Órbitas y satélites

• Todo en SI: distancias en metros, masas en kilogramos, tiempos en segundos, velocidades en $\mathrm{m/s}$ y energías en julios.
  • $1\ \mathrm{km}=10^3\ \mathrm m$.
  • $1\ \mathrm h=3\,600\ \mathrm s$.
• Radio orbital y altura no son lo mismo: $r$ se mide desde el centro del astro; $h$, desde la superficie.
• Segunda ley de Newton: la fuerza resultante produce la aceleración. En un movimiento circular, la aceleración centrípeta apunta hacia el centro.
• La fuerza centrípeta no es una fuerza adicional: en estos problemas, la gravedad actúa como fuerza centrípeta.
• Energía potencial gravitatoria: tomamos la energía potencial nula en el infinito. Por eso, a una distancia finita, es negativa.
• Presentación de los cálculos: escribe la ley que aplicas, la fórmula, la sustitución con unidades y el resultado con 3 cifras significativas. Conserva alguna cifra más en la calculadora, pero no escribas largas retahílas de decimales.

Modelo habitual: astro esférico, satélite de masa mucho menor que la del astro, sin atmósfera ni rozamiento y sin otros astros que influyan apreciablemente.

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Símbolos que utilizaremos

En las fórmulas siguientes, estos símbolos mantienen siempre el mismo significado.

A. Radio orbital y altura

$$\boxed{ \begin{aligned} r &= R+h\\ h &= r-R \end{aligned} }$$

• Cuándo se utiliza: antes de aplicar las fórmulas de gravitación, si te dan la altura; o al final, si te piden la altura.
• Cuándo NO: si ya te dan la distancia al centro, esa distancia ya es $r$.
• Error más típico: poner $h$ en el denominador de las fórmulas en vez de $r$.

B. Fuerza gravitatoria y campo gravitatorio

$$\boxed{ \begin{aligned} F_g &= \frac{GMm}{r^2}\\ F_g &= mg\\ g &= \frac{GM}{r^2} \end{aligned} }$$

• Letras nuevas: $F_g$, módulo de la fuerza gravitatoria, en $\mathrm N$; $g$, módulo del campo gravitatorio o aceleración de la gravedad, en $\mathrm{m/s^2}$.
• Cuándo se utiliza: para calcular la fuerza o la gravedad a una altura determinada. La fuerza apunta hacia el centro del astro.
• Cuándo NO: no supongas que $g$ tiene el mismo valor a todas las alturas. Si intervienen varios astros, hay que sumar sus fuerzas vectorialmente.
• Error más típico: pensar que un satélite en órbita no tiene gravedad. La tiene: es precisamente la que lo mantiene en órbita.

Si te dan $g$, puedes despejar el radio: $r=\sqrt{GM/g}$, y después calcular $h=r-R$.

C. Velocidad de una órbita circular: la deducción que debes saber hacer

Ley de la gravitación universal + segunda ley de Newton.
Escribe: «Solo actúa la gravedad y la aceleración es centrípeta».

$$\boxed{ \begin{aligned} \frac{GMm}{r^2} &= m\frac{v^2}{r}\\ v^2 &= \frac{GM}{r}\\ v &= \sqrt{\frac{GM}{r}} \end{aligned} }$$

• Cuándo se utiliza: para una órbita circular bajo la acción de la gravedad del astro central.
• Cuándo NO: no da la velocidad en un punto cualquiera de una órbita elíptica ni la velocidad de un lanzamiento cualquiera.
• Error más típico: sumar «fuerza gravitatoria + fuerza centrípeta». Son la misma fuerza en este modelo, no dos fuerzas distintas.

Lectura rápida: cuanto mayor es el radio circular, menor es la velocidad orbital. La masa $m$ del satélite se cancela.

D. Periodo, velocidad angular y número de vueltas

$$\boxed{ \begin{aligned} T &= \frac{2\pi r}{v}\\ &= 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}\\ \omega &= \frac{2\pi}{T}\\ n &= \frac{t}{T} \end{aligned} }$$

• Letras nuevas: $\omega$, velocidad angular, en $\mathrm{rad/s}$; $t$, tiempo transcurrido, en $\mathrm s$; $n$, número de vueltas, sin unidad.
• Cuándo se utiliza: movimiento circular uniforme. La segunda expresión de $T$ se obtiene al sustituir $v=\sqrt{GM/r}$ en la primera.
• Cuándo NO: en una elipse no puedes dividir $2\pi r$ por una velocidad cualquiera, porque ni el radio ni la rapidez son constantes.
• Error más típico: mezclar $t$ en horas con $T$ en segundos.

Si te piden vueltas completas, toma solo la parte entera de $n$. Si te piden el número de vueltas, puede tener decimales.

E. Tercera ley de Kepler y radio a partir del periodo

$$\boxed{ \begin{aligned} \frac{T^2}{r^3} &= \frac{4\pi^2}{GM}\\ \frac{T_1^2}{r_1^3} &= \frac{T_2^2}{r_2^3}\\ r &= \sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4\pi^2}} \end{aligned} }$$

• Letras: los subíndices $1$ y $2$ indican dos órbitas.
• Cuándo se utiliza: para comparar órbitas circulares alrededor del mismo astro, o para obtener $r$ si conoces $T$.
• Cuándo NO: no iguales las constantes de Kepler de dos astros con masas distintas.
• Error más típico: comparar las alturas $h_1,h_2$ en vez de los radios $r_1,r_2$.

Forma general: en una órbita elíptica, la tercera ley utiliza el semieje mayor $a$ en lugar del radio circular $r$: $T^2/a^3=4\pi^2/(GM)$. En una circunferencia, $a=r$. Las órbitas elípticas tienen su propio apartado, el L.

F. Energías: expresiones generales

$$\boxed{ \begin{aligned} E_c &= \frac12mv^2\\ E_p &= -\frac{GMm}{r}\\ E_m &= E_c+E_p\\ &= \frac12mv^2-\frac{GMm}{r} \end{aligned} }$$

• Letras nuevas: $E_c$, energía cinética; $E_p$, energía potencial gravitatoria; $E_m$, energía mecánica. Todas en $\mathrm J$.
• Cuándo se utiliza: en órbitas circulares, elípticas o trayectorias de escape, con el modelo gravitatorio indicado.
• Cuándo NO: $E_p=mgh$ no es la expresión adecuada para cambios de altura grandes, porque $g$ varía.
• Error más típico: perder el signo negativo de $E_p$.

Si conoces $E_p$, puedes despejar $r=-GMm/E_p$: el resultado debe ser positivo.

G. Energías de una órbita circular

Sustituye $v^2=GM/r$ en las expresiones anteriores:

$$\boxed{ \begin{aligned} E_c &= \frac{GMm}{2r}\\ E_p &= -\frac{GMm}{r}\\ E_m &= -\frac{GMm}{2r} \end{aligned} }$$

• Cuándo se utiliza: para calcular las energías de un satélite en órbita circular.
• Cuándo NO: no utilices $E_m=-GMm/(2r)$ con el radio instantáneo de una órbita no circular.
• Error más típico: confundir $E_m$ con $E_p$: la energía mecánica circular es la mitad de la potencial, con el mismo signo.

Comprobación inmediata: $E_p=-2E_c$ y $E_m=-E_c$.

Interpretación que hay que escribir: $E_m<0$ indica una órbita cerrada (ligada): el satélite no tiene suficiente energía para llegar al infinito.

H. Cambios de energía y trabajo

La siguiente expresión de $\Delta E_m$ compara dos órbitas circulares.

$$\boxed{ \begin{aligned} \Delta E_p &=E_{p,f}-E_{p,i} =GMm\left(\frac1{r_i}-\frac1{r_f}\right)\\[2mm] \Delta E_m &=\frac{GMm}{2}\left(\frac1{r_i}-\frac1{r_f}\right)\\[2mm] W_g&=-\Delta E_p \qquad W_{\mathrm{motores}}=\Delta E_m \end{aligned} }$$

• Letras nuevas: $i$, inicial; $f$, final; $W_g$, trabajo de la gravedad; $W_{\mathrm{motores}}$, energía mecánica aportada por los motores. Los trabajos se miden en $\mathrm J$.
• Cuándo se utiliza: para comparar estados iniciales y finales. La relación de los motores supone ausencia de rozamiento y el modelo de masa constante.
• Cuándo NO: no impongas conservación de la energía mecánica durante una maniobra con motores.
• Error más típico: calcular solo $\Delta E_p$ cuando piden la energía necesaria para pasar de una órbita circular a otra. También cambia $E_c$.

Al subir a una órbita circular mayor:

• $E_p$ aumenta: se hace menos negativa.
• $E_c$ disminuye.
• $E_m$ aumenta: hay que aportar energía.

I. Conservación de la energía entre dos puntos

Si solo actúa la gravedad, que es una fuerza conservativa:

$$\boxed{ \begin{aligned} E_{m,i} &= E_{m,f}\\ \frac12mv_i^2-\frac{GMm}{r_i} &= \frac12mv_f^2-\frac{GMm}{r_f} \end{aligned} }$$

• Letras: $v_i,v_f$, velocidades inicial y final, en $\mathrm{m/s}$; $r_i,r_f$, distancias inicial y final al centro, en $\mathrm m$.
• Cuándo se utiliza: trayectorias sin motores, rozamiento ni otros aportes de energía.
• Cuándo NO: si el problema indica que los motores aportan energía; entonces hay que incluir su trabajo.
• Error más típico: conservar solo la energía cinética o solo la potencial: se conserva la suma.

Si comparas un lanzamiento desde la superficie con la energía de una órbita circular de radio $r$, al despejar se obtiene:

$$\boxed{ \begin{aligned} \frac12mv_0^2-\frac{GMm}{R} &= -\frac{GMm}{2r}\\ v_0 &= \sqrt{GM\left(\frac2R-\frac1r\right)} \end{aligned} }$$

• Letra nueva: $v_0$, velocidad inicial en la superficie, en $\mathrm{m/s}$.
• Cuándo se utiliza: en un balance idealizado que pide la velocidad inicial equivalente a la energía de la órbita.
• Cuándo NO: esta condición energética, por sí sola, no garantiza la inserción en una órbita circular: desde la superficie, hace falta una maniobra de inserción para quedar en esa órbita circular exterior. La gravedad por sí sola no transforma el lanzamiento en una circunferencia de radio mayor.
• Error más típico: confundir esta velocidad con la velocidad orbital final.

J. Velocidad de escape

Para escapar con la velocidad mínima, en el infinito $E_p=0$ y $v=0$. Por tanto, la energía mecánica límite es cero:

$$\boxed{ \begin{aligned} \frac12mv_{\mathrm{esc}}^2-\frac{GMm}{r} &= 0\\ v_{\mathrm{esc}} &= \sqrt{\frac{2GM}{r}} \end{aligned} }$$

• Letra nueva: $v_{\mathrm{esc}}$, velocidad mínima de escape desde la distancia $r$, en $\mathrm{m/s}$.
• Cuándo se utiliza: escape ideal sin propulsión posterior, sin atmósfera y considerando solo el astro central.
• Cuándo NO: no utilices $R$ si el satélite ya se encuentra a una altura $h$: entonces $r=R+h$.
• Error más típico: confundir velocidad de escape con velocidad circular.

Al mismo radio, la velocidad de escape es $\sqrt2$ veces la circular.

K. Energía mínima para escapar desde una órbita circular

$$\boxed{ \begin{aligned} \Delta E_{\mathrm{esc}} &= 0-E_{m,i}\\ &= \frac{GMm}{2r}\\ m_{\max} &= \frac{2r\,E_d}{GM} \end{aligned} }$$

• Letras nuevas: $\Delta E_{\mathrm{esc}}$, energía mínima que hay que aportar, en $\mathrm J$; $E_d$, energía útil disponible, en $\mathrm J$; $m_{\max}$, masa máxima que se puede hacer escapar, en $\mathrm{kg}$.
• Cuándo se utiliza: satélite inicialmente en órbita circular.
• Cuándo NO: si la velocidad inicial es otra, calcula primero $E_{m,i}$ con la expresión general.
• Error más típico: calcular $\tfrac12m(v_{\mathrm{esc}}-v)^2$. La energía cinética depende del cuadrado de cada velocidad, no del cuadrado de la diferencia.

L. Órbitas elípticas: dibujo, Kepler y momento angular

$$\boxed{ \begin{aligned} a &= \frac{r_p+r_a}{2}\\ \frac{T^2}{a^3} &= \frac{4\pi^2}{GM}\\ L &= mrv\sin\theta\\ v &= \sqrt{GM\left(\frac2r-\frac1a\right)} \end{aligned} }$$

• Letras nuevas: $r_p$, distancia en el perihelio (el punto más próximo al astro); $r_a$, distancia en el afelio (el más alejado); $a$, semieje mayor, en $\mathrm m$ o en $\mathrm{UA}$; $L$, módulo del momento angular, en $\mathrm{kg\,m^2/s}$; $\theta$, ángulo entre $\vec r$ y $\vec v$.
• Cómo se dibuja: una elipse con el astro en un foco, no en el centro. El perihelio y el afelio están en los extremos del eje mayor, y $2a=r_p+r_a$ (ejemplo 4).
• Tercera ley: compara órbitas del mismo astro con $T_1^2/a_1^3=T_2^2/a_2^3$. Puedes trabajar en años y $\mathrm{UA}$ si las dos órbitas usan las mismas unidades; si el enunciado da la constante $4\pi^2/(GM)$, puedes usarla sin recalcularla. El otro extremo sale de $r_a=2a-r_p$.
• Momento angular: la gravedad es una fuerza central, por eso $L=mrv\sin\theta$ se conserva. En el perihelio y en el afelio, $\vec r\perp\vec v$, es decir, $\theta=90^\circ$:
  $$\begin{aligned} mr_pv_p\sin90^\circ &= mr_av_a\sin90^\circ\\ \frac{v_p}{v_a} &= \frac{r_a}{r_p} \end{aligned}$$
• Energía: en una elipse, $E_m=-GMm/(2a)$. Igualándola a $\tfrac12mv^2-GMm/r$ sale la velocidad $v$ a cualquier distancia $r$.
• Dónde es máxima la velocidad: en el perihelio. Justifícalo con la segunda ley de Kepler (el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales; cerca del astro el radio es corto y el planeta debe recorrer más arco en el mismo tiempo) o con la conservación de la energía ($E_m$ es constante; donde $r$ es mínimo, $E_p$ es mínima y $E_c$, máxima).
• Cuándo NO: no utilices $v=\sqrt{GM/r}$ ni $E_m=-GMm/(2r)$ en una elipse. El ángulo $\theta=90^\circ$ solo vale en los dos extremos.
• Error más típico: dibujar el astro en el centro de la elipse.

Cuidado: en la PAU, justificar dónde es máxima la velocidad solo con $L=mrv\sin\theta$ se considera incompleto. Usa la segunda ley de Kepler o la energía.

M. Leer una gráfica de distancia y prever pasos

$$\boxed{ \begin{aligned} T &= \frac{t_{\text{último}}-t_{\text{primero}}}{N-1}\\ t_k &= t_0+kT \end{aligned} }$$

• Letras nuevas: en una gráfica $r(t)$, $t_{\text{primero}}$ y $t_{\text{último}}$ son los instantes del primer y del último mínimo; $N$, el número de mínimos que cuentas; $t_0$, el instante de un paso conocido; $t_k$, el paso número $k$ después de este ($k=1,2,3\dots$).
• Cómo se lee: cada mínimo de $r(t)$ es un paso por el punto más próximo (máximo acercamiento). Entre dos mínimos seguidos pasa un periodo. El mínimo de la curva es $r_p$; el máximo, $r_a$.
• Cuándo se utiliza: para hallar el periodo y las vueltas completas en una gráfica, y para decidir en qué fechas u horas habrá un paso.
• Cuándo NO: si la gráfica no empieza en un mínimo, el número de mínimos no es el número de vueltas: calcula $n=t/T$ y toma su parte entera.
• Error más típico: dividir por el número de mínimos, $N$, en lugar del número de intervalos entre mínimos, $N-1$.

N. Dos fuerzas alineadas: la resultante hace de fuerza centrípeta

$$\boxed{ \begin{aligned} F &= F_1\pm F_2\\ F &= m\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2r\\ T &= 2\pi\sqrt{\frac{mr}{F}} \end{aligned} }$$

• Letras nuevas: $F_1$, $F_2$, módulos de las fuerzas gravitatorias de cada masa; $F$, módulo de la resultante, en $\mathrm N$; $r$, radio de la circunferencia que describe el cuerpo.
• Signo: suma si las dos fuerzas tienen el mismo sentido (las dos masas están al mismo lado del cuerpo); resta si tienen sentidos opuestos (el cuerpo está entre las dos masas).
• Cuándo se utiliza: cuando dos masas tiran a la vez del cuerpo que gira y los tres se mantienen alineados.
• Cuándo NO: $T=2\pi\sqrt{r^3/(GM)}$ solo vale si actúa un único astro.
• Error más típico: sumar siempre las dos fuerzas sin mirar hacia dónde apuntan.

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Utilizaremos un planeta ficticio, Aster, para que los cálculos no dependan de recordar datos de un astro real.

Ejemplo 1. Velocidad, periodo, gravedad y energías de un satélite

Datos

• Masa de Aster: $M=4,80\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}$.
• Radio: $R=5,50\cdot10^6\ \mathrm m$.
• Masa del satélite: $m=3,20\cdot10^2\ \mathrm{kg}$.
• Altura de la órbita circular: $h=9,00\cdot10^2\ \mathrm{km}$.
• $G=6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2}$.

Buscamos: $v$, $T$, vueltas en $12,0\ \mathrm h$, $g$ y las tres energías.

Paso 1. Hallar el radio orbital

$$\begin{aligned} h &= (9,00\cdot10^2\ \mathrm{km})(10^3\ \mathrm{m/km})\\ &= 9,00\cdot10^5\ \mathrm m \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} r &= R+h\\ &= 5,50\cdot10^6\ \mathrm m+9,00\cdot10^5\ \mathrm m\\ &= \boxed{6,40\cdot10^6\ \mathrm m} \end{aligned}$$

Trampa: a partir de ahora utilizamos este $r$, no la altura.

Paso 2. Justificar y calcular la velocidad

Solo actúa la gravedad. Por la ley de la gravitación universal y la segunda ley de Newton, con aceleración centrípeta:

$$\begin{aligned} \frac{GMm}{r^2} &= m\frac{v^2}{r}\\ v &= \sqrt{\frac{GM}{r}} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} v &= \sqrt{ \frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2}) (4,80\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}) }{ 6,40\cdot10^6\ \mathrm m }}\\ &= \boxed{7,07\cdot10^3\ \mathrm{m/s}} \end{aligned}$$

Si hay que dibujar las direcciones: la velocidad es tangente a la circunferencia; la fuerza y la aceleración apuntan hacia el centro.

Paso 3. Calcular el periodo y las vueltas

$$\begin{aligned} T &= \frac{2\pi r}{v}\\ &= \frac{2\pi(6,40\cdot10^6\ \mathrm m)} {7,07\cdot10^3\ \mathrm{m/s}}\\ &= \boxed{5,69\cdot10^3\ \mathrm s} \end{aligned}$$

En minutos:

$$\begin{aligned} T &= \frac{5,69\cdot10^3\ \mathrm s}{60\ \mathrm{s/min}}\\ &= 94,8\ \mathrm{min} \end{aligned}$$

Convertimos el tiempo de observación:

$$\begin{aligned} t &= (12,0\ \mathrm h)(3\,600\ \mathrm{s/h})\\ &= 4,32\cdot10^4\ \mathrm s \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} n &= \frac{t}{T}\\ &= \frac{4,32\cdot10^4\ \mathrm s}{5,69\cdot10^3\ \mathrm s}\\ &= \boxed{7,60\ \text{vueltas}} \end{aligned}$$

Por tanto, ha completado 7 vueltas completas y una parte de la siguiente.

Paso 4. Calcular la gravedad

A partir de $F_g=mg$ y $F_g=GMm/r^2$:

$$\begin{aligned} g &= \frac{GM}{r^2}\\ &= \frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2})(4,80\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}) }{ (6,40\cdot10^6\ \mathrm m)^2 }\\ &= \boxed{7,82\ \mathrm{m/s^2}} \end{aligned}$$

Paso 5. Deducir y calcular las energías

Como la órbita es circular, $v^2=GM/r$:

$$\begin{aligned} E_c &= \frac12mv^2\\ &= \frac{GMm}{2r} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} E_c &= \frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2})(4,80\cdot10^{24}\ \mathrm{kg})(3,20\cdot10^2\ \mathrm{kg}) }{ 2(6,40\cdot10^6\ \mathrm m) }\\ &= \boxed{8,00\cdot10^9\ \mathrm J} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} E_p &= -\frac{GMm}{r}\\ &= -\frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2})(4,80\cdot10^{24}\ \mathrm{kg})(3,20\cdot10^2\ \mathrm{kg}) }{ 6,40\cdot10^6\ \mathrm m }\\ &= \boxed{-1,60\cdot10^{10}\ \mathrm J} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} E_m &= E_c+E_p\\ &= \frac{GMm}{2r}-\frac{GMm}{r}\\ &= -\frac{GMm}{2r} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} E_m &= 8,00\cdot10^9\ \mathrm J-1,60\cdot10^{10}\ \mathrm J\\ &= \boxed{-8,00\cdot10^9\ \mathrm J} \end{aligned}$$

Comprobación: $E_p=-2E_c$ y $E_m=-E_c$, tal como corresponde a una órbita circular. La energía mecánica negativa indica una órbita cerrada (ligada).

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Ejemplo 2. Cambio a una órbita con el doble de periodo

El mismo satélite pasa de la órbita anterior, de radio $r_1=6,40\cdot10^6\ \mathrm m$, a otra órbita circular alrededor de Aster. El nuevo periodo es el doble.

Buscamos: el nuevo radio, la nueva altura y la energía que hay que aportar.

Paso 1. Aplicar la tercera ley de Kepler

Como las dos órbitas son alrededor del mismo astro:

$$\frac{T_1^2}{r_1^3}=\frac{T_2^2}{r_2^3}$$

Despejamos $r_2$:

$$r_2=r_1\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{2/3}$$

$$\begin{aligned} r_2 &= (6,40\cdot10^6\ \mathrm m)\,2^{2/3}\\ &= \boxed{1,02\cdot10^7\ \mathrm m} \end{aligned}$$

Para los cálculos siguientes conservamos $r_2=1,016\cdot10^7\ \mathrm m$.

Trampa: doblar el periodo no implica doblar el radio.

Paso 2. Calcular la altura

$$\begin{aligned} h_2 &= r_2-R\\ &= 1,016\cdot10^7\ \mathrm m-5,50\cdot10^6\ \mathrm m\\ &= \boxed{4,66\cdot10^6\ \mathrm m} \end{aligned}$$

Paso 3. Calcular el cambio de energía mecánica

Las órbitas inicial y final son circulares:

$$\Delta E_m =\frac{GMm}{2}\left(\frac1{r_1}-\frac1{r_2}\right)$$

$$\begin{aligned} \Delta E_m&= \frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2})(4,80\cdot10^{24}\ \mathrm{kg})(3,20\cdot10^2\ \mathrm{kg}) }{2}\\ &\quad{}\times \left( \frac1{6,40\cdot10^6\ \mathrm m} -\frac1{1,016\cdot10^7\ \mathrm m} \right)\\ &= \boxed{+2,96\cdot10^9\ \mathrm J} \end{aligned}$$

Sin rozamiento, el trabajo de los motores es:

$$\boxed{ \begin{aligned} W_{\mathrm{motores}} &= \Delta E_m\\ &= +2,96\cdot10^9\ \mathrm J \end{aligned} }$$

Paso 4. Distinguirlo del cambio de energía potencial

$$\begin{aligned} \Delta E_p &= GMm\left(\frac1{r_1}-\frac1{r_2}\right)\\ &= 2\Delta E_m \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \Delta E_p &= 2(2,96\cdot10^9\ \mathrm J)\\ &= \boxed{+5,92\cdot10^9\ \mathrm J} \end{aligned}$$

Como $\Delta E_m=\Delta E_c+\Delta E_p$:

$$\begin{aligned} \Delta E_c &= \Delta E_m-\Delta E_p\\ &= 2,96\cdot10^9\ \mathrm J-5,92\cdot10^9\ \mathrm J\\ &= \boxed{-2,96\cdot10^9\ \mathrm J} \end{aligned}$$

Comprobación: la nueva órbita es más alta y el satélite circula por ella más despacio. La energía cinética disminuye, pero la potencial aumenta más; por eso hay que aportar energía mecánica.

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Ejemplo 3. Escapar desde la órbita inicial

Volvemos a la órbita de radio $r=6,40\cdot10^6\ \mathrm m$.

Buscamos:

1. La velocidad mínima de escape.
2. La energía que hay que aportar al satélite de $3,20\cdot10^2\ \mathrm{kg}$.
3. La masa máxima que podría escapar si disponemos de $1,50\cdot10^{10}\ \mathrm J$ de energía útil.

Paso 1. Imponer la energía mínima de escape

Para escapar con la velocidad mínima, el satélite llega al infinito con velocidad nula. Por tanto:

$$E_{m,f}=0$$

Por conservación de la energía después del impulso:

$$\frac12mv_{\mathrm{esc}}^2-\frac{GMm}{r}=0$$

$$v_{\mathrm{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}$$

$$\begin{aligned} v_{\mathrm{esc}} &= \sqrt{ \frac{ 2(6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2})(4,80\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}) }{ 6,40\cdot10^6\ \mathrm m } }\\ &= \boxed{1,00\cdot10^4\ \mathrm{m/s}} \end{aligned}$$

Comprobación: es mayor que la velocidad circular, $7,07\cdot10^3\ \mathrm{m/s}$, y la relación es $\sqrt2$.

Paso 2. Calcular la energía adicional

Inicialmente, el satélite ya tiene energía cinética porque está en órbita:

$$E_{m,i}=-\frac{GMm}{2r}$$

La energía mínima que hay que aportar es:

$$\begin{aligned} \Delta E_{\mathrm{esc}} &= E_{m,f}-E_{m,i}\\ &= 0-\left(-\frac{GMm}{2r}\right)\\ &= \frac{GMm}{2r} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \Delta E_{\mathrm{esc}} &= \frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2})(4,80\cdot10^{24}\ \mathrm{kg})(3,20\cdot10^2\ \mathrm{kg}) }{ 2(6,40\cdot10^6\ \mathrm m) }\\ &= \boxed{8,00\cdot10^9\ \mathrm J} \end{aligned}$$

Trampa: no hay que aportar toda la energía cinética asociada a $v_{\mathrm{esc}}$, porque el satélite ya se mueve. Hay que aportar la diferencia entre el estado final y el inicial.

Paso 3. Calcular la masa máxima

Igualamos la energía útil disponible al incremento mínimo necesario:

$$E_d=\frac{GMm_{\max}}{2r}$$

$$m_{\max}=\frac{2rE_d}{GM}$$

$$\begin{aligned} m_{\max} &= \frac{ 2(6,40\cdot10^6\ \mathrm m)(1,50\cdot10^{10}\ \mathrm J) }{ (6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2}) (4,80\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}) }\\ &= \boxed{6,00\cdot10^2\ \mathrm{kg}} \end{aligned}$$

Comprobación: esta masa es mayor que la del satélite inicial, coherente con el hecho de que la energía disponible también es mayor que la que necesitaba aquel satélite.

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Ejemplo 4. Un cometa en órbita elíptica

Datos

• El planeta Teia gira alrededor de la estrella ficticia Lumen en una órbita casi circular de radio $a_T=2,00\ \mathrm{UA}$ y periodo $T_T=3,20$ años.
• El cometa Brisa, de masa $m=3,00\cdot10^{13}\ \mathrm{kg}$, tiene un periodo $T_B=14,0$ años y pasa por el perihelio a $r_p=0,900\ \mathrm{UA}$ de Lumen.
• $1\ \mathrm{UA}=1,50\cdot10^{11}\ \mathrm m$; $1\ \text{año}=3,156\cdot10^7\ \mathrm s$.

Buscamos: el semieje mayor y la distancia en el afelio, el esquema de la órbita, $v_p/v_a$, la velocidad en el perihelio, el momento angular y dónde va más deprisa.

Paso 1. Semieje mayor con la tercera ley de Kepler

Teia y Brisa giran alrededor del mismo astro:

$$\begin{aligned} \frac{T_T^2}{a_T^3} &= \frac{T_B^2}{a_B^3}\\ a_B &= a_T\left(\frac{T_B}{T_T}\right)^{2/3}\\ &= (2,00\ \mathrm{UA})\left(\frac{14,0\ \text{años}}{3,20\ \text{años}}\right)^{2/3}\\ &= \boxed{5,35\ \mathrm{UA}} \end{aligned}$$

Paso 2. Distancia en el afelio y esquema

$$\begin{aligned} r_a &= 2a_B-r_p\\ &= 2(5,35\ \mathrm{UA})-0,900\ \mathrm{UA}\\ &= \boxed{9,80\ \mathrm{UA}} \end{aligned}$$

Paso 3. Relación de velocidades con el momento angular

$L=mrv\sin\theta$. La gravedad es una fuerza central: $L$ se conserva. En el perihelio y en el afelio, $\theta=90^\circ$:

$$\begin{aligned} mr_pv_p &= mr_av_a\\ \frac{v_p}{v_a} &= \frac{r_a}{r_p}\\ &= \frac{9,80\ \mathrm{UA}}{0,900\ \mathrm{UA}}\\ &= \boxed{10,9} \end{aligned}$$

Paso 4. Velocidad en el perihelio y momento angular

Primero, pasamos la órbita de Teia al SI:

$$\begin{aligned} a_T &= (2,00)(1,50\cdot10^{11}\ \mathrm m)=3,00\cdot10^{11}\ \mathrm m\\ T_T &= (3,20)(3,156\cdot10^7\ \mathrm s)=1,010\cdot10^8\ \mathrm s \end{aligned}$$

Ahora, $GM$ de Lumen. Solo actúa la gravedad: por la ley de gravitación universal y la segunda ley de Newton,

$$\begin{aligned} \frac{GMm_T}{a_T^2} &= m_T\left(\frac{2\pi}{T_T}\right)^2a_T\\ GM &= \frac{4\pi^2a_T^3}{T_T^2}\\ &= \frac{4\pi^2(3,00\cdot10^{11}\ \mathrm m)^3}{(1,010\cdot10^8\ \mathrm s)^2}\\ &= 1,045\cdot10^{20}\ \mathrm{m^3/s^2} \end{aligned}$$

Las distancias del cometa, en metros:

$$\begin{aligned} r_p &= (0,900)(1,50\cdot10^{11}\ \mathrm m)=1,350\cdot10^{11}\ \mathrm m\\ a_B &= (5,35)(1,50\cdot10^{11}\ \mathrm m)=8,025\cdot10^{11}\ \mathrm m \end{aligned}$$

Por la energía, $\tfrac12mv_p^2-GMm/r_p=-GMm/(2a_B)$:

$$\begin{aligned} v_p &= \sqrt{GM\left(\frac2{r_p}-\frac1{a_B}\right)}\\ &= \sqrt{(1,045\cdot10^{20}\ \mathrm{m^3/s^2})\left(\frac2{1,350\cdot10^{11}\ \mathrm m}-\frac1{8,025\cdot10^{11}\ \mathrm m}\right)}\\ &= \sqrt{1,418\cdot10^9\ \mathrm{m^2/s^2}}\\ &= \boxed{3,77\cdot10^4\ \mathrm{m/s}} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} L &= mr_pv_p\sin90^\circ\\ &= (3,00\cdot10^{13}\ \mathrm{kg})(1,350\cdot10^{11}\ \mathrm m)(3,766\cdot10^4\ \mathrm{m/s})\\ &= \boxed{1,53\cdot10^{29}\ \mathrm{kg\,m^2/s}} \end{aligned}$$

Paso 5. Dónde va más deprisa

En el perihelio. Por la segunda ley de Kepler, el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales: cerca de Lumen el radio es corto y, para barrer la misma área, el cometa debe recorrer más arco. También por energía: $E_m$ es constante y $E_p=-GMm/r$ es mínima donde $r$ es mínimo; por tanto, $E_c$ es máxima allí.

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Ejemplo 5. Leer una gráfica y prever pasos

Un satélite describe una órbita elíptica alrededor de Aster ($GM=3,202\cdot10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}$). La gráfica da su distancia al centro de Aster durante $24,0\ \mathrm h$.

Buscamos: el periodo y las vueltas completas, el semieje mayor (comprobado con la tercera ley) y, para el cometa del ejemplo 4, cuántos pasos por el perihelio habrá hasta 2090.

Paso 1. Período y vueltas

Cuento $N=6$ mínimos: el primero en $t=2,0\ \mathrm h$ y el último en $t=22,0\ \mathrm h$.

$$\begin{aligned} T &= \frac{t_{\text{último}}-t_{\text{primero}}}{N-1}\\ &= \frac{22,0\ \mathrm h-2,0\ \mathrm h}{6-1}\\ &= \boxed{4,00\ \mathrm h} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} n &= \frac{t}{T}\\ &= \frac{24,0\ \mathrm h}{4,00\ \mathrm h}\\ &= \boxed{6,00\ \text{vueltas}} \end{aligned}$$

En las $24,0\ \mathrm h$ da 6 vueltas completas.

Paso 2. Semieje mayor y comprobación

En la gráfica, $r_p=7,00\cdot10^6\ \mathrm m$ (mínimo) y $r_a=1,68\cdot10^7\ \mathrm m$ (máximo):

$$\begin{aligned} a &= \frac{r_p+r_a}{2}\\ &= \frac{7,00\cdot10^6\ \mathrm m+1,68\cdot10^7\ \mathrm m}{2}\\ &= \boxed{1,19\cdot10^7\ \mathrm m} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} T &= 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{GM}}\\ &= 2\pi\sqrt{\frac{(1,190\cdot10^7\ \mathrm m)^3}{3,202\cdot10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}}}\\ &= 1,441\cdot10^4\ \mathrm s\\ &= \frac{1,441\cdot10^4\ \mathrm s}{3\,600\ \mathrm{s/h}}\\ &= \boxed{4,00\ \mathrm h} \end{aligned}$$

Coincide con el periodo leído en la gráfica.

Paso 3. Fechas de paso

El cometa Brisa ($T=14,0$ años) pasó por el perihelio en 2021. Los pasos siguientes son $t_k=2021+(14,0\ \text{años})\,k$, y queremos $t_k\le2090$:

$$\begin{aligned} k &\le \frac{(2090-2021)\ \text{años}}{14,0\ \text{años}}\\ &= 4,93 \end{aligned}$$

Por tanto, $k=0,1,2,3,4$: en 2021, 2035, 2049, 2063 y 2077. Son 5 pasos; el siguiente, en 2091, ya queda fuera.

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Ejemplo 6. Dos fuerzas alineadas: el periodo de una sonda

La sonda Mirall, de masa $m=8,00\cdot10^2\ \mathrm{kg}$, gira alrededor de Lumen ($GM=1,045\cdot10^{20}\ \mathrm{m^3/s^2}$, ejemplo 4) en una circunferencia de radio $r=3,015\cdot10^{11}\ \mathrm m$. Se mantiene siempre alineada con Lumen y con el planeta Teia ($M_T=6,00\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}$), más allá de Teia, a $d=1,50\cdot10^9\ \mathrm m$ de este planeta.

Buscamos: la fuerza resultante sobre la sonda y su periodo.

Paso 1. Las dos fuerzas

Por la ley de gravitación universal:

$$\begin{aligned} F_L &= \frac{GMm}{r^2}\\ &= \frac{(1,045\cdot10^{20}\ \mathrm{m^3/s^2})(8,00\cdot10^2\ \mathrm{kg})}{(3,015\cdot10^{11}\ \mathrm m)^2}\\ &= 0,920\ \mathrm N \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} F_T &= \frac{GM_Tm}{d^2}\\ &= \frac{(6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2})(6,00\cdot10^{24}\ \mathrm{kg})(8,00\cdot10^2\ \mathrm{kg})}{(1,50\cdot10^9\ \mathrm m)^2}\\ &= 0,142\ \mathrm N \end{aligned}$$

Paso 2. Resultante

Lumen y Teia están al mismo lado de la sonda: las dos fuerzas apuntan hacia Lumen y se suman.

$$\begin{aligned} F &= F_L+F_T\\ &= 0,9197\ \mathrm N+0,1423\ \mathrm N\\ &= \boxed{1,06\ \mathrm N} \end{aligned}$$

Paso 3. Período

Solo actúan estas dos fuerzas gravitatorias; por la segunda ley de Newton, la resultante hace de fuerza centrípeta:

$$\begin{aligned} F &= m\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2r\\ T &= 2\pi\sqrt{\frac{mr}{F}}\\ &= 2\pi\sqrt{\frac{(8,00\cdot10^2\ \mathrm{kg})(3,015\cdot10^{11}\ \mathrm m)}{1,062\ \mathrm N}}\\ &= \boxed{9,47\cdot10^7\ \mathrm s} \end{aligned}$$

En años:

$$\begin{aligned} T &= \frac{9,469\cdot10^7\ \mathrm s}{3,156\cdot10^7\ \text{s/año}}\\ &= 3,00\ \text{años} \end{aligned}$$

Comprobación: sin Teia, solo actuaría $F_L$:

$$\begin{aligned} T_0 &= 2\pi\sqrt{\frac{mr}{F_L}}\\ &= 2\pi\sqrt{\frac{(8,00\cdot10^2\ \mathrm{kg})(3,015\cdot10^{11}\ \mathrm m)}{0,9197\ \mathrm N}}\\ &= 1,018\cdot10^8\ \mathrm s=3,22\ \text{años} \end{aligned}$$

Teia añade fuerza hacia el centro y acorta el periodo.

Idea final para no mezclar fórmulas:
circular → iguala gravedad y fuerza centrípeta; cambio de estado → resta energías finales menos iniciales; escape mínimo → impón $E_{m,f}=0$.