Física · 2n de Batxillerat · PAU

Eines bàsiques i llei de gravitació universal

Unitats, vectors, lleis de Newton i la força amb què s’atrauen dues masses. Llegeix i juga amb cada figura.

10 min de lectura
4 figures interactives
3 exercicis resolts

llegeix i juga!

Abans de començar…

Per què no notes que el teu company t’atrau?

Ara mateix, tu i la persona que tens al costat us esteu atraient. També t’atrauen la taula, l’edifici i la Lluna. Per què no ho notes?

Perquè entre objectes quotidians la força gravitatòria és minúscula: entre dues persones a un metre, menys d’una milionèsima de newton. El 1798, Henry Cavendish la va mesurar amb un fil que es torçava, i d’aquella mesura surt la constant $G$ . Amb una sola fórmula, $F=G\,m_1m_2/r^2$ , es calcula des d’aquesta força petitíssima fins a la que reté la Lluna.

Tria una parella i mira on cau la seva força a l’escala: cada marca multiplica per 100.

Mira-ho en 48 segons

Ara prova-ho tu:

Dades aproximades: persones de 60 i 70 kg a 1 m; les boles de Cavendish, de 158 kg i 0,73 kg, a 23 cm; 60 kg a la superfície de la Terra; la Terra i la Lluna a 384 000 km.

Què necessites saber abans

Treballa en unitats del SI abans de substituir en una fórmula: massa en kg, distància en m, temps en s, acceleració en m/s² i força en N.
Massa i força no són el mateix: una massa de $2\,\mathrm{kg}$ no és una força de $2\,\mathrm{N}$ .
Una força és un vector: té mòdul —quant val—, direcció —la recta sobre la qual actua— i sentit —cap a quin costat apunta.
Tria els eixos i els signes: per exemple, dreta $+x$ i amunt $+y$ . Una component negativa indica el sentit contrari al positiu.
Suma només les forces que actuen sobre el cos que estudies. Les forces d’acció i reacció actuen sobre cossos diferents.
En gravitació, $r$ és la distància entre centres, no la separació entre les superfícies.

Formulari

A. Unitats i eines de càlcul

1. Canvis d’unitats: factors de conversió

Multiplica el valor inicial pel factor de conversió: escriu la unitat de destinació al numerador i la unitat inicial al denominador, amb els nombres que expressen la seva equivalència. La unitat inicial es cancel·la.

El factor ha de representar una equivalència real. Per exemple:

250\,\cancel{\mathrm{g}}\times \frac{1\,\mathrm{kg}}{1000\,\cancel{\mathrm{g}}} =0{,}250\,\mathrm{kg}

Equivalències útils:

Magnitud	Unitat SI	Equivalències freqüents
Massa	quilogram, $\mathrm{kg}$	$1\,\mathrm{g}=10^{-3}\,\mathrm{kg}$
Longitud	metre, $\mathrm{m}$	$1\,\mathrm{km}=10^3\,\mathrm{m}$ ; $1\,\mathrm{cm}=10^{-2}\,\mathrm{m}$
Temps	segon, $\mathrm{s}$	$1\,\mathrm{min}=60\,\mathrm{s}$ ; $1\,\mathrm{h}=3600\,\mathrm{s}$
Força	newton, $\mathrm{N}$	$1\,\mathrm{mN}=10^{-3}\,\mathrm{N}$
Velocitat	$\mathrm{m/s}$	De $\mathrm{km/h}$ a $\mathrm{m/s}$ : divideix entre $3{,}6$

Quan es fa servir: abans de posar dades a les fórmules.
Quan NO: no cal convertir una dada que ja està en la unitat adequada.
Error més típic: convertir malament una unitat elevada al quadrat. Per exemple, $1\,\mathrm{cm^2}=10^{-4}\,\mathrm{m^2}$ , no $10^{-2}\,\mathrm{m^2}$ .

2. Notació científica

\boxed{ \begin{aligned} q&=c\cdot10^n\\ 1\leq |c|<10 \end{aligned} }

$q$ : valor numèric de la magnitud en la unitat escollida; aquesta unitat s’escriu al costat del nombre.
$c$ : coeficient numèric, sense unitats.
$n$ : exponent enter, sense unitats.

Exemples: $4500\,\mathrm{m}=4{,}5\cdot10^3\,\mathrm{m}$ i $0{,}00072\,\mathrm{N}=7{,}2\cdot10^{-4}\,\mathrm{N}$ .

Quan es fa servir: per escriure i calcular amb nombres molt grans o molt petits.
Quan NO: la notació científica no substitueix el canvi a unitats SI.
Error més típic: perdre el signe de l’exponent. A la calculadora, introdueix $6{,}67\cdot10^{-11}$ amb la tecla EXP o EE, si en té.

3. Ordre de magnitud

Si es demana la potència de deu més propera en escala logarítmica, escrivim el valor numèric no nul com $|q|=c\cdot10^n$ . L’ordre de magnitud és:

\boxed{ \begin{cases} 10^n, & 1\leq c<\sqrt{10}\\ 10^{n+1}, & \sqrt{10}\leq c<10 \end{cases} }

$c$ : coeficient positiu, sense unitats.
$n$ : exponent enter, sense unitats.
$\sqrt{10}\approx3{,}16$ .
Afegeix a la potència de deu la unitat escollida per a la magnitud.

Per exemple, $2\cdot10^4\,\mathrm{m}$ és de l’ordre de $10^4\,\mathrm{m}$ , mentre que $8\cdot10^4\,\mathrm{m}$ és de l’ordre de $10^5\,\mathrm{m}$ .

Quan es fa servir: per estimar l’escala d’un resultat i detectar errors grans.
Quan NO: no substitueix el resultat numèric si et demanen calcular-lo.
Error més típic: confondre una estimació amb un valor exacte.

Atenció: alguns enunciats o llibres fan servir “ordre de magnitud” per referir-se simplement a $10^n$ en la notació científica. Si indiquen un criteri, segueix aquell.

B. Vectors en el pla

4. Components d’un vector

Per a una força de mòdul $F$ , amb angle $\theta$ mesurat des de l’eix $+x$ en sentit antihorari:

\boxed{ \begin{aligned} F_x&=F\cos\theta\\ F_y&=F\sin\theta \end{aligned} }

$F$ : mòdul de la força, en $\mathrm{N}$ .
$F_x,F_y$ : components, en $\mathrm{N}$ ; poden ser positives, negatives o zero.
$\theta$ : angle; en SI s’expressa en radians. Si el problema el dona en graus, posa la calculadora en mode DEG.
Quan es fa servir: per descompondre una força inclinada en dos eixos perpendiculars.
Quan NO: no apliquis aquestes expressions directament si l’angle està mesurat des de l’eix $y$ ; primer adapta-les o identifica els catets.
Error més típic: posar totes dues components positives sense mirar cap on apunta la força.

5. Mòdul a partir de les components

\boxed{ F=\sqrt{F_x^2+F_y^2} }

$F_x,F_y$ : components de la força, en $\mathrm{N}$ .
$F$ : mòdul, en $\mathrm{N}$ , sempre no negatiu.
Quan es fa servir: quan coneixes les components en eixos perpendiculars.
Quan NO: no serveix per sumar directament els mòduls de dues forces qualsevol.
Error més típic: fer $F=F_x+F_y$ en lloc d’aplicar Pitàgores.

Aquestes dues fórmules també serveixen per a altres vectors, com la velocitat o l’acceleració, canviant les lletres i les unitats.

C. Lleis de Newton

6. Força resultant

\boxed{ \begin{aligned} \vec F_{\mathrm{res}}&=\sum_i\vec F_i\\ F_{\mathrm{res},x}&=\sum_i F_{i,x}\\ F_{\mathrm{res},y}&=\sum_i F_{i,y} \end{aligned} }

$\vec F_i$ : cadascuna de les forces sobre el mateix cos, en $\mathrm{N}$ .
$\vec F_{\mathrm{res}}$ : força resultant, en $\mathrm{N}$ .
Les components també es mesuren en $\mathrm{N}$ .
Quan es fa servir: per substituir totes les forces sobre un cos per una única força equivalent.
Quan NO: no sumis com si actuessin sobre un mateix cos forces aplicades a cossos diferents.
Error més típic: sumar mòduls sense tenir en compte els signes. En un eix, $5\,\mathrm{N}$ cap a la dreta i $3\,\mathrm{N}$ cap a l’esquerra donen $2\,\mathrm{N}$ cap a la dreta.

7. Primera i segona lleis de Newton

En un sistema de referència inercial, per a un cos de massa constant:

\boxed{ \sum\vec F=m\vec a \qquad\Longrightarrow\qquad \begin{cases} \sum F_x=ma_x\\ \sum F_y=ma_y \end{cases} }

Cas particular: si la resultant es manté nul·la durant un interval de temps,

\boxed{ \begin{aligned} \sum\vec F=\vec 0&\Longrightarrow\vec a=\vec 0\\ &\Longrightarrow\vec v=\vec v_0 \end{aligned} }

$m$ : massa, en $\mathrm{kg}$ .
$\vec a$ , $a_x$ , $a_y$ : acceleració i components, en $\mathrm{m/s^2}$ .
$\vec v$ : velocitat, en $\mathrm{m/s}$ ; $\vec v_0$ és la velocitat inicial de l’interval, que es manté constant si la resultant és nul·la.
$\sum\vec F$ : força resultant, en $\mathrm{N}$ .
Recorda: $1\,\mathrm{N}=1\,\mathrm{kg\,m/s^2}$ .
Quan es fa servir: per relacionar les forces sobre un cos amb la seva acceleració.
Quan NO: no igualis una força individual a $m\vec a$ si hi ha altres forces que no s’han compensat.
Error més típic: pensar que resultant nul·la significa estar aturat. També pot significar moviment rectilini amb velocitat constant.

8. Acció i reacció

\boxed{ \vec F_{A\to B}=-\vec F_{B\to A} }

$\vec F_{A\to B}$ : força que el cos $A$ exerceix sobre $B$ , en $\mathrm{N}$ .
$\vec F_{B\to A}$ : força que $B$ exerceix sobre $A$ , en $\mathrm{N}$ .

Tenen el mateix mòdul i direcció, però sentits oposats, i actuen sobre cossos diferents.

Quan es fa servir: per relacionar les dues forces d’una mateixa interacció.
Quan NO: no les cancel·lis en l’equació de forces d’un sol cos.
Error més típic: pensar que el cos de més massa exerceix una força més gran. Les forces són iguals en mòdul; les acceleracions poden ser diferents.

D. Gravitació universal

9. Força gravitatòria entre dues masses

\boxed{ \begin{aligned} F&=G\frac{m_1m_2}{r^2}\\ G&=6{,}67\cdot10^{-11}\,\mathrm{N\,m^2/kg^2} \end{aligned} }

$F$ : mòdul de la força sobre cadascun dels dos cossos, en $\mathrm{N}$ .
$m_1,m_2$ : masses, en $\mathrm{kg}$ .
$r$ : distància entre centres, en $\mathrm{m}$ .
$G$ : constant de gravitació universal.

Direcció: la recta que uneix els centres.
Sentit: cada cos és atret cap a l’altre.

Quan es fa servir: per a masses puntuals o cossos que es poden aproximar com a puntuals. També per a dos cossos esfèrics amb distribució de massa esfèricament simètrica que no se superposen.
Quan NO: no la facis servir directament amb una única distància entre centres per a cossos extensos de forma qualsevol molt pròxims, ni per calcular forces elèctriques.
Error més típic: utilitzar la distància entre superfícies o oblidar elevar $r$ al quadrat.

Si dues esferes estan separades per un espai $d$ entre superfícies:

\boxed{r=R_1+d+R_2}

$R_1,R_2$ : radis de les esferes, en $\mathrm{m}$ .
$d$ : separació entre les superfícies més properes, en $\mathrm{m}$ .
$r$ : distància entre centres, en $\mathrm{m}$ .
Quan es fa servir: quan et donen la separació entre superfícies i els radis.
Quan NO: no afegeixis els radis si ja et donen la distància entre centres.
Error més típic: prendre $r=d$ .

10. Com canvia la força

\boxed{ \frac{F'}{F} = \frac{m_1'}{m_1} \frac{m_2'}{m_2} \left(\frac{r}{r'}\right)^2 }

Les magnituds amb prima $(\, '\,)$ són els valors nous.
$F,F'$ : forces, en $\mathrm{N}$ .
$m_1,m_2,m_1',m_2'$ : masses, en $\mathrm{kg}$ .
$r,r'$ : distàncies entre centres, en $\mathrm{m}$ .
Tots els quocients són sense unitats.
Quan es fa servir: per comparar dues situacions sense recalcular tota la força.
Quan NO: aquest factor compara mòduls; no determina una nova direcció si els cossos canvien de posició.
Error més típic: pensar que duplicar la distància divideix la força per $2$ . La divideix per $4$ .

Exemples resolts

Exemple 1. Canvis d’unitats, resultant i acceleració

Un cos de massa $500\,\mathrm{g}$ rep dues forces: una de $3000\,\mathrm{mN}$ cap a la dreta i una de $4{,}00\,\mathrm{N}$ cap amunt. No hi ha altres forces.

1. Dades en SI

m=500\,\mathrm{g}\times\frac{1\,\mathrm{kg}}{1000\,\mathrm{g}} =0{,}500\,\mathrm{kg}

F_1=3000\,\mathrm{mN}\times\frac{1\,\mathrm{N}}{1000\,\mathrm{mN}} =3{,}00\,\mathrm{N}

Triem dreta $+x$ i amunt $+y$ :

\begin{aligned} F_{\mathrm{res},x}&=3{,}00\,\mathrm{N}\\ F_{\mathrm{res},y}&=4{,}00\,\mathrm{N} \end{aligned}

2. Què busquem?

El mòdul de la resultant i les components i el mòdul de l’acceleració.

3. Fórmules

\begin{aligned} F_{\mathrm{res}}&=\sqrt{F_{\mathrm{res},x}^2+F_{\mathrm{res},y}^2}\\ a_x&=\frac{F_{\mathrm{res},x}}m\\ a_y&=\frac{F_{\mathrm{res},y}}m \end{aligned}

4. Càlcul amb unitats

F_{\mathrm{res}} =\sqrt{(3{,}00\,\mathrm{N})^2+(4{,}00\,\mathrm{N})^2} =\boxed{5{,}00\,\mathrm{N}}

a_x=\frac{3{,}00\,\mathrm{N}}{0{,}500\,\mathrm{kg}} =\boxed{6{,}00\,\mathrm{m/s^2}}

a_y=\frac{4{,}00\,\mathrm{N}}{0{,}500\,\mathrm{kg}} =\boxed{8{,}00\,\mathrm{m/s^2}}

a=\sqrt{(6{,}00\,\mathrm{m/s^2})^2+(8{,}00\,\mathrm{m/s^2})^2} =\boxed{10{,}0\,\mathrm{m/s^2}}

5. Té sentit?

Sí: la resultant apunta cap a la dreta i amunt, igual que l’acceleració. A més, $ma=0{,}500\cdot10{,}0=5{,}00\,\mathrm{N}$ , que coincideix amb la resultant. Les dues forces perpendiculars no donen $7\,\mathrm{N}$ .

Exemple 2. Gravitació i distància entre centres

Dues esferes de masses $10{,}0\,\mathrm{kg}$ i $20{,}0\,\mathrm{kg}$ , amb radis de $10{,}0\,\mathrm{cm}$ i $15{,}0\,\mathrm{cm}$ , tenen una separació entre superfícies de $25{,}0\,\mathrm{cm}$ . Suposem que la distribució de massa de cada esfera té simetria esfèrica.

1. Dades en SI

\begin{aligned} m_1&=10{,}0\,\mathrm{kg}\\ m_2&=20{,}0\,\mathrm{kg} \end{aligned}

\begin{aligned} R_1 &=0{,}100\,\mathrm{m}\\ R_2&=0{,}150\,\mathrm{m}\\ d&=0{,}250\,\mathrm{m} \end{aligned}

La distància necessària és:

\begin{aligned} r &=R_1+d+R_2\\ &=0{,}100+0{,}250+0{,}150\\ &=0{,}500\,\mathrm{m} \end{aligned}

2. Què busquem?

La força gravitatòria sobre cada esfera, amb direcció i sentit.

3. Fórmula

F=G\frac{m_1m_2}{r^2}

4. Càlcul amb unitats

F= \left(6{,}67\cdot10^{-11}\, \frac{\mathrm{N\,m^2}}{\mathrm{kg^2}}\right) \frac{(10{,}0\,\mathrm{kg})(20{,}0\,\mathrm{kg})} {(0{,}500\,\mathrm{m})^2}

\boxed{F=5{,}34\cdot10^{-8}\,\mathrm{N}}

Les unitats es redueixen a newtons: es cancel·len $\mathrm{kg^2}$ i $\mathrm{m^2}$ .

Direcció i sentit:

Situa l’esfera 1 a l’esquerra i l’esfera 2 a la dreta: la força sobre l’esfera 1 apunta a la dreta i la força sobre l’esfera 2, a l’esquerra.

Les forces segueixen la recta entre centres i cadascuna apunta cap a l’altra esfera.

5. Té sentit?

Sí: la força és molt petita, com correspon a masses quotidianes separades mig metre. Totes dues esferes reben una força del mateix mòdul, tot i tenir masses diferents.

Si haguéssim utilitzat $0{,}250\,\mathrm{m}$ com a $r$ , hauríem obtingut una força quatre vegades massa gran.

Exemple 3. Canvien les masses i la distància

Partim d’una força gravitatòria $F$ . La primera massa es duplica, la segona es triplica i la distància entre centres es duplica.

1. Dades

\begin{aligned} m_1'&=2m_1\\ m_2'&=3m_2\\ r'&=2r \end{aligned}

2. Què busquem?

El factor pel qual canvia la força: $F'/F$ .

3. Fórmula

\frac{F'}F= \frac{m_1'}{m_1} \frac{m_2'}{m_2} \left(\frac r{r'}\right)^2

4. Càlcul

\begin{aligned} \frac{F'}F &=2\cdot3\cdot\left(\frac12\right)^2\\ &=\frac64\\ &=1{,}5 \end{aligned}

\boxed{F'=1{,}5F}

La força nova és un 50 % més gran. El factor $1{,}5$ no té unitats; si $F$ és en newtons, $F'$ també.

5. Té sentit?

Sí: el canvi de masses multiplica la força per $6$ , però duplicar la distància la divideix per $4$ . El resultat net és multiplicar-la per $6/4=1{,}5$ . Continua sent una força atractiva.

Practica

Posa’t a prova

Tres exercicis resolts pas a pas, de menys a més difícils. Intenta’ls abans d’obrir la solució.

Bàsic

1D’una força a les seves components

Una força de mòdul $10{,}0\,\mathrm{N}$ forma un angle de $30^\circ$ amb l’eix $+x$ , mesurat en sentit antihorari.

a
Dibuixa els eixos i la força. Calcula $F_x$ i $F_y$ .

b
Comprova, a partir de les components, que el mòdul és $10{,}0\,\mathrm{N}$ .

Una altra força té components $F_x=-6{,}0\,\mathrm{N}$ i $F_y=8{,}0\,\mathrm{N}$ .

c
Calcula’n el mòdul i indica si apunta cap a la dreta o l’esquerra i cap amunt o avall.

Mostra la solució

a) Components de la primera força

La força apunta cap a la dreta i amunt.

\begin{aligned} F_x &=F\cos30^\circ\\ &=(10{,}0\,\mathrm{N})\cos30^\circ\\ &=\boxed{8{,}66\,\mathrm{N}} \end{aligned}

\begin{aligned} F_y &=F\sin30^\circ\\ &=(10{,}0\,\mathrm{N})\sin30^\circ\\ &=\boxed{5{,}00\,\mathrm{N}} \end{aligned}

b) Comprovació del mòdul

F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}

F=\sqrt{(8{,}66\,\mathrm{N})^2+(5{,}00\,\mathrm{N})^2} \approx\boxed{10{,}0\,\mathrm{N}}

La petita diferència que pugui aparèixer a la calculadora prové de l’arrodoniment.

c) Segona força

\begin{aligned} F &=\sqrt{(-6{,}0\,\mathrm{N})^2+(8{,}0\,\mathrm{N})^2}\\ &=\sqrt{100\,\mathrm{N^2}}\\ &=\boxed{10{,}0\,\mathrm{N}} \end{aligned}

Com que $F_x<0$ i $F_y>0$ , apunta cap a l’esquerra i amunt.

Comprovació: tots dos mòduls són positius. El signe negatiu d’una component indica sentit, no un mòdul negatiu.

Intermedi

2La distància correcta: entre centres

Dues esferes amb distribució de massa esfèricament simètrica tenen:

Masses: $12{,}0\,\mathrm{kg}$ i $18{,}0\,\mathrm{kg}$ .
Radis: $8{,}0\,\mathrm{cm}$ i $12{,}0\,\mathrm{cm}$ .
Separació entre les superfícies més properes: $30{,}0\,\mathrm{cm}$ .

a
Fes un esquema i calcula la distància entre centres.

b
Calcula la força gravitatòria entre les esferes.

c
Un alumne utilitza $r=0{,}300\,\mathrm{m}$ . Calcula quin resultat obtindria.

d
Per quin factor és més gran el resultat incorrecte que el correcte? Explica per què l’error augmenta la força calculada.

Mostra la solució

a) Distància entre centres

\begin{aligned} R_1 &=0{,}080\,\mathrm{m}\\ d&=0{,}300\,\mathrm{m}\\ R_2&=0{,}120\,\mathrm{m} \end{aligned}

L’esquema de distàncies és:

Del centre 1 al centre 2 recorrem, en aquest ordre: el radi $R_1$ fins a la superfície de l’esfera 1, l’espai $d$ fins a la superfície de l’esfera 2 i el radi $R_2$ fins al seu centre.

\begin{aligned} r &=R_1+d+R_2\\ &=0{,}080+0{,}300+0{,}120\\ &=\boxed{0{,}500\,\mathrm{m}} \end{aligned}

b) Força correcta

F=G\frac{m_1m_2}{r^2}

F= \left(6{,}67\cdot10^{-11}\, \frac{\mathrm{N\,m^2}}{\mathrm{kg^2}}\right) \frac{(12{,}0\,\mathrm{kg})(18{,}0\,\mathrm{kg})} {(0{,}500\,\mathrm{m})^2}

\boxed{F=5{,}76\cdot10^{-8}\,\mathrm{N}}

c) Resultat amb la distància incorrecta

Anomenem $F_{\mathrm{err}}$ la força calculada amb la distància incorrecta.

F_{\mathrm{err}}= \left(6{,}67\cdot10^{-11}\, \frac{\mathrm{N\,m^2}}{\mathrm{kg^2}}\right) \frac{(12{,}0\,\mathrm{kg})(18{,}0\,\mathrm{kg})} {(0{,}300\,\mathrm{m})^2}

\boxed{F_{\mathrm{err}}=1{,}60\cdot10^{-7}\,\mathrm{N}}

d) Factor d’error

\frac{F_{\mathrm{err}}}{F} =\left(\frac{0{,}500\,\mathrm{m}}{0{,}300\,\mathrm{m}}\right)^2 =\boxed{2{,}78}

El resultat incorrecte és aproximadament 2,78 vegades el correcte.

Comprovació: utilitzar una distància massa petita fa el denominador massa petit i, per tant, dona una força massa gran.

Tipus PAU

3Tipus PAU: una interacció entre dos cossos

En un instant determinat, dos cossos puntuals són sobre l’eix $x$ : $A$ , de massa $100\,\mathrm{kg}$ , a $x_A=0\,\mathrm{m}$ , i $B$ , de massa $2{,}00\,\mathrm{kg}$ , a $x_B=2{,}00\,\mathrm{m}$ . Només considerem la gravitació mútua. Pren la dreta com a sentit positiu.

a
Calcula la distància $AB$ i dibuixa la força sobre cada cos.

b
Calcula el mòdul i la component $x$ de la força sobre $B$ .

c
Calcula l’acceleració de $B$ . Si en aquest instant es mou cap a la dreta, augmenta o disminueix el mòdul de la seva velocitat?

d
Identifica la reacció de la força d’ $A$ sobre $B$ : cos receptor, mòdul, direcció i sentit. Per què no l’inclous en la resultant sobre $B$ ?

e
En una altra situació, la massa d’ $A$ és $900\,\mathrm{kg}$ i la distància $AB$ és $4{,}00\,\mathrm{m}$ , amb $A$ a l’esquerra. Calcula el factor de canvi de la força, la força i l’acceleració sobre $B$ .

Mostra la solució

a) Distància i forces

r_{AB}=|x_B-x_A|=\boxed{2{,}00\,\mathrm{m}}

La força sobre $B$ apunta a l’esquerra; la força sobre $A$ , a la dreta.

b) Força sobre $B$

\begin{aligned} F&=G\frac{m_Am_B}{r_{AB}^2}\\ &=(6{,}67\cdot10^{-11}\,\mathrm{N\,m^2/kg^2}) \frac{(100\,\mathrm{kg})(2{,}00\,\mathrm{kg})}{(2{,}00\,\mathrm{m})^2}\\ &=\boxed{3{,}335\cdot10^{-9}\,\mathrm{N}} \end{aligned}

La component és $F_{A\to B,x}=-3{,}335\cdot10^{-9}\,\mathrm{N}$ .

c) Acceleració i moviment

a_{B,x}=\frac{-3{,}335\cdot10^{-9}\,\mathrm{N}}{2{,}00\,\mathrm{kg}} =\boxed{-1{,}6675\cdot10^{-9}\,\mathrm{m/s^2}}

Apunta a l’esquerra. Si la velocitat és cap a la dreta, en aquest instant el seu mòdul disminueix.

d) Acció i reacció

\vec F_{B\to A}=-\vec F_{A\to B}

La reacció actua sobre $A$ , té mòdul $3{,}335\cdot10^{-9}\,\mathrm{N}$ i apunta horitzontalment a la dreta. No es suma en l’equació de $B$ perquè actua sobre un altre cos.

e) Canvi de massa i distància

\begin{aligned} \frac{F'}{F}&=9\left(\frac{2{,}00}{4{,}00}\right)^2\\ &=\frac94=2{,}25 \end{aligned}

F'=2{,}25(3{,}335\cdot10^{-9}\,\mathrm{N}) =7{,}50375\cdot10^{-9}\,\mathrm{N}

a_{B,x}'=\frac{-7{,}50375\cdot10^{-9}\,\mathrm{N}}{2{,}00\,\mathrm{kg}} \approx\boxed{-3{,}75\cdot10^{-9}\,\mathrm{m/s^2}}

Comprovació: la força és 2,25 vegades la inicial i continua apuntant cap a $A$ .