La base matemática antes del cálculo

1.1. Signos y orden de operaciones

Un signo menos puede tener funciones diferentes:

• En $-5$, forma parte del número.
• En $8-5$, indica una resta.
• En $-(x+2)$, indica el opuesto de toda la expresión.

Restar es sumar el opuesto:

$$7-(-3)=7+3=10.$$

En cambio:

$$-7-3=-7+(-3)=-10.$$

La regla “menos por menos es más” corresponde al producto y a la división. No permite convertir cualquier pareja de signos menos en un signo más sin mirar la operación.

El orden habitual es:

1. paréntesis;
2. potencias y raíces;
3. multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha;
4. sumas y restas, de izquierda a derecha.

Por ejemplo:

$$-2^2+3(5-7).$$

Primero calculamos la potencia y el paréntesis:

$$-2^2=-(2^2)=-4,\qquad 5-7=-2.$$

Por tanto:

$$-4+3(-2)=-4-6=-10.$$

En cambio, $(-2)^2=4$, porque el paréntesis hace que la base de la potencia sea todo el número $-2$.

Comprobación de significado: los paréntesis no son decorativos. Cambian qué queda afectado por una operación.

1.2. Fracciones: partes del mismo tamaño

Para sumar o restar fracciones, necesitamos un denominador común. Para multiplicarlas, no.

$$\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd}, \qquad \frac ab\cdot\frac cd=\frac{ac}{bd},$$

con los denominadores distintos de cero.

Para dividir por una fracción no nula, multiplicamos por su inversa:

$$\frac23:\frac45=\frac23\cdot\frac54=\frac56.$$

El ejemplo del diagnóstico queda así:

$$\frac23-\left(\frac54\right)\left(\frac25\right) =\frac23-\frac12 =\frac46-\frac36 =\boxed{\frac16}.$$

¿Por qué no restamos primero? Porque el producto tiene prioridad sobre la resta.

Una fracción también puede tener signo negativo:

$$\frac{-3}{4}=-\frac34=\frac3{-4}, \qquad \frac{-3}{-4}=\frac34.$$

1.3. Potencias negativas

Un exponente negativo indica un inverso:

$$a^{-n}=\frac1{a^n},\qquad a\neq0.$$

Por ejemplo:

$$2^{-3}=\frac1{2^3}=\frac18.$$

El exponente negativo no convierte el resultado en negativo. En este caso, el resultado es positivo y menor que 1.

Algunas reglas útiles son:

$$\begin{gathered} a^m a^n=a^{m+n}, \qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\\ (a^m)^n=a^{mn}. \end{gathered}$$

Las expresiones deben estar definidas. Para exponentes enteros, si aparecen denominadores o exponentes negativos, la base no puede ser cero. En este dosier, tampoco asignamos ningún valor a $0^0$.

1.4. Raíces y potencias fraccionarias en los números reales

Una raíz cuadrada es el número no negativo que, elevado al cuadrado, da el radicando:

$$\sqrt9=3.$$

Esto no es lo mismo que resolver $x^2=9$, que da dos soluciones:

$$x=3\quad\text{o}\quad x=-3.$$

El valor absoluto $|x|$ es la distancia de $x$ a cero: vale $x$ si $x\geq0$ y $-x$ si $x<0$. Siempre es no negativo.

Por eso:

$$\boxed{\sqrt{x^2}=|x|}.$$

Si $x=-4$, tenemos $\sqrt{(-4)^2}=4$, no $-4$.

Para interpretar $a^{m/n}$, escribimos la fracción $m/n$ simplificada, con $n>0$:

$$a^{m/n}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m.$$

Las condiciones reales son:

• Si $n$ es par, se necesita $a\geq0$.
• Si, además, $m<0$, se necesita $a>0$, porque aparece un inverso.
• Si $n$ es impar, se admiten bases negativas.
• Si $m<0$, la base no puede ser cero.

Ejemplos:

$$16^{3/4}=(\sqrt[4]{16})^3=2^3=8,$$

$$(-8)^{1/3}=-2,$$

$$9^{-1/2}=\frac1{\sqrt9}=\frac13.$$

En cambio, $(-9)^{1/2}$ no es real.

Para aplicar sin dificultades las reglas generales de potencias fraccionarias, trabajaremos con bases positivas. Con bases negativas, hay que revisar cada expresión.

1.5. Racionalización con el conjugado

Racionalizar es transformar una fracción en otra equivalente para eliminar una raíz del denominador.

El conjugado de $\sqrt3-1$ es $\sqrt3+1$. Los multiplicamos porque:

$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2.$$

Así:

$$\begin{aligned} \frac1{\sqrt3-1} &= \frac{\sqrt3+1}{(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)}\\ &= \frac{\sqrt3+1}{3-1} = \boxed{\frac{\sqrt3+1}{2}}. \end{aligned}$$

Hemos multiplicado numerador y denominador por el mismo número no nulo; por eso el valor no cambia.

Conexión con el paso 2: esta transformación funciona gracias a una identidad notable.

1.6. Intervalos

Los intervalos describen conjuntos de números:

• $(a,b)$: $a<x<b$.
• $[a,b]$: $a\leq x\leq b$.
• $[a,b)$: $a\leq x<b$.
• $(-\infty,b]$: $x\leq b$.

El infinito no es un número que podamos incluir; por eso siempre lleva paréntesis.

Por ejemplo:

$$x<-1\quad\text{o}\quad x\geq2$$

se escribe:

$$(-\infty,-1)\cup[2,\infty).$$

Conexión con los pasos siguientes: los intervalos permitirán expresar soluciones de inecuaciones y dominios de funciones.

2.1. ¿Qué es un polinomio?

Un polinomio es una suma de términos con potencias enteras no negativas de la variable:

$$P(x)=3x^3-2x^2+5x-7.$$

El grado es el mayor exponente con coeficiente no nulo. Aquí es 3.

Podemos sumar términos semejantes:

$$3x^2-5x^2=-2x^2.$$

Pero no podemos juntar $3x^2+5x$ como si fueran el mismo tipo de término.

2.2. Sacar factor común

La propiedad distributiva dice:

$$a(b+c)=ab+ac.$$

Leída al revés, permite factorizar:

$$ab+ac=a(b+c).$$

Ejemplo:

$$x^3-9x=x(x^2-9).$$

Como $x$ aparece en ambos términos, lo sacamos como factor común. Después reconocemos una diferencia de cuadrados:

$$x^2-9=x^2-3^2=(x-3)(x+3).$$

Por tanto:

$$\boxed{x^3-9x=x(x-3)(x+3)}.$$

¿Por qué interesa? Una expresión escrita como producto permite ver cuándo vale cero: basta con que un factor sea cero.

Comprobación: si desarrollamos $x(x-3)(x+3)$, recuperamos $x^3-9x$.

2.3. Identidades notables en los dos sentidos

Hay que reconocerlas tanto para desarrollar como para factorizar:

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,$$

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2,$$

$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2.$$

Por ejemplo:

$$(x+3)^2=x^2+6x+9,$$

y, en sentido inverso:

$$x^2+6x+9=(x+3)^2.$$

Un error frecuente es escribir $(a+b)^2=a^2+b^2$. Falta el término $2ab$, porque el producto completo contiene dos términos cruzados.

2.4. Factorización de segundo grado

Si un polinomio de segundo grado tiene raíces reales $r_1$ y $r_2$, podemos escribir:

$$ax^2+bx+c=a(x-r_1)(x-r_2).$$

Por ejemplo:

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3),$$

porque $-2-3=-5$ y $(-2)(-3)=6$.

No todos los polinomios de segundo grado se pueden factorizar en factores lineales reales. Por ejemplo, $x^2+1$ no tiene raíces reales.

2.5. Factorización por agrupación y Ruffini

Consideremos:

$$x^3-x^2-x+1.$$

Agrupamos:

$$\begin{aligned} &(x^3-x^2)+(-x+1)\\ &\quad=x^2(x-1)-(x-1). \end{aligned}$$

Ahora los dos términos tienen el factor $x-1$:

$$(x-1)(x^2-1) =(x-1)^2(x+1).$$

Por tanto:

$$\boxed{x^3-x^2-x+1=(x-1)^2(x+1)}.$$

También podemos llegar al mismo resultado con Ruffini, que sirve para dividir un polinomio por $x-r$.

Como $P(1)=1-1-1+1=0$, probamos a dividir por $x-1$:

$$\begin{array}{r|rrrr} 1&1&-1&-1&1\\ & &1&0&-1\\ \hline &1&0&-1&0 \end{array}$$

Los tres primeros números de la última fila son los coeficientes del cociente: $x^2-1$. El último es el resto (resto): 0.

Así:

$$P(x)=(x-1)(x^2-1).$$

Como el resto es cero, la división es exacta y $x-1$ es un factor.

2.6. División de polinomios

La división sigue la relación:

$$\text{dividendo}=\text{divisor}\cdot\text{cociente}+\text{resto}.$$

Dividimos $x^2+1$ entre $x-1$:

1. $x^2:x=x$. Multiplicamos: $x(x-1)=x^2-x$.
2. Restamos:
   $$(x^2+1)-(x^2-x)=x+1.$$
3. $x:x=1$. Multiplicamos: $1(x-1)=x-1$.
4. Restamos: $(x+1)-(x-1)=2$.

Por tanto:

$$x^2+1=(x-1)(x+1)+2.$$

Comprobación: $(x-1)(x+1)+2=x^2-1+2=x^2+1$.

2.7. Fracciones algebraicas: solo se cancelan factores

Consideremos:

$$\frac{x^2-1}{x^2+2x+1}.$$

Primero anotamos el dominio original. El denominador es $(x+1)^2$, de modo que:

$$x\neq-1.$$

Después factorizamos:

$$\frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^2} =\boxed{\frac{x-1}{x+1}},\qquad x\neq-1.$$

La cancelación es posible porque $x+1$ es un factor de todo el numerador y de todo el denominador, y no vale cero dentro del dominio.

No podemos hacer:

$$\frac{x+2}{x+3}=\frac23.$$

Aquí las $x$ forman parte de sumas; no son factores comunes.

Otro caso importante es:

$$\frac{x^2-1}{x-1}=x+1,\qquad \boxed{x\neq1}.$$

Aunque la expresión simplificada se pueda calcular en $x=1$, la fracción original no se puede calcular allí.

Consecuencia: simplificar una expresión no permite recuperar puntos que estaban excluidos del dominio original.

3.1. Ecuaciones de segundo grado

Para resolver:

$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\neq0,$$

podemos factorizar o aplicar:

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

El discriminante es $\Delta=b^2-4ac$:

• Si $\Delta>0$, hay dos soluciones reales diferentes.
• Si $\Delta=0$, hay una solución real doble.
• Si $\Delta<0$, no hay soluciones reales.

Ejemplo:

$$x^2-5x+6=0 \iff (x-2)(x-3)=0.$$

Un producto es cero si algún factor es cero:

$$\boxed{x=2\quad\text{o}\quad x=3}.$$

3.2. Ecuaciones bicuadradas

Resolvemos:

$$x^4-5x^2+4=0.$$

Solo aparecen $x^4$ y $x^2$. Por eso hacemos el cambio:

$$u=x^2.$$

Entonces $x^4=u^2$, y la ecuación se transforma en:

$$u^2-5u+4=0 \iff (u-1)(u-4)=0.$$

Por tanto, $u=1$ o $u=4$. Ahora volvemos a $x$:

$$x^2=1\Rightarrow x=\pm1,$$

$$x^2=4\Rightarrow x=\pm2.$$

Las soluciones son:

$$\boxed{x\in\{-2,-1,1,2\}}.$$

Comprobación de significado: el cambio de variable no termina el problema. Como $u=x^2$, hay que recuperar las posibles $x$. Si hubiera aparecido $u=-1$, no habría dado ninguna $x$ real.

3.3. Ecuaciones racionales

Resolvemos:

$$\frac{x+1}{x-1}=2.$$

Primero excluimos $x=1$. Después, dentro de este dominio, podemos multiplicar por $x-1$:

$$x+1=2(x-1)=2x-2.$$

De aquí:

$$x=3.$$

Comprobamos en la ecuación original:

$$\frac{3+1}{3-1}=\frac42=2.$$

Por tanto, $\boxed{x=3}$.

¿Por qué anotamos antes las exclusiones? Porque eliminar denominadores puede ocultar la imposibilidad de dividir por cero.

3.4. Ecuaciones con raíces: candidatos y comprobación

Resolvemos:

$$\sqrt{2x-1}=x-2.$$

La parte izquierda debe estar definida y es no negativa:

$$2x-1\geq0,\qquad x-2\geq0.$$

En conjunto, se necesita $x\geq2$.

Elevamos al cuadrado:

$$2x-1=(x-2)^2=x^2-4x+4.$$

Reordenamos:

$$x^2-6x+5=0 \iff(x-1)(x-5)=0.$$

Aparecen los candidatos $x=1$ y $x=5$.

• $x=1$ no cumple $x\geq2$. Además, daría $1=-1$.
• $x=5$ da:
  $$\sqrt{10-1}=3=5-2.$$

Por tanto:

$$\boxed{x=5}.$$

Causa y consecuencia: al elevar al cuadrado, $3$ y $-3$ producen el mismo resultado. Por eso podemos perder información de signo y obtener candidatos que no resuelven la ecuación original.

3.5. Sistemas de dos ecuaciones

Resolvemos por eliminación:

$$\begin{cases} x+y=5,\\ 2x-y=1. \end{cases}$$

Sumamos las dos ecuaciones porque $y$ y $-y$ se cancelan:

$$3x=6\Rightarrow x=2.$$

Sustituimos en la primera:

$$2+y=5\Rightarrow y=3.$$

Comprobamos:

$$2+3=5,\qquad 2\cdot2-3=1.$$

La solución es $\boxed{(x,y)=(2,3)}$.

3.6. Introducción desarrollada a Gauss con tres incógnitas

El método de Gauss consiste en transformar el sistema en otro equivalente que sea más fácil de resolver.

Podemos intercambiar ecuaciones, multiplicar una por un número no nulo o sumarle un múltiplo de otra.

Consideremos:

$$\begin{cases} x+y+z=6,\\ 2x-y+z=3,\\ x+2y-z=2. \end{cases}$$

Eliminamos $x$ de la segunda y la tercera ecuación:

• Segunda menos dos veces la primera:
  $$-3y-z=-9.$$
• Tercera menos la primera:
  $$y-2z=-4.$$

Tenemos:

$$\begin{cases} x+y+z=6,\\ -3y-z=-9,\\ y-2z=-4. \end{cases}$$

Ahora sumamos la segunda ecuación y tres veces la tercera:

$$(-3y-z)+3(y-2z)=-9+3(-4),$$

$$-7z=-21\Rightarrow z=3.$$

Recuperamos las otras incógnitas:

$$y-2\cdot3=-4\Rightarrow y=2,$$

$$x+2+3=6\Rightarrow x=1.$$

La solución es:

$$\boxed{(x,y,z)=(1,2,3)}.$$

Comprobación: sustituyendo estos valores, las tres ecuaciones originales se cumplen. El objetivo de la eliminación es reducir progresivamente el número de incógnitas, no cambiar las soluciones.

3.7. Inecuaciones cuadráticas: tabla de signos

Resolvemos:

$$x^2-x-2\geq0.$$

Factorizamos:

$$(x-2)(x+1)\geq0.$$

Los puntos $-1$ y $2$ dividen la recta en intervalos:

En los puntos $-1$ y $2$, el producto vale cero. Como pedimos $\geq0$, los incluimos:

$$\boxed{(-\infty,-1]\cup[2,\infty)}.$$

3.8. Inecuaciones racionales

Resolvemos:

$$\frac{x-2}{x+1}\geq0.$$

Primero: $x\neq-1$.

Los puntos que pueden cambiar el signo son:

• $x=-1$, donde el denominador es cero;
• $x=2$, donde el numerador es cero.

El punto $2$ se incluye porque el cociente vale cero. El punto $-1$ queda excluido porque la expresión no existe.

$$\boxed{(-\infty,-1)\cup[2,\infty)}.$$

No multiplicamos directamente por $x+1$ sin separar casos: puede ser positivo o negativo, y multiplicar una desigualdad por un número negativo invierte su sentido.

4.1. Pendiente y recta punto-pendiente

La pendiente (pendiente) mide el cambio vertical por unidad de cambio horizontal:

$$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\qquad x_2\neq x_1.$$

Una recta que pasa por $(x_0,y_0)$ con pendiente $m$ tiene ecuación:

$$y-y_0=m(x-x_0).$$

Para la recta que pasa por $(1,3)$ y tiene pendiente $-2$:

$$y-3=-2(x-1).$$

Desarrollamos:

$$y-3=-2x+2 \Rightarrow \boxed{y=-2x+5}.$$

Significado: si $x$ aumenta una unidad, $y$ disminuye dos unidades. Por ejemplo, de $(1,3)$ pasamos a $(2,1)$.

Una recta vertical tiene ecuación $x=c$ y no tiene pendiente definida.

4.2. Cortes con los ejes y triángulo

Para encontrar el corte con el eje vertical, ponemos $x=0$:

$$y=5\Rightarrow (0,5).$$

Para encontrar el corte con el eje horizontal, ponemos $y=0$:

$$0=-2x+5\Rightarrow x=\frac52.$$

El triángulo que forman la recta y los ejes tiene vértices:

$$(0,0),\quad \left(\frac52,0\right),\quad(0,5).$$

La base mide $5/2$ y la altura 5:

$$A=\frac12\cdot\frac52\cdot5 =\boxed{\frac{25}{4}}.$$

¿Por qué podemos aplicar esta fórmula? Porque los dos ejes son perpendiculares y forman los catetos de un triángulo rectángulo.

4.3. Distancia entre dos puntos

La fórmula deriva del teorema de Pitágoras:

$$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.$$

Entre $(1,3)$ y $(2,1)$:

$$\begin{aligned} d&=\sqrt{(2-1)^2+(1-3)^2}\\ &=\sqrt{1+4} =\boxed{\sqrt5}. \end{aligned}$$

La distancia es no negativa, aunque alguna diferencia de coordenadas sea negativa.

4.4. Vértice de una parábola

Para:

$$y=ax^2+bx+c,\qquad a\neq0,$$

la coordenada horizontal del vértice es:

$$x_v=-\frac b{2a}.$$

Después calculamos $y_v$ sustituyendo $x_v$.

Ejemplo:

$$y=x^2-4x+3.$$

Tenemos:

$$x_v=2,\qquad y_v=4-8+3=-1.$$

El vértice es $(2,-1)$. También podemos verlo completando el cuadrado:

$$y=(x-2)^2-1.$$

Como $(x-2)^2\geq0$, el valor mínimo es $-1$, alcanzado en $x=2$.

4.5. Intersecciones de dos gráficas

Buscamos los puntos comunes de:

$$y=x^2,\qquad y=4-x^2.$$

En un punto de intersección, ambas expresiones dan la misma $y$:

$$x^2=4-x^2 \Rightarrow 2x^2=4 \Rightarrow x=\pm\sqrt2.$$

Para ambos valores, $y=x^2=2$. Los puntos son:

$$\boxed{(-\sqrt2,2)\quad\text{i}\quad(\sqrt2,2)}.$$

Conexión con el paso 3: encontrar intersecciones es resolver una ecuación o un sistema. La geometría da significado visual a las soluciones algebraicas.

5.1. ¿Qué es una función?

Una función asigna a cada entrada de su dominio un único valor de salida.

Si:

$$f(x)=x^2-3x,$$

entonces:

$$f(2)=2^2-3\cdot2=-2.$$

Evaluar significa sustituir la variable por un valor. Hay que conservar los paréntesis:

$$f(-2)=(-2)^2-3(-2)=4+6=10.$$

Una fórmula puede representar, por ejemplo, una cantidad que depende del tiempo. El dominio debe respetar tanto las restricciones matemáticas como las del problema.

5.2. Dominio real: tres comprobaciones básicas

El dominio es el conjunto de entradas para las que la función está definida.

Hay que comprobar:

1. Denominadores: no pueden valer cero.
2. Radicales de índice par: el radicando debe ser no negativo.
3. Logaritmos: el argumento debe ser estrictamente positivo.

Si hay varias, deben cumplirse todas a la vez.

Ejemplo con raíz:

$$f(x)=\sqrt{2x-1}.$$

Exigimos:

$$2x-1\geq0\Rightarrow x\geq\frac12.$$

Por tanto:

$$\boxed{D_f=\left[\frac12,\infty\right)}.$$

El punto $1/2$ se incluye porque $\sqrt0$ existe.

Ejemplo con logaritmo:

$$g(x)=\ln(x^2-4).$$

Exigimos:

$$x^2-4>0 \iff(x-2)(x+2)>0.$$

La tabla de signos da:

$$\boxed{D_g=(-\infty,-2)\cup(2,\infty)}.$$

Los puntos $-2$ y $2$ no se incluyen porque producirían $\ln0$, que no está definido.

5.3. Gráficas básicas que conviene reconocer

Para dibujarlas al principio, combina tres recursos: dominio, algunos puntos y forma general. Una tabla de valores por sí sola puede ocultar un punto prohibido.

5.4. Funciones a trozos

Una función a trozos (función a trozos) utiliza una fórmula diferente según la entrada:

$$f(x)= \begin{cases} x+1,&x<0,\\ x^2,&x\geq0. \end{cases}$$

Entonces:

$$f(-2)=-1,\qquad f(0)=0,\qquad f(3)=9.$$

Primero decidimos qué tramo corresponde y después sustituimos. En $x=0$ utilizamos el segundo tramo porque incluye la igualdad.

Conexión con la continuidad: más adelante compararemos qué ocurre cuando nos acercamos a un punto de cambio de tramo con el valor que la función tiene en el punto.

5.5. Composición de funciones

Si:

$$f(u)=\sqrt u,\qquad g(x)=2x-1,$$

la composición es:

$$(f\circ g)(x)=f(g(x))=\sqrt{2x-1}.$$

Primero actúa $g$, y su resultado se convierte en la entrada de $f$. Como $f$ solo admite entradas no negativas, se necesita:

$$g(x)=2x-1\geq0.$$

En orden inverso:

$$(g\circ f)(x)=2\sqrt x-1,\qquad x\geq0.$$

Consecuencia: cambiar el orden de composición puede cambiar tanto la fórmula como el dominio.

6.1. Exponenciales y número $e$

Una función exponencial tiene la variable en el exponente:

$$f(x)=a^x,\qquad a>0,\quad a\neq1.$$

• Si $a>1$, es creciente.
• Si $0<a<1$, es decreciente.
• Siempre da valores positivos.

El número $e$ es aproximadamente:

$$e\approx2{,}71828.$$

La función $e^x$ es especialmente importante en modelos de crecimiento, disminución y cambio continuo. En el curso de cálculo se trabajará por qué esta base tiene propiedades particulares.

6.2. El logaritmo como operación inversa

El logaritmo responde a la pregunta: ¿a qué exponente debemos elevar la base para obtener este número?

$$\log_a b=c\quad\Longleftrightarrow\quad a^c=b,$$

con $a>0$, $a\neq1$ y $b>0$.

Por ejemplo:

$$\log_2 8=3$$

porque $2^3=8$.

El logaritmo natural, $\ln$, tiene base $e$:

$$\ln(e^x)=x\qquad(x\in\mathbb R),$$

$$e^{\ln x}=x\qquad(x>0).$$

6.3. Propiedades y condiciones

Para $u>0$ y $v>0$:

$$\ln(uv)=\ln u+\ln v,$$

$$\ln\left(\frac uv\right)=\ln u-\ln v.$$

Para $u>0$ y un exponente real $r$:

$$\ln(u^r)=r\ln u.$$

No hay una regla de distribución sobre sumas:

$$\boxed{\ln(u+v)\neq\ln u+\ln v\quad\text{en general}}.$$

Para comprobarlo, toma $u=v=1$:

$$\ln(1+1)=\ln2,\qquad \ln1+\ln1=0.$$

6.4. El caso de $\ln(x^2)$

Si $x\neq0$, tenemos $x^2>0$ y $|x|>0$. Por tanto:

$$\boxed{\ln(x^2)=2\ln|x|,\qquad x\neq0}.$$

Solo si $x>0$, podemos escribir:

$$\ln(x^2)=2\ln x.$$

Por ejemplo, en $x=-2$, $\ln(x^2)=\ln4$ existe, pero $\ln(-2)$ no es real.

Causa y consecuencia: sustituir $\ln(x^2)$ por $2\ln x$ sin condición elimina indebidamente las entradas negativas.

6.5. Ecuaciones exponenciales

Resolvemos:

$$3^{2x-1}=27.$$

Como $27=3^3$ y la exponencial de base 3 es inyectiva —no da el mismo valor para dos exponentes diferentes—:

$$2x-1=3\Rightarrow\boxed{x=2}.$$

Si la misma base no es evidente, podemos utilizar logaritmos:

$$e^{2x}=5 \Rightarrow 2x=\ln5 \Rightarrow\boxed{x=\frac{\ln5}{2}}.$$

6.6. Ecuaciones logarítmicas

Resolvemos:

$$\ln(x-1)=\ln3.$$

Primero exigimos $x-1>0$, es decir, $x>1$.

Como el logaritmo es inyectivo:

$$x-1=3\Rightarrow x=4.$$

El candidato cumple el dominio.

Un ejemplo con producto:

$$\ln x+\ln(x-1)=\ln2.$$

Las condiciones son $x>0$ y $x-1>0$, de modo que $x>1$. Podemos juntar:

$$\ln[x(x-1)]=\ln2 \Rightarrow x^2-x-2=0.$$

Los candidatos son $2$ y $-1$, pero solo $2$ cumple $x>1$.

$$\boxed{x=2}.$$

Conexión con el paso 3: las ecuaciones logarítmicas también necesitan controlar el dominio y revisar los candidatos.

7.1. ¿Qué es un radián?

Un ángulo en radianes se define como:

$$\theta=\frac{\text{longitud del arco}}{\text{radio}}.$$

En una circunferencia de radio 1, el ángulo en radianes coincide con la longitud del arco correspondiente.

Una vuelta completa es:

$$360^\circ=2\pi\text{ radianes}.$$

Por tanto:

$$180^\circ=\pi,\qquad 90^\circ=\frac\pi2,\qquad 60^\circ=\frac\pi3.$$

Para convertir grados a radianes:

$$\theta_{\mathrm{rad}}=\theta_{\mathrm{grados}}\frac{\pi}{180}.$$

Ejemplo:

$$45^\circ=\frac\pi4.$$

Conexión con el cálculo: las fórmulas habituales de derivación del seno y del coseno presuponen ángulos en radianes.

7.2. Circunferencia unidad

En la circunferencia de radio 1 y centro en el origen, el punto asociado a un ángulo $\theta$ tiene coordenadas:

$$(\cos\theta,\sin\theta).$$

Por tanto:

• el coseno es la coordenada horizontal;
• el seno es la coordenada vertical;
• la tangente es:
  $$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta},$$
  siempre que $\cos\theta\neq0$.

Esto amplía las definiciones de triángulo rectángulo y permite trabajar con ángulos de cualquier cuadrante.

7.3. Ángulos notables

7.4. Signos por cuadrantes

Los signos salen de las coordenadas del punto, no de una regla arbitraria.

Ejemplo:

$$\theta=\frac{5\pi}{6}.$$

Está en el segundo cuadrante y tiene ángulo de referencia $\pi/6$. Por tanto:

$$\sin\frac{5\pi}{6}=\frac12, \qquad \cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2},$$

$$\tan\frac{5\pi}{6} =\frac{1/2}{-\sqrt3/2} =-\frac{\sqrt3}{3}.$$

7.5. Identidad fundamental

Como el punto está en una circunferencia de radio 1, Pitágoras da:

$$\boxed{\sin^2\theta+\cos^2\theta=1}.$$

Si sabemos que $\sin\theta=3/5$, obtenemos:

$$\cos^2\theta=1-\frac9{25}=\frac{16}{25}.$$

Por tanto:

$$\cos\theta=\pm\frac45.$$

No podemos escoger el signo sin información adicional. Si el ángulo está en el segundo cuadrante, el coseno es $-4/5$.

7.6. Gráficas básicas

• $y=\sin x$: valores entre $-1$ y $1$, periodo $2\pi$, pasa por $(0,0)$.
• $y=\cos x$: valores entre $-1$ y $1$, periodo $2\pi$, pasa por $(0,1)$.
• $y=\tan x$: periodo $\pi$, no está definida en:
  $$x=\frac\pi2+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Para dibujar un periodo del seno, marca:

$$\begin{gathered} (0,0),\quad \left(\frac\pi2,1\right),\quad (\pi,0),\\ \left(\frac{3\pi}2,-1\right),\quad (2\pi,0). \end{gathered}$$

Estos puntos muestran un ciclo completo. La periodicidad permite repetirlo.

Esta sección explica qué estudia el cálculo y por qué necesita las bases anteriores. No es todavía un desarrollo completo de sus técnicas.

8.1. Límite: ¿a qué se acerca una función?

Un límite describe a qué valor se acerca $f(x)$ cuando $x$ se acerca a un punto. No pregunta necesariamente cuánto vale la función exactamente en ese punto.

Consideremos:

$$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1},\qquad x\neq1.$$

Ya sabemos que:

$$f(x)=x+1,\qquad x\neq1.$$

Si $x$ se acerca a 1, $x+1$ se acerca a 2:

$$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2.$$

Por ejemplo:

$$f(0{,}9)=1{,}9,\qquad f(1{,}1)=2{,}1.$$

Esto ayuda a interpretar la aproximación, aunque una tabla de valores no es una demostración general.

Conexión explícita: la factorización permite entender el comportamiento cerca de 1, pero las exclusiones del dominio recuerdan que $f(1)$ no existe. Límite y valor en el punto son conceptos diferentes.

8.2. Continuidad: aproximación y valor coinciden

Una función es continua en un punto de su dominio cuando:

1. tiene valor en ese punto;
2. tiene un límite finito en ese punto;
3. el límite coincide con el valor.

En un punto interior de un intervalo del dominio, comprobamos ambos lados. En un extremo de ese intervalo, consideramos solo el lado que pertenece al dominio. Por ejemplo, $\sqrt{x}$ es continua en cero porque su límite por la derecha es $0$, igual que su valor.

En el ejemplo anterior, la función tiene un agujero en $x=1$. Si definimos una nueva función con valor 2 allí, podemos rellenarlo de manera continua.

En una función a trozos, hay que mirar qué ocurre desde cada lado. Para:

$$h(x)= \begin{cases} x+1,&x<0,\\ x^2,&x\geq0, \end{cases}$$

cuando nos acercamos a 0 por la izquierda, los valores se acercan a 1. Por la derecha, se acercan a 0. Como las dos aproximaciones no coinciden, no hay un único límite en 0 y la función no es continua allí.

8.3. Derivada: pendiente local y tasa de cambio

La pendiente entre dos puntos de una gráfica es una tasa de cambio media:

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Para $f(x)=x^2$, entre $x=1$ y $x=2$:

$$\frac{4-1}{2-1}=3.$$

La derivada estudia qué ocurre cuando los dos puntos se acercan: da la pendiente de la tangente, cuando esta pendiente existe.

En $x=1$, tomamos un incremento $h\neq0$:

$$\frac{f(1+h)-f(1)}h = \frac{(1+h)^2-1}{h}.$$

Desarrollamos y factorizamos:

$$\frac{2h+h^2}{h}=2+h.$$

Cuando $h$ se acerca a cero, $2+h$ se acerca a 2. Por eso:

$$f'(1)=2.$$

Conexión con las bases: hemos necesitado una identidad notable, factorización, cancelación con $h\neq0$ y la idea de límite.

Si una cantidad se mide en miligramos y el tiempo en horas, su tasa de cambio se mide en miligramos por hora. Las unidades ayudan a interpretar el resultado.

8.4. Primitiva: recuperar una función a partir de su derivada

Una primitiva (primitiva o antiderivada) de $f$ es una función $F$ tal que:

$$F'(x)=f(x).$$

Como ejemplo, la derivada de $x^2$ es $2x$. Por tanto:

$$F(x)=x^2$$

es una primitiva de $f(x)=2x$.

También lo es:

$$F(x)=x^2+C,$$

porque añadir una constante no cambia la tasa de cambio.

Significado: conocer la tasa de cambio no fija necesariamente el nivel inicial de la cantidad. Para determinar $C$, a menudo hace falta un dato adicional.

8.5. Integral definida: acumulación con signo

La integral definida:

$$\int_a^b f(x)\,dx$$

representa una acumulación con signo. Para $a<b$, las partes con $f(x)>0$ aportan positivamente y las partes con $f(x)<0$ aportan negativamente.

Consideremos $f(x)=x$ entre $-1$ y $1$:

• entre $-1$ y 0 hay un triángulo bajo el eje, con contribución $-1/2$;
• entre 0 y 1 hay un triángulo sobre el eje, con contribución $1/2$.

Por tanto:

$$\int_{-1}^{1}x\,dx=0.$$

Pero el área geométrica total es:

$$\frac12+\frac12=\boxed{1}.$$

Integral con signo y área geométrica no son siempre lo mismo. Para calcular el área geométrica entre una gráfica y el eje, contamos positivamente todas las partes; esto corresponde a integrar $|f(x)|$.

Si $f(t)$ es un caudal en metros cúbicos por hora, su acumulación respecto al tiempo tiene unidades de metros cúbicos. Si el signo diferencia entrada y salida, la integral da el cambio neto.

8.6. Relación entre las ideas

• El límite describe una aproximación.
• La continuidad relaciona esta aproximación con el valor de la función.
• La derivada describe el cambio local mediante un límite de tasas medias.
• La integral definida describe una acumulación.

Bajo las hipótesis adecuadas, si $F'=f$:

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

Esta relación conecta cambio y acumulación. Sus condiciones y aplicaciones se trabajarán después del puente.

8.7. ¿Cuándo conviene pasar a los temas de cálculo?

Antes de avanzar, revisa si puedes:

• justificar signos y operaciones con fracciones;
• interpretar potencias y raíces con sus condiciones;
• factorizar y cancelar solo factores;
• conservar las exclusiones de una expresión;
• resolver ecuaciones y comprobar candidatos;
• hacer tablas de signos;
• relacionar ecuaciones con rectas y parábolas;
• determinar dominios y trabajar con composiciones;
• utilizar logaritmos sin perder condiciones;
• interpretar ángulos y signos trigonométricos;
• distinguir valor en el punto, límite, tasa de cambio y acumulación.

No hace falta que todo salga sin ninguna duda, pero sí conviene identificar dónde necesitas apoyo y poder reproducir los procedimientos básicos.

Después de este puente se trabajarán por separado el cálculo de límites y la continuidad, las reglas de derivación y sus aplicaciones, y las técnicas de integración con áreas y volúmenes. Este dosier prepara las herramientas para abordar estos temas; no los sustituye.