Matemàtiques I · 1r de Batxillerat

Distribucions bidimensionals, regressió i probabilitat

Com llegir una taula de dues variables, què mesura el coeficient de correlació, com triar entre una recta i una paràbola i com calcular probabilitats amb arbres i combinacions. Llegeix cada apartat i juga amb la figura del costat.

15 min de lectura
6 figures interactives
3 exercicis resolts

llegeix i juga!

Fins ara has treballat amb punts, rectes i dades. Ara faràs servir aquestes idees per respondre tres preguntes:

Com es relacionen dues variables? Ho estudiaràs amb taules i núvols de punts.
Com podem estimar un valor a partir d’un altre? Ho faràs amb la regressió.
Com podem calcular la possibilitat que passi un fet? Ho faràs amb la probabilitat i el recompte.

La idea central és aquesta: primer has d’entendre què representen les dades o els resultats possibles; després pots triar el càlcul adequat.

Abans de començar…

Els gelats fan anar a la piscina?

Si apuntem cada mes quants gelats es venen i quanta gent va a la piscina, veurem que les dues coses pugen i baixen alhora. Al núvol de punts, la correlació és altíssima.

Vol dir que menjar gelats fa anar a la piscina? No. Totes dues coses depenen d’una tercera: la calor. Una correlació descriu una associació, però no demostra cap causa.

Mira el vídeo i després tria una temperatura: entre els dies igual de calorosos, què queda de la correlació?

Mira-ho en 42 segons

Ara prova-ho tu:

Dades inventades per a l’exemple: 28 dies, 4 per a cada temperatura. Dins de cada temperatura, les dues variables tenen r = 0.

Distribucions bidimensionals: estudiar dues variables alhora

Una variable és una característica que observem, com ara l’alçada, la nota d’un examen o el mitjà de transport que utilitza una persona.

Una distribució bidimensional recull dues variables de cada individu. Per exemple, de cada alumne podem observar:

si ha seguit una pauta d’estudi;
si ha aprovat un examen.

1.1. Llegir una taula de doble entrada

Considera aquestes dades de 20 alumnes:

Pauta d’estudi	Aprova	No aprova	Total
Ha seguit la pauta	8	2	10
No ha seguit la pauta	4	6	10
Total	12	8	20

Cada casella interior combina les dues variables. Per exemple, el 8 indica que 8 alumnes han seguit la pauta i han aprovat.

Els nombres de la taula són freqüències absolutes: indiquen quants individus hi ha en cada situació.

La freqüència relativa és la proporció respecte del total que estem considerant:

f=\frac nN

Aquí, $n$ és la freqüència absoluta i $N$ , el nombre d’individus del grup de referència.

El denominador depèn de la pregunta. Aquesta és la clau per distingir les distribucions conjuntes, marginals i condicionades.

1.2. Distribució conjunta: combinar les dues variables

La distribució conjunta descriu les combinacions de les dues variables.

Per exemple, la proporció d’alumnes que han seguit la pauta i han aprovat és:

\frac{8}{20}=0,40=40\%

Dividim entre 20 perquè considerem tot el grup.

La taula de freqüències relatives conjuntes és:

Pauta d’estudi	Aprova	No aprova	Total
Ha seguit la pauta	0,40	0,10	0,50
No ha seguit la pauta	0,20	0,30	0,50
Total	0,60	0,40	1

Les quatre caselles interiors sumen 1, perquè entre totes inclouen el grup sencer.

1.3. Distribucions marginals: mirar una sola variable

Una distribució marginal descriu una variable sense distingir els valors de l’altra. S’obté amb els totals de les files o de les columnes.

En l’exemple:

Han seguit la pauta: $10/20=50\%$ .
No l’han seguida: $10/20=50\%$ .
Han aprovat: $12/20=60\%$ .
No han aprovat: $8/20=40\%$ .

S’anomenen marginals perquè es llegeixen als marges de la taula.

1.4. Distribucions condicionades: restringir el grup

Una distribució condicionada descriu una variable dins d’un grup que compleix una condició.

Per exemple:

Dels alumnes que han seguit la pauta, quina proporció ha aprovat?

Ara el grup de referència té 10 alumnes, no 20. Per tant:

\frac{8}{10}=0,80=80\%

En canvi, entre els que no han seguit la pauta:

\frac{4}{10}=0,40=40\%

També podem invertir la pregunta:

Dels alumnes que han aprovat, quina proporció havia seguit la pauta?

Com que hi ha 12 aprovats:

\frac{8}{12}=\frac23\approx66,7\%

Canviar la condició canvia el denominador i, per tant, pot canviar el resultat. No és el mateix “aprovar entre els que han seguit la pauta” que “haver seguit la pauta entre els aprovats”.

1.5. Comparar freqüències relatives per estudiar la dependència

Dues variables són independents si conèixer el valor d’una no canvia la distribució de l’altra.

En aquesta taula, la proporció d’aprovats entre els que segueixen la pauta és 80%, i entre els que no la segueixen és 40%.

Com que les proporcions són diferents, les variables mostren dependència en aquestes dades.

Cal comparar proporcions, no només quantitats. Si un grup és molt més gran, pot tenir més aprovats simplement perquè té més alumnes.

Aquesta dependència no demostra per si sola que seguir la pauta sigui la causa de l’aprovat. També hi poden influir els coneixements previs, l’assistència o altres factors. A més, una mostra petita pot presentar diferències per atzar.

Núvol de punts i correlació

Quan les dues variables són numèriques, cada observació es representa amb un punt:

(x_i,y_i)

Per exemple, $x_i$ pot ser el nombre d’hores d’estudi d’un alumne i $y_i$ , la seva nota.

El conjunt de punts forma un núvol de punts o diagrama de dispersió.

2.1. Què has de mirar en un núvol de punts?

Fixa’t en quatre aspectes:

Aspecte	Pregunta que t’has de fer
Direcció	Quan $x$ augmenta, $y$ tendeix a augmentar o a disminuir?
Forma	Els punts segueixen aproximadament una recta o una corba?
Dispersió	Els punts queden a prop d’aquesta forma o molt escampats?
Valors atípics	Hi ha algun punt molt separat dels altres?

Si $x$ augmenta i $y$ tendeix a augmentar, la relació és positiva.
Si $x$ augmenta i $y$ tendeix a disminuir, és negativa.
Si no hi ha una tendència clara, pot no haver-hi una relació apreciable.

Un valor atípic pot alterar molt els càlculs. Per això, convé mirar el gràfic abans d’interpretar una correlació o una regressió.

2.2. El coeficient de correlació lineal

El coeficient de correlació lineal de Pearson, que escrivim $r$ , mesura la direcció i la força de la relació lineal:

-1\leq r\leq1

Valor de $r$	Interpretació
Proper a $1$	Relació lineal positiva forta
Proper a $-1$	Relació lineal negativa forta
Proper a $0$	Relació lineal feble o absent

Si totes dues variables són no constants i tots els punts estan exactament sobre una recta, $r$ és $1$ o $-1$ .

Una fórmula per calcular-lo és:

r= \frac{\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)} {\sqrt{\sum (x_i-\bar x)^2\sum (y_i-\bar y)^2}}

Aquí, $\bar x$ i $\bar y$ són les mitjanes de les dues variables. Pots obtenir $r$ amb una calculadora o un full de càlcul, però has de saber interpretar-lo.

Dues precaucions importants:

Un valor proper a zero no descarta una relació corba. Per exemple, uns punts poden seguir una paràbola i tenir poca correlació lineal.
Un valor proper a $1$ o a $-1$ no prova una relació de causa i efecte.

Si una de les variables és constant, el denominador de la fórmula és zero i $r$ no està definit.

2.3. Correlació no és causalitat

Dos fenòmens poden variar alhora perquè un tercer factor afecta tots dos.

Per exemple, a l’estiu poden augmentar tant les vendes de gelats com l’assistència a les piscines. La calor pot afavorir tots dos augments; per això apareix una correlació. No podem concloure que comprar gelats provoqui anar a la piscina.

La correlació descriu una associació. Per establir una causa, cal més informació.

Regressió: ajustar un model a les dades

La regressió busca una funció que resumeixi la relació entre les variables i permeti estimar valors.

La variable $x$ és la que fem servir per estimar $y$ . El valor estimat s’escriu $\hat y$ .

3.1. Ajust lineal

Una recta de regressió té la forma:

\hat y=ax+b

$a$ és el pendent: indica quant canvia l’estimació de $y$ quan $x$ augmenta una unitat.
$b$ és l’estimació de $y$ quan $x=0$ , sempre que aquest valor tingui sentit en el context.

Per exemple, si un ajust entre hores d’estudi i nota és:

\hat y=0,8x+3

per a $x=4$ hores obtenim:

\hat y=0,8\cdot4+3=6,2

El model estima una nota de 6,2. No garanteix aquesta nota, perquè els alumnes poden tenir resultats diferents encara que estudiïn les mateixes hores.

La recta de regressió habitual es calcula amb el mètode dels mínims quadrats: tria la recta que fa mínima la suma dels quadrats dels errors verticals.

3.2. Residus: comparar el valor real amb l’estimat

El residu és:

e_i=y_i-\hat y_i

Si el residu és positiu, el valor observat queda per sobre del model.
Si és negatiu, queda per sota.
Si és zero, el model coincideix amb l’observació.

Per exemple, si la nota real és 7 i el model estima 6,2:

e=7-6,2=0,8

El model ha estimat una nota 0,8 punts inferior a la real.

No n’hi ha prou de sumar els residus, perquè els positius i els negatius es poden compensar. Una mesura útil és la suma dels quadrats dels residus:

S=\sum e_i^2

En comparar models sobre les mateixes dades, un valor més petit de $S$ indica un ajust més proper a les observacions.

3.3. Comparar un ajust lineal i un de quadràtic

Un model quadràtic té la forma:

\hat y=ax^2+bx+c

Considera aquestes dades simplificades de temps i posició:

Temps $x$ , en segons	Posició $y$ , en cm
0	1
1	2
2	5
3	10
4	17

Amb una calculadora o un full de càlcul, obtenim:

Ajust lineal: $\hat y=4x-1$ .
Ajust quadràtic: $\hat y=x^2+1$ .

Comparem els residus:

$x$	$y$ observat	Estimació lineal	Residu lineal	Estimació quadràtica
0	1	−1	2	1
1	2	3	−1	2
2	5	7	−2	5
3	10	11	−1	10
4	17	15	2	17

Per al model lineal:

S=2^2+(-1)^2+(-2)^2+(-1)^2+2^2=14

Per al model quadràtic:

S=0

En aquestes dades, el model quadràtic ajusta millor, perquè coincideix amb totes les observacions.

A més, els residus de la recta són positius als extrems i negatius al centre. Aquest patró indica que la recta no recull bé la curvatura.

La correlació lineal d’aquestes dades és aproximadament $r=0,959$ . És elevada, però la paràbola ajusta millor. Per això, un valor alt de $r$ no substitueix l’anàlisi del gràfic i dels residus.

3.4. Com fer la comparació amb tecnologia

Amb una calculadora o un full de càlcul:

Introdueix les dades aparellades en dues columnes, $x$ i $y$ .
Representa el núvol de punts.
Calcula els ajustos lineal i quadràtic.
Obté les prediccions de cada model.
Calcula els residus i la suma dels seus quadrats.
Comprova si els residus mostren algun patró.

Un model quadràtic té més flexibilitat que una recta. Per això, pot reduir l’error sense que les seves prediccions futures siguin necessàriament millors. Cal valorar també si el model té sentit en el problema.

3.5. Límits de les prediccions

Interpolar és estimar dins de l’interval de valors observats.
Extrapolar és estimar fora d’aquest interval.

En l’exemple anterior, estimar la posició a $x=2,5$ segons és interpolar. Estimar-la a $x=20$ segons és extrapolar.

Extrapolar és més arriscat perquè no tenim dades que confirmin que la mateixa tendència continua. Encara que un model ajusti perfectament els valors coneguts, el moviment podria canviar després.

També has de comprovar els límits del context: una estimació de nota superior a 10, per exemple, no és vàlida si la nota màxima és 10.

Probabilitat: descriure la incertesa

Un experiment aleatori és una acció de la qual no coneixem amb certesa el resultat abans de fer-la, com ara llançar un dau.

L’espai mostral, $\Omega$ , és el conjunt de resultats possibles.
Un succés és un conjunt de resultats.

En un dau:

\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}

El succés “obtenir un nombre parell” és:

A=\{2,4,6\}

La probabilitat sempre compleix:

0\leq P(A)\leq1

Una probabilitat de 0 correspon a un succés impossible; una d’1, a un succés segur.

4.1. Probabilitat a partir de freqüències relatives

Si repetim un experiment moltes vegades, podem estimar una probabilitat amb:

P(A)\approx \frac{n_A}{N}

Aquí, $n_A$ és el nombre de vegades que ha passat $A$ i $N$ , el nombre de repeticions.

Si una xinxeta cau amb la punta cap amunt 124 vegades en 200 llançaments, anomenem $U$ aquest succés:

P(U)\approx\frac{124}{200}=0,62

És una estimació, no un valor exacte. En general, disposar de més repeticions ajuda a reduir les fluctuacions de la freqüència relativa.

4.2. Regla de Laplace

Si tots els resultats elementals són equiprobables, és a dir, tenen la mateixa probabilitat:

P(A)= \frac{n_A}{n_\Omega}

Aquí, $n_A$ és el nombre de casos favorables i $n_\Omega$ , el nombre total de casos possibles.

En un dau equilibrat:

P(\text{parell})=\frac36=\frac12

La condició d’equiprobabilitat és imprescindible. Una xinxeta té dos tipus de resultat, però això no implica que cadascun tingui probabilitat $1/2$ : la seva forma pot afavorir-ne un.

4.3. Complement, unió i intersecció

El complementari d’ $A$ , escrit $A^c$ , és el succés “no passa $A$ ”:

P(A^c)=1-P(A)

La unió $A\cup B$ significa “passa $A$ , passa $B$ , o passen tots dos”.

La intersecció $A\cap B$ significa “passen tots dos”.

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

Restem la intersecció perquè, en sumar $P(A)$ i $P(B)$ , l’hem comptada dues vegades.

Exemple. En un dau, sigui $A=$ “nombre parell” i $B=$ “nombre més gran que 4”. Aleshores:

\begin{aligned} A&=\{2,4,6\},\qquad B=\{5,6\}, \\ A\cap B&=\{6\} \end{aligned}

\begin{aligned} P(A\cup B)&=\frac36+\frac26-\frac16=\frac46 \\ &=\frac23 \end{aligned}

Si dos successos no poden passar alhora, són incompatibles i la seva intersecció és buida.

4.4. Probabilitat condicionada i independència

La probabilitat d’ $A$ sabent que ha passat $B$ és:

P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)>0

La condició restringeix el conjunt de resultats que considerem.

Tornant a la taula dels alumnes, anomenem $A$ el succés «aprovar» i $S$ el succés «seguir la pauta»:

P(A\mid S)=\frac8{10}=0,8

Dos successos són independents si saber que n’ha passat un no canvia la probabilitat de l’altre. En aquest cas:

P(A\cap B)=P(A)\,P(B)

No confonguis independència amb incompatibilitat:

Independents: un no modifica la probabilitat de l’altre.
Incompatibles: no poden passar alhora.

Arbres i recompte: triar el mètode adequat

5.1. Arbre de probabilitats: quan hi ha etapes

Un arbre és útil quan l’experiment té passos successius, sobretot si les probabilitats canvien.

Exemple resolt. Una bossa conté 3 boles vermelles i 2 de blaves. En traiem dues sense reposició. Quina és la probabilitat que totes dues siguin vermelles?

La probabilitat que la primera sigui vermella és $3/5$ .
Si la primera és vermella, queden 2 vermelles entre 4 boles. Per tant, la probabilitat que la segona també ho sigui és $2/4$ .

Multipliquem les probabilitats d’aquest camí:

\begin{aligned} P(VV)&=\frac35\cdot\frac24=\frac3{10} \\ &=0,3 \end{aligned}

Com que no retornem la primera bola, la composició de la bossa canvia; per això canvia la probabilitat de la segona extracció.

Si volem una bola de cada color, hi ha dos camins: vermella-blava i blava-vermella.

\begin{aligned} P(VB\text{ o }BV) &=\frac35\cdot\frac24+\frac25\cdot\frac34 =\frac6{10} \\ &=0,6 \end{aligned}

En un arbre:

Multiplica al llarg d’un camí.
Suma els camins diferents que donen el resultat buscat.

5.2. Principi multiplicatiu: comptar decisions successives

Si una elecció es fa en etapes, multipliquem el nombre d’opcions de cada etapa.

Per exemple, amb 3 samarretes i 2 pantalons podem formar:

3\cdot2=6

conjunts diferents.

Aquest principi també serveix per comptar codis.

Codi de tres xifres, del 0 al 9, amb repetició:

10\cdot10\cdot10=10^3=1000

Codi de tres xifres sense repetició:

10\cdot9\cdot8=720

En el segon cas, cada xifra utilitzada deixa d’estar disponible; per això disminueixen les opcions.

Aquí parlem de codis, que poden començar per zero. Si fossin nombres de tres xifres, la primera no podria ser zero i el recompte seria diferent.

5.3. Combinacions: triar sense tenir en compte l’ordre

Si triem $k$ elements diferents d’un conjunt de $n$ , sense repetició i sense importar l’ordre, utilitzem:

\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}

El símbol $n!$ , anomenat factorial, significa:

n!=n(n-1)\cdots2\cdot1,\qquad 0!=1

Per exemple, triar 2 persones d’un grup de 5 dona:

\binom52=\frac{5!}{2!\,3!}=10

No distingim “Anna i Biel” de “Biel i Anna”, perquè formen el mateix grup.

5.4. El mateix problema de probabilitat, resolt amb combinacions

A la bossa amb 3 boles vermelles i 2 de blaves:

Parelles possibles de boles: $\binom52=10$ .
Parelles formades només per boles vermelles: $\binom32=3$ .

Si a cada extracció totes les boles que queden tenen la mateixa probabilitat de ser extretes, les parelles de boles també són equiprobables. Anomenem $R_2$ el succés «dues vermelles». Per Laplace:

P(R_2)= \frac{\binom32}{\binom52} =\frac3{10}

Obtenim el mateix resultat que amb l’arbre.

5.5. Com decidir què has de fer

Abans de comptar, pregunta’t:

Importa l’ordre?
Un codi 123 és diferent de 321. En canvi, una parella d’alumnes és la mateixa independentment de l’ordre dels noms.
Es poden repetir els elements?
En un codi pot estar permès repetir xifres. En triar persones per a un grup, no pots triar dues vegades la mateixa persona.
Hi ha etapes amb probabilitats que canvien?
Si n’hi ha, un arbre sol ajudar.

Situació	Mètode habitual
Decisions successives	Principi multiplicatiu
Importa l’ordre i es permet repetir	$n^k$
Importa l’ordre i no es permet repetir	$n(n-1)\cdots(n-k+1)$
No importa l’ordre i no es permet repetir	$\binom nk$
Probabilitats per etapes	Arbre de probabilitats

Si no importa l’ordre però sí que es permet repetir, les combinacions ordinàries no serveixen. Per comptar seleccions de $k$ elements entre $n$ tipus amb repetició, la fórmula és $\binom{n+k-1}{k}$ . Ara bé, aquestes seleccions no són necessàriament equiprobables: poder comptar-les no basta per aplicar Laplace.

Com comprovar que el resultat té sentit

Quan resolguis un problema, fes aquestes comprovacions:

Taules: les freqüències conjuntes relatives sumen 1. En una distribució condicionada, has dividit pel total del grup condicionant.
Dependència: has comparat proporcions, no només nombres d’individus.
Correlació: el signe de $r$ concorda amb la direcció del núvol de punts. No has presentat l’associació com una causa demostrada.
Regressió: has mirat els residus i has comprovat si estàs interpolant o extrapolant.
Probabilitat: el resultat està entre 0 i 1. Si has aplicat Laplace, els casos comptats són equiprobables.
Recompte: has aclarit si l’ordre importa i si hi pot haver repetició.

La pregunta que més t’ajudarà és: “Quin conjunt estic considerant?” En una taula et permet triar el denominador; en probabilitat et permet identificar els casos possibles; i en regressió et recorda fins on les dades donen suport a una predicció.

Practica

Posa’t a prova

Tres exercicis resolts pas a pas, de menys a més difícils. Intenta’ls abans d’obrir les pistes i la solució.

Bàsic

1Llegir una taula i triar el denominador

En un grup de 40 alumnes es registren l’assistència a una activitat de repàs i el resultat d’una prova.

Assistència	Aprova	No aprova
Ha assistit	18	6
No ha assistit	6	10

a
Completa els totals de files, columnes i conjunt.

b
Escriu la taula de freqüències relatives conjuntes.

c
Obté les dues distribucions marginals relatives.

d
Calcula la proporció d’aprovats entre els assistents i entre els no assistents.

e
Entre els aprovats, quina proporció havia assistit?

f
Les variables mostren dependència en aquestes dades? Aquesta taula demostra que l’assistència causa l’aprovat?

Pista 1

Afegeix primer els totals. Després identifica quin grup representa cada pregunta.

Pista 2

Les freqüències conjuntes es divideixen entre 40. Les condicionades es divideixen pel total de la fila o columna indicada.

Pista 3

Compara $18/24$ amb $6/16$ . Per estudiar causalitat, la taula sola no és suficient.

Mostra la solució

a
La taula completa és:

Assistència	Aprova	No aprova	Total
Ha assistit	18	6	24
No ha assistit	6	10	16
Total	24	16	40

b
Dividim totes les freqüències entre 40:

Assistència	Aprova	No aprova	Total
Ha assistit	0,45	0,15	0,60
No ha assistit	0,15	0,25	0,40
Total	0,60	0,40	1

c
Les distribucions marginals són:

Assistència: 60% ha assistit i 40% no.
Resultat: 60% aprova i 40% no.

d
Anomenem $A$ el succés «aprovar» i $S$ , «assistir». Ara restringim el grup segons l’assistència:

P(A\mid S) =\frac{18}{24}=\boxed{75\%},

P(A\mid S^c) =\frac6{16}=\boxed{37,5\%}.

e
Entre els 24 aprovats, 18 havien assistit:

\frac{18}{24}=\boxed{75\%}.

f
Les proporcions d’aprovats són diferents segons l’assistència. Per tant, hi ha dependència en aquesta taula.

Això no demostra causalitat: els assistents podrien diferir també en motivació, coneixements previs o altres factors. Com que no hem controlat aquests factors, no podem atribuir tota la diferència a l’assistència.

Intermedi

2Dues extraccions: arbre o combinacions?

Una bossa conté 4 boles verdes i 3 de grogues. Les boles són igualment fàcils d’extreure. En traiem dues sense reposició.

a
Dibuixa l’arbre de probabilitats.

b
Calcula la probabilitat d’obtenir dues boles verdes.

c
Calcula la probabilitat d’obtenir una bola de cada color.

d
Calcula la probabilitat d’obtenir almenys una bola groga.

e
Resol l’apartat b) amb combinacions i comprova que obtens el mateix resultat.

f
Si retornéssim la primera bola abans de treure la segona, quina seria la probabilitat d’obtenir dues verdes? Explica per què canvia.

Pista 1

Sense reposició, a la segona extracció queden 6 boles.

Pista 2

Una bola de cada color es pot obtenir per dos camins: verda-groga i groga-verda.

Pista 3

Amb combinacions, compara les parelles favorables amb les $\binom72$ parelles possibles.

Mostra la solució

a
Les branques de l’arbre són:

Primera verda: $4/7$ .
- Segona verda: $3/6$ .
- Segona groga: $3/6$ .
Primera groga: $3/7$ .
- Segona verda: $4/6$ .
- Segona groga: $2/6$ .

b
Multipliquem al llarg del camí verda-verda:

P(VV)=\frac47\cdot\frac36 =\boxed{\frac27}.

c
Sumem els dos camins possibles:

P(VG\text{ o }GV) =\frac47\cdot\frac36+\frac37\cdot\frac46 =\boxed{\frac47}.

d
Anomenem $G$ el succés «almenys una groga». El seu contrari és «dues verdes»:

P(G) =1-\frac27=\boxed{\frac57}.

e
Hi ha $\binom72=21$ parelles possibles i $\binom42=6$ parelles de verdes:

\begin{aligned} P(VV)&=\frac{\binom42}{\binom72} =\frac6{21} \\ &=\boxed{\frac27}. \end{aligned}

f
Amb reposició, la composició de la bossa no canvia:

P(VV)=\frac47\cdot\frac47 =\boxed{\frac{16}{49}}.

És més gran que $2/7$ , perquè retornar la primera bola verda evita que disminueixi la proporció de verdes.

Tipus examen

3D’on prové una peça defectuosa?

Una empresa rep el 60% de les peces del proveïdor $S$ i el 40% del proveïdor $T$ .

El 5% de les peces de $S$ són defectuoses.
El 10% de les peces de $T$ són defectuoses.

Es tria una peça a l’atzar.

a
Dibuixa l’arbre amb el proveïdor a la primera etapa i l’estat de la peça a la segona.

b
Calcula la probabilitat que la peça sigui defectuosa.

c
Calcula la probabilitat que provingui de $T$ i sigui defectuosa.

d
Sabem que la peça és defectuosa. Quina és la probabilitat que provingui de $T$ ?

e
Construeix una taula de freqüències esperades per a un lot de 1.000 peces. Comprova l’apartat d) amb aquesta taula.

f
Són independents el proveïdor i el fet de ser defectuosa?

g
Es trien dues peces de manera independent, mantenint les mateixes probabilitats. Calcula la probabilitat que almenys una sigui defectuosa.

Pista 1

A cada camí de l’arbre, multiplica la probabilitat del proveïdor per la probabilitat de l’estat dins d’aquell proveïdor.

Pista 2

Les peces defectuoses poden venir de $S$ o de $T$ ; suma aquests dos camins.

Pista 3

Per a l’apartat d), divideix la probabilitat de “ $T$ i defectuosa” per la probabilitat total de “defectuosa”.

Mostra la solució

Anomenem $D$ el succés “peça defectuosa”.

a
L’arbre té aquestes branques:

Proveïdor $S$ : $0,60$ .
- Defectuosa: $0,05$ .
- No defectuosa: $0,95$ .
Proveïdor $T$ : $0,40$ .
- Defectuosa: $0,10$ .
- No defectuosa: $0,90$ .

b
Sumem els dos camins que acaben en peça defectuosa:

\begin{aligned} P(D)&=0,60\cdot0,05+0,40\cdot0,10 =0,03+0,04 \\ &=\boxed{0,07}. \end{aligned}

La probabilitat total és del 7%.

P(T\cap D)=0,40\cdot0,10=\boxed{0,04}.

d
Ara restringim el conjunt a les peces defectuoses:

\begin{aligned} P(T\mid D)&=\frac{P(T\cap D)}{P(D)} =\frac{0,04}{0,07} \\ &=\boxed{\frac47\approx57,14\%}. \end{aligned}

No és el 10%: aquest percentatge descriu defectes dins de $T$ , no la procedència dins dels defectes.

e
La taula de freqüències esperades és:

Proveïdor	Defectuoses	No defectuoses	Total
$S$	30	570	600
$T$	40	360	400
Total	70	930	1.000

Entre les 70 defectuoses esperades, 40 provenen de $T$ :

\frac{40}{70}=\boxed{\frac47}.

Són freqüències esperades: un lot real no ha de tenir exactament aquests nombres.

f
No són independents, perquè:

P(D\mid S)=0,05,\qquad P(D\mid T)=0,10.

Conèixer el proveïdor canvia la probabilitat de defecte.

g
Anomenem $E$ el succés «almenys una defectuosa». El seu contrari és «cap defectuosa». Com que les dues seleccions són independents:

P(E^c)=0,93^2=0,8649.

\boxed{P(E)=1-0,8649=0,1351}.

És a dir, 13,51%.