Física · 2n de Batxillerat · PAU

Força i camp gravitatoris

Per què la Lluna gira al voltant de la Terra, quina distància va a la fórmula i com se sumen els camps de diverses masses. Llegeix i juga amb cada figura.

8 min de lectura
8 figures interactives
3 exercicis resolts

llegeix i juga!

La força gravitatòria és l’atracció entre dos cossos que tenen massa. El camp gravitatori descriu l’efecte que una massa produeix en cada punt de l’espai: ens permet saber quina força rebria un cos si el situéssim en aquell punt.

En aquesta pàgina aprendràs a

calcular la força entre dues masses;
triar correctament la distància que has de fer servir;
indicar la direcció i el sentit de la força;
calcular el camp gravitatori en un punt;
sumar els camps produïts per diverses masses.

Abans de començar…

Per què la Lluna no cau?

El 1687, Isaac Newton va proposar un experiment mental. Un canó, dalt d’una muntanya altíssima, dispara horitzontalment. Com més ràpid surt la bala, més lluny cau.

Però hi ha una velocitat en què passa una cosa sorprenent: la bala continua caient, però la Terra es corba igual de ràpid sota seu. Ja no toca mai a terra. És la mateixa gravetat que fa caure una poma, i és la que manté la Lluna i els satèl·lits al seu lloc.

Tria una velocitat i dispara. Les trajectòries es queden dibuixades, com al dibuix original de Newton.

Mira-ho en 40 segons

Ara prova-ho tu:

Model ideal: sense aire, i amb la muntanya exagerada fins a 637 km perquè es vegi. Les velocitats són les reals per a aquesta altura.

Connexió amb la força centrípeta

A la sessió anterior vas treballar el moviment circular uniforme. Perquè un cos segueixi una trajectòria circular, la força resultant ha d’apuntar cap al centre de la trajectòria. El seu mòdul és:

F_{\text{centrípeta}}=\frac{mv^2}{R}

La força centrípeta no és una força addicional. És el nom que donem a la força resultant dirigida cap al centre quan un cos fa un moviment circular.

La gravetat pot fer aquesta funció, però els dos conceptes no són equivalents:

La gravitació explica l’origen d’una força: l’atracció entre masses.
El terme centrípeta descriu la funció de la força resultant en un moviment circular.

Per tant, no has de sumar una «força gravitatòria» i una «força centrípeta» com si fossin dues forces diferents. Si la gravetat és l’única força que actua i produeix un moviment circular, ella mateixa fa de força centrípeta.

Llei de gravitació universal

Dues masses puntuals, $M$ i $m$ , separades una distància $r$ , s’atrauen amb una força de mòdul:

\boxed{F=G\frac{Mm}{r^2}}

Símbol	Significat	Unitat del SI
$F$	Mòdul de la força gravitatòria	N
$M$ , $m$	Masses dels dos cossos	kg
$r$	Distància entre les masses	m
$G$	Constant de gravitació universal	$\mathrm{N\,m^2/kg^2}$

G\approx 6{,}67\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2}

Quines conseqüències té aquesta llei?

Si una massa es duplica, mantenint la resta igual, la força es duplica, perquè $F$ és proporcional a cadascuna de les masses.
Si la distància es duplica, la força passa a ser una quarta part, perquè la distància apareix al quadrat en el denominador:
$F'=\frac{F}{2^2}=\frac{F}{4}$
Si la distància es triplica, la força passa a ser una novena part.

La gravetat disminueix amb la distància, però no disminueix de manera proporcional a $1/r$ , sinó a $1/r^2$ .

Quina distància has de posar a la fórmula?

La distància $r$ es mesura entre els centres dels cossos, quan els podem tractar com a masses puntuals o com a cossos esfèrics amb distribució de massa esfèricament simètrica, sense que se superposin.

En els problemes habituals amb un planeta, considerem el planeta esfèric i el cos que hi ha a prop prou petit per tractar-lo com una massa puntual.

Cos a una altura $h$ sobre la superfície

Si el planeta té radi $R$ , la distància del seu centre al cos és:

\boxed{r=R+h}

Per tant:

\boxed{F=G\frac{Mm}{(R+h)^2}}

L’altura $h$ es mesura des de la superfície, però la fórmula necessita la distància des del centre. Per això cal sumar el radi del planeta i l’altura.

Cos a la superfície

Si $h=0$ , aleshores:

r=R \qquad\Rightarrow\qquad F=G\frac{Mm}{R^2}

Compte!
Error que cal evitar: substituir $r$ només per l’altura. Un cos a la superfície té altura zero, però la seva distància al centre del planeta és $R$ , no zero.

Abans de substituir les dades, passa totes les distàncies a metres. Per exemple:

400\ \mathrm{km}=4{,}00\times10^5\ \mathrm{m}

Direcció i sentit de la força gravitatòria

La força és un vector. Per descriure-la, no n’hi ha prou amb calcular-ne el mòdul.

Per a dues masses puntuals:

Direcció: la recta que uneix les dues masses.
Sentit: cap a la massa que produeix l’atracció.
Mòdul: $F=GMm/r^2$ .

La força sobre un cos proper a un planeta apunta, per tant, cap al centre del planeta.

Les dues masses s’atrauen mútuament: cadascuna exerceix sobre l’altra una força del mateix mòdul i de sentit contrari. Aquestes forces no es cancel·len sobre un mateix cos, perquè actuen sobre cossos diferents.

Com expressem el sentit amb un signe?

Si definim $\hat{\boldsymbol r}$ com el vector unitari que apunta des de la massa $M$ cap al cos $m$ , la força sobre $m$ és:

\boxed{\vec F=-G\frac{Mm}{r^2}\,\hat{\boldsymbol r}}

El signe menys indica que la força apunta en sentit contrari a $\hat{\boldsymbol r}$ : cap a $M$ .

A la fórmula del mòdul, $F=GMm/r^2$ , no posem aquest signe, perquè el mòdul no és negatiu.

Camp gravitatori en un punt

El camp gravitatori indica la força gravitatòria per unitat de massa que rebria un cos situat en aquell punt:

\boxed{\vec g=\frac{\vec F}{m}}

Per tant, si coneixem el camp, podem calcular la força sobre un cos de massa $m$ :

\boxed{\vec F=m\vec g}

El camp existeix encara que no hi posem cap cos. El cos ens serveix per descriure o mesurar l’efecte del camp.

Camp produït per una massa $M$

A una distància $r$ d’una massa puntual $M$ , el mòdul del camp és:

\boxed{g=G\frac{M}{r^2}}

La seva direcció i el seu sentit són els mateixos que els de la força sobre una massa situada en aquell punt: apunta cap a $M$ .

Amb el vector unitari definit abans:

\boxed{\vec g=-G\frac{M}{r^2}\,\hat{\boldsymbol r}}

El camp depèn de la massa que el crea i de la posició del punt, però no de la massa del cos que hi situem. En canvi, la força sobre aquest cos sí que depèn de la seva massa, perquè $\vec F=m\vec g$ .

Unitats i relació amb l’acceleració

El camp es mesura en:

\mathrm{N/kg}

Com que $1\ \mathrm{N}=1\ \mathrm{kg\,m/s^2}$ , també podem expressar-lo en:

\mathrm{m/s^2}

Si la gravetat és l’única força que actua, la segona llei de Newton dona:

m\vec a=\vec F=m\vec g \qquad\Rightarrow\qquad \boxed{\vec a=\vec g}

Per això, en les mateixes condicions i sense resistència de l’aire, dos cossos de masses diferents tenen la mateixa acceleració gravitatòria. El cos més massiu rep més força, però també té més massa; en calcular $F/m$ , aquests dos efectes es compensen.

Exemple: camp a 400 km sobre la Terra

Considerem:

M_{\mathrm T}=5{,}97\times10^{24}\ \mathrm{kg}

R_{\mathrm T}=6{,}37\times10^6\ \mathrm{m}, \qquad h=4{,}00\times10^5\ \mathrm{m}

Primer, calculem la distància al centre:

r=R_{\mathrm T}+h =6{,}77\times10^6\ \mathrm{m}

Després, calculem el camp:

g=\frac{GM_{\mathrm T}}{r^2} =\frac{(6{,}67\times10^{-11})(5{,}97\times10^{24})} {(6{,}77\times10^6)^2}

\boxed{g\approx8{,}69\ \mathrm{N/kg}}

El camp apunta cap al centre de la Terra.

Si en aquest punt hi ha un cos de $2{,}00\ \mathrm{kg}$ :

F=mg=2{,}00\cdot8{,}69

\boxed{F\approx17{,}4\ \mathrm{N}}

La força també apunta cap al centre terrestre. El camp és menor que a la superfície perquè la distància al centre és més gran.

Superposició: el camp creat per diverses masses

Si diverses masses creen camp en un mateix punt $P$ , el camp total és la suma vectorial de les seves contribucions:

\boxed{\vec g_{\text{total}}(P)=\vec g_1(P)+\vec g_2(P)+\cdots}

Per a cada massa $M_i$ :

g_i=G\frac{M_i}{r_i^2}

Aquí, $r_i$ és la distància des de la massa $M_i$ fins al punt $P$ . Cada camp apunta des de $P$ cap a la massa que el crea.

Procediment

Dibuixa les masses i el punt $P$ .
Calcula la distància de cada massa a $P$ .
Dibuixa a $P$ el vector camp produït per cada massa.
Tria els eixos i els sentits positius.
Calcula i suma les components dels camps.

Si treballes en dues dimensions:

g_x=\sum_i g_{ix}, \qquad g_y=\sum_i g_{iy}

Després:

|\vec g_{\text{total}}|=\sqrt{g_x^2+g_y^2}

No sumis directament els mòduls si els vectors tenen direccions o sentits diferents. Com que el camp és un vector, el resultat depèn tant de la intensitat de cada contribució com de la seva orientació.

Exemple: dues masses i un punt entre elles

Dues masses puntuals estan separades $6{,}00\ \mathrm{km}$ :

$M_A=4{,}00\times10^{12}\ \mathrm{kg}$ , a l’esquerra.
$M_B=1{,}00\times10^{12}\ \mathrm{kg}$ , a la dreta.

El punt $P$ és al mig, a $3{,}00\times10^3\ \mathrm{m}$ de cadascuna. Prenem la dreta com a sentit positiu.

El camp d’ $A$ apunta cap a l’esquerra:

g_{Ax}=-G\frac{M_A}{r^2} =-2{,}96\times10^{-5}\ \mathrm{N/kg}

El camp de $B$ apunta cap a la dreta:

g_{Bx}=+G\frac{M_B}{r^2} =+7{,}41\times10^{-6}\ \mathrm{N/kg}

Per tant:

g_{\text{total},x}=g_{Ax}+g_{Bx}

\boxed{g_{\text{total},x}=-2{,}22\times10^{-5}\ \mathrm{N/kg}}

El camp resultant apunta cap a l’esquerra. Les distàncies són iguals, però $A$ té més massa; per això la seva contribució és més intensa i determina el sentit del resultat.

Si les dues masses fossin iguals, al punt mig els camps tindrien el mateix mòdul i sentits contraris. En conseqüència, el camp total seria zero.

Comprovacions abans de donar una resposta a la PAU

Distància: has fet servir la distància entre centres? Si et donen una altura, has calculat $R+h$ ?
Unitats: has passat les masses a kg i les distàncies a m?
Magnitud demanada: et demanen força, en N, o camp, en N/kg?
Direcció i sentit: has indicat cap on apunta el vector?
Superposició: has sumat vectors o components, i no només mòduls?
Coherència: si augmenta la distància i la resta no canvia, la força i el camp han de disminuir.

Les quatre expressions clau

\boxed{F=G\frac{Mm}{r^2}} \qquad \boxed{g=G\frac{M}{r^2}}

\boxed{\vec F=m\vec g} \qquad \boxed{\vec g_{\text{total}}=\sum_i\vec g_i}

La idea central és aquesta: les masses creen camp; el camp determina la força sobre un cos; i la força resultant determina la seva acceleració.

Practica

Posa’t a prova

Tres exercicis resolts pas a pas, de menys a més difícils. Intenta’ls abans d’obrir la solució.

Bàsic

1L’altura no és la distància al centre

Un planeta té massa $6{,}00\times10^{23}\ \mathrm{kg}$ i radi $3{,}00\times10^6\ \mathrm{m}$ . Un cos de $80{,}0\ \mathrm{kg}$ es troba a $1\,000\ \mathrm{km}$ sobre la superfície.

a
Fes un esquema i calcula la distància del cos al centre del planeta.
b
Calcula la força gravitatòria sobre el cos.
c
Calcula la força que rebria el mateix cos a la superfície.
d
Calcula la força quan l’altura sobre la superfície és igual al radi del planeta. Compara-la amb la força a la superfície.
e
Un alumne fa servir $r=1{,}00\times10^6\ \mathrm{m}$ a l’apartat b. Explica l’error i determina per quin factor sobreestima la força.

Mostra la solució

a) Distància correcta

Primer convertim l’altura:

h=1000\ \mathrm{km}=1{,}00\times10^6\ \mathrm{m}

L’esquema radial és: centre → superfície → cos. Així:

r=R+h=3{,}00\times10^6+1{,}00\times10^6

\boxed{r=4{,}00\times10^6\ \mathrm{m}}

b) Força a aquesta altura

\begin{aligned} F&=G\frac{Mm}{r^2}\\ &=6{,}67\times10^{-11} \frac{(6{,}00\times10^{23})(80{,}0)} {(4{,}00\times10^6)^2} \end{aligned}

\boxed{F=2{,}00\times10^2\ \mathrm{N}}

Apunta cap al centre del planeta.

c) Força a la superfície

Ara $r=R$ :

F_0=6{,}67\times10^{-11} \frac{(6{,}00\times10^{23})(80{,}0)} {(3{,}00\times10^6)^2}

\boxed{F_0=356\ \mathrm{N}}

d) Altura igual al radi

Si $h=R$ , la distància al centre és $2R$ :

F_{h=R}=\frac{F_0}{4} =\boxed{88{,}9\ \mathrm{N}}

La força és una quarta part de la superficial perquè la distància al centre s’ha duplicat.

e) Error de fer servir només l’altura

La distància incorrecta és quatre vegades més petita que la correcta:

\begin{aligned} \frac{F_{\text{errònia}}}{F_{\text{correcta}}} &=\left(\frac{r_{\text{correcta}}}{r_{\text{errònia}}}\right)^2\\ &=\left(\frac{4{,}00\times10^6}{1{,}00\times10^6}\right)^2 =\boxed{16} \end{aligned}

L’alumne sobreestima la força per un factor de 16 perquè ha mesurat des de la superfície, no des del centre.

Intermedi

2Mateix camp, forces diferents

Un planeta té massa $8{,}00\times10^{22}\ \mathrm{kg}$ i radi $2{,}00\times10^6\ \mathrm{m}$ . Considera un punt a una altura de $2{,}00\times10^6\ \mathrm{m}$ sobre la superfície.

En aquest punt es col·loquen, successivament, un cos de $0{,}200\ \mathrm{kg}$ i un altre de $5{,}00\ \mathrm{kg}$ .

a
Calcula el camp gravitatori en aquest punt.
b
Calcula la força sobre cada cos.
c
Si els deixem lliures i només actua la gravetat, quina acceleració inicial té cadascun?
d
Si un suport manté el cos de $5{,}00\ \mathrm{kg}$ en repòs, quina força ha d’exercir? Quina és aleshores l’acceleració del cos?
e
Explica la diferència entre el camp gravitatori i l’acceleració real d’un cos sostingut.

Mostra la solució

a) Camp en el punt

r=R+h=4{,}00\times10^6\ \mathrm{m}

g=\frac{GM}{r^2} =\frac{(6{,}67\times10^{-11})(8{,}00\times10^{22})} {(4{,}00\times10^6)^2}

\boxed{g=0{,}334\ \mathrm{N/kg}}

Apunta cap al centre del planeta.

b) Forces

Per al cos de $0{,}200\ \mathrm{kg}$ :

F_1=m_1g=0{,}200\cdot0{,}3335 =\boxed{0{,}0667\ \mathrm{N}}

Per al cos de $5{,}00\ \mathrm{kg}$ :

F_2=m_2g=5{,}00\cdot0{,}3335 =\boxed{1{,}67\ \mathrm{N}}

Totes dues forces apunten cap al centre.

c) Acceleracions si només actua la gravetat

\vec a=\frac{\vec F}{m}=\frac{m\vec g}{m}=\vec g

Per tant, tots dos tenen inicialment:

\boxed{a=0{,}334\ \mathrm{m/s^2}}

cap al centre.

d) Cos sostingut en repòs

Perquè continuï en repòs, la força resultant ha de ser zero. El suport ha de compensar la gravetat:

\boxed{F_{\text{suport}}=1{,}67\ \mathrm{N}}

La força del suport apunta radialment cap enfora. Com que les dues forces es compensen:

\boxed{\vec a=\vec 0}

e) Camp i acceleració real

El camp en aquest punt continua sent $0{,}334\ \mathrm{N/kg}$ , encara que el cos estigui sostingut. L’acceleració real és zero perquè depèn de totes les forces, no només de la gravetat.

Tipus PAU

3On s’anul·la el camp?

Dues masses estan separades $12{,}0\ \mathrm{km}$ :

M_A=1{,}60\times10^{13}\ \mathrm{kg},\quad x_A=0

\begin{gathered} M_B=4{,}00\times10^{12}\ \mathrm{kg},\\ x_B=12{,}0\ \mathrm{km} \end{gathered}

a
Calcula el camp total al punt mig.
b
Troba el punt finit de l’eix $x$ on el camp total és zero.
c
Explica per què aquest punt queda més a prop de la massa més petita.
d
Justifica per què no hi ha cap punt de camp nul a l’esquerra d’ $A$ ni a la dreta de $B$ .
e
Quina força rebria una massa de $7{,}00\ \mathrm{kg}$ situada al punt de camp nul?

Mostra la solució

a) Camp al punt mig

El punt mig és a $6000\ \mathrm{m}$ de cada massa:

\begin{aligned} g_{A,x}&=-G\frac{1{,}60\times10^{13}}{6000^2}\\ &=-2{,}96444\times10^{-5}\ \mathrm{N/kg} \end{aligned}

\begin{aligned} g_{B,x}&=+G\frac{4{,}00\times10^{12}}{6000^2}\\ &=+7{,}41111\times10^{-6}\ \mathrm{N/kg} \end{aligned}

\boxed{g_x=-2{,}22\times10^{-5}\ \mathrm{N/kg}}

Apunta cap a $A$ , la massa més gran.

b) Posició del punt nul

Entre les masses, els camps tenen sentits contraris. Igualem els mòduls:

G\frac{M_A}{x^2} =G\frac{M_B}{(12000-x)^2}

Cancel·lem $G$ i prenem l’arrel quadrada:

\frac{x}{12000-x} =\sqrt{\frac{M_A}{M_B}} =\sqrt{4}=2

x=2(12000-x)

3x=24000

\boxed{x=8{,}00\times10^3\ \mathrm{m}}

El punt és a $8{,}00\ \mathrm{km}$ d’ $A$ i a $4{,}00\ \mathrm{km}$ de $B$ .

c) Per què queda més a prop de la massa petita?

La massa petita crea un camp menys intens a igual distància. Perquè iguali el camp de la massa gran, cal situar-se més a prop seu. La menor distància compensa la menor massa.

d) Per què no hi ha punts nuls a l’exterior?

A l’esquerra d’ $A$ , tots dos camps apunten a la dreta. A la dreta de $B$ , tots dos apunten a l’esquerra. Com que tenen el mateix sentit, no poden cancel·lar-se.

e) Força al punt nul

\vec F=m\vec g=7{,}00\,\vec 0

\boxed{\vec F=\vec 0}

És nul·la la força resultant, no cadascuna de les dues forces gravitatòries.

Força i camp gravitatoris

Quines conseqüències té aquesta llei?

Cos a una altura hhh sobre la superfície

Cos a la superfície

Com expressem el sentit amb un signe?

Camp produït per una massa MMM

Unitats i relació amb l’acceleració

Procediment

Exemple: dues masses i un punt entre elles

Les quatre expressions clau

1L’altura no és la distància al centre

a) Distància correcta

b) Força a aquesta altura

c) Força a la superfície

d) Altura igual al radi

e) Error de fer servir només l’altura

2Mateix camp, forces diferents

a) Camp en el punt

b) Forces

c) Acceleracions si només actua la gravetat

d) Cos sostingut en repòs

e) Camp i acceleració real

3On s’anul·la el camp?

a) Camp al punt mig

b) Posició del punt nul

c) Per què queda més a prop de la massa petita?

d) Per què no hi ha punts nuls a l’exterior?

e) Força al punt nul

Cos a una altura $h$ sobre la superfície

Camp produït per una massa $M$