Física · 2.º de Bachillerato · PAU

Herramientas básicas y ley de gravitación universal

Unidades, vectores, leyes de Newton y la fuerza con la que se atraen dos masas. Lee y juega con cada figura.

10 min de lectura
4 figuras interactivas
3 ejercicios resueltos

¡lee y juega!

Antes de empezar…

¿Por qué no notas que tu compañero te atrae?

Ahora mismo, tú y la persona que tienes al lado os estáis atrayendo. También te atraen la mesa, el edificio y la Luna. ¿Por qué no lo notas?

Porque entre objetos cotidianos la fuerza gravitatoria es minúscula: entre dos personas a un metro, menos de una millonésima de newton. En 1798, Henry Cavendish la midió con un hilo que se retorcía, y de aquella medida sale la constante $G$ . Con una sola fórmula, $F=G\,m_1m_2/r^2$ , se calcula desde esta fuerza pequeñísima hasta la que retiene a la Luna.

Elige una pareja y mira dónde cae su fuerza en la escala: cada marca multiplica por 100.

Míralo en 48 segundos

Ahora pruébalo tú:

Datos aproximados: personas de 60 y 70 kg a 1 m; las bolas de Cavendish, de 158 kg y 0,73 kg, a 23 cm; 60 kg en la superficie de la Tierra; la Tierra y la Luna a 384 000 km.

Qué necesitas saber antes

Trabaja en unidades del SI antes de sustituir en una fórmula: masa en kg, distancia en m, tiempo en s, aceleración en m/s² y fuerza en N.
Masa y fuerza no son lo mismo: una masa de $2\,\mathrm{kg}$ no es una fuerza de $2\,\mathrm{N}$ .
Una fuerza es un vector: tiene módulo —cuánto vale—, dirección —la recta sobre la que actúa— y sentido —hacia qué lado apunta.
Elige los ejes y los signos: por ejemplo, derecha $+x$ y arriba $+y$ . Una componente negativa indica el sentido contrario al positivo.
Suma solo las fuerzas que actúan sobre el cuerpo que estudias. Las fuerzas de acción y reacción actúan sobre cuerpos diferentes.
En gravitación, $r$ es la distancia entre centros, no la separación entre las superficies.

Formulario

A. Unidades y herramientas de cálculo

1. Cambios de unidades: factores de conversión

Multiplica el valor inicial por el factor de conversión: escribe la unidad de destino en el numerador y la unidad inicial en el denominador, con los números que expresan su equivalencia. La unidad inicial se cancela.

El factor debe representar una equivalencia real. Por ejemplo:

250\,\cancel{\mathrm{g}}\times \frac{1\,\mathrm{kg}}{1000\,\cancel{\mathrm{g}}} =0{,}250\,\mathrm{kg}

Equivalencias útiles:

Magnitud	Unidad SI	Equivalencias frecuentes
Masa	kilogramo, $\mathrm{kg}$	$1\,\mathrm{g}=10^{-3}\,\mathrm{kg}$
Longitud	metro, $\mathrm{m}$	$1\,\mathrm{km}=10^3\,\mathrm{m}$ ; $1\,\mathrm{cm}=10^{-2}\,\mathrm{m}$
Tiempo	segundo, $\mathrm{s}$	$1\,\mathrm{min}=60\,\mathrm{s}$ ; $1\,\mathrm{h}=3600\,\mathrm{s}$
Fuerza	newton, $\mathrm{N}$	$1\,\mathrm{mN}=10^{-3}\,\mathrm{N}$
Velocidad	$\mathrm{m/s}$	De $\mathrm{km/h}$ a $\mathrm{m/s}$ : divide entre $3{,}6$

Cuándo se usa: antes de introducir datos en las fórmulas.
Cuándo NO: no hace falta convertir un dato que ya está en la unidad adecuada.
Error más típico: convertir mal una unidad elevada al cuadrado. Por ejemplo, $1\,\mathrm{cm^2}=10^{-4}\,\mathrm{m^2}$ , no $10^{-2}\,\mathrm{m^2}$ .

2. Notación científica

\boxed{ \begin{aligned} q&=c\cdot10^n\\ 1\leq |c|<10 \end{aligned} }

$q$ : valor numérico de la magnitud en la unidad elegida; esta unidad se escribe al lado del número.
$c$ : coeficiente numérico, sin unidades.
$n$ : exponente entero, sin unidades.

Ejemplos: $4500\,\mathrm{m}=4{,}5\cdot10^3\,\mathrm{m}$ y $0{,}00072\,\mathrm{N}=7{,}2\cdot10^{-4}\,\mathrm{N}$ .

Cuándo se usa: para escribir y calcular con números muy grandes o muy pequeños.
Cuándo NO: la notación científica no sustituye el cambio a unidades SI.
Error más típico: perder el signo del exponente. En la calculadora, introduce $6{,}67\cdot10^{-11}$ con la tecla EXP o EE, si la tiene.

3. Orden de magnitud

Si se pide la potencia de diez más cercana en escala logarítmica, escribimos el valor numérico no nulo como $|q|=c\cdot10^n$ . El orden de magnitud es:

\boxed{ \begin{cases} 10^n, & 1\leq c<\sqrt{10}\\ 10^{n+1}, & \sqrt{10}\leq c<10 \end{cases} }

$c$ : coeficiente positivo, sin unidades.
$n$ : exponente entero, sin unidades.
$\sqrt{10}\approx3{,}16$ .
Añade a la potencia de diez la unidad elegida para la magnitud.

Por ejemplo, $2\cdot10^4\,\mathrm{m}$ es del orden de $10^4\,\mathrm{m}$ , mientras que $8\cdot10^4\,\mathrm{m}$ es del orden de $10^5\,\mathrm{m}$ .

Cuándo se usa: para estimar la escala de un resultado y detectar errores grandes.
Cuándo NO: no sustituye el resultado numérico si te piden calcularlo.
Error más típico: confundir una estimación con un valor exacto.

Atención: algunos enunciados o libros usan “orden de magnitud” para referirse simplemente a $10^n$ en la notación científica. Si indican un criterio, sigue ese.

B. Vectores en el plano

4. Componentes de un vector

Para una fuerza de módulo $F$ , con ángulo $\theta$ medido desde el eje $+x$ en sentido antihorario:

\boxed{ \begin{aligned} F_x&=F\cos\theta\\ F_y&=F\sin\theta \end{aligned} }

$F$ : módulo de la fuerza, en $\mathrm{N}$ .
$F_x,F_y$ : componentes, en $\mathrm{N}$ ; pueden ser positivas, negativas o cero.
$\theta$ : ángulo; en SI se expresa en radianes. Si el problema lo da en grados, pon la calculadora en modo DEG.
Cuándo se usa: para descomponer una fuerza inclinada en dos ejes perpendiculares.
Cuándo NO: no apliques estas expresiones directamente si el ángulo está medido desde el eje $y$ ; primero adáptalas o identifica los catetos.
Error más típico: poner ambas componentes positivas sin mirar hacia dónde apunta la fuerza.

5. Módulo a partir de las componentes

\boxed{ F=\sqrt{F_x^2+F_y^2} }

$F_x,F_y$ : componentes de la fuerza, en $\mathrm{N}$ .
$F$ : módulo, en $\mathrm{N}$ , siempre no negativo.
Cuándo se usa: cuando conoces las componentes en ejes perpendiculares.
Cuándo NO: no sirve para sumar directamente los módulos de dos fuerzas cualesquiera.
Error más típico: hacer $F=F_x+F_y$ en lugar de aplicar Pitágoras.

Estas dos fórmulas también sirven para otros vectores, como la velocidad o la aceleración, cambiando las letras y las unidades.

C. Leyes de Newton

6. Fuerza resultante

\boxed{ \begin{aligned} \vec F_{\mathrm{res}}&=\sum_i\vec F_i\\ F_{\mathrm{res},x}&=\sum_i F_{i,x}\\ F_{\mathrm{res},y}&=\sum_i F_{i,y} \end{aligned} }

$\vec F_i$ : cada una de las fuerzas sobre el mismo cuerpo, en $\mathrm{N}$ .
$\vec F_{\mathrm{res}}$ : fuerza resultante, en $\mathrm{N}$ .
Las componentes también se miden en $\mathrm{N}$ .
Cuándo se usa: para sustituir todas las fuerzas sobre un cuerpo por una única fuerza equivalente.
Cuándo NO: no sumes como si actuasen sobre un mismo cuerpo fuerzas aplicadas a cuerpos diferentes.
Error más típico: sumar módulos sin tener en cuenta los signos. En un eje, $5\,\mathrm{N}$ hacia la derecha y $3\,\mathrm{N}$ hacia la izquierda dan $2\,\mathrm{N}$ hacia la derecha.

7. Primera y segunda leyes de Newton

En un sistema de referencia inercial, para un cuerpo de masa constante:

\boxed{ \sum\vec F=m\vec a \qquad\Longrightarrow\qquad \begin{cases} \sum F_x=ma_x\\ \sum F_y=ma_y \end{cases} }

Caso particular: si la resultante se mantiene nula durante un intervalo de tiempo,

\boxed{ \begin{aligned} \sum\vec F=\vec 0&\Longrightarrow\vec a=\vec 0\\ &\Longrightarrow\vec v=\vec v_0 \end{aligned} }

$m$ : masa, en $\mathrm{kg}$ .
$\vec a$ , $a_x$ , $a_y$ : aceleración y componentes, en $\mathrm{m/s^2}$ .
$\vec v$ : velocidad, en $\mathrm{m/s}$ ; $\vec v_0$ es la velocidad inicial del intervalo, que se mantiene constante si la resultante es nula.
$\sum\vec F$ : fuerza resultante, en $\mathrm{N}$ .
Recuerda: $1\,\mathrm{N}=1\,\mathrm{kg\,m/s^2}$ .
Cuándo se usa: para relacionar las fuerzas sobre un cuerpo con su aceleración.
Cuándo NO: no iguales una fuerza individual a $m\vec a$ si hay otras fuerzas que no se han compensado.
Error más típico: pensar que resultante nula significa estar parado. También puede significar movimiento rectilíneo con velocidad constante.

8. Acción y reacción

\boxed{ \vec F_{A\to B}=-\vec F_{B\to A} }

$\vec F_{A\to B}$ : fuerza que el cuerpo $A$ ejerce sobre $B$ , en $\mathrm{N}$ .
$\vec F_{B\to A}$ : fuerza que $B$ ejerce sobre $A$ , en $\mathrm{N}$ .

Tienen el mismo módulo y dirección, pero sentidos opuestos, y actúan sobre cuerpos diferentes.

Cuándo se usa: para relacionar las dos fuerzas de una misma interacción.
Cuándo NO: no las canceles en la ecuación de fuerzas de un solo cuerpo.
Error más típico: pensar que el cuerpo de mayor masa ejerce una fuerza mayor. Las fuerzas son iguales en módulo; las aceleraciones pueden ser diferentes.

D. Gravitación universal

9. Fuerza gravitatoria entre dos masas

\boxed{ \begin{aligned} F&=G\frac{m_1m_2}{r^2}\\ G&=6{,}67\cdot10^{-11}\,\mathrm{N\,m^2/kg^2} \end{aligned} }

$F$ : módulo de la fuerza sobre cada uno de los dos cuerpos, en $\mathrm{N}$ .
$m_1,m_2$ : masas, en $\mathrm{kg}$ .
$r$ : distancia entre centros, en $\mathrm{m}$ .
$G$ : constante de gravitación universal.

Dirección: la recta que une los centros.
Sentido: cada cuerpo es atraído hacia el otro.

Cuándo se usa: para masas puntuales o cuerpos que se pueden aproximar como puntuales. También para dos cuerpos esféricos con distribución de masa esféricamente simétrica que no se superponen.
Cuándo NO: no la uses directamente con una única distancia entre centros para cuerpos extensos de forma cualquiera muy próximos, ni para calcular fuerzas eléctricas.
Error más típico: utilizar la distancia entre superficies u olvidar elevar $r$ al cuadrado.

Si dos esferas están separadas por un espacio $d$ entre superficies:

\boxed{r=R_1+d+R_2}

$R_1,R_2$ : radios de las esferas, en $\mathrm{m}$ .
$d$ : separación entre las superficies más cercanas, en $\mathrm{m}$ .
$r$ : distancia entre centros, en $\mathrm{m}$ .
Cuándo se usa: cuando te dan la separación entre superficies y los radios.
Cuándo NO: no añadas los radios si ya te dan la distancia entre centros.
Error más típico: tomar $r=d$ .

10. Cómo cambia la fuerza

\boxed{ \frac{F'}{F} = \frac{m_1'}{m_1} \frac{m_2'}{m_2} \left(\frac{r}{r'}\right)^2 }

Las magnitudes con prima $(\, '\,)$ son los valores nuevos.
$F,F'$ : fuerzas, en $\mathrm{N}$ .
$m_1,m_2,m_1',m_2'$ : masas, en $\mathrm{kg}$ .
$r,r'$ : distancias entre centros, en $\mathrm{m}$ .
Todos los cocientes son sin unidades.
Cuándo se usa: para comparar dos situaciones sin recalcular toda la fuerza.
Cuándo NO: este factor compara módulos; no determina una nueva dirección si los cuerpos cambian de posición.
Error más típico: pensar que duplicar la distancia divide la fuerza entre $2$ . La divide entre $4$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Cambios de unidades, resultante y aceleración

Un cuerpo de masa $500\,\mathrm{g}$ recibe dos fuerzas: una de $3000\,\mathrm{mN}$ hacia la derecha y una de $4{,}00\,\mathrm{N}$ hacia arriba. No hay otras fuerzas.

1. Datos en SI

m=500\,\mathrm{g}\times\frac{1\,\mathrm{kg}}{1000\,\mathrm{g}} =0{,}500\,\mathrm{kg}

F_1=3000\,\mathrm{mN}\times\frac{1\,\mathrm{N}}{1000\,\mathrm{mN}} =3{,}00\,\mathrm{N}

Elegimos derecha $+x$ y arriba $+y$ :

\begin{aligned} F_{\mathrm{res},x}&=3{,}00\,\mathrm{N}\\ F_{\mathrm{res},y}&=4{,}00\,\mathrm{N} \end{aligned}

2. ¿Qué buscamos?

El módulo de la resultante y las componentes y el módulo de la aceleración.

3. Fórmulas

\begin{aligned} F_{\mathrm{res}}&=\sqrt{F_{\mathrm{res},x}^2+F_{\mathrm{res},y}^2}\\ a_x&=\frac{F_{\mathrm{res},x}}m\\ a_y&=\frac{F_{\mathrm{res},y}}m \end{aligned}

4. Cálculo con unidades

F_{\mathrm{res}} =\sqrt{(3{,}00\,\mathrm{N})^2+(4{,}00\,\mathrm{N})^2} =\boxed{5{,}00\,\mathrm{N}}

a_x=\frac{3{,}00\,\mathrm{N}}{0{,}500\,\mathrm{kg}} =\boxed{6{,}00\,\mathrm{m/s^2}}

a_y=\frac{4{,}00\,\mathrm{N}}{0{,}500\,\mathrm{kg}} =\boxed{8{,}00\,\mathrm{m/s^2}}

a=\sqrt{(6{,}00\,\mathrm{m/s^2})^2+(8{,}00\,\mathrm{m/s^2})^2} =\boxed{10{,}0\,\mathrm{m/s^2}}

5. ¿Tiene sentido?

Sí: la resultante apunta hacia la derecha y arriba, igual que la aceleración. Además, $ma=0{,}500\cdot10{,}0=5{,}00\,\mathrm{N}$ , que coincide con la resultante. Las dos fuerzas perpendiculares no dan $7\,\mathrm{N}$ .

Ejemplo 2. Gravitación y distancia entre centros

Dos esferas de masas $10{,}0\,\mathrm{kg}$ y $20{,}0\,\mathrm{kg}$ , con radios de $10{,}0\,\mathrm{cm}$ y $15{,}0\,\mathrm{cm}$ , tienen una separación entre superficies de $25{,}0\,\mathrm{cm}$ . Suponemos que la distribución de masa de cada esfera tiene simetría esférica.

1. Datos en SI

\begin{aligned} m_1&=10{,}0\,\mathrm{kg}\\ m_2&=20{,}0\,\mathrm{kg} \end{aligned}

\begin{aligned} R_1 &=0{,}100\,\mathrm{m}\\ R_2&=0{,}150\,\mathrm{m}\\ d&=0{,}250\,\mathrm{m} \end{aligned}

La distancia necesaria es:

\begin{aligned} r &=R_1+d+R_2\\ &=0{,}100+0{,}250+0{,}150\\ &=0{,}500\,\mathrm{m} \end{aligned}

2. ¿Qué buscamos?

La fuerza gravitatoria sobre cada esfera, con dirección y sentido.

3. Fórmula

F=G\frac{m_1m_2}{r^2}

4. Cálculo con unidades

F= \left(6{,}67\cdot10^{-11}\, \frac{\mathrm{N\,m^2}}{\mathrm{kg^2}}\right) \frac{(10{,}0\,\mathrm{kg})(20{,}0\,\mathrm{kg})} {(0{,}500\,\mathrm{m})^2}

\boxed{F=5{,}34\cdot10^{-8}\,\mathrm{N}}

Las unidades se reducen a newtons: se cancelan $\mathrm{kg^2}$ y $\mathrm{m^2}$ .

Dirección y sentido:

Sitúa la esfera 1 a la izquierda y la esfera 2 a la derecha: la fuerza sobre la esfera 1 apunta a la derecha y la fuerza sobre la esfera 2, a la izquierda.

Las fuerzas siguen la recta entre centros y cada una apunta hacia la otra esfera.

5. ¿Tiene sentido?

Sí: la fuerza es muy pequeña, como corresponde a masas cotidianas separadas medio metro. Ambas esferas reciben una fuerza del mismo módulo, aunque tengan masas diferentes.

Si hubiésemos utilizado $0{,}250\,\mathrm{m}$ como $r$ , habríamos obtenido una fuerza cuatro veces demasiado grande.

Ejemplo 3. Cambian las masas y la distancia

Partimos de una fuerza gravitatoria $F$ . La primera masa se duplica, la segunda se triplica y la distancia entre centros se duplica.

1. Datos

\begin{aligned} m_1'&=2m_1\\ m_2'&=3m_2\\ r'&=2r \end{aligned}

2. ¿Qué buscamos?

El factor por el que cambia la fuerza: $F'/F$ .

3. Fórmula

\frac{F'}F= \frac{m_1'}{m_1} \frac{m_2'}{m_2} \left(\frac r{r'}\right)^2

4. Cálculo

\begin{aligned} \frac{F'}F &=2\cdot3\cdot\left(\frac12\right)^2\\ &=\frac64\\ &=1{,}5 \end{aligned}

\boxed{F'=1{,}5F}

La fuerza nueva es un 50 % mayor. El factor $1{,}5$ no tiene unidades; si $F$ está en newtons, $F'$ también.

5. ¿Tiene sentido?

Sí: el cambio de masas multiplica la fuerza por $6$ , pero duplicar la distancia la divide entre $4$ . El resultado neto es multiplicarla por $6/4=1{,}5$ . Sigue siendo una fuerza atractiva.

Practica

Ponte a prueba

Tres ejercicios resueltos paso a paso, de menor a mayor dificultad. Inténtalos antes de abrir la solución.

Básico

1De una fuerza a sus componentes

Una fuerza de módulo $10{,}0\,\mathrm{N}$ forma un ángulo de $30^\circ$ con el eje $+x$ , medido en sentido antihorario.

a
Dibuja los ejes y la fuerza. Calcula $F_x$ y $F_y$ .

b
Comprueba, a partir de las componentes, que el módulo es $10{,}0\,\mathrm{N}$ .

Otra fuerza tiene componentes $F_x=-6{,}0\,\mathrm{N}$ y $F_y=8{,}0\,\mathrm{N}$ .

c
Calcula su módulo e indica si apunta hacia la derecha o la izquierda y hacia arriba o abajo.

Muestra la solución

a) Componentes de la primera fuerza

La fuerza apunta hacia la derecha y arriba.

\begin{aligned} F_x &=F\cos30^\circ\\ &=(10{,}0\,\mathrm{N})\cos30^\circ\\ &=\boxed{8{,}66\,\mathrm{N}} \end{aligned}

\begin{aligned} F_y &=F\sin30^\circ\\ &=(10{,}0\,\mathrm{N})\sin30^\circ\\ &=\boxed{5{,}00\,\mathrm{N}} \end{aligned}

b) Comprobación del módulo

F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}

F=\sqrt{(8{,}66\,\mathrm{N})^2+(5{,}00\,\mathrm{N})^2} \approx\boxed{10{,}0\,\mathrm{N}}

La pequeña diferencia que pueda aparecer en la calculadora procede del redondeo.

c) Segunda fuerza

\begin{aligned} F &=\sqrt{(-6{,}0\,\mathrm{N})^2+(8{,}0\,\mathrm{N})^2}\\ &=\sqrt{100\,\mathrm{N^2}}\\ &=\boxed{10{,}0\,\mathrm{N}} \end{aligned}

Como $F_x<0$ y $F_y>0$ , apunta hacia la izquierda y arriba.

Comprobación: ambos módulos son positivos. El signo negativo de una componente indica sentido, no un módulo negativo.

Intermedio

2La distancia correcta: entre centros

Dos esferas con distribución de masa esféricamente simétrica tienen:

Masas: $12{,}0\,\mathrm{kg}$ y $18{,}0\,\mathrm{kg}$ .
Radios: $8{,}0\,\mathrm{cm}$ y $12{,}0\,\mathrm{cm}$ .
Separación entre las superficies más cercanas: $30{,}0\,\mathrm{cm}$ .

a
Haz un esquema y calcula la distancia entre centros.

b
Calcula la fuerza gravitatoria entre las esferas.

c
Un alumno utiliza $r=0{,}300\,\mathrm{m}$ . Calcula qué resultado obtendría.

d
¿Por qué factor es mayor el resultado incorrecto que el correcto? Explica por qué el error aumenta la fuerza calculada.

Muestra la solución

a) Distancia entre centros

\begin{aligned} R_1 &=0{,}080\,\mathrm{m}\\ d&=0{,}300\,\mathrm{m}\\ R_2&=0{,}120\,\mathrm{m} \end{aligned}

El esquema de distancias es:

Del centro 1 al centro 2 recorremos, en este orden: el radio $R_1$ hasta la superficie de la esfera 1, el espacio $d$ hasta la superficie de la esfera 2 y el radio $R_2$ hasta su centro.

\begin{aligned} r &=R_1+d+R_2\\ &=0{,}080+0{,}300+0{,}120\\ &=\boxed{0{,}500\,\mathrm{m}} \end{aligned}

b) Fuerza correcta

F=G\frac{m_1m_2}{r^2}

F= \left(6{,}67\cdot10^{-11}\, \frac{\mathrm{N\,m^2}}{\mathrm{kg^2}}\right) \frac{(12{,}0\,\mathrm{kg})(18{,}0\,\mathrm{kg})} {(0{,}500\,\mathrm{m})^2}

\boxed{F=5{,}76\cdot10^{-8}\,\mathrm{N}}

c) Resultado con la distancia incorrecta

Llamamos $F_{\mathrm{err}}$ a la fuerza calculada con la distancia incorrecta.

F_{\mathrm{err}}= \left(6{,}67\cdot10^{-11}\, \frac{\mathrm{N\,m^2}}{\mathrm{kg^2}}\right) \frac{(12{,}0\,\mathrm{kg})(18{,}0\,\mathrm{kg})} {(0{,}300\,\mathrm{m})^2}

\boxed{F_{\mathrm{err}}=1{,}60\cdot10^{-7}\,\mathrm{N}}

d) Factor de error

\frac{F_{\mathrm{err}}}{F} =\left(\frac{0{,}500\,\mathrm{m}}{0{,}300\,\mathrm{m}}\right)^2 =\boxed{2{,}78}

El resultado incorrecto es aproximadamente 2,78 veces el correcto.

Comprobación: utilizar una distancia demasiado pequeña hace que el denominador sea demasiado pequeño y, por tanto, da una fuerza demasiado grande.

Tipo PAU

3Tipo PAU: una interacción entre dos cuerpos

En un instante determinado, dos cuerpos puntuales están sobre el eje $x$ : $A$ , de masa $100\,\mathrm{kg}$ , en $x_A=0\,\mathrm{m}$ , y $B$ , de masa $2{,}00\,\mathrm{kg}$ , en $x_B=2{,}00\,\mathrm{m}$ . Solo consideramos la gravitación mutua. Toma la derecha como sentido positivo.

a
Calcula la distancia $AB$ y dibuja la fuerza sobre cada cuerpo.

b
Calcula el módulo y la componente $x$ de la fuerza sobre $B$ .

c
Calcula la aceleración de $B$ . Si en este instante se mueve hacia la derecha, ¿aumenta o disminuye el módulo de su velocidad?

d
Identifica la reacción de la fuerza de $A$ sobre $B$ : cuerpo receptor, módulo, dirección y sentido. ¿Por qué no la incluyes en la resultante sobre $B$ ?

e
En otra situación, la masa de $A$ es $900\,\mathrm{kg}$ y la distancia $AB$ es $4{,}00\,\mathrm{m}$ , con $A$ a la izquierda. Calcula el factor de cambio de la fuerza, la fuerza y la aceleración sobre $B$ .

Muestra la solución

a) Distancia y fuerzas

r_{AB}=|x_B-x_A|=\boxed{2{,}00\,\mathrm{m}}

La fuerza sobre $B$ apunta a la izquierda; la fuerza sobre $A$ , a la derecha.

b) Fuerza sobre $B$

\begin{aligned} F&=G\frac{m_Am_B}{r_{AB}^2}\\ &=(6{,}67\cdot10^{-11}\,\mathrm{N\,m^2/kg^2}) \frac{(100\,\mathrm{kg})(2{,}00\,\mathrm{kg})}{(2{,}00\,\mathrm{m})^2}\\ &=\boxed{3{,}335\cdot10^{-9}\,\mathrm{N}} \end{aligned}

La componente es $F_{A\to B,x}=-3{,}335\cdot10^{-9}\,\mathrm{N}$ .

c) Aceleración y movimiento

a_{B,x}=\frac{-3{,}335\cdot10^{-9}\,\mathrm{N}}{2{,}00\,\mathrm{kg}} =\boxed{-1{,}6675\cdot10^{-9}\,\mathrm{m/s^2}}

Apunta a la izquierda. Si la velocidad es hacia la derecha, en este instante su módulo disminuye.

d) Acción y reacción

\vec F_{B\to A}=-\vec F_{A\to B}

La reacción actúa sobre $A$ , tiene módulo $3{,}335\cdot10^{-9}\,\mathrm{N}$ y apunta horizontalmente a la derecha. No se suma en la ecuación de $B$ porque actúa sobre otro cuerpo.

e) Cambio de masa y distancia

\begin{aligned} \frac{F'}{F}&=9\left(\frac{2{,}00}{4{,}00}\right)^2\\ &=\frac94=2{,}25 \end{aligned}

F'=2{,}25(3{,}335\cdot10^{-9}\,\mathrm{N}) =7{,}50375\cdot10^{-9}\,\mathrm{N}

a_{B,x}'=\frac{-7{,}50375\cdot10^{-9}\,\mathrm{N}}{2{,}00\,\mathrm{kg}} \approx\boxed{-3{,}75\cdot10^{-9}\,\mathrm{m/s^2}}

Comprobación: la fuerza es 2,25 veces la inicial y sigue apuntando hacia $A$ .

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