Matemàtiques · 2n de Batxillerat · PAU

Funcions: domini, gràfics i composició

On està definida una funció, com es llegeix i es dibuixa el seu gràfic, com es tria la branca d’una funció a trossos i com es compon. Llegeix cada apartat i juga amb la figura del costat.

16 min de lectura
12 figures interactives
3 exercicis resolts

llegeix i juga!

Abans de començar…

Sumar o multiplicar?

Dues quantitats comencen totes dues a 100. A la primera li sumem 50 cada any; la segona creix un 10 % cada any. Al principi no hi ha color: el 10 % de 100 són només 10.

Però el 10 % es calcula cada any sobre una quantitat més gran. La recta va davant durant 28 anys, i l’any 29 l’exponencial la passa i ja no l’atrapa mai. Una funció és la regla que diu quina sortida correspon a cada entrada, i en aquesta pàgina aprendràs a llegir-les: on estan definides, com és el seu gràfic i com es combinen.

Mira el vídeo i després canvia tu els números: amb quins valors guanya abans l’exponencial?

Mira-ho en 40 segons

Ara prova-ho tu:

Models: L(t) = 100 + a·t, que suma sempre el mateix, i E(t) = 100·(1 + p)ᵗ, que multiplica sempre pel mateix factor. Es compten anys sencers.

Què aprendràs

El nucli compartit de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials i Matemàtiques inclou:

el concepte de funció;
el domini, la imatge i el valor d’una funció;
les funcions polinòmiques, racionals, exponencials, logarítmiques i a trossos;
la lectura i la construcció de gràfics bàsics;
les transformacions de gràfics;
la composició de funcions.

L’ampliació de Matemàtiques afegeix:

les funcions irracionals, amb arrels parelles i senars;
les funcions trigonomètriques: sinus, cosinus i tangent.

Les arrels també apareixen en alguns exercicis de domini del nucli compartit. Això no converteix l’estudi complet de les funcions irracionals en una exigència comuna de les dues modalitats.

En aquest lot no estudiarem amb derivades els gràfics, ni calcularem límits o asímptotes. Tampoc estudiarem encara la continuïtat o la derivabilitat de les funcions a trossos. Primer necessitem saber què representa una funció, on està definida i com llegir-ne el gràfic.

Abans de començar: quatre comprovacions breus

Fes aquests intents abans de consultar les respostes. Escriu els passos: el resultat sol no permet veure com has raonat.

D1. Substitució

Si $f(x)=x^2-3x+1$ , calcula $f(-2)$ .

D2. Factorització

Factoritza:

x^2-5x+6.

D3. Equacions senzilles

Resol:

3x-6=0, \qquad x^2-9=0.

D4. Inequacions senzilles

Resol i escriu la resposta amb intervals:

2x+4\geq 0, \qquad 5-x>0.

Reparació segons el teu intent

No cal repassar-ho tot si ja ho resols bé.

Si en el teu intent passa això…	Fes aquesta reparació
En substituir un nombre negatiu, perds un signe	Escriu el nombre entre parèntesis en cada aparició: $(-2)^2-3(-2)+1$ .
No trobes els factors del trinomi	Busca dos nombres que sumin $-5$ i multipliquin $6$ . Després comprova el producte.
A $x^2=9$ només trobes una solució	Comprova tant $3$ com $-3$ : tots dos tenen quadrat $9$ .
En una inequació canvies de signe sense justificar-ho	Recorda que el sentit de la desigualtat només s’inverteix en multiplicar o dividir per un nombre negatiu.
Resolts les condicions per separat, però no saps combinar-les	Dibuixa els intervals sobre la mateixa recta i queda’t amb la part comuna.

Respostes per comprovar després de l’intent

D1: $f(-2)=4+6+1=11$ .
D2: $(x-2)(x-3)$ , perquè el producte és $x^2-5x+6$ .
D3: $x=2$ ; i $x=-3$ o $x=3$ .
D4: $x\geq-2$ , és a dir, $[-2,+\infty)$ ; i $x<5$ , és a dir, $(-\infty,5)$ .

Si necessites reparació, resol després $h(-1)$ , amb $h(x)=2x^2-x$ , factoritza $x^2-7x+12$ i resol $3-x\geq0$ . Els resultats són $3$ , $(x-3)(x-4)$ i $(-\infty,3]$ .

Què és una funció?

Una funció assigna a cada entrada admesa una única sortida.

Si escrivim

y=f(x),

$x$ és la variable independent: l’entrada;
$y$ és la variable dependent: el resultat depèn de $x$ ;
$f(x)$ és el valor que la funció assigna a $x$ .

Una funció no és només una expressió

L’expressió indica com es calcula el resultat. Però també cal saber quines entrades s’admeten.

Per exemple:

f:[0,3]\longrightarrow\mathbb R,\qquad f(x)=x^2

g:\mathbb R\longrightarrow\mathbb R,\qquad g(x)=x^2

tenen la mateixa fórmula, però no són la mateixa funció, perquè tenen dominis diferents.

Domini i imatge

Domini: conjunt de valors que pot prendre l’entrada.
Imatge: conjunt de resultats que la funció arriba a prendre.

Per a $f(x)=x^2$ , amb domini $\mathbb R$ :

\operatorname{Dom}(f)=\mathbb R, \qquad \operatorname{Im}(f)=[0,+\infty).

La imatge no conté nombres negatius, perquè el quadrat d’un nombre real no és negatiu.

Si restringim el domini a $[0,3]$ , la imatge passa a ser $[0,9]$ .

Com reconèixer una funció en un gràfic

Una recta vertical no pot tallar el gràfic en dos punts diferents.

Causa: una mateixa entrada no pot tenir dues sortides.
Conseqüència: si una vertical talla la corba dues vegades, aquella corba no representa $y$ com a funció de $x$ .

De l’enunciat a la fórmula, la taula i el gràfic

Exemple explicat: cost d’un servei

Un servei cobra 4 € fixos i 1,50 € per quilòmetre recorregut.

Variables
- $x$ : distància, en quilòmetres.
- $C(x)$ : cost, en euros.
Fórmula

C(x)=4+1,5x.

Domini admissible

x\geq0.

La fórmula es pot calcular per a $x=-2$ , però una distància recorreguda negativa no té sentit en aquest model. Per això el domini del problema és $[0,+\infty)$ .

Taula

$x$ , en km	0	2	4
$C(x)$ , en €	4	7	10

Gràfic

Representa els punts $(0,4)$ , $(2,7)$ i $(4,10)$ . El gràfic és una semirecta que comença a $(0,4)$ , perquè només admetem $x\geq0$ .

El pendent és 1,5 €/km. Això significa que cada quilòmetre addicional augmenta el cost en 1,50 €.

Connexió entre representacions: l’enunciat dona el cost fix i el cost per quilòmetre; aquests valors determinen la fórmula; la fórmula genera la taula; la taula ajuda a dibuixar i comprovar el gràfic.

Domini real: les condicions s’han de complir alhora

Quan només es dona una fórmula, busquem habitualment el conjunt més gran de nombres reals per als quals es pot calcular.

Les tres restriccions bàsiques

Expressió	Condició	Motiu
$\dfrac{A(x)}{B(x)}$	$B(x)\ne0$	No es pot dividir per zero.
$\sqrt{A(x)}$ , o una altra arrel parella	$A(x)\geq0$	Una arrel parella de radicand negatiu no és real.
$\log_a(A(x))$	$A(x)>0$	El logaritme real només admet arguments positius.

En un logaritme, la base també ha de complir:

a>0,\qquad a\ne1.

Intervals

$[a,b]$ : inclou els dos extrems.
$(a,b)$ : no inclou cap extrem.
$[a,b)$ : inclou $a$ , però no $b$ .
$\cup$ : unió de trams.
$\cap$ : part comuna dels conjunts.

L’infinit no és un nombre que es pugui incloure. Per això sempre escrivim parèntesis al costat de $+\infty$ o $-\infty$ .

Exemple 1: una arrel

f(x)=\sqrt{5-2x}.

Cal que:

5-2x\geq0 \quad\Longrightarrow\quad x\leq\frac52.

Per tant:

\operatorname{Dom}(f)=\left(-\infty,\frac52\right].

L’extrem s’inclou perquè $\sqrt0=0$ .

Exemple 2: arrel al denominador

g(x)=\frac1{\sqrt{x+3}}.

L’arrel exigeix $x+3\geq0$ . Però el denominador no pot ser zero. Les dues condicions juntes donen:

x+3>0.

Així:

\operatorname{Dom}(g)=(-3,+\infty).

Exemple 3: restriccions combinades

h(x)=\frac{\ln(4-x)}{(x-2)\sqrt{x+1}}.

Hem d’imposar simultàniament:

4-x>0,\qquad x-2\ne0,\qquad x+1>0.

L’última desigualtat és estricta perquè l’arrel és al denominador.

Per tant:

x<4,\qquad x\ne2,\qquad x>-1,

i el domini és:

\boxed{(-1,2)\cup(2,4)}.

Comprovació: $x=0$ és admissible; $x=-1$ anul·la el denominador; $x=2$ també l’anul·la; $x=4$ produeix $\ln0$ .

Simplificar no recupera els valors exclosos

Considera:

r(x)=\frac{x^2-4}{x-2}.

La fórmula original exigeix $x\ne2$ . Si factoritzem:

r(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2, \qquad x\ne2.

El gràfic coincideix amb la recta $y=x+2$ , però té un punt buit a $(2,4)$ .

Si poséssim domini $\mathbb R$ , definiríem una altra funció. La simplificació només és vàlida quan el factor cancel·lat no és zero.

Com llegir i construir un gràfic bàsic

Segueix aquest ordre:

Identifica les variables i les unitats.
Troba el domini.
Calcula els talls amb els eixos.
Estudia el signe quan sigui senzill.
Busca simetries o transformacions conegudes.
Calcula punts útils.
Dibuixa només on la funció està definida.
Comprova que el dibuix respecta la fórmula.

Talls amb els eixos

Amb l’eix vertical: calcula $f(0)$ , si $0$ pertany al domini.
Amb l’eix horitzontal: resol $f(x)=0$ , i comprova que les solucions pertanyen al domini.

Signe

$f(x)>0$ : gràfic per damunt de l’eix horitzontal.
$f(x)<0$ : gràfic per sota.
$f(x)=0$ : punts de tall amb aquest eix.

Creixement i decreixement, sense derivades

En un tram, una funció és creixent si, en augmentar l’entrada, augmenta la sortida. És decreixent si la sortida disminueix.

Una taula amb pocs punts pot orientar el dibuix, però no demostra tota sola què passa entre aquests punts. Fes-la servir juntament amb la forma coneguda de la funció.

Simetries

Per parlar d’una funció parella o senar, el domini ha de ser simètric respecte de 0: si admet $x$ , també ha d’admetre $-x$ . A més, la igualtat corresponent ha de complir-se per a totes les entrades del domini:

$f(-x)=f(x)$ : simetria respecte de l’eix vertical; funció parella.
$f(-x)=-f(x)$ : simetria respecte de l’origen; funció senar.

Transformacions senzilles

A partir de $y=f(x)$ :

Nova fórmula	Canvi en el gràfic
$f(x)+k$	Desplaçament vertical de $k$ .
$f(x-h)$	Desplaçament horitzontal de $h$ cap a la dreta, si $h>0$ .
$-f(x)$	Reflexió respecte de l’eix horitzontal.
$f(-x)$	Reflexió respecte de l’eix vertical.
$a f(x)$	Multiplicació de les altures per $a$ .

Per exemple, $(x-2)^2+1$ és el gràfic de $x^2$ desplaçat 2 unitats a la dreta i 1 amunt. Per això el vèrtex passa de $(0,0)$ a $(2,1)$ .

Funcions polinòmiques

Una funció polinòmica té una fórmula de la forma:

p(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0.

Els exponents són enters no negatius. El seu domini real és $\mathbb R$ , perquè les sumes i els productes que hi apareixen estan definits per a qualsevol nombre real.

7.1. Rectes

f(x)=mx+b.

$m$ : pendent.
$b=f(0)$ : tall amb l’eix vertical.
Si $m>0$ , la funció és creixent.
Si $m<0$ , és decreixent.
Si $m=0$ , és constant.

Exemple

f(x)=2x-4.

Talls:

f(0)=-4, \qquad 2x-4=0\Longrightarrow x=2.

Representa $(0,-4)$ i $(2,0)$ , i dibuixa la recta que els uneix.

7.2. Paràboles

f(x)=ax^2+bx+c,\qquad a\ne0.

Si $a>0$ , la paràbola s’obre cap amunt.
Si $a<0$ , s’obre cap avall.
L’eix de simetria és $x=-b/(2a)$ .
El vèrtex s’obté substituint aquest valor a la fórmula.

Exemple

\begin{aligned} f(x)&=x^2-4x+3\\ &=(x-2)^2-1=(x-1)(x-3). \end{aligned}

Cada forma aporta informació diferent:

$(x-2)^2-1$ : vèrtex $(2,-1)$ .
$(x-1)(x-3)$ : zeros $1$ i $3$ .
$x^2-4x+3$ : tall vertical $(0,3)$ .

$x$	0	1	2	3	4
$f(x)$	3	0	$-1$	0	3

Com que $(x-2)^2\geq0$ , tenim $f(x)\geq-1$ . Per tant:

\operatorname{Im}(f)=[-1,+\infty).

7.3. Polinomis factoritzats senzills

p(x)=x(x-1)(x+2).

Els zeros són $-2$ , $0$ i $1$ . Aquests valors divideixen la recta en trams.

Tram	Signe de $p(x)$
$x<-2$	Negatiu
$-2<x<0$	Positiu
$0<x<1$	Negatiu
$x>1$	Positiu

Per comprovar els signes, pots substituir un nombre de cada tram.

Atenció: un zero no sempre implica canvi de signe. A $(x-1)^2$ , el factor és positiu als dos costats d’1. Per això el gràfic toca l’eix, però no passa d’un costat a l’altre.

Amb zeros, signes i punts pots fer un esbós. No cal buscar ara amb derivades els punts on el gràfic canvia de direcció.

Funcions racionals

Són quocients de polinomis:

r(x)=\frac{P(x)}{Q(x)},

amb $Q$ no idènticament nul.

El domini exclou els zeros del denominador.

Exemple: $r(x)=1/x$

\operatorname{Dom}(r)=(-\infty,0)\cup(0,+\infty).

$x$	$-2$	$-1$	$-1/2$	$1/2$	1	2
$1/x$	$-1/2$	$-1$	$-2$	2	1	$1/2$

No talla l’eix vertical, perquè $x=0$ no és admissible.
No talla l’eix horitzontal, perquè $1/x$ no pot ser zero.
És negativa per a $x<0$ i positiva per a $x>0$ .
Té simetria respecte de l’origen.

Dibuixa els dos trams separadament. No els uneixis passant per $x=0$ : això afegiria punts que no pertanyen a la funció.

Aquí només representem la forma bàsica. El càlcul d’asímptotes es deixa per a un altre lot.

Funcions exponencials i logarítmiques

9.1. Exponencials

f(x)=a^x,\qquad a>0,\quad a\ne1.

Aquestes condicions permeten definir l’exponencial per a qualsevol exponent real. La base $1$ donaria una funció constant, no una exponencial invertible.

\operatorname{Dom}(f)=\mathbb R, \qquad \operatorname{Im}(f)=(0,+\infty).

Si $a>1$ , és creixent.
Si $0<a<1$ , és decreixent.
Sempre passa per $(0,1)$ .

Exemple

$x$	$-2$	$-1$	0	1	2	3
$2^x$	$1/4$	$1/2$	1	2	4	8

Creixement lineal i exponencial

Model	Què passa quan l’entrada augmenta una unitat?
$L(t)=100+20t$	La sortida augmenta sempre en 20.
$E(t)=100\cdot1,2^t$	La sortida es multiplica sempre per 1,2.

En el model exponencial, un augment del 20 % es calcula sobre una quantitat que va canviant. Per això els increments absoluts no són constants.

9.2. Logaritmes

y=\log_a x \quad\Longleftrightarrow\quad a^y=x.

El logaritme respon a la pregunta: a quin exponent he d’elevar la base per obtenir aquest nombre?

Per exemple:

\log_2 8=3,

perquè $2^3=8$ .

\begin{gathered} \operatorname{Dom}(\log_a x)=(0,+\infty),\\ \operatorname{Im}(\log_a x)=\mathbb R. \end{gathered}

Si $a>1$ , és creixent.
Si $0<a<1$ , és decreixent.
Passa per $(1,0)$ .

Notacions habituals:

\begin{gathered} \ln x=\log_e x,\\ \log_{10}x=\text{logaritme decimal}. \end{gathered}

Comprova quina base correspon a la tecla log de la calculadora.

9.3. Exponencial i logaritme són inverses

\log_a(a^x)=x\qquad(x\in\mathbb R),

a^{\log_a x}=x\qquad(x>0).

Una operació desfà l’altra. Per això els gràfics de $a^x$ i $\log_a x$ són simètrics respecte de la recta $y=x$ .

Per exemple, $(3,8)$ és al gràfic de $2^x$ , i $(8,3)$ és al de $\log_2x$ .

9.4. Propietats i condicions

Per a $u,v>0$ , $a>0$ , $a\ne1$ , i $r\in\mathbb R$ :

\log_a(uv)=\log_a u+\log_a v,

\log_a\left(\frac uv\right)=\log_a u-\log_a v,

\log_a(u^r)=r\log_a u.

La primera propietat deriva de la regla dels exponents: si $u=a^m$ i $v=a^n$ , aleshores $uv=a^{m+n}$ . Per tant, el logaritme del producte és $m+n$ .

Les condicions importen. Per exemple:

\ln(x^2)=2\ln|x|\qquad(x\ne0),

però $\ln(x^2)=2\ln x$ només és vàlid per a $x>0$ .

No hi ha una regla semblant per a les sumes:

\log_a(u+v)\ne\log_a u+\log_a v

en general. Amb base 2, $\log_2(2+2)=2$ , però $\log_2 2+\log_2 2=2$ coincideix accidentalment; amb $u=v=1$ , els resultats són $1$ i $0$ , i ja es veu que no és una identitat.

Exemple d’equació

3^{2x-1}=7.

Apliquem $\ln$ :

(2x-1)\ln3=\ln7.

Així:

x=\frac{1+\ln7/\ln3}{2}.

La comprovació exacta és:

3^{2x-1}=3^{\log_3 7}=7.

Funcions a trossos

Una funció a trossos utilitza fórmules diferents segons el valor de l’entrada.

f(x)= \begin{cases} x+2,&x<0,\\ x^2,&0\leq x\leq2,\\ 5-x,&x>2. \end{cases}

Primer tria la branca; després calcula

$f(-1)=-1+2=1$ , perquè $-1<0$ .
$f(0)=0^2=0$ , perquè $0$ pertany al tram central.
$f(2)=2^2=4$ , perquè $2$ també pertany al tram central.
$f(3)=5-3=2$ , perquè $3>2$ .

No es tria la fórmula que dona el resultat més còmode. La tria depèn de l’interval.

Construcció del gràfic

Dibuixa $y=x+2$ només per a $x<0$ .
- Punt obert a $(0,2)$ .
Dibuixa $y=x^2$ només per a $0\leq x\leq2$ .
- Punts tancats a $(0,0)$ i $(2,4)$ .
Dibuixa $y=5-x$ només per a $x>2$ .
- Punt obert a $(2,3)$ .

Un punt obert mostra que aquella branca no inclou l’extrem. Un punt tancat indica un valor efectiu de la funció.

Comprovació essencial: sobre $x=0$ , només $(0,0)$ pertany al gràfic; sobre $x=2$ , només $(2,4)$ hi pertany.

Composició de funcions

Compondre és fer dues operacions successives.

(f\circ g)(x)=f(g(x)).

L’ordre és:

x\ \xrightarrow{\ g\ }\ g(x)\ \xrightarrow{\ f\ }\ f(g(x)).

Exemple

f(x)=x^2,\qquad g(x)=x+1,

aleshores:

(f\circ g)(x)=(x+1)^2,

(g\circ f)(x)=x^2+1.

No coincideixen. Per a $x=1$ , donen $4$ i $2$ .

Tampoc són el producte:

(fg)(x)=f(x)g(x)=x^2(x+1).

Domini de la composició

Cal que es compleixin dues condicions:

x\in\operatorname{Dom}(g) \quad\text{i}\quad g(x)\in\operatorname{Dom}(f).

La primera operació ha de ser possible i el seu resultat ha de servir com a entrada de la segona.

Exemple amb restricció

f(u)=\ln u,\qquad g(x)=9-x^2.

Aleshores:

(f\circ g)(x)=\ln(9-x^2).

Com que $g$ és un polinomi, admet tot $x$ real. Però el logaritme exigeix:

9-x^2>0 \quad\Longrightarrow\quad -3<x<3.

Per tant:

\operatorname{Dom}(f\circ g)=(-3,3).

En l’ordre contrari:

(g\circ f)(x)=9-(\ln x)^2,

i només cal $x>0$ . Elevar al quadrat el resultat d’un logaritme no afegeix cap restricció.

Ampliació de Matemàtiques

Funcions irracionals

En aquest lot, treballem fórmules en què la variable apareix dins d’una arrel.

Arrels parelles

f(x)=\sqrt{x}.

\operatorname{Dom}(f)=[0,+\infty), \qquad \operatorname{Im}(f)=[0,+\infty).

Punts útils:

(0,0),\ (1,1),\ (4,2),\ (9,3).

El gràfic és creixent. No és una recta: augmentar $x$ en la mateixa quantitat no produeix sempre el mateix augment de $\sqrt{x}$ .

Transformació

g(x)=\sqrt{x-2}+1.

El gràfic es desplaça 2 unitats a la dreta i 1 amunt:

\operatorname{Dom}(g)=[2,+\infty), \qquad \operatorname{Im}(g)=[1,+\infty).

Arrels senars

h(x)=\sqrt[3]{x}.

Una arrel senar admet radicands negatius:

\sqrt[3]{-8}=-2.

Per tant:

\operatorname{Dom}(h)=\mathbb R, \qquad \operatorname{Im}(h)=\mathbb R.

Punts útils:

(-8,-2),\ (-1,-1),\ (0,0),\ (1,1),\ (8,2).

És creixent i té simetria respecte de l’origen.

Si l’arrel és al denominador, encara cal evitar el zero. Per exemple:

\frac1{\sqrt[3]{x-1}}

té domini $\mathbb R\setminus\{1\}$ .

Funcions trigonomètriques

13.1. Radians

Un radian correspon a un angle que determina, en una circumferència, un arc de longitud igual al radi.

Una volta completa és:

360^\circ=2\pi\text{ radians}.

Conversions:

\text{radians}=\text{graus}\cdot\frac{\pi}{180},

\text{graus}=\text{radians}\cdot\frac{180}{\pi}.

Per exemple:

60^\circ=\frac{\pi}{3}, \qquad \frac{3\pi}{4}=135^\circ.

En les funcions trigonomètriques d’aquest lot, l’entrada és en radians. Per això has de posar la calculadora en mode RAD.

13.2. Circumferència unitat

En una circumferència de radi 1 centrada a l’origen, el punt associat a l’angle $x$ té coordenades:

(\cos x,\sin x).

El cosinus és la coordenada horitzontal.
El sinus és la coordenada vertical.
La tangent és:

\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},

sempre que $\cos x\ne0$ .

13.3. Valors notables

$x$	$0$	$\pi/6$	$\pi/4$	$\pi/3$	$\pi/2$	$\pi$
$\sin x$	0	$1/2$	$\sqrt2/2$	$\sqrt3/2$	1	0
$\cos x$	1	$\sqrt3/2$	$\sqrt2/2$	$1/2$	0	$-1$
$\tan x$	0	$\sqrt3/3$	1	$\sqrt3$	No definida	0

La tangent no està definida a $\pi/2$ , perquè el seu denominador és zero.

13.4. Dominis, imatges i períodes

Un període és una longitud horitzontal després de la qual els valors es repeteixen.

Funció	Domini	Imatge	Període fonamental
$\sin x$	$\mathbb R$	$[-1,1]$	$2\pi$
$\cos x$	$\mathbb R$	$[-1,1]$	$2\pi$
$\tan x$	$\mathbb R\setminus\{\pi/2+k\pi:k\in\mathbb Z\}$	$\mathbb R$	$\pi$

13.5. Gràfics bàsics

Sinus: dibuixa una corba suau que passi per:

\begin{gathered} (0,0),\quad \left(\frac\pi2,1\right),\quad (\pi,0),\\ \left(\frac{3\pi}2,-1\right),\quad (2\pi,0). \end{gathered}

Després repeteix el patró cada $2\pi$ .

Cosinus:

\begin{gathered} (0,1),\quad \left(\frac\pi2,0\right),\quad (\pi,-1),\\ \left(\frac{3\pi}2,0\right),\quad (2\pi,1). \end{gathered}

Tangent: al tram $(-\pi/2,\pi/2)$ , representa:

\left(-\frac\pi4,-1\right),\quad(0,0),\quad \left(\frac\pi4,1\right).

El tram és creixent. Repeteix-lo cada $\pi$ , sense dibuixar punts en les entrades excloses ni unir els trams a través d’aquestes entrades.

Transformació senzilla

h(x)=2\sin x+1.

El període continua sent $2\pi$ . Les altures es multipliquen per 2 i després augmenten en 1. Per això:

\operatorname{Im}(h)=[-1,3].

Practica

Posa’t a prova

Tres exercicis resolts pas a pas, de menys a més difícils. Intenta’ls abans d’obrir la solució.

Bàsic

1Les condicions de domini s’han de complir alhora

Troba el domini real de cada expressió. Escriu primer les condicions i després el resultat amb intervals.

f(x)=\frac{3x+1}{x-4}.

g(x)=\sqrt{7-2x}.

h(x)=\ln(x+3).

p(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x-1}.

q(x)=\frac{\ln(5-x)}{(x-2)\sqrt{x+1}}.

f
Per a $q$ , comprova una entrada admesa i explica per què queden excloses les entrades $-1$ , $2$ i $5$ .

Mostra la solució

a
$x-4\ne0$ :

\boxed{(-\infty,4)\cup(4,+\infty)}.

b
$7-2x\geq0$ , és a dir, $x\leq7/2$ :

\boxed{(-\infty,7/2]}.

c
$x+3>0$ :

\boxed{(-3,+\infty)}.

d
Cal $x+2\geq0$ i $x\ne1$ :

\boxed{[-2,1)\cup(1,+\infty)}.

e
Les condicions són:

5-x>0,\qquad x-2\ne0,\qquad x+1>0.

L’última és estricta perquè l’arrel és al denominador. Així:

\boxed{(-1,2)\cup(2,5)}.

f
$x=0$ és admissible:

q(0)=\frac{\ln5}{-2}.

A $x=-1$ , l’arrel del denominador és zero.
A $x=2$ , el factor $x-2$ és zero.
A $x=5$ , apareix $\ln0$ .

Cap gràfic correcte pot contenir punts amb aquestes tres entrades.

Intermedi

2Funcions a trossos: primer la branca, després el càlcul

f(x)= \begin{cases} x+3,&x<0,\\ x^2,&0\leq x\leq2,\\ 6-x,&x>2. \end{cases}

a
Calcula $f(-3)$ , $f(-1)$ , $f(0)$ , $f(1)$ , $f(2)$ , $f(3)$ i $f(6)$ .

b
Representa cada branca només en el seu interval. Marca tots els extrems oberts o tancats.

c
Troba el domini, els zeros i el signe de la funció.

d
Troba la imatge a partir de les imatges de les tres branques.

e
Explica per què $(0,3)$ no pertany al gràfic, però $(0,0)$ sí. Explica també què passa amb els extrems de les dues branques que arriben a $x=2$ , sense estudiar continuïtat.

Mostra la solució

$x$	$-3$	$-1$	0	1	2	3	6
$f(x)$	0	2	0	1	4	3	0

Primera branca: recta $y=x+3$ , per a $x<0$ , punt obert a $(0,3)$ .
Segona: paràbola $y=x^2$ , per a $0\leq x\leq2$ , punts tancats a $(0,0)$ i $(2,4)$ .
Tercera: recta $y=6-x$ , per a $x>2$ , extrem obert a $(2,4)$ .

En el gràfic total, $(2,4)$ està inclòs gràcies a la branca central.

c
Domini: $\mathbb R$ . Zeros: $-3,0,6$ .

f(x)>0\text{ a }(-3,0)\cup(0,6),

f(x)<0\text{ a }(-\infty,-3)\cup(6,+\infty).

d
Imatges de les branques:

(-\infty,3),\qquad[0,4],\qquad(-\infty,4).

La unió és:

\boxed{(-\infty,4]}.

e
La primera branca no admet $x=0$ , però la central sí. Per això $f(0)=0$ i el punt del gràfic amb entrada 0 és $(0,0)$ .

A $x=2$ , la branca central inclou el punt $(2,4)$ ; la tercera no inclou el seu extrem. No cal estudiar continuïtat per decidir aquesta inclusió.

Tipus PAU

3Tipus PAU: tarifa d’enviament i composició

Pràctica original d’estil PAU; no correspon a una convocatòria oficial.

Una empresa calcula el preu d’enviar un paquet segons la massa $w$ , en quilograms:

\begin{aligned} &T(w)=\\ &\begin{cases} 4+1,5w,&0<w\leq2,\\ 7+0,8(w-2),&2<w\leq10. \end{cases} \end{aligned}

El preu $T(w)$ s’expressa en euros. No s’admeten paquets de massa superior a 10 kg.

a
Identifica les variables i les unitats. Dona el domini i la imatge de $T$ .

b
Calcula el cost dels paquets de 0,5 kg, 2 kg, 2,5 kg i 10 kg. Representa el gràfic amb els extrems corresponents.

c
Cada article pesa 0,5 kg i l’embalatge pesa 0,5 kg. Si s’envien $n$ articles, escriu la massa $W(n)$ i determina els valors enters admissibles de $n$ , suposant que se n’envia almenys un.

d
Troba $C(n)=T(W(n))$ . Escriu-la a trossos, respectant el domini enter. Calcula $C(3)$ i $C(4)$ .

e
Amb un pressupost màxim de 10 €, quin és el nombre més gran d’articles que es poden enviar? Comprova el resultat i el nombre enter següent.

f
Explica per què el gràfic de $T$ conté trams de recta, però el de $C$ , amb el domini establert, només conté punts aïllats.

Mostra la solució

a
$w$ és la massa en kg; $T(w)$ , el preu en euros.

\boxed{\operatorname{Dom}(T)=(0,10]}.

A la primera branca, els preus van de més de 4 € fins a 7 €:

(4,7].

A la segona, van de més de 7 € fins a:

T(10)=7+0,8\cdot8=13,4.

Per tant:

\boxed{\operatorname{Im}(T)=(4;13{,}4]}.

$T(0,5)=4+1,5\cdot0,5=4,75$ €;
$T(2)=7$ €;
$T(2,5)=7+0,8\cdot0,5=7,40$ €;
$T(10)=13,40$ €.

Gràfic:

primer tram: de l’extrem obert $(0,4)$ al punt tancat $(2,7)$ ;
segon tram: extrem obert a $(2,7)$ i tancat a $(10;13{,}4)$ .

En el gràfic total, $(2,7)$ està inclòs per la primera branca.

W(n)=0,5n+0,5.

Com que $n\geq1$ és enter i la massa no pot superar 10 kg:

0,5n+0,5\leq10 \Rightarrow n\leq19.

\boxed{n\in\{1,2,\ldots,19\}}.

d
Per aplicar la primera branca:

0,5n+0,5\leq2 \Rightarrow n\leq3.

Per tant:

\begin{aligned} &C(n)=\\ &\begin{cases} 4,75+0,75n,&n\in\{1,2,3\},\\ 5,8+0,4n,&n\in\{4,5,\ldots,19\}. \end{cases} \end{aligned}

La segona fórmula resulta de:

7+0,8(0,5n+0,5-2) =5,8+0,4n.

Comprovació:

$C(3)=7$ € i $C(4)=7,4$ €.

Les masses són, respectivament, 2 kg i 2,5 kg, d’acord amb l’apartat anterior.

e
Els tres primers nombres d’articles compleixen el pressupost.

A la segona branca:

5,8+0,4n\leq10 \Rightarrow n\leq10,5.

Com que $n$ és enter:

\boxed{n_{\max}=10}.

Comprovació:

$C(10)=9,8$ €, que no supera els 10 €;
$C(11)=10,2$ €, que supera els 10 €.

f
La massa $w$ es tracta com una variable contínua: entre dues masses admeses hi ha altres masses possibles. En canvi, $n$ compta articles i només pren valors enters. Per això el gràfic de $C$ conté punts aïllats, no segments que uneixin entrades no enteres.

Funcions: domini, gràfics i composició

D1. Substitució

D2. Factorització

D3. Equacions senzilles

D4. Inequacions senzilles

Reparació segons el teu intent

Una funció no és només una expressió

Domini i imatge

Com reconèixer una funció en un gràfic

Exemple explicat: cost d’un servei

Les tres restriccions bàsiques

Intervals

Exemple 1: una arrel

Exemple 2: arrel al denominador

Exemple 3: restriccions combinades

Simplificar no recupera els valors exclosos

Talls amb els eixos

Signe

Creixement i decreixement, sense derivades

Simetries

Transformacions senzilles

7.1. Rectes

7.2. Paràboles

7.3. Polinomis factoritzats senzills

Exemple: r(x)=1/xr(x)=1/xr(x)=1/x

9.1. Exponencials

Creixement lineal i exponencial

9.2. Logaritmes

9.3. Exponencial i logaritme són inverses

9.4. Propietats i condicions

Exemple d’equació

Primer tria la branca; després calcula

Construcció del gràfic

Exemple

Domini de la composició

Exemple amb restricció

Arrels parelles

Arrels senars

13.1. Radians

13.2. Circumferència unitat

13.3. Valors notables

13.4. Dominis, imatges i períodes

13.5. Gràfics bàsics

Transformació senzilla

1Les condicions de domini s’han de complir alhora

2Funcions a trossos: primer la branca, després el càlcul

3Tipus PAU: tarifa d’enviament i composició

Exemple: $r(x)=1/x$