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Física · 2.º de Bachillerato · PAU

Potencial, energía potencial y trabajo gravitatorios

Por qué la energía potencial gravitatoria es negativa, cómo se suman los potenciales, cuánto trabajo hace la gravedad y hasta dónde llega un cuerpo lanzado hacia arriba. Lee y juega con cada figura.

  • 10 min de lectura
  • 7 figuras interactivas
  • 3 ejercicios resueltos
¡lee y juega!

Ya has trabajado la fuerza y el campo gravitatorios. Ahora estudiarás la misma interacción a partir de la energía.

La idea central es esta:

Como la gravedad es una fuerza conservativa, su trabajo entre dos puntos se puede calcular a partir del cambio de energía potencial. Si solo actúa la gravedad, la energía potencial y la cinética se transforman la una en la otra, pero su suma se mantiene constante.

Antes de empezar…

¿Hasta dónde llega una piedra lanzada a 5 km/s?

Lanzas una piedra hacia arriba a 5 km/s, sin aire que la frene. Con la fórmula de siempre, mghmgh, te sale que se para a 1 280 km de altura.

Pero la piedra llega a 1 600 km. Cuanto más arriba está, más débil es la gravedad que la frena, y mghmgh supone que no cambia. Para hacer bien el cálculo hace falta la energía potencial U=−GMm/rU=-GMm/r: esta página te explica de dónde sale y por qué es negativa.

Elige una velocidad de lanzamiento y compara la altura real con la que daría una gg constante.

Míralo en 48 segundos

Ahora pruébalo tú:

Modelo ideal: sin aire y con los datos de la Tierra del ejercicio 7 (R = 6 400 km, g₀ = 9,77 N/kg). Las alturas y la Tierra están dibujadas a la misma escala.

01

Potencial gravitatorio: energía potencial por unidad de masa

Una masa MM crea un campo gravitatorio a su alrededor. A cada punto de este campo podemos asignar un potencial gravitatorio, que representamos con VV.

El potencial indica qué energía potencial correspondería a cada kilogramo de masa situado en ese punto:

V=Um \boxed{V=\frac{U}{m}}

Por tanto, su unidad en el sistema internacional es:

[V]=J/kg [V]=\mathrm{J/kg}

El potencial no es una fuerza ni un vector. Es una magnitud escalar: tiene un valor con signo, pero no tiene dirección ni sentido.

El cero en el infinito

Para definir la energía potencial, tenemos que elegir dónde vale cero. En este tema utilizamos:

V(∞)=0 V(\infty)=0

Con esta referencia, el potencial creado por una masa puntual MM es:

V(r)=−GMr \boxed{V(r)=-\frac{GM}{r}}

Aquí:

  • G=6,67⋅10−11 N m2/kg2G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2} es la constante de gravitación universal.
  • MM es la masa que crea el campo.
  • rr es la distancia desde el centro de MM hasta el punto que estudiamos.

La misma expresión sirve en el exterior de un cuerpo esférico con distribución de masa esféricamente simétrica, como el modelo habitual de un planeta.

Si el punto se encuentra a una altura hh sobre la superficie de un planeta de radio RR, hay que utilizar:

r=R+h \boxed{r=R+h}

No debes sustituir rr por la altura hh.

¿Cómo cambia el potencial con la distancia?

Como GG, MM y rr son positivos, el potencial es negativo a cualquier distancia finita.

Cuando te alejas de MM, el denominador rr aumenta. Por eso:

V=−GMr V=-\frac{GM}{r}

se hace menos negativo y se acerca a cero.

Por ejemplo:

−10 J/kg>−20 J/kg -10\ \mathrm{J/kg}>-20\ \mathrm{J/kg}

Así pues, alejarse hace aumentar el potencial, aunque siga siendo negativo.

02

Energía potencial gravitatoria y significado del signo negativo

Si colocamos una masa mm en un punto de potencial VV, su energía potencial gravitatoria es:

U=mV=−GMmr \boxed{U=mV=-\frac{GMm}{r}}

La unidad de UU es el julio, J\mathrm{J}.

La diferencia entre las dos magnitudes es importante:

Magnitud Expresión ¿De qué depende? Unidad
Potencial V=−GM/rV=-GM/r De la masa que crea el campo y del punto J/kg\mathrm{J/kg}
Energía potencial U=mVU=mV También de la masa mm situada en ese punto J\mathrm{J}

En un mismo punto, dos masas tienen el mismo potencial, pero no la misma energía potencial. Si duplicas mm, duplicas UU.

La energía potencial corresponde a la interacción entre las masas. Cuando decimos «la energía potencial del cuerpo», estamos utilizando una forma abreviada de hablar de esta interacción.

¿Por qué la energía potencial es negativa?

Hemos fijado:

U(∞)=0 U(\infty)=0

La gravedad es atractiva. Por eso, si quieres alejar una masa lentamente, tienes que aplicar una fuerza exterior que contrarreste la atracción gravitatoria. Esta fuerza aporta energía al sistema.

Como hay que aportar energía para pasar de una distancia finita hasta el infinito, la energía potencial inicial debe estar por debajo de cero. De ahí viene el signo negativo:

U(r)<0 U(r)<0

El signo negativo no significa que la energía esté mal calculada. Indica que su valor es inferior al nivel de referencia que hemos elegido.

Tampoco significa, por sí solo, que el cuerpo no pueda alejarse indefinidamente: para valorar el movimiento también hay que tener en cuenta la energía cinética.

Ejemplo resuelto: potencial y energía potencial a dos distancias

Utilizamos estos valores aproximados para la Tierra:

GM=4,0⋅1014 m3/s2,R=6,4⋅106 m \begin{aligned} GM&=4{,}0\cdot10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}, \\ R&=6{,}4\cdot10^6\ \mathrm{m} \end{aligned}

Consideramos una masa:

m=1 000 kg m=1\,000\ \mathrm{kg}

En la superficie, rA=Rr_A=R:

VA=−4,0⋅10146,4⋅106=−6,25⋅107 J/kg V_A=-\frac{4{,}0\cdot10^{14}}{6{,}4\cdot10^6} =-6{,}25\cdot10^7\ \mathrm{J/kg}
UA=mVA=1 000(−6,25⋅107)=−6,25⋅1010 J U_A=mV_A =1\,000\left(-6{,}25\cdot10^7\right) =-6{,}25\cdot10^{10}\ \mathrm{J}

A una distancia 2R2R del centro, rB=2Rr_B=2R:

VB=−4,0⋅10141,28⋅107=−3,125⋅107 J/kg V_B=-\frac{4{,}0\cdot10^{14}}{1{,}28\cdot10^7} =-3{,}125\cdot10^7\ \mathrm{J/kg}
UB=−3,125⋅1010 J U_B=-3{,}125\cdot10^{10}\ \mathrm{J}

La masa se ha alejado. Por eso, tanto el potencial como la energía potencial han aumentado: ahora son menos negativos.

Fíjate en que a rB=2Rr_B=2R, la altura sobre la superficie es:

hB=2R−R=R h_B=2R-R=R
03

Superposición: los potenciales se suman como escalares

Si varias masas crean el campo, el potencial total en un punto es la suma de los potenciales de cada una:

Vtotal=V1+V2+⋯ \boxed{V_{\text{total}}=V_1+V_2+\cdots}

Para masas puntuales:

Vtotal=−G(M1r1+M2r2+⋯ ) \boxed{ V_{\text{total}} =-G\left(\frac{M_1}{r_1}+\frac{M_2}{r_2}+\cdots\right) }

Cada rir_i es la distancia entre el punto estudiado y la masa MiM_i.

No debes descomponer los potenciales en componentes, porque no son vectores. Solo tienes que sumar sus valores con signo.

En cambio, el campo gravitatorio sí es vectorial:

g⃗total=g⃗1+g⃗2+⋯ \vec g_{\text{total}}=\vec g_1+\vec g_2+\cdots

Para sumar campos, tienes que tener en cuenta la dirección y el sentido de cada contribución.

Ejemplo resuelto: dos masas iguales y un punto en medio

Dos masas iguales MM están separadas una distancia 2d2d. Estudiamos el punto medio, situado a distancia dd de cada una.

Campo gravitatorio

Cada masa crea un campo de módulo:

g=GMd2 g=\frac{GM}{d^2}

Los dos campos tienen sentidos opuestos. Por eso se cancelan:

g⃗total=0⃗ \boxed{\vec g_{\text{total}}=\vec 0}

Potencial gravitatorio

Cada masa crea un potencial:

V1=V2=−GMd V_1=V_2=-\frac{GM}{d}

Como los potenciales son escalares, se suman:

Vtotal=−2GMd \boxed{V_{\text{total}}=-\frac{2GM}{d}}

Por tanto, el campo puede ser cero en un punto sin que el potencial sea cero.

La causa es que los campos se pueden cancelar por sus sentidos opuestos, mientras que los potenciales no tienen sentido espacial y las dos contribuciones son negativas.

04

Trabajo de la gravedad: Wg=−ΔUW_{\mathrm g}=-\Delta U

Definimos el cambio de energía potencial entre un punto inicial AA y un punto final BB como:

ΔU=UB−UA \Delta U=U_B-U_A

El trabajo que realiza la gravedad es:

Wg,A→B=−ΔU=UA−UB \boxed{W_{\mathrm g,A\to B}=-\Delta U=U_A-U_B}

Para una masa mm en el campo de una masa MM:

Wg,A→B=GMm(1rB−1rA) \boxed{ W_{\mathrm g,A\to B} =GMm\left(\frac{1}{r_B}-\frac{1}{r_A}\right) }

También lo podemos expresar con el potencial:

Wg,A→B=m(VA−VB) \boxed{W_{\mathrm g,A\to B}=m(V_A-V_B)}

La gravedad es conservativa. Por eso, su trabajo depende de los puntos inicial y final, no del camino seguido entre estos puntos.

¿Cómo puedes comprobar el signo?

Movimiento radial Relación entre fuerza y desplazamiento Trabajo gravitatorio Cambio de energía potencial
El cuerpo se acerca a MM Tienen el mismo sentido Wg>0W_{\mathrm g}>0 ΔU<0\Delta U<0
El cuerpo se aleja de MM Tienen sentidos opuestos Wg<0W_{\mathrm g}<0 ΔU>0\Delta U>0

Cuando el cuerpo cae hacia MM, la gravedad favorece el movimiento y realiza trabajo positivo. Como consecuencia, la energía potencial disminuye y, si solo actúa la gravedad, la cinética aumenta.

Cuando el cuerpo se aleja, la gravedad se opone al movimiento y realiza trabajo negativo. Como consecuencia, si no hay ninguna otra fuerza que aporte energía, la cinética disminuye mientras la potencial aumenta.

05

Trabajo externo para alejar una masa lentamente

Ahora imagina que un dispositivo aleja la masa lentamente, de manera que el cambio de energía cinética sea despreciable.

El teorema del trabajo y la energía cinética da:

Wg+Wext=ΔK W_{\mathrm g}+W_{\mathrm{ext}}=\Delta K

Como ΔK≈0\Delta K\approx0:

Wext≈−Wg W_{\mathrm{ext}}\approx-W_{\mathrm g}

Por tanto:

Wext≈ΔU \boxed{W_{\mathrm{ext}}\approx\Delta U}

En el modelo ideal en el que la cinética no cambia, esta igualdad es exacta.

Como al alejar la masa aumenta la energía potencial, el trabajo externo es positivo. El dispositivo aporta la energía necesaria para contrarrestar la gravedad.

Ejemplo resuelto: alejar la masa de RR a 2R2R

Recuperamos los valores del ejemplo anterior:

UA=−6,25⋅1010 J U_A=-6{,}25\cdot10^{10}\ \mathrm{J}
UB=−3,125⋅1010 J U_B=-3{,}125\cdot10^{10}\ \mathrm{J}

El cambio de energía potencial es:

ΔU=UB−UA \Delta U=U_B-U_A
ΔU=−3,125⋅1010−(−6,25⋅1010)=3,125⋅1010 J \begin{aligned} \Delta U&=-3{,}125\cdot10^{10} -\left(-6{,}25\cdot10^{10}\right) \\ &=3{,}125\cdot10^{10}\ \mathrm{J} \end{aligned}

Por tanto:

Wg=−3,125⋅1010 J \boxed{W_{\mathrm g}=-3{,}125\cdot10^{10}\ \mathrm{J}}
Wext=+3,125⋅1010 J \boxed{W_{\mathrm{ext}}=+3{,}125\cdot10^{10}\ \mathrm{J}}

Los signos son opuestos porque el trabajo externo compensa el trabajo negativo de la gravedad y mantiene la cinética constante.

Si el alejamiento lento fuese desde una distancia rr hasta el infinito:

Wext=U(∞)−U(r)=0−(−GMmr) W_{\mathrm{ext}}=U(\infty)-U(r) =0-\left(-\frac{GMm}{r}\right)
Wext=GMmr \boxed{W_{\mathrm{ext}}=\frac{GMm}{r}}

Esto concreta el significado del signo negativo de UU: esta es la energía que hay que aportar para llegar lentamente hasta el nivel U=0U=0.

06

Conservación de la energía mecánica en movimientos radiales

La energía mecánica es la suma de la energía cinética y la potencial:

Em=K+U E_{\mathrm m}=K+U

En el campo gravitatorio de una masa MM:

Em=12mv2−GMmr \boxed{E_{\mathrm m}=\frac12mv^2-\frac{GMm}{r}}

Si solo actúa la gravedad, la energía mecánica se conserva:

12mvA2−GMmrA=12mvB2−GMmrB \boxed{ \frac12mv_A^2-\frac{GMm}{r_A} = \frac12mv_B^2-\frac{GMm}{r_B} }

Este modelo supone que la masa MM se puede considerar fija, como hacemos habitualmente cuando estudiamos un cuerpo de masa muy pequeña comparada con la del planeta.

La masa mm aparece en todos los términos y se puede simplificar:

12vA2−GMrA=12vB2−GMrB \frac12v_A^2-\frac{GM}{r_A} = \frac12v_B^2-\frac{GM}{r_B}

Si despejamos la velocidad final:

vB2=vA2+2GM(1rB−1rA) \boxed{ v_B^2=v_A^2+2GM\left(\frac1{r_B}-\frac1{r_A}\right) }

¿Por qué no hace falta suponer gg constante?

El campo varía con la distancia:

g(r)=GMr2 g(r)=\frac{GM}{r^2}

Si el cuerpo cambia mucho de distancia al centro, también cambia el campo que experimenta. Por eso no podemos tratar todo el movimiento como si tuviese una aceleración gravitatoria constante.

La expresión:

U=−GMmr U=-\frac{GMm}{r}

ya incorpora esta variación. Así podemos calcular el cambio de velocidad sin utilizar una gg constante.

La aproximación ΔU≈mg Δh\Delta U\approx mg\,\Delta h solo es adecuada cerca de la superficie y para cambios de altura pequeños comparados con el radio del planeta.

Ejemplo resuelto: caída radial desde 2R2R hasta la superficie

Un cuerpo parte del reposo a una distancia 2R2R del centro de la Tierra y cae radialmente hasta la superficie. Despreciamos la resistencia del aire.

Datos:

rA=2R,vA=0,rB=R r_A=2R,\qquad v_A=0,\qquad r_B=R
GM=4,0⋅1014 m3/s2,R=6,4⋅106 m \begin{aligned} GM&=4{,}0\cdot10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}, \\ R&=6{,}4\cdot10^6\ \mathrm m \end{aligned}

Como solo actúa la gravedad:

−GMm2R=12mvB2−GMmR -\frac{GMm}{2R} = \frac12mv_B^2-\frac{GMm}{R}

Simplificamos mm y reordenamos:

12vB2=GMR−GM2R=GM2R \frac12v_B^2 = \frac{GM}{R}-\frac{GM}{2R} = \frac{GM}{2R}

Por tanto:

vB2=GMR v_B^2=\frac{GM}{R}
vB=4,0⋅10146,4⋅106=6,25⋅107 v_B=\sqrt{\frac{4{,}0\cdot10^{14}}{6{,}4\cdot10^6}} =\sqrt{6{,}25\cdot10^7}
vB≈7,91⋅103 m/s=7,91 km/s \boxed{v_B\approx7{,}91\cdot10^3\ \mathrm{m/s}=7{,}91\ \mathrm{km/s}}

Este resultado es el módulo de la velocidad. El movimiento tiene dirección radial y sentido hacia el centro.

Interpretación: el cuerpo se acerca a la Tierra, de manera que su energía potencial se hace más negativa. Como la energía mecánica se conserva, esta disminución de energía potencial se transforma en un aumento de cinética.

Si el movimiento radial es hacia fuera

Si el cuerpo se lanza hacia fuera y después llega a un punto donde se detiene momentáneamente, en ese punto:

vB=0 v_B=0

La conservación de la energía queda:

12vA2−GMrA=−GMrB \frac12v_A^2-\frac{GM}{r_A} =-\frac{GM}{r_B}

De aquí:

1rB=1rA−vA22GM \boxed{\frac1{r_B}=\frac1{r_A}-\frac{v_A^2}{2GM}}

Si el punto inicial es la superficie, la altura máxima es:

hmax⁡=rB−R \boxed{h_{\max}=r_B-R}

Esta expresión da un punto de parada a distancia finita solo si el término de la derecha es positivo.

07

Qué debes comprobar en un problema

Antes de sustituir números, revisa estos puntos:

  • Distancias: todas las rr se miden desde el centro. Si tienes una altura, haz r=R+hr=R+h.
  • Referencia: con el cero en el infinito, VV y UU son negativos a distancia finita.
  • Cambios: ΔU\Delta U significa siempre UB−UAU_B-U_A, con AA inicial y BB final.
  • Trabajo: identifica quién lo realiza. El trabajo gravitatorio es −ΔU-\Delta U; el trabajo externo es ΔU\Delta U si la cinética no cambia.
  • Superposición: los potenciales se suman como escalares; los campos, como vectores.
  • Energía: si solo actúa la gravedad, conserva K+UK+U. Si hay trabajo externo, la energía mecánica puede cambiar.
  • Coherencia física: si solo actúa la gravedad de una masa central, en una caída radial la rapidez aumenta; en un movimiento radial hacia fuera, disminuye.

Las cuatro relaciones que conectan todo el tema son:

V=−GMr,U=mV,Wg=−ΔU,KA+UA=KB+UB \boxed{\begin{aligned} V&=-\frac{GM}{r}, & U&=mV, \\ W_{\mathrm g}&=-\Delta U, & K_A+U_A&=K_B+U_B \end{aligned}}

El potencial describe el punto del campo; la energía potencial incorpora la masa que colocas en él; el cambio de energía potencial determina el trabajo gravitatorio; y, si solo actúa la gravedad, este trabajo explica el cambio de energía cinética.

Practica

Ponte a prueba

Tres ejercicios resueltos paso a paso, de menor a mayor dificultad. Inténtalos antes de abrir la solución.

Básico

1Potencial y energía potencial: ¿qué significa «aumentar»?

Para este ejercicio, utiliza:

GMT=4,00⋅1014 m3/s2,RT=6,40⋅106 m. \begin{aligned} GM_{\mathrm T}&=4{,}00\cdot10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}, \\ R_{\mathrm T}&=6{,}40\cdot10^6\ \mathrm m. \end{aligned}

Un cuerpo de masa m=800 kgm=800\ \mathrm{kg} se encuentra inicialmente en la superficie terrestre, en el punto AA. Después se traslada al punto BB, situado a una altura h=RTh=R_{\mathrm T} sobre la superficie.

  1. a
    Escribe las distancias rAr_A y rBr_B al centro de la Tierra.
  1. b
    Calcula VAV_A y VBV_B. ¿Qué potencial es mayor?
  1. c
    Calcula UAU_A, UBU_B y ΔU=UB−UA\Delta U=U_B-U_A.
  1. d
    Explica por qué UAU_A es negativa y calcula el trabajo externo necesario para llevar el cuerpo lentamente desde AA hasta el infinito.
  1. e
    Si la masa del cuerpo fuese el doble, ¿cuáles de los resultados anteriores cambiarían? Explica la causa.
Muestra la solución

a) Distancias al centro

rA=RT=6,40⋅106 m \boxed{r_A=R_{\mathrm T}=6{,}40\cdot10^6\ \mathrm m}
rB=RT+h=2RT. r_B=R_{\mathrm T}+h=2R_{\mathrm T}.
rB=1,28⋅107 m \boxed{r_B=1{,}28\cdot10^7\ \mathrm m}

b) Potenciales

VA=−4,00⋅10146,40⋅106=−6,25⋅107 J/kg. V_A=-\frac{4{,}00\cdot10^{14}}{6{,}40\cdot10^6} =\boxed{-6{,}25\cdot10^7\ \mathrm{J/kg}}.
VB=−4,00⋅10141,28⋅107=−3,13⋅107 J/kg. V_B=-\frac{4{,}00\cdot10^{14}}{1{,}28\cdot10^7} =\boxed{-3{,}13\cdot10^7\ \mathrm{J/kg}}.
VB>VA \boxed{V_B>V_A}

El potencial aumenta al alejarse porque se hace menos negativo.

c) Energías potenciales

UA=mVA=800(−6,25⋅107). U_A=mV_A=800(-6{,}25\cdot10^7).
UA=−5,00⋅1010 J \boxed{U_A=-5{,}00\cdot10^{10}\ \mathrm J}
UB=800(−3,125⋅107). U_B=800(-3{,}125\cdot10^7).
UB=−2,50⋅1010 J \boxed{U_B=-2{,}50\cdot10^{10}\ \mathrm J}

Por tanto:

ΔU=UB−UA=−2,50⋅1010−(−5,00⋅1010). \Delta U=U_B-U_A =-2{,}50\cdot10^{10}-(-5{,}00\cdot10^{10}).
ΔU=+2,50⋅1010 J \boxed{\Delta U=+2{,}50\cdot10^{10}\ \mathrm J}

d) Signo negativo y traslado hasta el infinito

Hemos elegido U(∞)=0U(\infty)=0. Como hay que aportar energía para alejar lentamente el cuerpo hasta el infinito, la energía potencial inicial es inferior a este cero.

En el traslado lento:

Wext=ΔU=0−UA. W_{\mathrm{ext}}=\Delta U=0-U_A.
Wext=+5,00⋅1010 J \boxed{W_{\mathrm{ext}}=+5{,}00\cdot10^{10}\ \mathrm J}

e) Duplicar la masa

Las distancias y los potenciales no cambian: no dependen de la masa del cuerpo de prueba.

En cambio, U=mVU=mV. Por eso se duplican:

  • UAU_A y UBU_B, que se hacen el doble de negativos.
  • ΔU\Delta U.
  • El trabajo externo hasta el infinito.

Intermedio

2Caída radial desde una gran altura

Un cuerpo de 10 kg10\ \mathrm{kg} se suelta desde el reposo a una distancia 3RT3R_{\mathrm T} del centro de la Tierra. Cae radialmente hasta la superficie.

Utiliza los datos terrestres del ejercicio 2.

  1. a
    Calcula la energía mecánica inicial.
  1. b
    Calcula la rapidez cuando el cuerpo se encuentra a una distancia 2RT2R_{\mathrm T} del centro.
  1. c
    Calcula la rapidez justo antes de llegar a la superficie.
  1. d
    Calcula el trabajo gravitatorio durante toda la caída y comprueba que coincide con el cambio de energía cinética.
  1. e
    Si la masa fuese de 20 kg20\ \mathrm{kg}, ¿cambiaría la rapidez de llegada? ¿Y el trabajo gravitatorio? Justifícalo con las expresiones que has utilizado.
Muestra la solución

a) Energía mecánica inicial

Inicialmente el cuerpo está en reposo:

KA=0. K_A=0.
Em=UA=−GMTm3RT. E_{\mathrm m}=U_A =-\frac{GM_{\mathrm T}m}{3R_{\mathrm T}}.
Em=−2,08⋅108 J \boxed{E_{\mathrm m}=-2{,}08\cdot10^8\ \mathrm J}

b) Rapidez en 2RT2R_{\mathrm T}

Conservamos la energía:

−GMTm3RT=12mv2−GMTm2RT. -\frac{GM_{\mathrm T}m}{3R_{\mathrm T}} = \frac12mv^2-\frac{GM_{\mathrm T}m}{2R_{\mathrm T}}.

Simplificamos mm y despejamos v2v^2:

v2=2GMT(12RT−13RT)=GMT3RT. \begin{aligned} v^2&=2GM_{\mathrm T} \left(\frac1{2R_{\mathrm T}}-\frac1{3R_{\mathrm T}}\right) \\ &=\frac{GM_{\mathrm T}}{3R_{\mathrm T}}. \end{aligned}
v=4,56⋅103 m/s \boxed{v=4{,}56\cdot10^3\ \mathrm{m/s}}

c) Rapidez en la superficie

v2=2GMT(1RT−13RT)=4GMT3RT. \begin{aligned} v^2&=2GM_{\mathrm T} \left(\frac1{R_{\mathrm T}}-\frac1{3R_{\mathrm T}}\right) \\ &=\frac{4GM_{\mathrm T}}{3R_{\mathrm T}}. \end{aligned}
v=9,13⋅103 m/s \boxed{v=9{,}13\cdot10^3\ \mathrm{m/s}}

La rapidez ha aumentado porque, al acercarse a la Tierra, disminuye la energía potencial y aumenta la cinética.

d) Trabajo gravitatorio

En la superficie:

UB=−GMTmRT=−6,25⋅108 J. U_B=-\frac{GM_{\mathrm T}m}{R_{\mathrm T}} =-6{,}25\cdot10^8\ \mathrm J.
Wg=UA−UB. W_{\mathrm g}=U_A-U_B.
Wg=+4,17⋅108 J \boxed{W_{\mathrm g}=+4{,}17\cdot10^8\ \mathrm J}

La cinética final es:

KB=12mv2=4,17⋅108 J. K_B=\frac12mv^2=4{,}17\cdot10^8\ \mathrm J.

Como KA=0K_A=0:

ΔK=Wg \boxed{\Delta K=W_{\mathrm g}}

e) Cambiar la masa

La rapidez no cambia porque mm se cancela en la ecuación de conservación de la energía.

El trabajo sí se duplica porque las energías potenciales son proporcionales a mm:

Wg=8,33⋅108 J \boxed{W_{\mathrm g}=8{,}33\cdot10^8\ \mathrm J}

para una masa de 20 kg20\ \mathrm{kg}.

Tipo PAU

3Tipo PAU: dos masas, simetría y trabajo

Dos masas puntuales fijas, ambas de valor:

M=6,00⋅1011 kg, M=6{,}00\cdot10^{11}\ \mathrm{kg},

están situadas en los puntos (−a,0)(-a,0) y (a,0)(a,0), con:

a=2,00⋅103 m. a=2{,}00\cdot10^3\ \mathrm m.

Considera el origen O=(0,0)O=(0,0) y el punto P=(0,a)P=(0,a).

  1. a
    Calcula el campo gravitatorio resultante en OO y en PP. Expresa el resultado en PP mediante componentes e indica su dirección y sentido.
  1. b
    Calcula el potencial gravitatorio en OO y en PP. Explica por qué la cancelación del campo en el origen no implica la cancelación del potencial.
  1. c
    Una masa de prueba de 50,0 kg50{,}0\ \mathrm{kg} se traslada lentamente de PP a OO. Calcula el trabajo gravitatorio y el trabajo externo.
  1. d
    En una situación diferente, la misma masa se suelta desde el reposo en PP, sin ningún dispositivo exterior. Calcula la rapidez con la que llega a OO.
  1. e
    Al llegar a OO, el campo resultante es cero. ¿El cuerpo se detiene allí? Explícalo distinguiendo entre fuerza, aceleración y velocidad.
Muestra la solución

Para cada una de las masas:

GM=(6,67⋅10−11)(6,00⋅1011)=40,02 m3/s2. GM=(6{,}67\cdot10^{-11})(6{,}00\cdot10^{11}) =40{,}02\ \mathrm{m^3/s^2}.

a) Campos en OO y en PP

En el origen, las masas están a la misma distancia y en sentidos opuestos. Por tanto:

g⃗O=0⃗ \boxed{\vec g_O=\vec 0}

En PP, la distancia a cada masa es:

r=a2+a2=a2. r=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt2.

El módulo de cada contribución es:

g1=g2=GM2a2. g_1=g_2=\frac{GM}{2a^2}.

Las componentes horizontales se cancelan. Las verticales apuntan ambas hacia abajo:

gPy=−2GM2a212=−GM2 a2. g_{Py} =-2\frac{GM}{2a^2}\frac1{\sqrt2} =-\frac{GM}{\sqrt2\,a^2}.
gPy=−40,022(2,00⋅103)2. g_{Py} =-\frac{40{,}02}{\sqrt2(2{,}00\cdot10^3)^2}.
g⃗P=(0, −7,07⋅10−6) N/kg \boxed{\vec g_P=(0,\,-7{,}07\cdot10^{-6})\ \mathrm{N/kg}}

La dirección es el eje yy, y el sentido es hacia el origen.

b) Potenciales

En el origen:

VO=−GMa−GMa=−2GMa. V_O=-\frac{GM}{a}-\frac{GM}{a} =-\frac{2GM}{a}.
VO=−4,00⋅10−2 J/kg \boxed{V_O=-4{,}00\cdot10^{-2}\ \mathrm{J/kg}}

En PP:

VP=−2GMa2. V_P=-\frac{2GM}{a\sqrt2}.
VP=−2,83⋅10−2 J/kg \boxed{V_P=-2{,}83\cdot10^{-2}\ \mathrm{J/kg}}

El campo en OO se cancela porque las contribuciones vectoriales tienen sentidos opuestos. El potencial no se cancela porque las dos contribuciones escalares son negativas.

c) Traslado lento de PP a OO

Wg=m(VP−VO). W_{\mathrm g}=m(V_P-V_O).

Con más decimales:

Wg=50,0[−0,0282984−(−0,04002)]. W_{\mathrm g} =50{,}0[-0{,}0282984-(-0{,}04002)].
Wg=+0,586 J \boxed{W_{\mathrm g}=+0{,}586\ \mathrm J}

Como no cambia la cinética:

Wext=−0,586 J \boxed{W_{\mathrm{ext}}=-0{,}586\ \mathrm J}

El dispositivo retira la energía que la gravedad aportaría a la cinética.

d) Caída libre desde PP

Por simetría, la fuerza no tiene componente horizontal sobre el eje yy. Si el cuerpo parte del reposo en PP, se mueve por este eje hacia OO.

Conservamos la energía:

mVP=12mvO2+mVO. mV_P=\frac12mv_O^2+mV_O.

Simplificamos mm:

vO=2(VP−VO). v_O=\sqrt{2(V_P-V_O)}.
vO=0,153 m/s \boxed{v_O=0{,}153\ \mathrm{m/s}}

e) ¿El cuerpo se detiene en el origen?

No. Al llegar a OO:

  • El campo es cero.
  • La fuerza gravitatoria resultante es cero.
  • La aceleración instantánea es cero.
  • La velocidad no es cero: el cuerpo llega con una rapidez de 0,153 m/s0{,}153\ \mathrm{m/s}.

Una fuerza nula no elimina una velocidad que el cuerpo ya tiene. Por eso el cuerpo atraviesa el origen. Cuando pasa al otro lado, la fuerza apunta de nuevo hacia el origen y frena el movimiento.