Distribuciones bidimensionales, regresión y probabilidad

Una variable es una característica que observamos, como la altura, la nota de un examen o el medio de transporte que utiliza una persona.

Una distribución bidimensional recoge dos variables de cada individuo. Por ejemplo, de cada alumno podemos observar:

• si ha seguido una pauta de estudio;
• si ha aprobado un examen.

1.1. Leer una tabla de doble entrada

Considera estos datos de 20 alumnos:

Cada casilla interior combina las dos variables. Por ejemplo, el 8 indica que 8 alumnos han seguido la pauta y han aprobado.

Los números de la tabla son frecuencias absolutas: indican cuántos individuos hay en cada situación.

La frecuencia relativa es la proporción respecto al total que estamos considerando:

Aquí, $n$ es la frecuencia absoluta y $N$, el número de individuos del grupo de referencia.

El denominador depende de la pregunta. Esta es la clave para distinguir las distribuciones conjuntas, marginales y condicionadas.

1.2. Distribución conjunta: combinar las dos variables

La distribución conjunta describe las combinaciones de las dos variables.

Por ejemplo, la proporción de alumnos que han seguido la pauta y han aprobado es:

Dividimos entre 20 porque consideramos todo el grupo.

La tabla de frecuencias relativas conjuntas es:

Las cuatro casillas interiores suman 1, porque entre todas incluyen al grupo entero.

1.3. Distribuciones marginales: mirar una sola variable

Una distribución marginal describe una variable sin distinguir los valores de la otra. Se obtiene con los totales de las filas o de las columnas.

En el ejemplo:

• Han seguido la pauta: $10/20=50\%$.
• No la han seguido: $10/20=50\%$.
• Han aprobado: $12/20=60\%$.
• No han aprobado: $8/20=40\%$.

Se llaman marginales porque se leen en los márgenes de la tabla.

1.4. Distribuciones condicionadas: restringir el grupo

Una distribución condicionada describe una variable dentro de un grupo que cumple una condición.

Por ejemplo:

De los alumnos que han seguido la pauta, ¿qué proporción ha aprobado?

Ahora el grupo de referencia tiene 10 alumnos, no 20. Por tanto:

En cambio, entre los que no han seguido la pauta:

También podemos invertir la pregunta:

De los alumnos que han aprobado, ¿qué proporción había seguido la pauta?

Como hay 12 aprobados:

Cambiar la condición cambia el denominador y, por tanto, puede cambiar el resultado. No es lo mismo “aprobar entre los que han seguido la pauta” que “haber seguido la pauta entre los aprobados”.

1.5. Comparar frecuencias relativas para estudiar la dependencia

Dos variables son independientes si conocer el valor de una no cambia la distribución de la otra.

En esta tabla, la proporción de aprobados entre los que siguen la pauta es 80%, y entre los que no la siguen es 40%.

Como las proporciones son diferentes, las variables muestran dependencia en estos datos.

Hay que comparar proporciones, no solo cantidades. Si un grupo es mucho más grande, puede tener más aprobados simplemente porque tiene más alumnos.

Esta dependencia no demuestra por sí sola que seguir la pauta sea la causa del aprobado. También pueden influir los conocimientos previos, la asistencia u otros factores. Además, una muestra pequeña puede presentar diferencias por azar.

Cuando las dos variables son numéricas, cada observación se representa con un punto:

Por ejemplo, $x_i$ puede ser el número de horas de estudio de un alumno e $y_i$, su nota.

El conjunto de puntos forma una nube de puntos o diagrama de dispersión.

2.1. ¿Qué debes mirar en una nube de puntos?

Fíjate en cuatro aspectos:

• Si $x$ aumenta e $y$ tiende a aumentar, la relación es positiva.
• Si $x$ aumenta e $y$ tiende a disminuir, es negativa.
• Si no hay una tendencia clara, puede no haber una relación apreciable.

Un valor atípico puede alterar mucho los cálculos. Por eso, conviene mirar el gráfico antes de interpretar una correlación o una regresión.

2.2. El coeficiente de correlación lineal

El coeficiente de correlación lineal de Pearson, que escribimos $r$, mide la dirección y la fuerza de la relación lineal:

Si ambas variables son no constantes y todos los puntos están exactamente sobre una recta, $r$ es $1$ o $-1$.

Una fórmula para calcularlo es:

Aquí, $\bar x$ y $\bar y$ son las medias de las dos variables. Puedes obtener $r$ con una calculadora o una hoja de cálculo, pero debes saber interpretarlo.

Dos precauciones importantes:

• Un valor cercano a cero no descarta una relación curva. Por ejemplo, unos puntos pueden seguir una parábola y tener poca correlación lineal.
• Un valor cercano a $1$ o a $-1$ no prueba una relación de causa y efecto.

Si una de las variables es constante, el denominador de la fórmula es cero y $r$ no está definido.

2.3. Correlación no es causalidad

Dos fenómenos pueden variar a la vez porque un tercer factor afecta a ambos.

Por ejemplo, en verano pueden aumentar tanto las ventas de helados como la asistencia a las piscinas. El calor puede favorecer ambos aumentos; por eso aparece una correlación. No podemos concluir que comprar helados provoque ir a la piscina.

La correlación describe una asociación. Para establecer una causa, hace falta más información.

La regresión busca una función que resuma la relación entre las variables y permita estimar valores.

La variable $x$ es la que utilizamos para estimar $y$. El valor estimado se escribe $\hat y$.

3.1. Ajuste lineal

Una recta de regresión tiene la forma:

• $a$ es la pendiente: indica cuánto cambia la estimación de $y$ cuando $x$ aumenta una unidad.
• $b$ es la estimación de $y$ cuando $x=0$, siempre que este valor tenga sentido en el contexto.

Por ejemplo, si un ajuste entre horas de estudio y nota es:

para $x=4$ horas obtenemos:

El modelo estima una nota de 6,2. No garantiza esta nota, porque los alumnos pueden tener resultados diferentes aunque estudien las mismas horas.

La recta de regresión habitual se calcula con el método de los mínimos cuadrados: elige la recta que hace mínima la suma de los cuadrados de los errores verticales.

3.2. Residuos: comparar el valor real con el estimado

El residuo es:

• Si el residuo es positivo, el valor observado queda por encima del modelo.
• Si es negativo, queda por debajo.
• Si es cero, el modelo coincide con la observación.

Por ejemplo, si la nota real es 7 y el modelo estima 6,2:

El modelo ha estimado una nota 0,8 puntos inferior a la real.

No basta con sumar los residuos, porque los positivos y los negativos se pueden compensar. Una medida útil es la suma de los cuadrados de los residuos:

Al comparar modelos sobre los mismos datos, un valor más pequeño de $S$ indica un ajuste más cercano a las observaciones.

3.3. Comparar un ajuste lineal y uno cuadrático

Un modelo cuadrático tiene la forma:

Considera estos datos simplificados de tiempo y posición:

Con una calculadora o una hoja de cálculo, obtenemos:

• Ajuste lineal: $\hat y=4x-1$.
• Ajuste cuadrático: $\hat y=x^2+1$.

Comparemos los residuos:

Para el modelo lineal:

Para el modelo cuadrático:

En estos datos, el modelo cuadrático se ajusta mejor, porque coincide con todas las observaciones.

Además, los residuos de la recta son positivos en los extremos y negativos en el centro. Este patrón indica que la recta no recoge bien la curvatura.

La correlación lineal de estos datos es aproximadamente $r=0,959$. Es elevada, pero la parábola se ajusta mejor. Por eso, un valor alto de $r$ no sustituye al análisis del gráfico y de los residuos.

3.4. Cómo hacer la comparación con tecnología

Con una calculadora o una hoja de cálculo:

1. Introduce los datos emparejados en dos columnas, $x$ e $y$.
2. Representa la nube de puntos.
3. Calcula los ajustes lineal y cuadrático.
4. Obtén las predicciones de cada modelo.
5. Calcula los residuos y la suma de sus cuadrados.
6. Comprueba si los residuos muestran algún patrón.

Un modelo cuadrático tiene más flexibilidad que una recta. Por eso, puede reducir el error sin que sus predicciones futuras sean necesariamente mejores. Hay que valorar también si el modelo tiene sentido en el problema.

3.5. Límites de las predicciones

• Interpolar es estimar dentro del intervalo de valores observados.
• Extrapolar es estimar fuera de este intervalo.

En el ejemplo anterior, estimar la posición a $x=2,5$ segundos es interpolar. Estimarla a $x=20$ segundos es extrapolar.

Extrapolar es más arriesgado porque no tenemos datos que confirmen que la misma tendencia continúa. Aunque un modelo se ajuste perfectamente a los valores conocidos, el movimiento podría cambiar después.

También debes comprobar los límites del contexto: una estimación de nota superior a 10, por ejemplo, no es válida si la nota máxima es 10.

Un experimento aleatorio es una acción cuyo resultado no conocemos con certeza antes de realizarla, como lanzar un dado.

• El espacio muestral, $\Omega$, es el conjunto de resultados posibles.
• Un suceso es un conjunto de resultados.

En un dado:

El suceso “obtener un número par” es:

La probabilidad siempre cumple:

Una probabilidad de 0 corresponde a un suceso imposible; una de 1, a un suceso seguro.

4.1. Probabilidad a partir de frecuencias relativas

Si repetimos un experimento muchas veces, podemos estimar una probabilidad con:

Aquí, $n_A$ es el número de veces que ha ocurrido $A$ y $N$, el número de repeticiones.

Si una chincheta cae con la punta hacia arriba 124 veces en 200 lanzamientos, llamamos $U$ a este suceso:

Es una estimación, no un valor exacto. En general, disponer de más repeticiones ayuda a reducir las fluctuaciones de la frecuencia relativa.

4.2. Regla de Laplace

Si todos los resultados elementales son equiprobables, es decir, tienen la misma probabilidad:

Aquí, $n_A$ es el número de casos favorables y $n_\Omega$, el número total de casos posibles.

En un dado equilibrado:

La condición de equiprobabilidad es imprescindible. Una chincheta tiene dos tipos de resultado, pero eso no implica que cada uno tenga probabilidad $1/2$: su forma puede favorecer a uno.

4.3. Complemento, unión e intersección

El complementario de $A$, escrito $A^c$, es el suceso “no ocurre $A$”:

La unión $A\cup B$ significa “ocurre $A$, ocurre $B$, u ocurren ambos”.

La intersección $A\cap B$ significa “ocurren ambos”.

Restamos la intersección porque, al sumar $P(A)$ y $P(B)$, la hemos contado dos veces.

Ejemplo. En un dado, sea $A=$ “número par” y $B=$ “número mayor que 4”. Entonces:

Si dos sucesos no pueden ocurrir a la vez, son incompatibles y su intersección es vacía.

4.4. Probabilidad condicionada e independencia

La probabilidad de $A$ sabiendo que ha ocurrido $B$ es:

La condición restringe el conjunto de resultados que consideramos.

Volviendo a la tabla de los alumnos, llamamos $A$ al suceso «aprobar» y $S$ al suceso «seguir la pauta»:

Dos sucesos son independientes si saber que ha ocurrido uno no cambia la probabilidad del otro. En este caso:

No confundas independencia con incompatibilidad:

• Independientes: uno no modifica la probabilidad del otro.
• Incompatibles: no pueden ocurrir a la vez.

5.1. Árbol de probabilidades: cuando hay etapas

Un árbol es útil cuando el experimento tiene pasos sucesivos, sobre todo si las probabilidades cambian.

Ejemplo resuelto. Una bolsa contiene 3 bolas rojas y 2 azules. Sacamos dos sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean rojas?

• La probabilidad de que la primera sea roja es $3/5$.
• Si la primera es roja, quedan 2 rojas entre 4 bolas. Por tanto, la probabilidad de que la segunda también lo sea es $2/4$.

Multiplicamos las probabilidades de este camino:

Como no devolvemos la primera bola, la composición de la bolsa cambia; por eso cambia la probabilidad de la segunda extracción.

Si queremos una bola de cada color, hay dos caminos: roja-azul y azul-roja.

En un árbol:

• Multiplica a lo largo de un camino.
• Suma los caminos diferentes que dan el resultado buscado.

5.2. Principio multiplicativo: contar decisiones sucesivas

Si una elección se hace en etapas, multiplicamos el número de opciones de cada etapa.

Por ejemplo, con 3 camisetas y 2 pantalones podemos formar:

conjuntos diferentes.

Este principio también sirve para contar códigos.

Código de tres cifras, del 0 al 9, con repetición:

Código de tres cifras sin repetición:

En el segundo caso, cada cifra utilizada deja de estar disponible; por eso disminuyen las opciones.

Aquí hablamos de códigos, que pueden empezar por cero. Si fueran números de tres cifras, la primera no podría ser cero y el recuento sería diferente.

5.3. Combinaciones: elegir sin tener en cuenta el orden

Si elegimos $k$ elementos diferentes de un conjunto de $n$, sin repetición y sin importar el orden, utilizamos:

El símbolo $n!$, llamado factorial, significa:

Por ejemplo, elegir 2 personas de un grupo de 5 da:

No distinguimos “Anna y Biel” de “Biel y Anna”, porque forman el mismo grupo.

5.4. El mismo problema de probabilidad, resuelto con combinaciones

En la bolsa con 3 bolas rojas y 2 azules:

• Parejas posibles de bolas: $\binom52=10$.
• Parejas formadas solo por bolas rojas: $\binom32=3$.

Si en cada extracción todas las bolas que quedan tienen la misma probabilidad de ser extraídas, las parejas de bolas también son equiprobables. Llamamos $R_2$ al suceso «dos rojas». Por Laplace:

Obtenemos el mismo resultado que con el árbol.

5.5. Cómo decidir qué debes hacer

Antes de contar, pregúntate:

1. ¿Importa el orden?
   Un código 123 es diferente de 321. En cambio, una pareja de alumnos es la misma independientemente del orden de los nombres.

2. ¿Se pueden repetir los elementos?
   En un código puede estar permitido repetir cifras. Al elegir personas para un grupo, no puedes elegir dos veces a la misma persona.

3. ¿Hay etapas con probabilidades que cambian?
   Si las hay, un árbol suele ayudar.

Si no importa el orden pero sí se permite repetir, las combinaciones ordinarias no sirven. Para contar selecciones de $k$ elementos entre $n$ tipos con repetición, la fórmula es $\binom{n+k-1}{k}$. Ahora bien, estas selecciones no son necesariamente equiprobables: poder contarlas no basta para aplicar Laplace.

Cuando resuelvas un problema, haz estas comprobaciones:

• Tablas: las frecuencias conjuntas relativas suman 1. En una distribución condicionada, has dividido por el total del grupo condicionante.
• Dependencia: has comparado proporciones, no solo números de individuos.
• Correlación: el signo de $r$ concuerda con la dirección de la nube de puntos. No has presentado la asociación como una causa demostrada.
• Regresión: has mirado los residuos y has comprobado si estás interpolando o extrapolando.
• Probabilidad: el resultado está entre 0 y 1. Si has aplicado Laplace, los casos contados son equiprobables.
• Recuento: has aclarado si el orden importa y si puede haber repetición.

La pregunta que más te ayudará es: “¿Qué conjunto estoy considerando?” En una tabla te permite elegir el denominador; en probabilidad te permite identificar los casos posibles; y en regresión te recuerda hasta dónde los datos respaldan una predicción.