}00\ \mathrm{kg}$ .

a
Calcula el campo gravitatorio en este punto.
b
Calcula la fuerza sobre cada cuerpo.
c
Si los dejamos libres y solo actúa la gravedad, ¿qué aceleración inicial tiene cada uno?
d
Si un soporte mantiene el cuerpo de $5{,}00\ \mathrm{kg}$ en reposo, ¿qué fuerza debe ejercer? ¿Cuál es entonces la aceleración del cuerpo?
e
Explica la diferencia entre el campo gravitatorio y la aceleración real de un cuerpo sostenido.

Muestra la solución

a) Campo en el punto

r=R+h=4{,}00\times10^6\ \mathrm{m}

g=\frac{GM}{r^2} =\frac{(6{,}67\times10^{-11})(8{,}00\times10^{22})} {(4{,}00\times10^6)^2}

\boxed{g=0{,}334\ \mathrm{N/kg}}

Apunta hacia el centro del planeta.

b) Fuerzas

Para el cuerpo de $0{,}200\ \mathrm{kg}$ :

F_1=m_1g=0{,}200\cdot0{,}3335 =\boxed{0{,}0667\ \mathrm{N}}

Para el cuerpo de $5{,}00\ \mathrm{kg}$ :

F_2=m_2g=5{,}00\cdot0{,}3335 =\boxed{1{,}67\ \mathrm{N}}

Ambas fuerzas apuntan hacia el centro.

c) Aceleraciones si solo actúa la gravedad

\vec a=\frac{\vec F}{m}=\frac{m\vec g}{m}=\vec g

Por tanto, ambos tienen inicialmente:

\boxed{a=0{,}334\ \mathrm{m/s^2}}

hacia el centro.

d) Cuerpo sostenido en reposo

Para que continúe en reposo, la fuerza resultante debe ser cero. El soporte debe compensar la gravedad:

\boxed{F_{\text{soporte}}=1{,}67\ \mathrm{N}}

La fuerza del soporte apunta radialmente hacia fuera. Como las dos fuerzas se compensan:

\boxed{\vec a=\vec 0}

e) Campo y aceleración real

El campo en este punto sigue siendo $0{,}334\ \mathrm{N/kg}$ , aunque el cuerpo esté sostenido. La aceleración real es cero porque depende de todas las fuerzas, no solo de la gravedad.

Tipo PAU

3¿Dónde se anula el campo?

Dos masas están separadas $12{,}0\ \mathrm{km}$ :

M_A=1{,}60\times10^{13}\ \mathrm{kg},\quad x_A=0

\begin{gathered} M_B=4{,}00\times10^{12}\ \mathrm{kg},\\ x_B=12{,}0\ \mathrm{km} \end{gathered}

a
Calcula el campo total en el punto medio.
b
Halla el punto finito del eje $x$ donde el campo total es cero.
c
Explica por qué este punto queda más cerca de la masa más pequeña.
d
Justifica por qué no hay ningún punto de campo nulo a la izquierda de $A$ ni a la derecha de $B$ .
e
¿Qué fuerza recibiría una masa de $7{,}00\ \mathrm{kg}$ situada en el punto de campo nulo?

Muestra la solución

a) Campo en el punto medio

El punto medio está a $6000\ \mathrm{m}$ de cada masa:

\begin{aligned} g_{A,x}&=-G\frac{1{,}60\times10^{13}}{6000^2}\\ &=-2{,}96444\times10^{-5}\ \mathrm{N/kg} \end{aligned}

\begin{aligned} g_{B,x}&=+G\frac{4{,}00\times10^{12}}{6000^2}\\ &=+7{,}41111\times10^{-6}\ \mathrm{N/kg} \end{aligned}

\boxed{g_x=-2{,}22\times10^{-5}\ \mathrm{N/kg}}

Apunta hacia $A$ , la masa más grande.

b) Posición del punto nulo

Entre las masas, los campos tienen sentidos contrarios. Igualamos los módulos:

G\frac{M_A}{x^2} =G\frac{M_B}{(12000-x)^2}

Cancelamos $G$ y tomamos la raíz cuadrada:

\frac{x}{12000-x} =\sqrt{\frac{M_A}{M_B}} =\sqrt{4}=2

x=2(12000-x)

3x=24000

\boxed{x=8{,}00\times10^3\ \mathrm{m}}

El punto está a $8{,}00\ \mathrm{km}$ de $A$ y a $4{,}00\ \mathrm{km}$ de $B$ .

c) ¿Por qué queda más cerca de la masa pequeña?

La masa pequeña crea un campo menos intenso a igual distancia. Para que iguale el campo de la masa grande, hay que situarse más cerca de ella. La menor distancia compensa la menor masa.

d) ¿Por qué no hay puntos nulos en el exterior?

A la izquierda de $A$ , ambos campos apuntan a la derecha. A la derecha de $B$ , ambos apuntan a la izquierda. Como tienen el mismo sentido, no pueden cancelarse.

e) Fuerza en el punto nulo

\vec F=m\vec g=7{,}00\,\vec 0

\boxed{\vec F=\vec 0}

Es nula la fuerza resultante, no cada una de las dos fuerzas gravitatorias.

Fuerza y campo gravitatorio

¿Qué consecuencias tiene esta ley?

Cuerpo a una altura hhh sobre la superficie

Cuerpo en la superficie

¿Cómo expresamos el sentido con un signo?

Campo producido por una masa MMM

Unidades y relación con la aceleración

Procedimiento

Ejemplo: dos masas y un punto entre ellas

Las cuatro expresiones clave

1La altura no es la distancia al centro

a) Distancia correcta

b) Fuerza a esta altura

c) Fuerza en la superficie

d) Altura igual al radio

e) Error de utilizar solo la altura

2Mismo campo, fuerzas diferentes

a) Campo en el punto

b) Fuerzas

c) Aceleraciones si solo actúa la gravedad

d) Cuerpo sostenido en reposo

e) Campo y aceleración real

3¿Dónde se anula el campo?

a) Campo en el punto medio

b) Posición del punto nulo

c) ¿Por qué queda más cerca de la masa pequeña?

d) ¿Por qué no hay puntos nulos en el exterior?

e) Fuerza en el punto nulo

Cuerpo a una altura $h$ sobre la superficie

Campo producido por una masa $M$