La base matemàtica abans del càlcul

1.1. Signes i ordre d’operacions

Un signe menys pot tenir funcions diferents:

• A $-5$, forma part del nombre.
• A $8-5$, indica una resta.
• A $-(x+2)$, indica l’oposat de tota l’expressió.

Restar és sumar l’oposat:

$$7-(-3)=7+3=10.$$

En canvi:

$$-7-3=-7+(-3)=-10.$$

La regla “menys per menys és més” correspon al producte i a la divisió. No permet convertir qualsevol parella de signes menys en un signe més sense mirar l’operació.

L’ordre habitual és:

1. parèntesis;
2. potències i arrels;
3. multiplicacions i divisions, d’esquerra a dreta;
4. sumes i restes, d’esquerra a dreta.

Per exemple:

$$-2^2+3(5-7).$$

Primer calculem la potència i el parèntesi:

$$-2^2=-(2^2)=-4,\qquad 5-7=-2.$$

Per tant:

$$-4+3(-2)=-4-6=-10.$$

En canvi, $(-2)^2=4$, perquè el parèntesi fa que la base de la potència sigui tot el nombre $-2$.

Comprovació de significat: els parèntesis no són decoratius. Canvien què queda afectat per una operació.

1.2. Fraccions: parts de la mateixa mida

Per sumar o restar fraccions, necessitem un denominador comú. Per multiplicar-les, no.

$$\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd}, \qquad \frac ab\cdot\frac cd=\frac{ac}{bd},$$

amb els denominadors diferents de zero.

Per dividir per una fracció no nul·la, multipliquem pel seu invers:

$$\frac23:\frac45=\frac23\cdot\frac54=\frac56.$$

L’exemple de la diagnosi queda així:

$$\frac23-\left(\frac54\right)\left(\frac25\right) =\frac23-\frac12 =\frac46-\frac36 =\boxed{\frac16}.$$

Per què no restem primer? Perquè el producte té prioritat sobre la resta.

Una fracció també pot tenir signe negatiu:

$$\frac{-3}{4}=-\frac34=\frac3{-4}, \qquad \frac{-3}{-4}=\frac34.$$

1.3. Potències negatives

Un exponent negatiu indica un invers:

$$a^{-n}=\frac1{a^n},\qquad a\neq0.$$

Per exemple:

$$2^{-3}=\frac1{2^3}=\frac18.$$

L’exponent negatiu no converteix el resultat en negatiu. En aquest cas, el resultat és positiu i més petit que 1.

Algunes regles útils són:

$$\begin{gathered} a^m a^n=a^{m+n}, \qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\\ (a^m)^n=a^{mn}. \end{gathered}$$

Cal que les expressions estiguin definides. Per a exponents enters, si apareixen denominadors o exponents negatius, la base no pot ser zero. En aquest dossier, tampoc no assignem cap valor a $0^0$.

1.4. Arrels i potències fraccionàries en els nombres reals

Una arrel quadrada és el nombre no negatiu que, elevat al quadrat, dona el radicand:

$$\sqrt9=3.$$

Això no és el mateix que resoldre $x^2=9$, que dona dues solucions:

$$x=3\quad\text{o}\quad x=-3.$$

El valor absolut $|x|$ és la distància de $x$ a zero: val $x$ si $x\geq0$ i $-x$ si $x<0$. Sempre és no negatiu.

Per això:

$$\boxed{\sqrt{x^2}=|x|}.$$

Si $x=-4$, tenim $\sqrt{(-4)^2}=4$, no $-4$.

Per interpretar $a^{m/n}$, escrivim la fracció $m/n$ simplificada, amb $n>0$:

$$a^{m/n}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m.$$

Les condicions reals són:

• Si $n$ és parell, cal $a\geq0$.
• Si, a més, $m<0$, cal $a>0$, perquè apareix un invers.
• Si $n$ és senar, s’admeten bases negatives.
• Si $m<0$, la base no pot ser zero.

Exemples:

$$16^{3/4}=(\sqrt[4]{16})^3=2^3=8,$$

$$(-8)^{1/3}=-2,$$

$$9^{-1/2}=\frac1{\sqrt9}=\frac13.$$

En canvi, $(-9)^{1/2}$ no és real.

Per aplicar sense entrebancs les regles generals de potències fraccionàries, treballarem amb bases positives. Amb bases negatives, cal revisar cada expressió.

1.5. Racionalització amb el conjugat

Racionalitzar és transformar una fracció equivalent per eliminar una arrel del denominador.

El conjugat de $\sqrt3-1$ és $\sqrt3+1$. Els multipliquem perquè:

$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2.$$

Així:

$$\begin{aligned} \frac1{\sqrt3-1} &= \frac{\sqrt3+1}{(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)}\\ &= \frac{\sqrt3+1}{3-1} = \boxed{\frac{\sqrt3+1}{2}}. \end{aligned}$$

Hem multiplicat numerador i denominador pel mateix nombre no nul; per això el valor no canvia.

Connexió amb el pas 2: aquesta transformació funciona gràcies a una identitat notable.

1.6. Intervals

Els intervals descriuen conjunts de nombres:

• $(a,b)$: $a<x<b$.
• $[a,b]$: $a\leq x\leq b$.
• $[a,b)$: $a\leq x<b$.
• $(-\infty,b]$: $x\leq b$.

L’infinit no és un nombre que puguem incloure; per això sempre porta parèntesi.

Per exemple:

$$x<-1\quad\text{o}\quad x\geq2$$

s’escriu:

$$(-\infty,-1)\cup[2,\infty).$$

Connexió amb els passos següents: els intervals permetran expressar solucions d’inequacions i dominis de funcions.

2.1. Què és un polinomi?

Un polinomi és una suma de termes amb potències enteres no negatives de la variable:

$$P(x)=3x^3-2x^2+5x-7.$$

El grau és el major exponent amb coeficient no nul. Aquí és 3.

Podem sumar termes semblants:

$$3x^2-5x^2=-2x^2.$$

Però no podem ajuntar $3x^2+5x$ com si fossin el mateix tipus de terme.

2.2. Treure factor comú

La propietat distributiva diu:

$$a(b+c)=ab+ac.$$

Llegida al revés, permet factoritzar:

$$ab+ac=a(b+c).$$

Exemple:

$$x^3-9x=x(x^2-9).$$

Com que $x$ apareix en tots dos termes, el traiem com a factor comú. Després reconeixem una diferència de quadrats:

$$x^2-9=x^2-3^2=(x-3)(x+3).$$

Per tant:

$$\boxed{x^3-9x=x(x-3)(x+3)}.$$

Per què interessa? Una expressió escrita com a producte permet veure quan val zero: n’hi ha prou que un factor sigui zero.

Comprovació: si desenvolupem $x(x-3)(x+3)$, recuperem $x^3-9x$.

2.3. Identitats notables en els dos sentits

Cal reconèixer-les tant per desenvolupar com per factoritzar:

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,$$

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2,$$

$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2.$$

Per exemple:

$$(x+3)^2=x^2+6x+9,$$

i, en sentit invers:

$$x^2+6x+9=(x+3)^2.$$

Un error freqüent és escriure $(a+b)^2=a^2+b^2$. Falta el terme $2ab$, perquè el producte complet conté dos termes creuats.

2.4. Factorització de segon grau

Si un polinomi de segon grau té arrels reals $r_1$ i $r_2$, podem escriure:

$$ax^2+bx+c=a(x-r_1)(x-r_2).$$

Per exemple:

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3),$$

perquè $-2-3=-5$ i $(-2)(-3)=6$.

No tots els polinomis de segon grau es poden factoritzar en factors lineals reals. Per exemple, $x^2+1$ no té arrels reals.

2.5. Factorització per agrupació i Ruffini

Considerem:

$$x^3-x^2-x+1.$$

Agrupem:

$$\begin{aligned} &(x^3-x^2)+(-x+1)\\ &\quad=x^2(x-1)-(x-1). \end{aligned}$$

Ara els dos termes tenen el factor $x-1$:

$$(x-1)(x^2-1) =(x-1)^2(x+1).$$

Per tant:

$$\boxed{x^3-x^2-x+1=(x-1)^2(x+1)}.$$

També podem arribar-hi amb Ruffini, que serveix per dividir un polinomi per $x-r$.

Com que $P(1)=1-1-1+1=0$, provem de dividir per $x-1$:

$$\begin{array}{r|rrrr} 1&1&-1&-1&1\\ & &1&0&-1\\ \hline &1&0&-1&0 \end{array}$$

Els tres primers nombres de l’última fila són els coeficients del quocient: $x^2-1$. L’últim és el residu (resto): 0.

Així:

$$P(x)=(x-1)(x^2-1).$$

Com que el residu és zero, la divisió és exacta i $x-1$ és un factor.

2.6. Divisió de polinomis

La divisió segueix la relació:

$$\text{dividend}=\text{divisor}\cdot\text{quocient}+\text{residu}.$$

Dividim $x^2+1$ entre $x-1$:

1. $x^2:x=x$. Multipliquem: $x(x-1)=x^2-x$.
2. Restem:
   $$(x^2+1)-(x^2-x)=x+1.$$
3. $x:x=1$. Multipliquem: $1(x-1)=x-1$.
4. Restem: $(x+1)-(x-1)=2$.

Per tant:

$$x^2+1=(x-1)(x+1)+2.$$

Comprovació: $(x-1)(x+1)+2=x^2-1+2=x^2+1$.

2.7. Fraccions algebraiques: només es cancel·len factors

Considerem:

$$\frac{x^2-1}{x^2+2x+1}.$$

Primer anotem el domini original. El denominador és $(x+1)^2$, de manera que:

$$x\neq-1.$$

Després factoritzem:

$$\frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^2} =\boxed{\frac{x-1}{x+1}},\qquad x\neq-1.$$

La cancel·lació és possible perquè $x+1$ és un factor de tot el numerador i de tot el denominador, i no val zero dins del domini.

No podem fer:

$$\frac{x+2}{x+3}=\frac23.$$

Aquí les $x$ formen part de sumes; no són factors comuns.

Un altre cas important és:

$$\frac{x^2-1}{x-1}=x+1,\qquad \boxed{x\neq1}.$$

Encara que l’expressió simplificada es pugui calcular a $x=1$, la fracció original no es pot calcular allí.

Conseqüència: simplificar una expressió no permet recuperar punts que estaven exclosos del domini original.

3.1. Equacions de segon grau

Per resoldre:

$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\neq0,$$

podem factoritzar o aplicar:

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

El discriminant és $\Delta=b^2-4ac$:

• Si $\Delta>0$, hi ha dues solucions reals diferents.
• Si $\Delta=0$, hi ha una solució real doble.
• Si $\Delta<0$, no hi ha solucions reals.

Exemple:

$$x^2-5x+6=0 \iff (x-2)(x-3)=0.$$

Un producte és zero si algun factor és zero:

$$\boxed{x=2\quad\text{o}\quad x=3}.$$

3.2. Equacions biquadrades

Resolem:

$$x^4-5x^2+4=0.$$

Només hi apareixen $x^4$ i $x^2$. Per això fem el canvi:

$$u=x^2.$$

Aleshores $x^4=u^2$, i l’equació es transforma en:

$$u^2-5u+4=0 \iff (u-1)(u-4)=0.$$

Per tant, $u=1$ o $u=4$. Ara tornem a $x$:

$$x^2=1\Rightarrow x=\pm1,$$

$$x^2=4\Rightarrow x=\pm2.$$

Les solucions són:

$$\boxed{x\in\{-2,-1,1,2\}}.$$

Comprovació de significat: el canvi de variable no acaba el problema. Com que $u=x^2$, cal recuperar les possibles $x$. Si hagués aparegut $u=-1$, no hauria donat cap $x$ real.

3.3. Equacions racionals

Resolem:

$$\frac{x+1}{x-1}=2.$$

Primer excloem $x=1$. Després, dins d’aquest domini, podem multiplicar per $x-1$:

$$x+1=2(x-1)=2x-2.$$

D’aquí:

$$x=3.$$

Comprovem a l’equació original:

$$\frac{3+1}{3-1}=\frac42=2.$$

Per tant, $\boxed{x=3}$.

Per què anotem abans les exclusions? Perquè eliminar denominadors pot amagar la impossibilitat de dividir per zero.

3.4. Equacions amb arrels: candidats i comprovació

Resolem:

$$\sqrt{2x-1}=x-2.$$

La part esquerra ha d’estar definida i és no negativa:

$$2x-1\geq0,\qquad x-2\geq0.$$

En conjunt, cal $x\geq2$.

Elevem al quadrat:

$$2x-1=(x-2)^2=x^2-4x+4.$$

Reordenem:

$$x^2-6x+5=0 \iff(x-1)(x-5)=0.$$

Apareixen els candidats $x=1$ i $x=5$.

• $x=1$ no compleix $x\geq2$. A més, donaria $1=-1$.
• $x=5$ dona:
  $$\sqrt{10-1}=3=5-2.$$

Per tant:

$$\boxed{x=5}.$$

Causa i conseqüència: en elevar al quadrat, $3$ i $-3$ produeixen el mateix resultat. Per això podem perdre informació de signe i obtenir candidats que no resolen l’equació original.

3.5. Sistemes de dues equacions

Resolem per eliminació:

$$\begin{cases} x+y=5,\\ 2x-y=1. \end{cases}$$

Sumem les dues equacions perquè $y$ i $-y$ es cancel·len:

$$3x=6\Rightarrow x=2.$$

Substituïm a la primera:

$$2+y=5\Rightarrow y=3.$$

Comprovem:

$$2+3=5,\qquad 2\cdot2-3=1.$$

La solució és $\boxed{(x,y)=(2,3)}$.

3.6. Introducció treballada a Gauss amb tres incògnites

El mètode de Gauss consisteix a transformar el sistema en un altre d’equivalent que sigui més fàcil de resoldre.

Podem intercanviar equacions, multiplicar-ne una per un nombre no nul o sumar-hi un múltiple d’una altra.

Considerem:

$$\begin{cases} x+y+z=6,\\ 2x-y+z=3,\\ x+2y-z=2. \end{cases}$$

Eliminem $x$ de la segona i la tercera equació:

• Segona menys dues vegades la primera:
  $$-3y-z=-9.$$
• Tercera menys la primera:
  $$y-2z=-4.$$

Tenim:

$$\begin{cases} x+y+z=6,\\ -3y-z=-9,\\ y-2z=-4. \end{cases}$$

Ara sumem la segona equació i tres vegades la tercera:

$$(-3y-z)+3(y-2z)=-9+3(-4),$$

$$-7z=-21\Rightarrow z=3.$$

Recuperem les altres incògnites:

$$y-2\cdot3=-4\Rightarrow y=2,$$

$$x+2+3=6\Rightarrow x=1.$$

La solució és:

$$\boxed{(x,y,z)=(1,2,3)}.$$

Comprovació: substituint aquests valors, les tres equacions originals es compleixen. L’objectiu de l’eliminació és reduir progressivament el nombre d’incògnites, no canviar les solucions.

3.7. Inequacions quadràtiques: taula de signes

Resolem:

$$x^2-x-2\geq0.$$

Factoritzem:

$$(x-2)(x+1)\geq0.$$

Els punts $-1$ i $2$ divideixen la recta en intervals:

Als punts $-1$ i $2$, el producte val zero. Com que demanem $\geq0$, els incloem:

$$\boxed{(-\infty,-1]\cup[2,\infty)}.$$

3.8. Inequacions racionals

Resolem:

$$\frac{x-2}{x+1}\geq0.$$

Primer: $x\neq-1$.

Els punts que poden canviar el signe són:

• $x=-1$, on el denominador és zero;
• $x=2$, on el numerador és zero.

El punt $2$ s’inclou perquè el quocient val zero. El punt $-1$ queda exclòs perquè l’expressió no existeix.

$$\boxed{(-\infty,-1)\cup[2,\infty)}.$$

No multipliquem directament per $x+1$ sense separar casos: pot ser positiu o negatiu, i multiplicar una desigualtat per un nombre negatiu n’inverteix el sentit.

4.1. Pendent i recta punt-pendent

El pendent (pendiente) mesura el canvi vertical per unitat de canvi horitzontal:

$$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\qquad x_2\neq x_1.$$

Una recta que passa per $(x_0,y_0)$ amb pendent $m$ té equació:

$$y-y_0=m(x-x_0).$$

Per a la recta que passa per $(1,3)$ i té pendent $-2$:

$$y-3=-2(x-1).$$

Desenvolupem:

$$y-3=-2x+2 \Rightarrow \boxed{y=-2x+5}.$$

Significat: si $x$ augmenta una unitat, $y$ disminueix dues unitats. Per exemple, de $(1,3)$ passem a $(2,1)$.

Una recta vertical té equació $x=c$ i no té pendent definida.

4.2. Talls amb els eixos i triangle

Per trobar el tall amb l’eix vertical, posem $x=0$:

$$y=5\Rightarrow (0,5).$$

Per trobar el tall amb l’eix horitzontal, posem $y=0$:

$$0=-2x+5\Rightarrow x=\frac52.$$

El triangle que formen la recta i els eixos té vèrtexs:

$$(0,0),\quad \left(\frac52,0\right),\quad(0,5).$$

La base mesura $5/2$ i l’altura 5:

$$A=\frac12\cdot\frac52\cdot5 =\boxed{\frac{25}{4}}.$$

Per què podem aplicar aquesta fórmula? Perquè els dos eixos són perpendiculars i formen els catets d’un triangle rectangle.

4.3. Distància entre dos punts

La fórmula deriva del teorema de Pitàgores:

$$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.$$

Entre $(1,3)$ i $(2,1)$:

$$\begin{aligned} d&=\sqrt{(2-1)^2+(1-3)^2}\\ &=\sqrt{1+4} =\boxed{\sqrt5}. \end{aligned}$$

La distància és no negativa, encara que alguna diferència de coordenades sigui negativa.

4.4. Vèrtex d’una paràbola

Per a:

$$y=ax^2+bx+c,\qquad a\neq0,$$

la coordenada horitzontal del vèrtex és:

$$x_v=-\frac b{2a}.$$

Després calculem $y_v$ substituint $x_v$.

Exemple:

$$y=x^2-4x+3.$$

Tenim:

$$x_v=2,\qquad y_v=4-8+3=-1.$$

El vèrtex és $(2,-1)$. També podem veure-ho completant el quadrat:

$$y=(x-2)^2-1.$$

Com que $(x-2)^2\geq0$, el valor mínim és $-1$, assolit a $x=2$.

4.5. Interseccions de dues gràfiques

Busquem els punts comuns de:

$$y=x^2,\qquad y=4-x^2.$$

En un punt d’intersecció, totes dues expressions donen la mateixa $y$:

$$x^2=4-x^2 \Rightarrow 2x^2=4 \Rightarrow x=\pm\sqrt2.$$

Per a tots dos valors, $y=x^2=2$. Els punts són:

$$\boxed{(-\sqrt2,2)\quad\text{i}\quad(\sqrt2,2)}.$$

Connexió amb el pas 3: trobar interseccions és resoldre una equació o un sistema. La geometria dona significat visual a les solucions algebraiques.

5.1. Què és una funció?

Una funció assigna a cada entrada del seu domini un únic valor de sortida.

Si:

$$f(x)=x^2-3x,$$

llavors:

$$f(2)=2^2-3\cdot2=-2.$$

Avaluar vol dir substituir la variable per un valor. Cal conservar els parèntesis:

$$f(-2)=(-2)^2-3(-2)=4+6=10.$$

Una fórmula pot representar, per exemple, una quantitat que depèn del temps. El domini ha de respectar tant les restriccions matemàtiques com les del problema.

5.2. Domini real: tres comprovacions bàsiques

El domini és el conjunt d’entrades per a les quals la funció està definida.

Cal comprovar:

1. Denominadors: no poden valer zero.
2. Radicals d’índex parell: el radicand ha de ser no negatiu.
3. Logaritmes: l’argument ha de ser estrictament positiu.

Si n’hi ha diverses, s’han de complir totes alhora.

Exemple amb arrel:

$$f(x)=\sqrt{2x-1}.$$

Exigim:

$$2x-1\geq0\Rightarrow x\geq\frac12.$$

Per tant:

$$\boxed{D_f=\left[\frac12,\infty\right)}.$$

El punt $1/2$ s’inclou perquè $\sqrt0$ existeix.

Exemple amb logaritme:

$$g(x)=\ln(x^2-4).$$

Exigim:

$$x^2-4>0 \iff(x-2)(x+2)>0.$$

La taula de signes dona:

$$\boxed{D_g=(-\infty,-2)\cup(2,\infty)}.$$

Els punts $-2$ i $2$ no s’inclouen perquè produirien $\ln0$, que no està definit.

5.3. Gràfiques bàsiques que convé reconèixer

Per dibuixar-les al principi, combina tres recursos: domini, alguns punts i forma general. Una taula de valors tota sola pot ocultar un punt prohibit.

5.4. Funcions a trossos

Una funció a trossos (función a trozos) utilitza una fórmula diferent segons l’entrada:

$$f(x)= \begin{cases} x+1,&x<0,\\ x^2,&x\geq0. \end{cases}$$

Aleshores:

$$f(-2)=-1,\qquad f(0)=0,\qquad f(3)=9.$$

Primer decidim quin tram correspon i després substituïm. A $x=0$ utilitzem el segon tram perquè inclou la igualtat.

Connexió amb la continuïtat: més endavant compararem què passa quan ens acostem a un punt de canvi de tram amb el valor que la funció té al punt.

5.5. Composició de funcions

Si:

$$f(u)=\sqrt u,\qquad g(x)=2x-1,$$

la composició és:

$$(f\circ g)(x)=f(g(x))=\sqrt{2x-1}.$$

Primer actua $g$, i el seu resultat es converteix en l’entrada de $f$. Com que $f$ només admet entrades no negatives, cal:

$$g(x)=2x-1\geq0.$$

En ordre invers:

$$(g\circ f)(x)=2\sqrt x-1,\qquad x\geq0.$$

Conseqüència: canviar l’ordre de composició pot canviar tant la fórmula com el domini.

6.1. Exponencials i nombre $e$

Una funció exponencial té la variable a l’exponent:

$$f(x)=a^x,\qquad a>0,\quad a\neq1.$$

• Si $a>1$, és creixent.
• Si $0<a<1$, és decreixent.
• Sempre dona valors positius.

El nombre $e$ és aproximadament:

$$e\approx2{,}71828.$$

La funció $e^x$ és especialment important en models de creixement, disminució i canvi continu. En el curs de càlcul es treballarà per què aquesta base té propietats particulars.

6.2. El logaritme com a operació inversa

El logaritme respon la pregunta: a quin exponent hem d’elevar la base per obtenir aquest nombre?

$$\log_a b=c\quad\Longleftrightarrow\quad a^c=b,$$

amb $a>0$, $a\neq1$ i $b>0$.

Per exemple:

$$\log_2 8=3$$

perquè $2^3=8$.

El logaritme natural, $\ln$, té base $e$:

$$\ln(e^x)=x\qquad(x\in\mathbb R),$$

$$e^{\ln x}=x\qquad(x>0).$$

6.3. Propietats i condicions

Per a $u>0$ i $v>0$:

$$\ln(uv)=\ln u+\ln v,$$

$$\ln\left(\frac uv\right)=\ln u-\ln v.$$

Per a $u>0$ i un exponent real $r$:

$$\ln(u^r)=r\ln u.$$

No hi ha una regla de distribució sobre sumes:

$$\boxed{\ln(u+v)\neq\ln u+\ln v\quad\text{en general}}.$$

Per comprovar-ho, pren $u=v=1$:

$$\ln(1+1)=\ln2,\qquad \ln1+\ln1=0.$$

6.4. El cas de $\ln(x^2)$

Si $x\neq0$, tenim $x^2>0$ i $|x|>0$. Per tant:

$$\boxed{\ln(x^2)=2\ln|x|,\qquad x\neq0}.$$

Només si $x>0$, podem escriure:

$$\ln(x^2)=2\ln x.$$

Per exemple, a $x=-2$, $\ln(x^2)=\ln4$ existeix, però $\ln(-2)$ no és real.

Causa i conseqüència: substituir $\ln(x^2)$ per $2\ln x$ sense condició elimina indegudament les entrades negatives.

6.5. Equacions exponencials

Resolem:

$$3^{2x-1}=27.$$

Com que $27=3^3$ i l’exponencial de base 3 és injectiva —no dona el mateix valor per a dos exponents diferents—:

$$2x-1=3\Rightarrow\boxed{x=2}.$$

Si la mateixa base no és evident, podem utilitzar logaritmes:

$$e^{2x}=5 \Rightarrow 2x=\ln5 \Rightarrow\boxed{x=\frac{\ln5}{2}}.$$

6.6. Equacions logarítmiques

Resolem:

$$\ln(x-1)=\ln3.$$

Primer exigim $x-1>0$, és a dir, $x>1$.

Com que el logaritme és injectiu:

$$x-1=3\Rightarrow x=4.$$

El candidat compleix el domini.

Un exemple amb producte:

$$\ln x+\ln(x-1)=\ln2.$$

Les condicions són $x>0$ i $x-1>0$, de manera que $x>1$. Podem ajuntar:

$$\ln[x(x-1)]=\ln2 \Rightarrow x^2-x-2=0.$$

Els candidats són $2$ i $-1$, però només $2$ compleix $x>1$.

$$\boxed{x=2}.$$

Connexió amb el pas 3: les equacions logarítmiques també necessiten controlar el domini i revisar els candidats.

7.1. Què és un radiant?

Un angle en radiants es defineix com:

$$\theta=\frac{\text{longitud de l’arc}}{\text{radi}}.$$

En una circumferència de radi 1, l’angle en radiants coincideix amb la longitud de l’arc corresponent.

Una volta completa és:

$$360^\circ=2\pi\text{ radiants}.$$

Per tant:

$$180^\circ=\pi,\qquad 90^\circ=\frac\pi2,\qquad 60^\circ=\frac\pi3.$$

Per convertir graus a radiants:

$$\theta_{\mathrm{rad}}=\theta_{\mathrm{graus}}\frac{\pi}{180}.$$

Exemple:

$$45^\circ=\frac\pi4.$$

Connexió amb el càlcul: les fórmules habituals de derivació de sinus i cosinus pressuposen angles en radiants.

7.2. Circumferència unitat

En la circumferència de radi 1 i centre a l’origen, el punt associat a un angle $\theta$ té coordenades:

$$(\cos\theta,\sin\theta).$$

Per tant:

• el cosinus és la coordenada horitzontal;
• el sinus és la coordenada vertical;
• la tangent és:
  $$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta},$$
  sempre que $\cos\theta\neq0$.

Això amplia les definicions de triangle rectangle i permet treballar amb angles de qualsevol quadrant.

7.3. Angles notables

7.4. Signes per quadrants

Els signes surten de les coordenades del punt, no d’una regla arbitrària.

Exemple:

$$\theta=\frac{5\pi}{6}.$$

És al segon quadrant i té angle de referència $\pi/6$. Per tant:

$$\sin\frac{5\pi}{6}=\frac12, \qquad \cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2},$$

$$\tan\frac{5\pi}{6} =\frac{1/2}{-\sqrt3/2} =-\frac{\sqrt3}{3}.$$

7.5. Identitat fonamental

Com que el punt és en una circumferència de radi 1, Pitàgores dona:

$$\boxed{\sin^2\theta+\cos^2\theta=1}.$$

Si sabem que $\sin\theta=3/5$, obtenim:

$$\cos^2\theta=1-\frac9{25}=\frac{16}{25}.$$

Per tant:

$$\cos\theta=\pm\frac45.$$

No podem escollir el signe sense informació addicional. Si l’angle és al segon quadrant, el cosinus és $-4/5$.

7.6. Gràfiques bàsiques

• $y=\sin x$: valors entre $-1$ i $1$, període $2\pi$, passa per $(0,0)$.
• $y=\cos x$: valors entre $-1$ i $1$, període $2\pi$, passa per $(0,1)$.
• $y=\tan x$: període $\pi$, no està definida a:
  $$x=\frac\pi2+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Per dibuixar un període del sinus, marca:

$$\begin{gathered} (0,0),\quad \left(\frac\pi2,1\right),\quad (\pi,0),\\ \left(\frac{3\pi}2,-1\right),\quad (2\pi,0). \end{gathered}$$

Aquests punts mostren un cicle complet. La periodicitat permet repetir-lo.

Aquesta secció explica què estudia el càlcul i per què necessita les bases anteriors. No és encara un desenvolupament complet de les seves tècniques.

8.1. Límit: a què s’acosta una funció?

Un límit descriu a quin valor s’acosta $f(x)$ quan $x$ s’acosta a un punt. No pregunta necessàriament què val la funció exactament en aquell punt.

Considerem:

$$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1},\qquad x\neq1.$$

Ja sabem que:

$$f(x)=x+1,\qquad x\neq1.$$

Si $x$ s’acosta a 1, $x+1$ s’acosta a 2:

$$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2.$$

Per exemple:

$$f(0{,}9)=1{,}9,\qquad f(1{,}1)=2{,}1.$$

Això ajuda a interpretar l’aproximació, tot i que una taula de valors no és una demostració general.

Connexió explícita: la factorització permet entendre el comportament proper a 1, però les exclusions del domini recorden que $f(1)$ no existeix. Límit i valor al punt són conceptes diferents.

8.2. Continuïtat: aproximació i valor coincideixen

Una funció és contínua en un punt del seu domini quan:

1. té valor en aquell punt;
2. té un límit finit en aquell punt;
3. el límit coincideix amb el valor.

En un punt interior d’un interval del domini, comprovem els dos costats. En un extrem d’aquest interval, considerem només el costat que pertany al domini. Per exemple, $\sqrt{x}$ és contínua a zero perquè el seu límit per la dreta és $0$, igual que el seu valor.

En l’exemple anterior, la funció té un forat a $x=1$. Si definim una nova funció amb valor 2 allí, podem omplir-lo de manera contínua.

En una funció a trossos, cal mirar què passa des de cada costat. Per a:

$$h(x)= \begin{cases} x+1,&x<0,\\ x^2,&x\geq0, \end{cases}$$

quan ens acostem a 0 per l’esquerra, els valors s’acosten a 1. Per la dreta, s’acosten a 0. Com que les dues aproximacions no coincideixen, no hi ha un únic límit a 0 i la funció no és contínua allí.

8.3. Derivada: pendent local i taxa de canvi

El pendent entre dos punts d’una gràfica és una taxa de canvi mitjana:

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Per a $f(x)=x^2$, entre $x=1$ i $x=2$:

$$\frac{4-1}{2-1}=3.$$

La derivada estudia què passa quan els dos punts s’acosten: dona el pendent de la tangent, quan aquest pendent existeix.

A $x=1$, prenem un increment $h\neq0$:

$$\frac{f(1+h)-f(1)}h = \frac{(1+h)^2-1}{h}.$$

Desenvolupem i factoritzem:

$$\frac{2h+h^2}{h}=2+h.$$

Quan $h$ s’acosta a zero, $2+h$ s’acosta a 2. Per això:

$$f'(1)=2.$$

Connexió amb les bases: hem necessitat una identitat notable, factorització, cancel·lació amb $h\neq0$ i la idea de límit.

Si una quantitat es mesura en mil·ligrams i el temps en hores, la seva taxa de canvi es mesura en mil·ligrams per hora. Les unitats ajuden a interpretar el resultat.

8.4. Primitiva: recuperar una funció a partir de la seva derivada

Una primitiva (primitiva o antiderivada) de $f$ és una funció $F$ tal que:

$$F'(x)=f(x).$$

Com a exemple, la derivada de $x^2$ és $2x$. Per tant:

$$F(x)=x^2$$

és una primitiva de $f(x)=2x$.

També ho és:

$$F(x)=x^2+C,$$

perquè afegir una constant no canvia la taxa de canvi.

Significat: conèixer la taxa de canvi no fixa necessàriament el nivell inicial de la quantitat. Per determinar $C$, sovint cal una dada addicional.

8.5. Integral definida: acumulació amb signe

La integral definida:

$$\int_a^b f(x)\,dx$$

representa una acumulació amb signe. Per a $a<b$, les parts amb $f(x)>0$ aporten positivament i les parts amb $f(x)<0$ aporten negativament.

Considerem $f(x)=x$ entre $-1$ i $1$:

• entre $-1$ i 0 hi ha un triangle sota l’eix, amb contribució $-1/2$;
• entre 0 i 1 hi ha un triangle sobre l’eix, amb contribució $1/2$.

Per tant:

$$\int_{-1}^{1}x\,dx=0.$$

Però l’àrea geomètrica total és:

$$\frac12+\frac12=\boxed{1}.$$

Integral amb signe i àrea geomètrica no són sempre el mateix. Per calcular l’àrea geomètrica entre una gràfica i l’eix, comptem positivament totes les parts; això correspon a integrar $|f(x)|$.

Si $f(t)$ és un cabal en metres cúbics per hora, la seva acumulació respecte del temps té unitats de metres cúbics. Si el signe diferencia entrada i sortida, la integral dona el canvi net.

8.6. Relació entre les idees

• El límit descriu una aproximació.
• La continuïtat relaciona aquesta aproximació amb el valor de la funció.
• La derivada descriu el canvi local mitjançant un límit de taxes mitjanes.
• La integral definida descriu una acumulació.

Sota les hipòtesis adequades, si $F'=f$:

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

Aquesta relació connecta canvi i acumulació. Les seves condicions i aplicacions es treballaran després del pont.

8.7. Quan convé passar als temes de càlcul?

Abans d’avançar, revisa si pots:

• justificar signes i operacions amb fraccions;
• interpretar potències i arrels amb les seves condicions;
• factoritzar i cancel·lar només factors;
• conservar les exclusions d’una expressió;
• resoldre equacions i comprovar candidats;
• fer taules de signes;
• relacionar equacions amb rectes i paràboles;
• determinar dominis i treballar amb composicions;
• utilitzar logaritmes sense perdre condicions;
• interpretar angles i signes trigonomètrics;
• distingir valor al punt, límit, taxa de canvi i acumulació.

No cal que tot surti sense cap dubte, però sí que convé identificar on necessites suport i poder reproduir els procediments bàsics.

Després d’aquest pont es treballaran per separat el càlcul de límits i la continuïtat, les regles de derivació i les seves aplicacions, i les tècniques d’integració amb àrees i volums. Aquest dossier prepara les eines per abordar aquests temes; no els substitueix.