Original Academia Original Academia
Apunts de FísicaBiblioteca

Física · 2n de Batxillerat · PAU

Potencial, energia potencial i treball gravitatoris

Per què l’energia potencial gravitatòria és negativa, com se sumen els potencials, quant treball fa la gravetat i fins on arriba un cos llançat cap amunt. Llegeix i juga amb cada figura.

  • 10 min de lectura
  • 7 figures interactives
  • 3 exercicis resolts
llegeix i juga!

Ja has treballat la força i el camp gravitatoris. Ara estudiaràs la mateixa interacció a partir de l’energia.

La idea central és aquesta:

Com que la gravetat és una força conservativa, el seu treball entre dos punts es pot calcular a partir del canvi d’energia potencial. Si només actua la gravetat, l’energia potencial i la cinètica es transformen l’una en l’altra, però la seva suma es manté constant.

Abans de començar…

Fins on arriba una pedra llançada a 5 km/s?

Llances una pedra cap amunt a 5 km/s, sense aire que la freni. Amb la fórmula de sempre, mghmgh, et surt que s’atura a 1 280 km d’altura.

Però la pedra arriba a 1 600 km. Com més amunt és, més feble és la gravetat que la frena, i mghmgh suposa que no canvia. Per fer bé el càlcul cal l’energia potencial U=−GMm/rU=-GMm/r: aquesta pàgina t’explica d’on surt i per què és negativa.

Tria una velocitat de llançament i compara l’altura real amb la que donaria una gg constant.

Mira-ho en 48 segons

Ara prova-ho tu:

Model ideal: sense aire i amb les dades de la Terra de l’exercici 7 (R = 6 400 km, g₀ = 9,77 N/kg). Les altures i la Terra estan dibuixades a la mateixa escala.

01

Potencial gravitatori: energia potencial per unitat de massa

Una massa MM crea un camp gravitatori al seu voltant. A cada punt d’aquest camp podem assignar un potencial gravitatori, que representem amb VV.

El potencial indica quina energia potencial correspondria a cada quilogram de massa situat en aquell punt:

V=Um \boxed{V=\frac{U}{m}}

Per tant, la seva unitat en el sistema internacional és:

[V]=J/kg [V]=\mathrm{J/kg}

El potencial no és una força ni un vector. És una magnitud escalar: té un valor amb signe, però no té direcció ni sentit.

El zero a l’infinit

Per definir l’energia potencial, hem de triar on val zero. En aquest tema fem servir:

V(∞)=0 V(\infty)=0

Amb aquesta referència, el potencial creat per una massa puntual MM és:

V(r)=−GMr \boxed{V(r)=-\frac{GM}{r}}

Aquí:

  • G=6,67⋅10−11 N m2/kg2G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2} és la constant de gravitació universal.
  • MM és la massa que crea el camp.
  • rr és la distància des del centre de MM fins al punt que estudiem.

La mateixa expressió serveix a l’exterior d’un cos esfèric amb distribució de massa esfèricament simètrica, com el model habitual d’un planeta.

Si el punt es troba a una altura hh sobre la superfície d’un planeta de radi RR, cal fer servir:

r=R+h \boxed{r=R+h}

No has de substituir rr per l’altura hh.

Com canvia el potencial amb la distància?

Com que GG, MM i rr són positius, el potencial és negatiu a qualsevol distància finita.

Quan t’allunyes de MM, el denominador rr augmenta. Per això:

V=−GMr V=-\frac{GM}{r}

es fa menys negatiu i s’acosta a zero.

Per exemple:

−10 J/kg>−20 J/kg -10\ \mathrm{J/kg}>-20\ \mathrm{J/kg}

Així doncs, allunyar-se fa augmentar el potencial, encara que continuï sent negatiu.

02

Energia potencial gravitatòria i significat del signe negatiu

Si col·loquem una massa mm en un punt de potencial VV, la seva energia potencial gravitatòria és:

U=mV=−GMmr \boxed{U=mV=-\frac{GMm}{r}}

La unitat de UU és el joule, J\mathrm{J}.

La diferència entre les dues magnituds és important:

Magnitud Expressió De què depèn? Unitat
Potencial V=−GM/rV=-GM/r De la massa que crea el camp i del punt J/kg\mathrm{J/kg}
Energia potencial U=mVU=mV També de la massa mm situada en aquell punt J\mathrm{J}

En un mateix punt, dues masses tenen el mateix potencial, però no la mateixa energia potencial. Si dupliques mm, dupliques UU.

L’energia potencial correspon a la interacció entre les masses. Quan diem «l’energia potencial del cos», estem fent servir una manera abreujada de parlar d’aquesta interacció.

Per què l’energia potencial és negativa?

Hem fixat:

U(∞)=0 U(\infty)=0

La gravetat és atractiva. Per això, si vols allunyar una massa lentament, has d’aplicar una força exterior que contraresti l’atracció gravitatòria. Aquesta força aporta energia al sistema.

Com que cal aportar energia per passar d’una distància finita fins a l’infinit, l’energia potencial inicial ha d’estar per sota de zero. D’aquí ve el signe negatiu:

U(r)<0 U(r)<0

El signe negatiu no vol dir que l’energia estigui mal calculada. Indica que el seu valor és inferior al nivell de referència que hem triat.

Tampoc no vol dir, per si sol, que el cos no pugui allunyar-se indefinidament: per valorar el moviment també cal tenir en compte l’energia cinètica.

Exemple resolt: potencial i energia potencial a dues distàncies

Fem servir aquests valors aproximats per a la Terra:

GM=4,0⋅1014 m3/s2,R=6,4⋅106 m \begin{aligned} GM&=4{,}0\cdot10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}, \\ R&=6{,}4\cdot10^6\ \mathrm{m} \end{aligned}

Considerem una massa:

m=1 000 kg m=1\,000\ \mathrm{kg}

A la superfície, rA=Rr_A=R:

VA=−4,0⋅10146,4⋅106=−6,25⋅107 J/kg V_A=-\frac{4{,}0\cdot10^{14}}{6{,}4\cdot10^6} =-6{,}25\cdot10^7\ \mathrm{J/kg}
UA=mVA=1 000(−6,25⋅107)=−6,25⋅1010 J U_A=mV_A =1\,000\left(-6{,}25\cdot10^7\right) =-6{,}25\cdot10^{10}\ \mathrm{J}

A una distància 2R2R del centre, rB=2Rr_B=2R:

VB=−4,0⋅10141,28⋅107=−3,125⋅107 J/kg V_B=-\frac{4{,}0\cdot10^{14}}{1{,}28\cdot10^7} =-3{,}125\cdot10^7\ \mathrm{J/kg}
UB=−3,125⋅1010 J U_B=-3{,}125\cdot10^{10}\ \mathrm{J}

La massa s’ha allunyat. Per això, tant el potencial com l’energia potencial han augmentat: ara són menys negatius.

Fixa’t que a rB=2Rr_B=2R, l’altura sobre la superfície és:

hB=2R−R=R h_B=2R-R=R
03

Superposició: els potencials se sumen com a escalars

Si diverses masses creen el camp, el potencial total en un punt és la suma dels potencials de cadascuna:

Vtotal=V1+V2+⋯ \boxed{V_{\text{total}}=V_1+V_2+\cdots}

Per a masses puntuals:

Vtotal=−G(M1r1+M2r2+⋯ ) \boxed{ V_{\text{total}} =-G\left(\frac{M_1}{r_1}+\frac{M_2}{r_2}+\cdots\right) }

Cada rir_i és la distància entre el punt estudiat i la massa MiM_i.

No has de descompondre els potencials en components, perquè no són vectors. Només has de sumar-ne els valors amb signe.

En canvi, el camp gravitatori sí que és vectorial:

g⃗total=g⃗1+g⃗2+⋯ \vec g_{\text{total}}=\vec g_1+\vec g_2+\cdots

Per sumar camps, has de tenir en compte la direcció i el sentit de cada contribució.

Exemple resolt: dues masses iguals i un punt al mig

Dues masses iguals MM estan separades una distància 2d2d. Estudiem el punt mitjà, situat a distància dd de cadascuna.

Camp gravitatori

Cada massa crea un camp de mòdul:

g=GMd2 g=\frac{GM}{d^2}

Els dos camps tenen sentits oposats. Per això es cancel·len:

g⃗total=0⃗ \boxed{\vec g_{\text{total}}=\vec 0}

Potencial gravitatori

Cada massa crea un potencial:

V1=V2=−GMd V_1=V_2=-\frac{GM}{d}

Com que els potencials són escalars, se sumen:

Vtotal=−2GMd \boxed{V_{\text{total}}=-\frac{2GM}{d}}

Per tant, el camp pot ser zero en un punt sense que el potencial sigui zero.

La causa és que els camps es poden cancel·lar pels seus sentits oposats, mentre que els potencials no tenen sentit espacial i les dues contribucions són negatives.

04

Treball de la gravetat: Wg=−ΔUW_{\mathrm g}=-\Delta U

Definim el canvi d’energia potencial entre un punt inicial AA i un punt final BB com:

ΔU=UB−UA \Delta U=U_B-U_A

El treball que fa la gravetat és:

Wg,A→B=−ΔU=UA−UB \boxed{W_{\mathrm g,A\to B}=-\Delta U=U_A-U_B}

Per a una massa mm en el camp d’una massa MM:

Wg,A→B=GMm(1rB−1rA) \boxed{ W_{\mathrm g,A\to B} =GMm\left(\frac{1}{r_B}-\frac{1}{r_A}\right) }

També el podem expressar amb el potencial:

Wg,A→B=m(VA−VB) \boxed{W_{\mathrm g,A\to B}=m(V_A-V_B)}

La gravetat és conservativa. Per això, el seu treball depèn dels punts inicial i final, no del camí seguit entre aquests punts.

Com pots comprovar el signe?

Moviment radial Relació entre força i desplaçament Treball gravitatori Canvi d’energia potencial
El cos s’apropa a MM Tenen el mateix sentit Wg>0W_{\mathrm g}>0 ΔU<0\Delta U<0
El cos s’allunya de MM Tenen sentits oposats Wg<0W_{\mathrm g}<0 ΔU>0\Delta U>0

Quan el cos cau cap a MM, la gravetat afavoreix el moviment i fa treball positiu. Com a conseqüència, l’energia potencial disminueix i, si només actua la gravetat, la cinètica augmenta.

Quan el cos s’allunya, la gravetat s’oposa al moviment i fa treball negatiu. Com a conseqüència, si no hi ha cap altra força que aporti energia, la cinètica disminueix mentre la potencial augmenta.

05

Treball extern per allunyar una massa lentament

Ara imagina que un dispositiu allunya la massa lentament, de manera que el canvi d’energia cinètica sigui negligible.

El teorema del treball i l’energia cinètica dona:

Wg+Wext=ΔK W_{\mathrm g}+W_{\mathrm{ext}}=\Delta K

Com que ΔK≈0\Delta K\approx0:

Wext≈−Wg W_{\mathrm{ext}}\approx-W_{\mathrm g}

Per tant:

Wext≈ΔU \boxed{W_{\mathrm{ext}}\approx\Delta U}

En el model ideal en què la cinètica no canvia, aquesta igualtat és exacta.

Com que en allunyar la massa augmenta l’energia potencial, el treball extern és positiu. El dispositiu aporta l’energia necessària per contrarestar la gravetat.

Exemple resolt: allunyar la massa de RR a 2R2R

Recuperem els valors de l’exemple anterior:

UA=−6,25⋅1010 J U_A=-6{,}25\cdot10^{10}\ \mathrm{J}
UB=−3,125⋅1010 J U_B=-3{,}125\cdot10^{10}\ \mathrm{J}

El canvi d’energia potencial és:

ΔU=UB−UA \Delta U=U_B-U_A
ΔU=−3,125⋅1010−(−6,25⋅1010)=3,125⋅1010 J \begin{aligned} \Delta U&=-3{,}125\cdot10^{10} -\left(-6{,}25\cdot10^{10}\right) \\ &=3{,}125\cdot10^{10}\ \mathrm{J} \end{aligned}

Per tant:

Wg=−3,125⋅1010 J \boxed{W_{\mathrm g}=-3{,}125\cdot10^{10}\ \mathrm{J}}
Wext=+3,125⋅1010 J \boxed{W_{\mathrm{ext}}=+3{,}125\cdot10^{10}\ \mathrm{J}}

Els signes són oposats perquè el treball extern compensa el treball negatiu de la gravetat i manté la cinètica constant.

Si l’allunyament lent fos des d’una distància rr fins a l’infinit:

Wext=U(∞)−U(r)=0−(−GMmr) W_{\mathrm{ext}}=U(\infty)-U(r) =0-\left(-\frac{GMm}{r}\right)
Wext=GMmr \boxed{W_{\mathrm{ext}}=\frac{GMm}{r}}

Això concreta el significat del signe negatiu de UU: aquesta és l’energia que cal aportar per arribar lentament fins al nivell U=0U=0.

06

Conservació de l’energia mecànica en moviments radials

L’energia mecànica és la suma de l’energia cinètica i la potencial:

Em=K+U E_{\mathrm m}=K+U

En el camp gravitatori d’una massa MM:

Em=12mv2−GMmr \boxed{E_{\mathrm m}=\frac12mv^2-\frac{GMm}{r}}

Si només actua la gravetat, l’energia mecànica es conserva:

12mvA2−GMmrA=12mvB2−GMmrB \boxed{ \frac12mv_A^2-\frac{GMm}{r_A} = \frac12mv_B^2-\frac{GMm}{r_B} }

Aquest model suposa que la massa MM es pot considerar fixa, com fem habitualment quan estudiem un cos de massa molt petita comparada amb la del planeta.

La massa mm apareix en tots els termes i es pot simplificar:

12vA2−GMrA=12vB2−GMrB \frac12v_A^2-\frac{GM}{r_A} = \frac12v_B^2-\frac{GM}{r_B}

Si aïllem la velocitat final:

vB2=vA2+2GM(1rB−1rA) \boxed{ v_B^2=v_A^2+2GM\left(\frac1{r_B}-\frac1{r_A}\right) }

Per què no cal suposar gg constant?

El camp varia amb la distància:

g(r)=GMr2 g(r)=\frac{GM}{r^2}

Si el cos canvia molt de distància al centre, també canvia el camp que experimenta. Per això no podem tractar tot el moviment com si tingués una acceleració gravitatòria constant.

L’expressió:

U=−GMmr U=-\frac{GMm}{r}

ja incorpora aquesta variació. Així podem calcular el canvi de velocitat sense fer servir una gg constant.

L’aproximació ΔU≈mg Δh\Delta U\approx mg\,\Delta h només és adequada prop de la superfície i per a canvis d’altura petits comparats amb el radi del planeta.

Exemple resolt: caiguda radial des de 2R2R fins a la superfície

Un cos parteix del repòs a una distància 2R2R del centre de la Terra i cau radialment fins a la superfície. Negligim la resistència de l’aire.

Dades:

rA=2R,vA=0,rB=R r_A=2R,\qquad v_A=0,\qquad r_B=R
GM=4,0⋅1014 m3/s2,R=6,4⋅106 m \begin{aligned} GM&=4{,}0\cdot10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}, \\ R&=6{,}4\cdot10^6\ \mathrm m \end{aligned}

Com que només actua la gravetat:

−GMm2R=12mvB2−GMmR -\frac{GMm}{2R} = \frac12mv_B^2-\frac{GMm}{R}

Simplifiquem mm i reordenem:

12vB2=GMR−GM2R=GM2R \frac12v_B^2 = \frac{GM}{R}-\frac{GM}{2R} = \frac{GM}{2R}

Per tant:

vB2=GMR v_B^2=\frac{GM}{R}
vB=4,0⋅10146,4⋅106=6,25⋅107 v_B=\sqrt{\frac{4{,}0\cdot10^{14}}{6{,}4\cdot10^6}} =\sqrt{6{,}25\cdot10^7}
vB≈7,91⋅103 m/s=7,91 km/s \boxed{v_B\approx7{,}91\cdot10^3\ \mathrm{m/s}=7{,}91\ \mathrm{km/s}}

Aquest resultat és el mòdul de la velocitat. El moviment té direcció radial i sentit cap al centre.

Interpretació: el cos s’apropa a la Terra, de manera que la seva energia potencial es fa més negativa. Com que l’energia mecànica es conserva, aquesta disminució d’energia potencial es transforma en un augment de cinètica.

Si el moviment radial és cap enfora

Si el cos es llança cap enfora i després arriba a un punt on s’atura momentàniament, en aquell punt:

vB=0 v_B=0

La conservació de l’energia queda:

12vA2−GMrA=−GMrB \frac12v_A^2-\frac{GM}{r_A} =-\frac{GM}{r_B}

D’aquí:

1rB=1rA−vA22GM \boxed{\frac1{r_B}=\frac1{r_A}-\frac{v_A^2}{2GM}}

Si el punt inicial és la superfície, l’altura màxima és:

hmax⁡=rB−R \boxed{h_{\max}=r_B-R}

Aquesta expressió dona un punt d’aturada a distància finita només si el terme de la dreta és positiu.

07

Què has de comprovar en un problema

Abans de substituir nombres, revisa aquests punts:

  • Distàncies: totes les rr es mesuren des del centre. Si tens una altura, fes r=R+hr=R+h.
  • Referència: amb el zero a l’infinit, VV i UU són negatius a distància finita.
  • Canvis: ΔU\Delta U vol dir sempre UB−UAU_B-U_A, amb AA inicial i BB final.
  • Treball: identifica qui el fa. El treball gravitatori és −ΔU-\Delta U; el treball extern és ΔU\Delta U si la cinètica no canvia.
  • Superposició: els potencials se sumen com a escalars; els camps, com a vectors.
  • Energia: si només actua la gravetat, conserva K+UK+U. Si hi ha treball extern, l’energia mecànica pot canviar.
  • Coherència física: si només actua la gravetat d’una massa central, en una caiguda radial la rapidesa augmenta; en un moviment radial cap enfora, disminueix.

Les quatre relacions que connecten tot el tema són:

V=−GMr,U=mV,Wg=−ΔU,KA+UA=KB+UB \boxed{\begin{aligned} V&=-\frac{GM}{r}, & U&=mV, \\ W_{\mathrm g}&=-\Delta U, & K_A+U_A&=K_B+U_B \end{aligned}}

El potencial descriu el punt del camp; l’energia potencial incorpora la massa que hi poses; el canvi d’energia potencial determina el treball gravitatori; i, si només actua la gravetat, aquest treball explica el canvi d’energia cinètica.

Practica

Posa’t a prova

Tres exercicis resolts pas a pas, de menys a més difícils. Intenta’ls abans d’obrir la solució.

Bàsic

1Potencial i energia potencial: què vol dir «augmentar»?

Per a aquest exercici, fes servir:

GMT=4,00⋅1014 m3/s2,RT=6,40⋅106 m. \begin{aligned} GM_{\mathrm T}&=4{,}00\cdot10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}, \\ R_{\mathrm T}&=6{,}40\cdot10^6\ \mathrm m. \end{aligned}

Un cos de massa m=800 kgm=800\ \mathrm{kg} es troba inicialment a la superfície terrestre, al punt AA. Després es trasllada al punt BB, situat a una altura h=RTh=R_{\mathrm T} sobre la superfície.

  1. a
    Escriu les distàncies rAr_A i rBr_B al centre de la Terra.
  1. b
    Calcula VAV_A i VBV_B. Quin potencial és més gran?
  1. c
    Calcula UAU_A, UBU_B i ΔU=UB−UA\Delta U=U_B-U_A.
  1. d
    Explica per què UAU_A és negativa i calcula el treball extern necessari per portar el cos lentament des d’AA fins a l’infinit.
  1. e
    Si la massa del cos fos el doble, quins dels resultats anteriors canviarien? Explica’n la causa.
Mostra la solució

a) Distàncies al centre

rA=RT=6,40⋅106 m \boxed{r_A=R_{\mathrm T}=6{,}40\cdot10^6\ \mathrm m}
rB=RT+h=2RT. r_B=R_{\mathrm T}+h=2R_{\mathrm T}.
rB=1,28⋅107 m \boxed{r_B=1{,}28\cdot10^7\ \mathrm m}

b) Potencials

VA=−4,00⋅10146,40⋅106=−6,25⋅107 J/kg. V_A=-\frac{4{,}00\cdot10^{14}}{6{,}40\cdot10^6} =\boxed{-6{,}25\cdot10^7\ \mathrm{J/kg}}.
VB=−4,00⋅10141,28⋅107=−3,13⋅107 J/kg. V_B=-\frac{4{,}00\cdot10^{14}}{1{,}28\cdot10^7} =\boxed{-3{,}13\cdot10^7\ \mathrm{J/kg}}.
VB>VA \boxed{V_B>V_A}

El potencial augmenta en allunyar-se perquè es fa menys negatiu.

c) Energies potencials

UA=mVA=800(−6,25⋅107). U_A=mV_A=800(-6{,}25\cdot10^7).
UA=−5,00⋅1010 J \boxed{U_A=-5{,}00\cdot10^{10}\ \mathrm J}
UB=800(−3,125⋅107). U_B=800(-3{,}125\cdot10^7).
UB=−2,50⋅1010 J \boxed{U_B=-2{,}50\cdot10^{10}\ \mathrm J}

Per tant:

ΔU=UB−UA=−2,50⋅1010−(−5,00⋅1010). \Delta U=U_B-U_A =-2{,}50\cdot10^{10}-(-5{,}00\cdot10^{10}).
ΔU=+2,50⋅1010 J \boxed{\Delta U=+2{,}50\cdot10^{10}\ \mathrm J}

d) Signe negatiu i trasllat fins a l’infinit

Hem triat U(∞)=0U(\infty)=0. Com que cal aportar energia per allunyar lentament el cos fins a l’infinit, l’energia potencial inicial és inferior a aquest zero.

En el trasllat lent:

Wext=ΔU=0−UA. W_{\mathrm{ext}}=\Delta U=0-U_A.
Wext=+5,00⋅1010 J \boxed{W_{\mathrm{ext}}=+5{,}00\cdot10^{10}\ \mathrm J}

e) Duplicar la massa

Les distàncies i els potencials no canvien: no depenen de la massa del cos de prova.

En canvi, U=mVU=mV. Per això es dupliquen:

  • UAU_A i UBU_B, que es fan el doble de negatius.
  • ΔU\Delta U.
  • El treball extern fins a l’infinit.

Intermedi

2Caiguda radial des d’una gran altura

Un cos de 10 kg10\ \mathrm{kg} es deixa anar des del repòs a una distància 3RT3R_{\mathrm T} del centre de la Terra. Cau radialment fins a la superfície.

Fes servir les dades terrestres de l’exercici 2.

  1. a
    Calcula l’energia mecànica inicial.
  1. b
    Calcula la rapidesa quan el cos es troba a una distància 2RT2R_{\mathrm T} del centre.
  1. c
    Calcula la rapidesa just abans d’arribar a la superfície.
  1. d
    Calcula el treball gravitatori durant tota la caiguda i comprova que coincideix amb el canvi d’energia cinètica.
  1. e
    Si la massa fos de 20 kg20\ \mathrm{kg}, canviaria la rapidesa d’arribada? I el treball gravitatori? Justifica-ho amb les expressions que has fet servir.
Mostra la solució

a) Energia mecànica inicial

Inicialment el cos està en repòs:

KA=0. K_A=0.
Em=UA=−GMTm3RT. E_{\mathrm m}=U_A =-\frac{GM_{\mathrm T}m}{3R_{\mathrm T}}.
Em=−2,08⋅108 J \boxed{E_{\mathrm m}=-2{,}08\cdot10^8\ \mathrm J}

b) Rapidesa a 2RT2R_{\mathrm T}

Conservem l’energia:

−GMTm3RT=12mv2−GMTm2RT. -\frac{GM_{\mathrm T}m}{3R_{\mathrm T}} = \frac12mv^2-\frac{GM_{\mathrm T}m}{2R_{\mathrm T}}.

Simplifiquem mm i aïllem v2v^2:

v2=2GMT(12RT−13RT)=GMT3RT. \begin{aligned} v^2&=2GM_{\mathrm T} \left(\frac1{2R_{\mathrm T}}-\frac1{3R_{\mathrm T}}\right) \\ &=\frac{GM_{\mathrm T}}{3R_{\mathrm T}}. \end{aligned}
v=4,56⋅103 m/s \boxed{v=4{,}56\cdot10^3\ \mathrm{m/s}}

c) Rapidesa a la superfície

v2=2GMT(1RT−13RT)=4GMT3RT. \begin{aligned} v^2&=2GM_{\mathrm T} \left(\frac1{R_{\mathrm T}}-\frac1{3R_{\mathrm T}}\right) \\ &=\frac{4GM_{\mathrm T}}{3R_{\mathrm T}}. \end{aligned}
v=9,13⋅103 m/s \boxed{v=9{,}13\cdot10^3\ \mathrm{m/s}}

La rapidesa ha augmentat perquè, en apropar-se a la Terra, disminueix l’energia potencial i augmenta la cinètica.

d) Treball gravitatori

A la superfície:

UB=−GMTmRT=−6,25⋅108 J. U_B=-\frac{GM_{\mathrm T}m}{R_{\mathrm T}} =-6{,}25\cdot10^8\ \mathrm J.
Wg=UA−UB. W_{\mathrm g}=U_A-U_B.
Wg=+4,17⋅108 J \boxed{W_{\mathrm g}=+4{,}17\cdot10^8\ \mathrm J}

La cinètica final és:

KB=12mv2=4,17⋅108 J. K_B=\frac12mv^2=4{,}17\cdot10^8\ \mathrm J.

Com que KA=0K_A=0:

ΔK=Wg \boxed{\Delta K=W_{\mathrm g}}

e) Canviar la massa

La rapidesa no canvia perquè mm es cancel·la en l’equació de conservació de l’energia.

El treball sí que es duplica perquè les energies potencials són proporcionals a mm:

Wg=8,33⋅108 J \boxed{W_{\mathrm g}=8{,}33\cdot10^8\ \mathrm J}

per a una massa de 20 kg20\ \mathrm{kg}.

Tipus PAU

3Tipus PAU: dues masses, simetria i treball

Dues masses puntuals fixes, totes dues de valor:

M=6,00⋅1011 kg, M=6{,}00\cdot10^{11}\ \mathrm{kg},

estan situades als punts (−a,0)(-a,0) i (a,0)(a,0), amb:

a=2,00⋅103 m. a=2{,}00\cdot10^3\ \mathrm m.

Considera l’origen O=(0,0)O=(0,0) i el punt P=(0,a)P=(0,a).

  1. a
    Calcula el camp gravitatori resultant a OO i a PP. Expressa el resultat a PP mitjançant components i indica’n la direcció i el sentit.
  1. b
    Calcula el potencial gravitatori a OO i a PP. Explica per què la cancel·lació del camp a l’origen no implica la cancel·lació del potencial.
  1. c
    Una massa de prova de 50,0 kg50{,}0\ \mathrm{kg} es trasllada lentament de PP a OO. Calcula el treball gravitatori i el treball extern.
  1. d
    En una situació diferent, la mateixa massa es deixa anar des del repòs a PP, sense cap dispositiu exterior. Calcula la rapidesa amb què arriba a OO.
  1. e
    En arribar a OO, el camp resultant és zero. El cos s’hi atura? Explica-ho distingint entre força, acceleració i velocitat.
Mostra la solució

Per a cadascuna de les masses:

GM=(6,67⋅10−11)(6,00⋅1011)=40,02 m3/s2. GM=(6{,}67\cdot10^{-11})(6{,}00\cdot10^{11}) =40{,}02\ \mathrm{m^3/s^2}.

a) Camps a OO i a PP

A l’origen, les masses són a la mateixa distància i en sentits oposats. Per tant:

g⃗O=0⃗ \boxed{\vec g_O=\vec 0}

A PP, la distància a cada massa és:

r=a2+a2=a2. r=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt2.

El mòdul de cada contribució és:

g1=g2=GM2a2. g_1=g_2=\frac{GM}{2a^2}.

Les components horitzontals es cancel·len. Les verticals apunten totes dues cap avall:

gPy=−2GM2a212=−GM2 a2. g_{Py} =-2\frac{GM}{2a^2}\frac1{\sqrt2} =-\frac{GM}{\sqrt2\,a^2}.
gPy=−40,022(2,00⋅103)2. g_{Py} =-\frac{40{,}02}{\sqrt2(2{,}00\cdot10^3)^2}.
g⃗P=(0, −7,07⋅10−6) N/kg \boxed{\vec g_P=(0,\,-7{,}07\cdot10^{-6})\ \mathrm{N/kg}}

La direcció és l’eix yy, i el sentit és cap a l’origen.

b) Potencials

A l’origen:

VO=−GMa−GMa=−2GMa. V_O=-\frac{GM}{a}-\frac{GM}{a} =-\frac{2GM}{a}.
VO=−4,00⋅10−2 J/kg \boxed{V_O=-4{,}00\cdot10^{-2}\ \mathrm{J/kg}}

A PP:

VP=−2GMa2. V_P=-\frac{2GM}{a\sqrt2}.
VP=−2,83⋅10−2 J/kg \boxed{V_P=-2{,}83\cdot10^{-2}\ \mathrm{J/kg}}

El camp a OO es cancel·la perquè les contribucions vectorials tenen sentits oposats. El potencial no es cancel·la perquè les dues contribucions escalars són negatives.

c) Trasllat lent de PP a OO

Wg=m(VP−VO). W_{\mathrm g}=m(V_P-V_O).

Amb més decimals:

Wg=50,0[−0,0282984−(−0,04002)]. W_{\mathrm g} =50{,}0[-0{,}0282984-(-0{,}04002)].
Wg=+0,586 J \boxed{W_{\mathrm g}=+0{,}586\ \mathrm J}

Com que no canvia la cinètica:

Wext=−0,586 J \boxed{W_{\mathrm{ext}}=-0{,}586\ \mathrm J}

El dispositiu retira l’energia que la gravetat aportaria a la cinètica.

d) Caiguda lliure des de PP

Per simetria, la força no té component horitzontal sobre l’eix yy. Si el cos parteix del repòs a PP, es mou per aquest eix cap a OO.

Conservem l’energia:

mVP=12mvO2+mVO. mV_P=\frac12mv_O^2+mV_O.

Simplifiquem mm:

vO=2(VP−VO). v_O=\sqrt{2(V_P-V_O)}.
vO=0,153 m/s \boxed{v_O=0{,}153\ \mathrm{m/s}}

e) El cos s’atura a l’origen?

No. En arribar a OO:

  • El camp és zero.
  • La força gravitatòria resultant és zero.
  • L’acceleració instantània és zero.
  • La velocitat no és zero: el cos arriba amb una rapidesa de 0,153 m/s0{,}153\ \mathrm{m/s}.

Una força nul·la no elimina una velocitat que el cos ja té. Per això el cos travessa l’origen. Quan passa a l’altre costat, la força apunta de nou cap a l’origen i frena el moviment.