Òrbites i satèl·lits

• Tot en SI: distàncies en metres, masses en kilograms, temps en segons, velocitats en $\mathrm{m/s}$ i energies en joules.
  • $1\ \mathrm{km}=10^3\ \mathrm m$.
  • $1\ \mathrm h=3\,600\ \mathrm s$.
• Radi orbital i altura no són el mateix: $r$ es mesura des del centre de l’astre; $h$, des de la superfície.
• Segona llei de Newton: la força resultant produeix l’acceleració. En un moviment circular, l’acceleració centrípeta apunta cap al centre.
• La força centrípeta no és una força addicional: en aquests problemes, la gravetat fa de força centrípeta.
• Energia potencial gravitatòria: prenem l’energia potencial nul·la a l’infinit. Per això, a una distància finita, és negativa.
• Presentació dels càlculs: escriu la llei que apliques, la fórmula, la substitució amb unitats i el resultat amb 3 xifres significatives. Conserva alguna xifra més a la calculadora, però no escriguis tirallongues de decimals.

Model habitual: astre esfèric, satèl·lit de massa molt més petita que l’astre, sense atmosfera ni fregament i sense altres astres que influeixin apreciablement.

---

Símbols que farem servir

En les fórmules següents, aquests símbols mantenen sempre el mateix significat.

A. Radi orbital i altura

$$\boxed{ \begin{aligned} r &= R+h\\ h &= r-R \end{aligned} }$$

• Quan es fa servir: abans d’aplicar les fórmules de gravitació, si et donen l’altura; o al final, si et demanen l’altura.
• Quan NO: si ja et donen la distància al centre, aquesta distància ja és $r$.
• Error més típic: posar $h$ al denominador de les fórmules en comptes de $r$.

B. Força gravitatòria i camp gravitatori

$$\boxed{ \begin{aligned} F_g &= \frac{GMm}{r^2}\\ F_g &= mg\\ g &= \frac{GM}{r^2} \end{aligned} }$$

• Lletres noves: $F_g$, mòdul de la força gravitatòria, en $\mathrm N$; $g$, mòdul del camp gravitatori o acceleració de la gravetat, en $\mathrm{m/s^2}$.
• Quan es fa servir: per calcular la força o la gravetat a una altura determinada. La força apunta cap al centre de l’astre.
• Quan NO: no suposis que $g$ té el mateix valor a totes les altures. Si intervenen diversos astres, cal sumar les seves forces vectorialment.
• Error més típic: pensar que un satèl·lit en òrbita no té gravetat. En té: és precisament la que el manté en òrbita.

Si et donen $g$, pots aïllar el radi: $r=\sqrt{GM/g}$, i després calcular $h=r-R$.

C. Velocitat d’una òrbita circular: la deducció que has de saber fer

Llei de la gravitació universal + segona llei de Newton.
Escriu: «Només actua la gravetat i l’acceleració és centrípeta».

$$\boxed{ \begin{aligned} \frac{GMm}{r^2} &= m\frac{v^2}{r}\\ v^2 &= \frac{GM}{r}\\ v &= \sqrt{\frac{GM}{r}} \end{aligned} }$$

• Quan es fa servir: per a una òrbita circular sota l’acció de la gravetat de l’astre central.
• Quan NO: no dona la velocitat en un punt qualsevol d’una òrbita el·líptica ni la velocitat d’un llançament qualsevol.
• Error més típic: sumar «força gravitatòria + força centrípeta». Són la mateixa força en aquest model, no dues forces diferents.

Lectura ràpida: com més gran és el radi circular, més petita és la velocitat orbital. La massa $m$ del satèl·lit es cancel·la.

D. Període, velocitat angular i nombre de voltes

$$\boxed{ \begin{aligned} T &= \frac{2\pi r}{v}\\ &= 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}\\ \omega &= \frac{2\pi}{T}\\ n &= \frac{t}{T} \end{aligned} }$$

• Lletres noves: $\omega$, velocitat angular, en $\mathrm{rad/s}$; $t$, temps transcorregut, en $\mathrm s$; $n$, nombre de voltes, sense unitat.
• Quan es fa servir: moviment circular uniforme. La segona expressió de $T$ surt de substituir $v=\sqrt{GM/r}$ en la primera.
• Quan NO: en una el·lipse no pots dividir $2\pi r$ per una velocitat qualsevol, perquè ni el radi ni la rapidesa són constants.
• Error més típic: barrejar $t$ en hores amb $T$ en segons.

Si et demanen voltes completes, pren només la part entera de $n$. Si et demanen el nombre de voltes, pot tenir decimals.

E. Tercera llei de Kepler i radi a partir del període

$$\boxed{ \begin{aligned} \frac{T^2}{r^3} &= \frac{4\pi^2}{GM}\\ \frac{T_1^2}{r_1^3} &= \frac{T_2^2}{r_2^3}\\ r &= \sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4\pi^2}} \end{aligned} }$$

• Lletres: els subíndexs $1$ i $2$ indiquen dues òrbites.
• Quan es fa servir: per comparar òrbites circulars al voltant del mateix astre, o per obtenir $r$ si coneixes $T$.
• Quan NO: no igualis les constants de Kepler de dos astres amb masses diferents.
• Error més típic: comparar les altures $h_1,h_2$ en comptes dels radis $r_1,r_2$.

Forma general: en una òrbita el·líptica, la tercera llei utilitza el semieix major $a$ en lloc del radi circular $r$: $T^2/a^3=4\pi^2/(GM)$. En una circumferència, $a=r$. Les òrbites el·líptiques tenen el seu apartat, el L.

F. Energies: expressions generals

$$\boxed{ \begin{aligned} E_c &= \frac12mv^2\\ E_p &= -\frac{GMm}{r}\\ E_m &= E_c+E_p\\ &= \frac12mv^2-\frac{GMm}{r} \end{aligned} }$$

• Lletres noves: $E_c$, energia cinètica; $E_p$, energia potencial gravitatòria; $E_m$, energia mecànica. Totes en $\mathrm J$.
• Quan es fa servir: en òrbites circulars, el·líptiques o trajectòries d’escapament, amb el model gravitatori indicat.
• Quan NO: $E_p=mgh$ no és l’expressió adequada per a canvis d’altura grans, perquè $g$ varia.
• Error més típic: perdre el signe negatiu de $E_p$.

Si coneixes $E_p$, pots aïllar $r=-GMm/E_p$: el resultat ha de ser positiu.

G. Energies d’una òrbita circular

Substitueix $v^2=GM/r$ en les expressions anteriors:

$$\boxed{ \begin{aligned} E_c &= \frac{GMm}{2r}\\ E_p &= -\frac{GMm}{r}\\ E_m &= -\frac{GMm}{2r} \end{aligned} }$$

• Quan es fa servir: per calcular les energies d’un satèl·lit en òrbita circular.
• Quan NO: no utilitzis $E_m=-GMm/(2r)$ amb el radi instantani d’una òrbita no circular.
• Error més típic: confondre $E_m$ amb $E_p$: l’energia mecànica circular és la meitat de la potencial, amb el mateix signe.

Comprovació immediata: $E_p=-2E_c$ i $E_m=-E_c$.

Interpretació que cal escriure: $E_m<0$ indica una òrbita tancada (lligada): el satèl·lit no té prou energia per arribar a l’infinit.

H. Canvis d’energia i treball

L’expressió següent de $\Delta E_m$ compara dues òrbites circulars.

$$\boxed{ \begin{aligned} \Delta E_p &=E_{p,f}-E_{p,i} =GMm\left(\frac1{r_i}-\frac1{r_f}\right)\\[2mm] \Delta E_m &=\frac{GMm}{2}\left(\frac1{r_i}-\frac1{r_f}\right)\\[2mm] W_g&=-\Delta E_p \qquad W_{\mathrm{motors}}=\Delta E_m \end{aligned} }$$

• Lletres noves: $i$, inicial; $f$, final; $W_g$, treball de la gravetat; $W_{\mathrm{motors}}$, energia mecànica aportada pels motors. Els treballs es mesuren en $\mathrm J$.
• Quan es fa servir: per comparar estats inicials i finals. La relació dels motors suposa absència de fregament i el model de massa constant.
• Quan NO: no imposis conservació de l’energia mecànica durant una maniobra amb motors.
• Error més típic: calcular només $\Delta E_p$ quan demanen l’energia necessària per passar d’una òrbita circular a una altra. També canvia $E_c$.

En pujar a una òrbita circular més gran:

• $E_p$ augmenta: es fa menys negativa.
• $E_c$ disminueix.
• $E_m$ augmenta: cal aportar energia.

I. Conservació de l’energia entre dos punts

Si només actua la gravetat, que és una força conservativa:

$$\boxed{ \begin{aligned} E_{m,i} &= E_{m,f}\\ \frac12mv_i^2-\frac{GMm}{r_i} &= \frac12mv_f^2-\frac{GMm}{r_f} \end{aligned} }$$

• Lletres: $v_i,v_f$, velocitats inicial i final, en $\mathrm{m/s}$; $r_i,r_f$, distàncies inicial i final al centre, en $\mathrm m$.
• Quan es fa servir: trajectòries sense motors, fregament ni altres aportacions d’energia.
• Quan NO: si el problema indica que els motors aporten energia; aleshores cal incloure’n el treball.
• Error més típic: conservar només l’energia cinètica o només la potencial: es conserva la suma.

Si compares un llançament des de la superfície amb l’energia d’una òrbita circular de radi $r$, l’aïllament dona:

$$\boxed{ \begin{aligned} \frac12mv_0^2-\frac{GMm}{R} &= -\frac{GMm}{2r}\\ v_0 &= \sqrt{GM\left(\frac2R-\frac1r\right)} \end{aligned} }$$

• Lletra nova: $v_0$, velocitat inicial a la superfície, en $\mathrm{m/s}$.
• Quan es fa servir: en un balanç idealitzat que demana la velocitat inicial equivalent a l’energia de l’òrbita.
• Quan NO: aquesta condició energètica, tota sola, no garanteix la inserció en una òrbita circular: des de la superfície, cal una maniobra d’inserció per quedar en aquesta òrbita circular exterior. La gravetat sola no transforma el llançament en una circumferència de radi més gran.
• Error més típic: confondre aquesta velocitat amb la velocitat orbital final.

J. Velocitat d’escapament

Per escapar amb la velocitat mínima, a l’infinit $E_p=0$ i $v=0$. Per tant, l’energia mecànica límit és zero:

$$\boxed{ \begin{aligned} \frac12mv_{\mathrm{esc}}^2-\frac{GMm}{r} &= 0\\ v_{\mathrm{esc}} &= \sqrt{\frac{2GM}{r}} \end{aligned} }$$

• Lletra nova: $v_{\mathrm{esc}}$, velocitat mínima d’escapament des de la distància $r$, en $\mathrm{m/s}$.
• Quan es fa servir: escapament ideal sense propulsió posterior, sense atmosfera i considerant només l’astre central.
• Quan NO: no utilitzis $R$ si el satèl·lit ja es troba a una altura $h$: llavors $r=R+h$.
• Error més típic: confondre velocitat d’escapament amb velocitat circular.

Al mateix radi, la velocitat d’escapament és $\sqrt2$ vegades la circular.

K. Energia mínima per escapar des d’una òrbita circular

$$\boxed{ \begin{aligned} \Delta E_{\mathrm{esc}} &= 0-E_{m,i}\\ &= \frac{GMm}{2r}\\ m_{\max} &= \frac{2r\,E_d}{GM} \end{aligned} }$$

• Lletres noves: $\Delta E_{\mathrm{esc}}$, energia mínima que cal aportar, en $\mathrm J$; $E_d$, energia útil disponible, en $\mathrm J$; $m_{\max}$, massa màxima que es pot fer escapar, en $\mathrm{kg}$.
• Quan es fa servir: satèl·lit inicialment en òrbita circular.
• Quan NO: si la velocitat inicial és una altra, calcula primer $E_{m,i}$ amb l’expressió general.
• Error més típic: calcular $\tfrac12m(v_{\mathrm{esc}}-v)^2$. L’energia cinètica depèn del quadrat de cada velocitat, no del quadrat de la diferència.

L. Òrbites el·líptiques: dibuix, Kepler i moment angular

$$\boxed{ \begin{aligned} a &= \frac{r_p+r_a}{2}\\ \frac{T^2}{a^3} &= \frac{4\pi^2}{GM}\\ L &= mrv\sin\theta\\ v &= \sqrt{GM\left(\frac2r-\frac1a\right)} \end{aligned} }$$

• Lletres noves: $r_p$, distància al periheli (el punt més pròxim a l’astre); $r_a$, distància a l’afeli (el més allunyat); $a$, semieix major, en $\mathrm m$ o en $\mathrm{UA}$; $L$, mòdul del moment angular, en $\mathrm{kg\,m^2/s}$; $\theta$, angle entre $\vec r$ i $\vec v$.
• Com es dibuixa: una el·lipse amb l’astre en un focus, no al centre. El periheli i l’afeli són als extrems de l’eix major, i $2a=r_p+r_a$ (exemple 4).
• Tercera llei: compara òrbites del mateix astre amb $T_1^2/a_1^3=T_2^2/a_2^3$. Pots treballar en anys i $\mathrm{UA}$ si totes dues òrbites fan servir les mateixes unitats; si l’enunciat dona la constant $4\pi^2/(GM)$, la pots fer servir sense recalcular-la. L’altre extrem surt de $r_a=2a-r_p$.
• Moment angular: la gravetat és una força central, per això $L=mrv\sin\theta$ es conserva. Al periheli i a l’afeli, $\vec r\perp\vec v$, és a dir, $\theta=90^\circ$:
  $$\begin{aligned} mr_pv_p\sin90^\circ &= mr_av_a\sin90^\circ\\ \frac{v_p}{v_a} &= \frac{r_a}{r_p} \end{aligned}$$
• Energia: en una el·lipse, $E_m=-GMm/(2a)$. Igualant-la a $\tfrac12mv^2-GMm/r$ surt la velocitat $v$ a qualsevol distància $r$.
• On és màxima la velocitat: al periheli. Justifica-ho amb la segona llei de Kepler (el radi vector escombra àrees iguals en temps iguals; a prop de l’astre el radi és curt i el planeta ha de recórrer més arc en el mateix temps) o amb la conservació de l’energia ($E_m$ és constant; on $r$ és mínim, $E_p$ és mínima i $E_c$, màxima).
• Quan NO: no facis servir $v=\sqrt{GM/r}$ ni $E_m=-GMm/(2r)$ en una el·lipse. L’angle $\theta=90^\circ$ només val als dos extrems.
• Error més típic: dibuixar l’astre al centre de l’el·lipse.

Compte!

Compte: a la PAU, justificar on és màxima la velocitat només amb $L=mrv\sin\theta$ es considera incomplet. Fes servir la segona llei de Kepler o l’energia.

M. Llegir una gràfica de distància i preveure passos

$$\boxed{ \begin{aligned} T &= \frac{t_{\text{últim}}-t_{\text{primer}}}{N-1}\\ t_k &= t_0+kT \end{aligned} }$$

• Lletres noves: en una gràfica $r(t)$, $t_{\text{primer}}$ i $t_{\text{últim}}$ són els instants del primer i de l’últim mínim; $N$, el nombre de mínims que comptes; $t_0$, l’instant d’un pas conegut; $t_k$, el pas número $k$ després d’aquest ($k=1,2,3\dots$).
• Com es llegeix: cada mínim de $r(t)$ és un pas pel punt més pròxim (màxim acostament). Entre dos mínims seguits passa un període. El mínim de la corba és $r_p$; el màxim, $r_a$.
• Quan es fa servir: per trobar el període i les voltes completes en una gràfica, i per decidir en quines dates o hores hi haurà un pas.
• Quan NO: si la gràfica no comença en un mínim, el nombre de mínims no és el nombre de voltes: calcula $n=t/T$ i pren-ne la part entera.
• Error més típic: dividir pel nombre de mínims, $N$, en lloc del nombre d’intervals entre mínims, $N-1$.

N. Dues forces alineades: la resultant fa de força centrípeta

$$\boxed{ \begin{aligned} F &= F_1\pm F_2\\ F &= m\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2r\\ T &= 2\pi\sqrt{\frac{mr}{F}} \end{aligned} }$$

• Lletres noves: $F_1$, $F_2$, mòduls de les forces gravitatòries de cada massa; $F$, mòdul de la resultant, en $\mathrm N$; $r$, radi de la circumferència que descriu el cos.
• Signe: suma si les dues forces tenen el mateix sentit (les dues masses són al mateix costat del cos); resta si tenen sentits oposats (el cos és entre les dues masses).
• Quan es fa servir: quan dues masses estiren alhora el cos que gira i tots tres es mantenen alineats.
• Quan NO: $T=2\pi\sqrt{r^3/(GM)}$ només val si actua un sol astre.
• Error més típic: sumar sempre les dues forces sense mirar cap a on apunten.

---

Farem servir un planeta fictici, Aster, perquè els càlculs no depenguin de recordar dades d’un astre real.

Exemple 1. Velocitat, període, gravetat i energies d’un satèl·lit

Dades

• Massa d’Aster: $M=4,80\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}$.
• Radi: $R=5,50\cdot10^6\ \mathrm m$.
• Massa del satèl·lit: $m=3,20\cdot10^2\ \mathrm{kg}$.
• Altura de l’òrbita circular: $h=9,00\cdot10^2\ \mathrm{km}$.
• $G=6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2}$.

Busquem: $v$, $T$, voltes en $12,0\ \mathrm h$, $g$ i les tres energies.

Pas 1. Trobar el radi orbital

$$\begin{aligned} h &= (9,00\cdot10^2\ \mathrm{km})(10^3\ \mathrm{m/km})\\ &= 9,00\cdot10^5\ \mathrm m \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} r &= R+h\\ &= 5,50\cdot10^6\ \mathrm m+9,00\cdot10^5\ \mathrm m\\ &= \boxed{6,40\cdot10^6\ \mathrm m} \end{aligned}$$

Parany: a partir d’ara fem servir aquest $r$, no l’altura.

Pas 2. Justificar i calcular la velocitat

Només actua la gravetat. Per la llei de la gravitació universal i la segona llei de Newton, amb acceleració centrípeta:

$$\begin{aligned} \frac{GMm}{r^2} &= m\frac{v^2}{r}\\ v &= \sqrt{\frac{GM}{r}} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} v &= \sqrt{ \frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2}) (4,80\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}) }{ 6,40\cdot10^6\ \mathrm m }}\\ &= \boxed{7,07\cdot10^3\ \mathrm{m/s}} \end{aligned}$$

Si cal dibuixar les direccions: la velocitat és tangent a la circumferència; la força i l’acceleració apunten cap al centre.

Pas 3. Calcular el període i les voltes

$$\begin{aligned} T &= \frac{2\pi r}{v}\\ &= \frac{2\pi(6,40\cdot10^6\ \mathrm m)} {7,07\cdot10^3\ \mathrm{m/s}}\\ &= \boxed{5,69\cdot10^3\ \mathrm s} \end{aligned}$$

En minuts:

$$\begin{aligned} T &= \frac{5,69\cdot10^3\ \mathrm s}{60\ \mathrm{s/min}}\\ &= 94,8\ \mathrm{min} \end{aligned}$$

Convertim el temps d’observació:

$$\begin{aligned} t &= (12,0\ \mathrm h)(3\,600\ \mathrm{s/h})\\ &= 4,32\cdot10^4\ \mathrm s \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} n &= \frac{t}{T}\\ &= \frac{4,32\cdot10^4\ \mathrm s}{5,69\cdot10^3\ \mathrm s}\\ &= \boxed{7,60\ \text{voltes}} \end{aligned}$$

Per tant, ha completat 7 voltes completes i una part de la següent.

Pas 4. Calcular la gravetat

A partir de $F_g=mg$ i $F_g=GMm/r^2$:

$$\begin{aligned} g &= \frac{GM}{r^2}\\ &= \frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2})(4,80\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}) }{ (6,40\cdot10^6\ \mathrm m)^2 }\\ &= \boxed{7,82\ \mathrm{m/s^2}} \end{aligned}$$

Pas 5. Deduir i calcular les energies

Com que l’òrbita és circular, $v^2=GM/r$:

$$\begin{aligned} E_c &= \frac12mv^2\\ &= \frac{GMm}{2r} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} E_c &= \frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2})(4,80\cdot10^{24}\ \mathrm{kg})(3,20\cdot10^2\ \mathrm{kg}) }{ 2(6,40\cdot10^6\ \mathrm m) }\\ &= \boxed{8,00\cdot10^9\ \mathrm J} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} E_p &= -\frac{GMm}{r}\\ &= -\frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2})(4,80\cdot10^{24}\ \mathrm{kg})(3,20\cdot10^2\ \mathrm{kg}) }{ 6,40\cdot10^6\ \mathrm m }\\ &= \boxed{-1,60\cdot10^{10}\ \mathrm J} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} E_m &= E_c+E_p\\ &= \frac{GMm}{2r}-\frac{GMm}{r}\\ &= -\frac{GMm}{2r} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} E_m &= 8,00\cdot10^9\ \mathrm J-1,60\cdot10^{10}\ \mathrm J\\ &= \boxed{-8,00\cdot10^9\ \mathrm J} \end{aligned}$$

Comprovació: $E_p=-2E_c$ i $E_m=-E_c$, tal com correspon a una òrbita circular. L’energia mecànica negativa indica una òrbita tancada (lligada).

---

Exemple 2. Canvi a una òrbita amb el doble de període

El mateix satèl·lit passa de l’òrbita anterior, de radi $r_1=6,40\cdot10^6\ \mathrm m$, a una altra òrbita circular al voltant d’Aster. El nou període és el doble.

Busquem: el nou radi, la nova altura i l’energia que cal aportar.

Pas 1. Aplicar la tercera llei de Kepler

Com que les dues òrbites són al voltant del mateix astre:

$$\frac{T_1^2}{r_1^3}=\frac{T_2^2}{r_2^3}$$

Aïllem $r_2$:

$$r_2=r_1\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{2/3}$$

$$\begin{aligned} r_2 &= (6,40\cdot10^6\ \mathrm m)\,2^{2/3}\\ &= \boxed{1,02\cdot10^7\ \mathrm m} \end{aligned}$$

Per als càlculs següents conservem $r_2=1,016\cdot10^7\ \mathrm m$.

Parany: doblar el període no implica doblar el radi.

Pas 2. Calcular l’altura

$$\begin{aligned} h_2 &= r_2-R\\ &= 1,016\cdot10^7\ \mathrm m-5,50\cdot10^6\ \mathrm m\\ &= \boxed{4,66\cdot10^6\ \mathrm m} \end{aligned}$$

Pas 3. Calcular el canvi d’energia mecànica

Les òrbites inicial i final són circulars:

$$\Delta E_m =\frac{GMm}{2}\left(\frac1{r_1}-\frac1{r_2}\right)$$

$$\begin{aligned} \Delta E_m&= \frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2})(4,80\cdot10^{24}\ \mathrm{kg})(3,20\cdot10^2\ \mathrm{kg}) }{2}\\ &\quad{}\times \left( \frac1{6,40\cdot10^6\ \mathrm m} -\frac1{1,016\cdot10^7\ \mathrm m} \right)\\ &= \boxed{+2,96\cdot10^9\ \mathrm J} \end{aligned}$$

Sense fregament, el treball dels motors és:

$$\boxed{ \begin{aligned} W_{\mathrm{motors}} &= \Delta E_m\\ &= +2,96\cdot10^9\ \mathrm J \end{aligned} }$$

Pas 4. Distingir-ho del canvi d’energia potencial

$$\begin{aligned} \Delta E_p &= GMm\left(\frac1{r_1}-\frac1{r_2}\right)\\ &= 2\Delta E_m \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \Delta E_p &= 2(2,96\cdot10^9\ \mathrm J)\\ &= \boxed{+5,92\cdot10^9\ \mathrm J} \end{aligned}$$

Com que $\Delta E_m=\Delta E_c+\Delta E_p$:

$$\begin{aligned} \Delta E_c &= \Delta E_m-\Delta E_p\\ &= 2,96\cdot10^9\ \mathrm J-5,92\cdot10^9\ \mathrm J\\ &= \boxed{-2,96\cdot10^9\ \mathrm J} \end{aligned}$$

Comprovació: la nova òrbita és més alta i el satèl·lit hi circula més lent. L’energia cinètica disminueix, però la potencial augmenta més; per això cal aportar energia mecànica.

---

Exemple 3. Escapar des de l’òrbita inicial

Tornem a l’òrbita de radi $r=6,40\cdot10^6\ \mathrm m$.

Busquem:

1. La velocitat mínima d’escapament.
2. L’energia que cal aportar al satèl·lit de $3,20\cdot10^2\ \mathrm{kg}$.
3. La massa màxima que podria escapar si disposem d’$1,50\cdot10^{10}\ \mathrm J$ d’energia útil.

Pas 1. Imposar l’energia mínima d’escapament

Per escapar amb la velocitat mínima, el satèl·lit arriba a l’infinit amb velocitat nul·la. Per tant:

$$E_{m,f}=0$$

Per conservació de l’energia després de l’impuls:

$$\frac12mv_{\mathrm{esc}}^2-\frac{GMm}{r}=0$$

$$v_{\mathrm{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}$$

$$\begin{aligned} v_{\mathrm{esc}} &= \sqrt{ \frac{ 2(6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2})(4,80\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}) }{ 6,40\cdot10^6\ \mathrm m } }\\ &= \boxed{1,00\cdot10^4\ \mathrm{m/s}} \end{aligned}$$

Comprovació: és més gran que la velocitat circular, $7,07\cdot10^3\ \mathrm{m/s}$, i la relació és $\sqrt2$.

Pas 2. Calcular l’energia addicional

Inicialment, el satèl·lit ja té energia cinètica perquè està en òrbita:

$$E_{m,i}=-\frac{GMm}{2r}$$

L’energia mínima que cal aportar és:

$$\begin{aligned} \Delta E_{\mathrm{esc}} &= E_{m,f}-E_{m,i}\\ &= 0-\left(-\frac{GMm}{2r}\right)\\ &= \frac{GMm}{2r} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \Delta E_{\mathrm{esc}} &= \frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2})(4,80\cdot10^{24}\ \mathrm{kg})(3,20\cdot10^2\ \mathrm{kg}) }{ 2(6,40\cdot10^6\ \mathrm m) }\\ &= \boxed{8,00\cdot10^9\ \mathrm J} \end{aligned}$$

Parany: no cal aportar tota l’energia cinètica associada a $v_{\mathrm{esc}}$, perquè el satèl·lit ja es mou. Cal aportar la diferència entre l’estat final i l’inicial.

Pas 3. Calcular la massa màxima

Igualem l’energia útil disponible a l’increment mínim necessari:

$$E_d=\frac{GMm_{\max}}{2r}$$

$$m_{\max}=\frac{2rE_d}{GM}$$

$$\begin{aligned} m_{\max} &= \frac{ 2(6,40\cdot10^6\ \mathrm m)(1,50\cdot10^{10}\ \mathrm J) }{ (6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2}) (4,80\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}) }\\ &= \boxed{6,00\cdot10^2\ \mathrm{kg}} \end{aligned}$$

Comprovació: aquesta massa és més gran que la del satèl·lit inicial, coherent amb el fet que l’energia disponible també és més gran que la que necessitava aquell satèl·lit.

---

Exemple 4. Un cometa en òrbita el·líptica

Dades

• El planeta Teia gira al voltant de l’estrella fictícia Lumen en una òrbita gairebé circular de radi $a_T=2,00\ \mathrm{UA}$ i període $T_T=3,20$ anys.
• El cometa Brisa, de massa $m=3,00\cdot10^{13}\ \mathrm{kg}$, té un període $T_B=14,0$ anys i passa pel periheli a $r_p=0,900\ \mathrm{UA}$ de Lumen.
• $1\ \mathrm{UA}=1,50\cdot10^{11}\ \mathrm m$; $1\ \text{any}=3,156\cdot10^7\ \mathrm s$.

Busquem: el semieix major i la distància a l’afeli, l’esquema de l’òrbita, $v_p/v_a$, la velocitat al periheli, el moment angular i on va més de pressa.

Pas 1. Semieix major amb la tercera llei de Kepler

Teia i Brisa giren al voltant del mateix astre:

$$\begin{aligned} \frac{T_T^2}{a_T^3} &= \frac{T_B^2}{a_B^3}\\ a_B &= a_T\left(\frac{T_B}{T_T}\right)^{2/3}\\ &= (2,00\ \mathrm{UA})\left(\frac{14,0\ \text{anys}}{3,20\ \text{anys}}\right)^{2/3}\\ &= \boxed{5,35\ \mathrm{UA}} \end{aligned}$$

Pas 2. Distància a l’afeli i esquema

$$\begin{aligned} r_a &= 2a_B-r_p\\ &= 2(5,35\ \mathrm{UA})-0,900\ \mathrm{UA}\\ &= \boxed{9,80\ \mathrm{UA}} \end{aligned}$$

Pas 3. Relació de velocitats amb el moment angular

$L=mrv\sin\theta$. La gravetat és una força central: $L$ es conserva. Al periheli i a l’afeli, $\theta=90^\circ$:

$$\begin{aligned} mr_pv_p &= mr_av_a\\ \frac{v_p}{v_a} &= \frac{r_a}{r_p}\\ &= \frac{9,80\ \mathrm{UA}}{0,900\ \mathrm{UA}}\\ &= \boxed{10,9} \end{aligned}$$

Pas 4. Velocitat al periheli i moment angular

Primer, passem l’òrbita de Teia al SI:

$$\begin{aligned} a_T &= (2,00)(1,50\cdot10^{11}\ \mathrm m)=3,00\cdot10^{11}\ \mathrm m\\ T_T &= (3,20)(3,156\cdot10^7\ \mathrm s)=1,010\cdot10^8\ \mathrm s \end{aligned}$$

Ara, $GM$ de Lumen. Només actua la gravetat: per la llei de gravitació universal i la segona llei de Newton,

$$\begin{aligned} \frac{GMm_T}{a_T^2} &= m_T\left(\frac{2\pi}{T_T}\right)^2a_T\\ GM &= \frac{4\pi^2a_T^3}{T_T^2}\\ &= \frac{4\pi^2(3,00\cdot10^{11}\ \mathrm m)^3}{(1,010\cdot10^8\ \mathrm s)^2}\\ &= 1,045\cdot10^{20}\ \mathrm{m^3/s^2} \end{aligned}$$

Les distàncies del cometa, en metres:

$$\begin{aligned} r_p &= (0,900)(1,50\cdot10^{11}\ \mathrm m)=1,350\cdot10^{11}\ \mathrm m\\ a_B &= (5,35)(1,50\cdot10^{11}\ \mathrm m)=8,025\cdot10^{11}\ \mathrm m \end{aligned}$$

Per l’energia, $\tfrac12mv_p^2-GMm/r_p=-GMm/(2a_B)$:

$$\begin{aligned} v_p &= \sqrt{GM\left(\frac2{r_p}-\frac1{a_B}\right)}\\ &= \sqrt{(1,045\cdot10^{20}\ \mathrm{m^3/s^2})\left(\frac2{1,350\cdot10^{11}\ \mathrm m}-\frac1{8,025\cdot10^{11}\ \mathrm m}\right)}\\ &= \sqrt{1,418\cdot10^9\ \mathrm{m^2/s^2}}\\ &= \boxed{3,77\cdot10^4\ \mathrm{m/s}} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} L &= mr_pv_p\sin90^\circ\\ &= (3,00\cdot10^{13}\ \mathrm{kg})(1,350\cdot10^{11}\ \mathrm m)(3,766\cdot10^4\ \mathrm{m/s})\\ &= \boxed{1,53\cdot10^{29}\ \mathrm{kg\,m^2/s}} \end{aligned}$$

Pas 5. On va més de pressa

Al periheli. Per la segona llei de Kepler, el radi vector escombra àrees iguals en temps iguals: a prop de Lumen el radi és curt i, per escombrar la mateixa àrea, el cometa ha de recórrer més arc. També per energia: $E_m$ és constant i $E_p=-GMm/r$ és mínima on $r$ és mínim; per tant, $E_c$ hi és màxima.

---

Exemple 5. Llegir una gràfica i preveure passos

Un satèl·lit descriu una òrbita el·líptica al voltant d’Aster ($GM=3,202\cdot10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}$). La gràfica dona la seva distància al centre d’Aster durant $24,0\ \mathrm h$.

Busquem: el període i les voltes completes, el semieix major (comprovat amb la tercera llei) i, per al cometa de l’exemple 4, quants passos pel periheli hi haurà fins al 2090.

Pas 1. Període i voltes

Compto $N=6$ mínims: el primer a $t=2,0\ \mathrm h$ i l’últim a $t=22,0\ \mathrm h$.

$$\begin{aligned} T &= \frac{t_{\text{últim}}-t_{\text{primer}}}{N-1}\\ &= \frac{22,0\ \mathrm h-2,0\ \mathrm h}{6-1}\\ &= \boxed{4,00\ \mathrm h} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} n &= \frac{t}{T}\\ &= \frac{24,0\ \mathrm h}{4,00\ \mathrm h}\\ &= \boxed{6,00\ \text{voltes}} \end{aligned}$$

En les $24,0\ \mathrm h$ fa 6 voltes completes.

Pas 2. Semieix major i comprovació

A la gràfica, $r_p=7,00\cdot10^6\ \mathrm m$ (mínim) i $r_a=1,68\cdot10^7\ \mathrm m$ (màxim):

$$\begin{aligned} a &= \frac{r_p+r_a}{2}\\ &= \frac{7,00\cdot10^6\ \mathrm m+1,68\cdot10^7\ \mathrm m}{2}\\ &= \boxed{1,19\cdot10^7\ \mathrm m} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} T &= 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{GM}}\\ &= 2\pi\sqrt{\frac{(1,190\cdot10^7\ \mathrm m)^3}{3,202\cdot10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}}}\\ &= 1,441\cdot10^4\ \mathrm s\\ &= \frac{1,441\cdot10^4\ \mathrm s}{3\,600\ \mathrm{s/h}}\\ &= \boxed{4,00\ \mathrm h} \end{aligned}$$

Coincideix amb el període llegit a la gràfica.

Pas 3. Dates de pas

El cometa Brisa ($T=14,0$ anys) va passar pel periheli el 2021. Els passos següents són $t_k=2021+(14,0\ \text{anys})\,k$, i volem $t_k\le2090$:

$$\begin{aligned} k &\le \frac{(2090-2021)\ \text{anys}}{14,0\ \text{anys}}\\ &= 4,93 \end{aligned}$$

Per tant, $k=0,1,2,3,4$: el 2021, el 2035, el 2049, el 2063 i el 2077. Són 5 passos; el següent, el 2091, ja queda fora.

---

Exemple 6. Dues forces alineades: el període d’una sonda

La sonda Mirall, de massa $m=8,00\cdot10^2\ \mathrm{kg}$, gira al voltant de Lumen ($GM=1,045\cdot10^{20}\ \mathrm{m^3/s^2}$, exemple 4) en una circumferència de radi $r=3,015\cdot10^{11}\ \mathrm m$. Es manté sempre alineada amb Lumen i amb el planeta Teia ($M_T=6,00\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}$), més enllà de Teia, a $d=1,50\cdot10^9\ \mathrm m$ d’aquest planeta.

Busquem: la força resultant sobre la sonda i el seu període.

Pas 1. Les dues forces

Per la llei de gravitació universal:

$$\begin{aligned} F_L &= \frac{GMm}{r^2}\\ &= \frac{(1,045\cdot10^{20}\ \mathrm{m^3/s^2})(8,00\cdot10^2\ \mathrm{kg})}{(3,015\cdot10^{11}\ \mathrm m)^2}\\ &= 0,920\ \mathrm N \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} F_T &= \frac{GM_Tm}{d^2}\\ &= \frac{(6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2})(6,00\cdot10^{24}\ \mathrm{kg})(8,00\cdot10^2\ \mathrm{kg})}{(1,50\cdot10^9\ \mathrm m)^2}\\ &= 0,142\ \mathrm N \end{aligned}$$

Pas 2. Resultant

Lumen i Teia són al mateix costat de la sonda: les dues forces apunten cap a Lumen i se sumen.

$$\begin{aligned} F &= F_L+F_T\\ &= 0,9197\ \mathrm N+0,1423\ \mathrm N\\ &= \boxed{1,06\ \mathrm N} \end{aligned}$$

Pas 3. Període

Només actuen aquestes dues forces gravitatòries; per la segona llei de Newton, la resultant fa de força centrípeta:

$$\begin{aligned} F &= m\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2r\\ T &= 2\pi\sqrt{\frac{mr}{F}}\\ &= 2\pi\sqrt{\frac{(8,00\cdot10^2\ \mathrm{kg})(3,015\cdot10^{11}\ \mathrm m)}{1,062\ \mathrm N}}\\ &= \boxed{9,47\cdot10^7\ \mathrm s} \end{aligned}$$

En anys:

$$\begin{aligned} T &= \frac{9,469\cdot10^7\ \mathrm s}{3,156\cdot10^7\ \mathrm{s/any}}\\ &= 3,00\ \text{anys} \end{aligned}$$

Comprovació: sense Teia, només actuaria $F_L$:

$$\begin{aligned} T_0 &= 2\pi\sqrt{\frac{mr}{F_L}}\\ &= 2\pi\sqrt{\frac{(8,00\cdot10^2\ \mathrm{kg})(3,015\cdot10^{11}\ \mathrm m)}{0,9197\ \mathrm N}}\\ &= 1,018\cdot10^8\ \mathrm s=3,22\ \text{anys} \end{aligned}$$

Teia afegeix força cap al centre i escurça el període.

Idea final per no barrejar fórmules:
circular → iguala gravetat i força centrípeta; canvi d’estat → resta energies finals menys inicials; escapament mínim → imposa $E_{m,f}=0$.