Matemáticas · 2.º de Bachillerato · PAU

Funciones: dominio, gráficos y composición

Dónde está definida una función, cómo se lee y se dibuja su gráfico, cómo se elige la rama de una función a trozos y cómo se compone. Lee cada apartado y juega con la figura de al lado.

16 min de lectura
12 figuras interactivas
3 ejercicios resueltos

¡lee y juega!

Antes de empezar…

¿Sumar o multiplicar?

Dos cantidades empiezan las dos en 100. A la primera le sumamos 50 cada año; la segunda crece un 10 % cada año. Al principio no hay color: el 10 % de 100 son solo 10.

Pero el 10 % se calcula cada año sobre una cantidad mayor. La recta va delante durante 28 años, y en el año 29 la exponencial la adelanta y ya no la alcanza nunca. Una función es la regla que dice qué salida corresponde a cada entrada, y en esta página aprenderás a leerlas: dónde están definidas, cómo es su gráfico y cómo se combinan.

Mira el vídeo y después cambia tú los números: ¿con qué valores gana antes la exponencial?

Míralo en 40 segundos

Ahora pruébalo tú:

Modelos: L(t) = 100 + a·t, que suma siempre lo mismo, y E(t) = 100·(1 + p)ᵗ, que multiplica siempre por el mismo factor. Se cuentan años enteros.

Qué aprenderás

El núcleo compartido de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales y Matemáticas incluye:

el concepto de función;
el dominio, la imagen y el valor de una función;
las funciones polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas y a trozos;
la lectura y la construcción de gráficos básicos;
las transformaciones de gráficos;
la composición de funciones.

La ampliación de Matemáticas añade:

las funciones irracionales, con raíces pares e impares;
las funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente.

Las raíces también aparecen en algunos ejercicios de dominio del núcleo compartido. Esto no convierte el estudio completo de las funciones irracionales en una exigencia común de las dos modalidades.

En este lote no estudiaremos con derivadas los gráficos, ni calcularemos límites o asíntotas. Tampoco estudiaremos todavía la continuidad o la derivabilidad de las funciones a trozos. Primero necesitamos saber qué representa una función, dónde está definida y cómo leer su gráfico.

Antes de empezar: cuatro comprobaciones breves

Haz estos intentos antes de consultar las respuestas. Escribe los pasos: el resultado por sí solo no permite ver cómo has razonado.

D1. Sustitución

Si $f(x)=x^2-3x+1$ , calcula $f(-2)$ .

D2. Factorización

Factoriza:

x^2-5x+6.

D3. Ecuaciones sencillas

Resuelve:

3x-6=0, \qquad x^2-9=0.

D4. Inecuaciones sencillas

Resuelve y escribe la respuesta con intervalos:

2x+4\geq 0, \qquad 5-x>0.

Reparación según tu intento

No hace falta repasarlo todo si ya lo resuelves bien.

Si en tu intento ocurre esto…	Haz esta reparación
Al sustituir un número negativo, pierdes un signo	Escribe el número entre paréntesis en cada aparición: $(-2)^2-3(-2)+1$ .
No encuentras los factores del trinomio	Busca dos números que sumen $-5$ y cuyo producto sea $6$ . Después comprueba el producto.
En $x^2=9$ solo encuentras una solución	Comprueba tanto $3$ como $-3$ : ambos tienen cuadrado $9$ .
En una inecuación cambias de signo sin justificarlo	Recuerda que el sentido de la desigualdad solo se invierte al multiplicar o dividir por un número negativo.
Resuelves las condiciones por separado, pero no sabes combinarlas	Dibuja los intervalos sobre la misma recta y quédate con la parte común.

Respuestas para comprobar después del intento

D1: $f(-2)=4+6+1=11$ .
D2: $(x-2)(x-3)$ , porque el producto es $x^2-5x+6$ .
D3: $x=2$ ; y $x=-3$ o $x=3$ .
D4: $x\geq-2$ , es decir, $[-2,+\infty)$ ; y $x<5$ , es decir, $(-\infty,5)$ .

Si necesitas reparación, resuelve después $h(-1)$ , con $h(x)=2x^2-x$ , factoriza $x^2-7x+12$ y resuelve $3-x\geq0$ . Los resultados son $3$ , $(x-3)(x-4)$ y $(-\infty,3]$ .

¿Qué es una función?

Una función asigna a cada entrada admitida una única salida.

Si escribimos

y=f(x),

$x$ es la variable independiente: la entrada;
$y$ es la variable dependiente: el resultado depende de $x$ ;
$f(x)$ es el valor que la función asigna a $x$ .

Una función no es solo una expresión

La expresión indica cómo se calcula el resultado. Pero también hay que saber qué entradas se admiten.

Por ejemplo:

f:[0,3]\longrightarrow\mathbb R,\qquad f(x)=x^2

g:\mathbb R\longrightarrow\mathbb R,\qquad g(x)=x^2

tienen la misma fórmula, pero no son la misma función, porque tienen dominios diferentes.

Dominio e imagen

Dominio: conjunto de valores que puede tomar la entrada.
Imagen: conjunto de resultados que la función llega a tomar.

Para $f(x)=x^2$ , con dominio $\mathbb R$ :

\operatorname{Dom}(f)=\mathbb R, \qquad \operatorname{Im}(f)=[0,+\infty).

La imagen no contiene números negativos, porque el cuadrado de un número real no es negativo.

Si restringimos el dominio a $[0,3]$ , la imagen pasa a ser $[0,9]$ .

Cómo reconocer una función en un gráfico

Una recta vertical no puede cortar el gráfico en dos puntos diferentes.

Causa: una misma entrada no puede tener dos salidas.
Consecuencia: si una vertical corta la curva dos veces, esa curva no representa $y$ como función de $x$ .

Del enunciado a la fórmula, la tabla y el gráfico

Ejemplo explicado: coste de un servicio

Un servicio cobra 4 € fijos y 1,50 € por kilómetro recorrido.

Variables
- $x$ : distancia, en kilómetros.
- $C(x)$ : coste, en euros.
Fórmula

C(x)=4+1,5x.

Dominio admisible

x\geq0.

La fórmula se puede calcular para $x=-2$ , pero una distancia recorrida negativa no tiene sentido en este modelo. Por eso el dominio del problema es $[0,+\infty)$ .

Tabla

$x$ , en km	0	2	4
$C(x)$ , en €	4	7	10

Gráfico

Representa los puntos $(0,4)$ , $(2,7)$ y $(4,10)$ . El gráfico es una semirrecta que comienza en $(0,4)$ , porque solo admitimos $x\geq0$ .

La pendiente es 1,5 €/km. Esto significa que cada kilómetro adicional aumenta el coste en 1,50 €.

Conexión entre representaciones: el enunciado da el coste fijo y el coste por kilómetro; estos valores determinan la fórmula; la fórmula genera la tabla; la tabla ayuda a dibujar y comprobar el gráfico.

Dominio real: las condiciones deben cumplirse a la vez

Cuando solo se da una fórmula, buscamos habitualmente el conjunto más grande de números reales para los que se puede calcular.

Las tres restricciones básicas

Expresión	Condición	Motivo
$\dfrac{A(x)}{B(x)}$	$B(x)\ne0$	No se puede dividir por cero.
$\sqrt{A(x)}$ , u otra raíz par	$A(x)\geq0$	Una raíz par de radicando negativo no es real.
$\log_a(A(x))$	$A(x)>0$	El logaritmo real solo admite argumentos positivos.

En un logaritmo, la base también debe cumplir:

a>0,\qquad a\ne1.

Intervalos

$[a,b]$ : incluye los dos extremos.
$(a,b)$ : no incluye ningún extremo.
$[a,b)$ : incluye $a$ , pero no $b$ .
$\cup$ : unión de tramos.
$\cap$ : parte común de los conjuntos.

El infinito no es un número que se pueda incluir. Por eso siempre escribimos paréntesis al lado de $+\infty$ o $-\infty$ .

Ejemplo 1: una raíz

f(x)=\sqrt{5-2x}.

Debe cumplirse:

5-2x\geq0 \quad\Longrightarrow\quad x\leq\frac52.

Por tanto:

\operatorname{Dom}(f)=\left(-\infty,\frac52\right].

El extremo se incluye porque $\sqrt0=0$ .

Ejemplo 2: raíz en el denominador

g(x)=\frac1{\sqrt{x+3}}.

La raíz exige $x+3\geq0$ . Pero el denominador no puede ser cero. Las dos condiciones juntas dan:

x+3>0.

Así:

\operatorname{Dom}(g)=(-3,+\infty).

Ejemplo 3: restricciones combinadas

h(x)=\frac{\ln(4-x)}{(x-2)\sqrt{x+1}}.

Debemos imponer simultáneamente:

4-x>0,\qquad x-2\ne0,\qquad x+1>0.

La última desigualdad es estricta porque la raíz está en el denominador.

Por tanto:

x<4,\qquad x\ne2,\qquad x>-1,

y el dominio es:

\boxed{(-1,2)\cup(2,4)}.

Comprobación: $x=0$ es admisible; $x=-1$ anula el denominador; $x=2$ también lo anula; $x=4$ produce $\ln0$ .

Simplificar no recupera los valores excluidos

Considera:

r(x)=\frac{x^2-4}{x-2}.

La fórmula original exige $x\ne2$ . Si factorizamos:

r(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2, \qquad x\ne2.

El gráfico coincide con la recta $y=x+2$ , pero tiene un punto vacío en $(2,4)$ .

Si pusiéramos dominio $\mathbb R$ , definiríamos otra función. La simplificación solo es válida cuando el factor cancelado no es cero.

Cómo leer y construir un gráfico básico

Sigue este orden:

Identifica las variables y las unidades.
Encuentra el dominio.
Calcula los cortes con los ejes.
Estudia el signo cuando sea sencillo.
Busca simetrías o transformaciones conocidas.
Calcula puntos útiles.
Dibuja solo donde la función está definida.
Comprueba que el dibujo respeta la fórmula.

Cortes con los ejes

Con el eje vertical: calcula $f(0)$ , si $0$ pertenece al dominio.
Con el eje horizontal: resuelve $f(x)=0$ , y comprueba que las soluciones pertenecen al dominio.

Signo

$f(x)>0$ : gráfico por encima del eje horizontal.
$f(x)<0$ : gráfico por debajo.
$f(x)=0$ : puntos de corte con este eje.

Crecimiento y decrecimiento, sin derivadas

En un tramo, una función es creciente si, al aumentar la entrada, aumenta la salida. Es decreciente si la salida disminuye.

Una tabla con pocos puntos puede orientar el dibujo, pero no demuestra por sí sola qué ocurre entre esos puntos. Utilízala junto con la forma conocida de la función.

Simetrías

Para hablar de una función par o impar, el dominio debe ser simétrico respecto de 0: si admite $x$ , también debe admitir $-x$ . Además, la igualdad correspondiente debe cumplirse para todas las entradas del dominio:

$f(-x)=f(x)$ : simetría respecto del eje vertical; función par.
$f(-x)=-f(x)$ : simetría respecto del origen; función impar.

Transformaciones sencillas

A partir de $y=f(x)$ :

Nueva fórmula	Cambio en el gráfico
$f(x)+k$	Desplazamiento vertical de $k$ .
$f(x-h)$	Desplazamiento horizontal de $h$ hacia la derecha, si $h>0$ .
$-f(x)$	Reflexión respecto del eje horizontal.
$f(-x)$	Reflexión respecto del eje vertical.
$a f(x)$	Multiplicación de las alturas por $a$ .

Por ejemplo, $(x-2)^2+1$ es el gráfico de $x^2$ desplazado 2 unidades a la derecha y 1 hacia arriba. Por eso el vértice pasa de $(0,0)$ a $(2,1)$ .

Funciones polinómicas

Una función polinómica tiene una fórmula de la forma:

p(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0.

Los exponentes son enteros no negativos. Su dominio real es $\mathbb R$ , porque las sumas y los productos que aparecen están definidos para cualquier número real.

7.1. Rectas

f(x)=mx+b.

$m$ : pendiente.
$b=f(0)$ : corte con el eje vertical.
Si $m>0$ , la función es creciente.
Si $m<0$ , es decreciente.
Si $m=0$ , es constante.

Ejemplo

f(x)=2x-4.

Cortes:

f(0)=-4, \qquad 2x-4=0\Longrightarrow x=2.

Representa $(0,-4)$ y $(2,0)$ , y dibuja la recta que los une.

7.2. Parábolas

f(x)=ax^2+bx+c,\qquad a\ne0.

Si $a>0$ , la parábola se abre hacia arriba.
Si $a<0$ , se abre hacia abajo.
El eje de simetría es $x=-b/(2a)$ .
El vértice se obtiene sustituyendo este valor en la fórmula.

Ejemplo

\begin{aligned} f(x)&=x^2-4x+3\\ &=(x-2)^2-1=(x-1)(x-3). \end{aligned}

Cada forma aporta información diferente:

$(x-2)^2-1$ : vértice $(2,-1)$ .
$(x-1)(x-3)$ : ceros $1$ y $3$ .
$x^2-4x+3$ : corte vertical $(0,3)$ .

$x$	0	1	2	3	4
$f(x)$	3	0	$-1$	0	3

Como $(x-2)^2\geq0$ , tenemos $f(x)\geq-1$ . Por tanto:

\operatorname{Im}(f)=[-1,+\infty).

7.3. Polinomios factorizados sencillos

p(x)=x(x-1)(x+2).

Los ceros son $-2$ , $0$ y $1$ . Estos valores dividen la recta en tramos.

Tramo	Signo de $p(x)$
$x<-2$	Negativo
$-2<x<0$	Positivo
$0<x<1$	Negativo
$x>1$	Positivo

Para comprobar los signos, puedes sustituir un número de cada tramo.

Atención: un cero no siempre implica cambio de signo. En $(x-1)^2$ , el factor es positivo a ambos lados de 1. Por eso el gráfico toca el eje, pero no pasa de un lado al otro.

Con ceros, signos y puntos puedes hacer un esbozo. No hace falta buscar ahora con derivadas los puntos donde el gráfico cambia de dirección.

Funciones racionales

Son cocientes de polinomios:

r(x)=\frac{P(x)}{Q(x)},

con $Q$ no idénticamente nulo.

El dominio excluye los ceros del denominador.

Ejemplo: $r(x)=1/x$

\operatorname{Dom}(r)=(-\infty,0)\cup(0,+\infty).

$x$	$-2$	$-1$	$-1/2$	$1/2$	1	2
$1/x$	$-1/2$	$-1$	$-2$	2	1	$1/2$

No corta el eje vertical, porque $x=0$ no es admisible.
No corta el eje horizontal, porque $1/x$ no puede ser cero.
Es negativa para $x<0$ y positiva para $x>0$ .
Tiene simetría respecto del origen.

Dibuja los dos tramos por separado. No los unas pasando por $x=0$ : eso añadiría puntos que no pertenecen a la función.

Aquí solo representamos la forma básica. El cálculo de asíntotas se deja para otro lote.

Funciones exponenciales y logarítmicas

9.1. Exponenciales

f(x)=a^x,\qquad a>0,\quad a\ne1.

Estas condiciones permiten definir la exponencial para cualquier exponente real. La base $1$ daría una función constante, no una exponencial invertible.

\operatorname{Dom}(f)=\mathbb R, \qquad \operatorname{Im}(f)=(0,+\infty).

Si $a>1$ , es creciente.
Si $0<a<1$ , es decreciente.
Siempre pasa por $(0,1)$ .

Ejemplo

$x$	$-2$	$-1$	0	1	2	3
$2^x$	$1/4$	$1/2$	1	2	4	8

Crecimiento lineal y exponencial

Modelo	¿Qué ocurre cuando la entrada aumenta una unidad?
$L(t)=100+20t$	La salida aumenta siempre en 20.
$E(t)=100\cdot1,2^t$	La salida se multiplica siempre por 1,2.

En el modelo exponencial, un aumento del 20 % se calcula sobre una cantidad que va cambiando. Por eso los incrementos absolutos no son constantes.

9.2. Logaritmos

y=\log_a x \quad\Longleftrightarrow\quad a^y=x.

El logaritmo responde a la pregunta: ¿a qué exponente debo elevar la base para obtener este número?

Por ejemplo:

\log_2 8=3,

porque $2^3=8$ .

\begin{gathered} \operatorname{Dom}(\log_a x)=(0,+\infty),\\ \operatorname{Im}(\log_a x)=\mathbb R. \end{gathered}

Si $a>1$ , es creciente.
Si $0<a<1$ , es decreciente.
Pasa por $(1,0)$ .

Notaciones habituales:

\begin{gathered} \ln x=\log_e x,\\ \log_{10}x=\text{logaritmo decimal}. \end{gathered}

Comprueba qué base corresponde a la tecla log de la calculadora.

9.3. Exponencial y logaritmo son inversos

\log_a(a^x)=x\qquad(x\in\mathbb R),

a^{\log_a x}=x\qquad(x>0).

Una operación deshace la otra. Por eso los gráficos de $a^x$ y $\log_a x$ son simétricos respecto de la recta $y=x$ .

Por ejemplo, $(3,8)$ está en el gráfico de $2^x$ , y $(8,3)$ está en el de $\log_2x$ .

9.4. Propiedades y condiciones

Para $u,v>0$ , $a>0$ , $a\ne1$ , y $r\in\mathbb R$ :

\log_a(uv)=\log_a u+\log_a v,

\log_a\left(\frac uv\right)=\log_a u-\log_a v,

\log_a(u^r)=r\log_a u.

La primera propiedad se deriva de la regla de los exponentes: si $u=a^m$ y $v=a^n$ , entonces $uv=a^{m+n}$ . Por tanto, el logaritmo del producto es $m+n$ .

Las condiciones importan. Por ejemplo:

\ln(x^2)=2\ln|x|\qquad(x\ne0),

pero $\ln(x^2)=2\ln x$ solo es válido para $x>0$ .

No hay una regla semejante para las sumas:

\log_a(u+v)\ne\log_a u+\log_a v

en general. Con base 2, $\log_2(2+2)=2$ , pero $\log_2 2+\log_2 2=2$ coincide accidentalmente; con $u=v=1$ , los resultados son $1$ y $0$ , y ya se ve que no es una identidad.

Ejemplo de ecuación

3^{2x-1}=7.

Aplicamos $\ln$ :

(2x-1)\ln3=\ln7.

Así:

x=\frac{1+\ln7/\ln3}{2}.

La comprobación exacta es:

3^{2x-1}=3^{\log_3 7}=7.

Funciones a trozos

Una función a trozos utiliza fórmulas diferentes según el valor de la entrada.

f(x)= \begin{cases} x+2,&x<0,\\ x^2,&0\leq x\leq2,\\ 5-x,&x>2. \end{cases}

Primero elige la rama; después calcula

$f(-1)=-1+2=1$ , porque $-1<0$ .
$f(0)=0^2=0$ , porque $0$ pertenece al tramo central.
$f(2)=2^2=4$ , porque $2$ también pertenece al tramo central.
$f(3)=5-3=2$ , porque $3>2$ .

No se elige la fórmula que da el resultado más cómodo. La elección depende del intervalo.

Construcción del gráfico

Dibuja $y=x+2$ solo para $x<0$ .
- Punto abierto en $(0,2)$ .
Dibuja $y=x^2$ solo para $0\leq x\leq2$ .
- Puntos cerrados en $(0,0)$ y $(2,4)$ .
Dibuja $y=5-x$ solo para $x>2$ .
- Punto abierto en $(2,3)$ .

Un punto abierto muestra que esa rama no incluye el extremo. Un punto cerrado indica un valor efectivo de la función.

Comprobación esencial: sobre $x=0$ , solo $(0,0)$ pertenece al gráfico; sobre $x=2$ , solo $(2,4)$ pertenece a él.

Composición de funciones

Componer es hacer dos operaciones sucesivas.

(f\circ g)(x)=f(g(x)).

El orden es:

x\ \xrightarrow{\ g\ }\ g(x)\ \xrightarrow{\ f\ }\ f(g(x)).

Ejemplo

f(x)=x^2,\qquad g(x)=x+1,

entonces:

(f\circ g)(x)=(x+1)^2,

(g\circ f)(x)=x^2+1.

No coinciden. Para $x=1$ , dan $4$ y $2$ .

Tampoco son el producto:

(fg)(x)=f(x)g(x)=x^2(x+1).

Dominio de la composición

Deben cumplirse dos condiciones:

x\in\operatorname{Dom}(g) \quad\text{i}\quad g(x)\in\operatorname{Dom}(f).

La primera operación debe ser posible y su resultado debe servir como entrada de la segunda.

Ejemplo con restricción

f(u)=\ln u,\qquad g(x)=9-x^2.

Entonces:

(f\circ g)(x)=\ln(9-x^2).

Como $g$ es un polinomio, admite todo $x$ real. Pero el logaritmo exige:

9-x^2>0 \quad\Longrightarrow\quad -3<x<3.

Por tanto:

\operatorname{Dom}(f\circ g)=(-3,3).

En el orden contrario:

(g\circ f)(x)=9-(\ln x)^2,

y solo hace falta $x>0$ . Elevar al cuadrado el resultado de un logaritmo no añade ninguna restricción.

Ampliación de Matemáticas

Funciones irracionales

En este lote, trabajamos fórmulas en las que la variable aparece dentro de una raíz.

Raíces pares

f(x)=\sqrt{x}.

\operatorname{Dom}(f)=[0,+\infty), \qquad \operatorname{Im}(f)=[0,+\infty).

Puntos útiles:

(0,0),\ (1,1),\ (4,2),\ (9,3).

El gráfico es creciente. No es una recta: aumentar $x$ en la misma cantidad no produce siempre el mismo aumento de $\sqrt{x}$ .

Transformación

g(x)=\sqrt{x-2}+1.

El gráfico se desplaza 2 unidades a la derecha y 1 hacia arriba:

\operatorname{Dom}(g)=[2,+\infty), \qquad \operatorname{Im}(g)=[1,+\infty).

Raíces impares

h(x)=\sqrt[3]{x}.

Una raíz impar admite radicandos negativos:

\sqrt[3]{-8}=-2.

Por tanto:

\operatorname{Dom}(h)=\mathbb R, \qquad \operatorname{Im}(h)=\mathbb R.

Puntos útiles:

(-8,-2),\ (-1,-1),\ (0,0),\ (1,1),\ (8,2).

Es creciente y tiene simetría respecto del origen.

Si la raíz está en el denominador, sigue siendo necesario evitar el cero. Por ejemplo:

\frac1{\sqrt[3]{x-1}}

tiene dominio $\mathbb R\setminus\{1\}$ .

Funciones trigonométricas

13.1. Radianes

Un radián corresponde a un ángulo que determina, en una circunferencia, un arco de longitud igual al radio.

Una vuelta completa es:

360^\circ=2\pi\text{ radianes}.

Conversiones:

\text{radianes}=\text{grados}\cdot\frac{\pi}{180},

\text{grados}=\text{radianes}\cdot\frac{180}{\pi}.

Por ejemplo:

60^\circ=\frac{\pi}{3}, \qquad \frac{3\pi}{4}=135^\circ.

En las funciones trigonométricas de este lote, la entrada está en radianes. Por eso debes poner la calculadora en modo RAD.

13.2. Circunferencia unidad

En una circunferencia de radio 1 centrada en el origen, el punto asociado al ángulo $x$ tiene coordenadas:

(\cos x,\sin x).

El coseno es la coordenada horizontal.
El seno es la coordenada vertical.
La tangente es:

\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},

siempre que $\cos x\ne0$ .

13.3. Valores notables

$x$	$0$	$\pi/6$	$\pi/4$	$\pi/3$	$\pi/2$	$\pi$
$\sin x$	0	$1/2$	$\sqrt2/2$	$\sqrt3/2$	1	0
$\cos x$	1	$\sqrt3/2$	$\sqrt2/2$	$1/2$	0	$-1$
$\tan x$	0	$\sqrt3/3$	1	$\sqrt3$	No definida	0

La tangente no está definida en $\pi/2$ , porque su denominador es cero.

13.4. Dominios, imágenes y periodos

Un periodo es una longitud horizontal tras la cual los valores se repiten.

Función	Dominio	Imagen	Periodo fundamental
$\sin x$	$\mathbb R$	$[-1,1]$	$2\pi$
$\cos x$	$\mathbb R$	$[-1,1]$	$2\pi$
$\tan x$	$\mathbb R\setminus\{\pi/2+k\pi:k\in\mathbb Z\}$	$\mathbb R$	$\pi$

13.5. Gráficos básicos

Seno: dibuja una curva suave que pase por:

\begin{gathered} (0,0),\quad \left(\frac\pi2,1\right),\quad (\pi,0),\\ \left(\frac{3\pi}2,-1\right),\quad (2\pi,0). \end{gathered}

Después repite el patrón cada $2\pi$ .

Coseno:

\begin{gathered} (0,1),\quad \left(\frac\pi2,0\right),\quad (\pi,-1),\\ \left(\frac{3\pi}2,0\right),\quad (2\pi,1). \end{gathered}

Tangente: en el tramo $(-\pi/2,\pi/2)$ , representa:

\left(-\frac\pi4,-1\right),\quad(0,0),\quad \left(\frac\pi4,1\right).

El tramo es creciente. Repítelo cada $\pi$ , sin dibujar puntos en las entradas excluidas ni unir los tramos a través de esas entradas.

Transformación sencilla

h(x)=2\sin x+1.

El periodo sigue siendo $2\pi$ . Las alturas se multiplican por 2 y después aumentan en 1. Por eso:

\operatorname{Im}(h)=[-1,3].

Practica

Ponte a prueba

Tres ejercicios resueltos paso a paso, de menor a mayor dificultad. Inténtalos antes de abrir la solución.

Básico

1Las condiciones de dominio deben cumplirse a la vez

Halla el dominio real de cada expresión. Escribe primero las condiciones y después el resultado con intervalos.

f(x)=\frac{3x+1}{x-4}.

g(x)=\sqrt{7-2x}.

h(x)=\ln(x+3).

p(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x-1}.

q(x)=\frac{\ln(5-x)}{(x-2)\sqrt{x+1}}.

f
Para $q$ , comprueba una entrada admitida y explica por qué quedan excluidas las entradas $-1$ , $2$ y $5$ .

Muestra la solución

a
$x-4\ne0$ :

\boxed{(-\infty,4)\cup(4,+\infty)}.

b
$7-2x\geq0$ , es decir, $x\leq7/2$ :

\boxed{(-\infty,7/2]}.

c
$x+3>0$ :

\boxed{(-3,+\infty)}.

d
Se necesita $x+2\geq0$ y $x\ne1$ :

\boxed{[-2,1)\cup(1,+\infty)}.

e
Las condiciones son:

5-x>0,\qquad x-2\ne0,\qquad x+1>0.

La última es estricta porque la raíz está en el denominador. Así:

\boxed{(-1,2)\cup(2,5)}.

f
$x=0$ es admisible:

q(0)=\frac{\ln5}{-2}.

En $x=-1$ , la raíz del denominador es cero.
En $x=2$ , el factor $x-2$ es cero.
En $x=5$ , aparece $\ln0$ .

Ningún gráfico correcto puede contener puntos con estas tres entradas.

Intermedio

2Funciones a trozos: primero la rama, después el cálculo

f(x)= \begin{cases} x+3,&x<0,\\ x^2,&0\leq x\leq2,\\ 6-x,&x>2. \end{cases}

a
Calcula $f(-3)$ , $f(-1)$ , $f(0)$ , $f(1)$ , $f(2)$ , $f(3)$ y $f(6)$ .

b
Representa cada rama solo en su intervalo. Marca todos los extremos abiertos o cerrados.

c
Halla el dominio, los ceros y el signo de la función.

d
Halla la imagen a partir de las imágenes de las tres ramas.

e
Explica por qué $(0,3)$ no pertenece al gráfico, pero $(0,0)$ sí. Explica también qué ocurre con los extremos de las dos ramas que llegan a $x=2$ , sin estudiar continuidad.

Muestra la solución

$x$	$-3$	$-1$	0	1	2	3	6
$f(x)$	0	2	0	1	4	3	0

Primera rama: recta $y=x+3$ , para $x<0$ , punto abierto en $(0,3)$ .
Segunda: parábola $y=x^2$ , para $0\leq x\leq2$ , puntos cerrados en $(0,0)$ y $(2,4)$ .
Tercera: recta $y=6-x$ , para $x>2$ , extremo abierto en $(2,4)$ .

En el gráfico total, $(2,4)$ está incluido gracias a la rama central.

c
Dominio: $\mathbb R$ . Ceros: $-3,0,6$ .

f(x)>0\text{ a }(-3,0)\cup(0,6),

f(x)<0\text{ a }(-\infty,-3)\cup(6,+\infty).

d
Imágenes de las ramas:

(-\infty,3),\qquad[0,4],\qquad(-\infty,4).

La unión es:

\boxed{(-\infty,4]}.

e
La primera rama no admite $x=0$ , pero la central sí. Por eso $f(0)=0$ y el punto del gráfico con entrada 0 es $(0,0)$ .

En $x=2$ , la rama central incluye el punto $(2,4)$ ; la tercera no incluye su extremo. No hace falta estudiar continuidad para decidir esta inclusión.

Tipo PAU

3Tipo PAU: tarifa de envío y composición

Práctica original de estilo PAU; no corresponde a una convocatoria oficial.

Una empresa calcula el precio de enviar un paquete según la masa $w$ , en kilogramos:

\begin{aligned} &T(w)=\\ &\begin{cases} 4+1,5w,&0<w\leq2,\\ 7+0,8(w-2),&2<w\leq10. \end{cases} \end{aligned}

El precio $T(w)$ se expresa en euros. No se admiten paquetes de masa superior a 10 kg.

a
Identifica las variables y las unidades. Da el dominio y la imagen de $T$ .

b
Calcula el coste de los paquetes de 0,5 kg, 2 kg, 2,5 kg y 10 kg. Representa el gráfico con los extremos correspondientes.

c
Cada artículo pesa 0,5 kg y el embalaje pesa 0,5 kg. Si se envían $n$ artículos, escribe la masa $W(n)$ y determina los valores enteros admisibles de $n$ , suponiendo que se envía al menos uno.

d
Halla $C(n)=T(W(n))$ . Escríbela a trozos, respetando el dominio entero. Calcula $C(3)$ y $C(4)$ .

e
Con un presupuesto máximo de 10 €, ¿cuál es el mayor número de artículos que se pueden enviar? Comprueba el resultado y el número entero siguiente.

f
Explica por qué el gráfico de $T$ contiene tramos de recta, pero el de $C$ , con el dominio establecido, solo contiene puntos aislados.

Muestra la solución

a
$w$ es la masa en kg; $T(w)$ , el precio en euros.

\boxed{\operatorname{Dom}(T)=(0,10]}.

En la primera rama, los precios van de más de 4 € hasta 7 €:

(4,7].

En la segunda, van de más de 7 € hasta:

T(10)=7+0,8\cdot8=13,4.

Por tanto:

\boxed{\operatorname{Im}(T)=(4;13{,}4]}.

$T(0,5)=4+1,5\cdot0,5=4,75$ €;
$T(2)=7$ €;
$T(2,5)=7+0,8\cdot0,5=7,40$ €;
$T(10)=13,40$ €.

Gráfico:

primer tramo: del extremo abierto $(0,4)$ al punto cerrado $(2,7)$ ;
segundo tramo: extremo abierto en $(2,7)$ y cerrado en $(10;13{,}4)$ .

En el gráfico total, $(2,7)$ está incluido por la primera rama.

W(n)=0,5n+0,5.

Como $n\geq1$ es entero y la masa no puede superar 10 kg:

0,5n+0,5\leq10 \Rightarrow n\leq19.

\boxed{n\in\{1,2,\ldots,19\}}.

d
Para aplicar la primera rama:

0,5n+0,5\leq2 \Rightarrow n\leq3.

Por tanto:

\begin{aligned} &C(n)=\\ &\begin{cases} 4,75+0,75n,&n\in\{1,2,3\},\\ 5,8+0,4n,&n\in\{4,5,\ldots,19\}. \end{cases} \end{aligned}

La segunda fórmula resulta de:

7+0,8(0,5n+0,5-2) =5,8+0,4n.

Comprobación:

$C(3)=7$ € y $C(4)=7,4$ €.

Las masas son, respectivamente, 2 kg y 2,5 kg, de acuerdo con el apartado anterior.

e
Los tres primeros números de artículos cumplen el presupuesto.

En la segunda rama:

5,8+0,4n\leq10 \Rightarrow n\leq10,5.

Como $n$ es entero:

\boxed{n_{\max}=10}.

Comprobación:

$C(10)=9,8$ €, que no supera los 10 €;
$C(11)=10,2$ €, que supera los 10 €.

f
La masa $w$ se trata como una variable continua: entre dos masas admitidas hay otras masas posibles. En cambio, $n$ cuenta artículos y solo toma valores enteros. Por eso el gráfico de $C$ contiene puntos aislados, no segmentos que unan entradas no enteras.

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Funciones: dominio, gráficos y composición

D1. Sustitución

D2. Factorización

D3. Ecuaciones sencillas

D4. Inecuaciones sencillas

Reparación según tu intento

Una función no es solo una expresión

Dominio e imagen

Cómo reconocer una función en un gráfico

Ejemplo explicado: coste de un servicio

Las tres restricciones básicas

Intervalos

Ejemplo 1: una raíz

Ejemplo 2: raíz en el denominador

Ejemplo 3: restricciones combinadas

Simplificar no recupera los valores excluidos

Cortes con los ejes

Signo

Crecimiento y decrecimiento, sin derivadas

Simetrías

Transformaciones sencillas

7.1. Rectas

7.2. Parábolas

7.3. Polinomios factorizados sencillos

Ejemplo: r(x)=1/xr(x)=1/xr(x)=1/x

9.1. Exponenciales

Crecimiento lineal y exponencial

9.2. Logaritmos

9.3. Exponencial y logaritmo son inversos

9.4. Propiedades y condiciones

Ejemplo de ecuación

Primero elige la rama; después calcula

Construcción del gráfico

Ejemplo

Dominio de la composición

Ejemplo con restricción

Raíces pares

Raíces impares

13.1. Radianes

13.2. Circunferencia unidad

13.3. Valores notables

13.4. Dominios, imágenes y periodos

13.5. Gráficos básicos

Transformación sencilla

1Las condiciones de dominio deben cumplirse a la vez

2Funciones a trozos: primero la rama, después el cálculo

3Tipo PAU: tarifa de envío y composición

Ejemplo: $r(x)=1/x$