Matemáticas · 2.º de Bachillerato · PAU

Límites, continuidad y asíntotas

Qué significa que una función se acerque a un valor, cómo se calculan los límites, cuándo una función es continua y cómo se justifican las asíntotas. Lee cada apartado y juega con la figura de al lado.

12 min de lectura
13 figuras interactivas
3 ejercicios resueltos

¡lee y juega!

El dominio te dice para qué valores de $x$ está definida una función. Ahora estudiarás qué ocurre con $f(x)$ cuando $x$ se acerca a un punto o cuando crece o decrece sin límite.

La distinción principal es esta:

$f(a)$ es el valor de la función exactamente en $x=a$ .
$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)$ describe el comportamiento de la función cuando $x$ se acerca a $a$ , sin necesidad de tomar el valor $a$ .

Esta diferencia permite entender los límites, comprobar la continuidad y justificar las asíntotas.

Antes de empezar…

Acercarse sin llegar

La función f(x) = (x² − 1)/(x − 1) no tiene ningún valor en x = 1: al sustituir sale 0/0. Pero si pruebas x = 0,9, 0,99, 0,999…, obtienes 1,9, 1,99, 1,999… Los valores se acercan a 2 tanto como quieras.

Eso es un límite: no dice cuánto vale la función en un punto, sino hacia dónde va cuando te acercas. Con la misma idea verás cuándo una función es continua, cuándo da un salto y cuándo sube sin fin al lado de una asíntota.

Mira el vídeo y después pruébalo tú: acerca x a 1 y amplía tanto como quieras. ¿Se cierra alguna vez el agujero?

Míralo en 43 segundos

Ahora pruébalo tú:

La lupa amplía ×10, ×100 y ×1000 alrededor del punto (1, 2). Para x ≠ 1, la función coincide con la recta x + 1.

¿Qué significa un límite?

Escribimos

\lim_{x\to a}f(x)=L

cuando los valores de $f(x)$ se acercan a $L$ a medida que $x$ se acerca a $a$ .

Para estudiar este límite, miramos valores de $x$ cercanos a $a$ , pero distintos de $a$ . Por eso, el límite puede existir aunque $f(a)$ no esté definido o tenga un valor distinto de $L$ .

Ejemplo: el límite y el valor de la función son distintos

Considera

f(x)= \begin{cases} x+1,&x\neq 1,\\ 5,&x=1. \end{cases}

Cuando $x$ se acerca a $1$ , los valores de $x+1$ se acercan a $2$ . Por tanto,

\boxed{\lim_{x\to1}f(x)=2}.

En cambio, la definición de la función da

\boxed{f(1)=5}.

En la gráfica verías:

la recta $y=x+1$ , con un círculo vacío en $(1,2)$ ;
un punto relleno en $(1,5)$ .

El círculo vacío indica que ese punto no pertenece a la gráfica. El punto relleno indica el valor que sí toma la función.

Como los valores cercanos a $1$ siguen la recta, el límite es $2$ . Como la función asigna el valor $5$ a $x=1$ , tenemos $f(1)=5$ .

Límites laterales: acercarse por cada lado

Puedes acercarte a un punto desde dos lados.

Notación	Cómo te acercas a $a$
$\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)$	Por la izquierda: con valores $x<a$
$\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)$	Por la derecha: con valores $x>a$

El signo $^{-}$ o $^{+}$ indica el lado desde el que se acerca $x$ . No indica el signo de $f(x)$ .

¿Cuándo existe el límite en un punto?

Para que exista un límite finito, los dos límites laterales deben existir y coincidir:

\boxed{ \begin{aligned} \lim_{x\to a^-}f(x)&=\lim_{x\to a^+}f(x)=L \\ \Longrightarrow\quad \lim_{x\to a}f(x)&=L \end{aligned} }.

Si los límites laterales son distintos, el límite en $a$ no existe.

Ejemplo: los laterales no coinciden

Sea

g(x)= \begin{cases} x+2,&x<1,\\ 2x+3,&x\geq1. \end{cases}

Por la izquierda de $1$ , debes utilizar $x+2$ :

\lim_{x\to1^-}g(x)=1+2=3.

Por la derecha, debes utilizar $2x+3$ :

\lim_{x\to1^+}g(x)=2\cdot1+3=5.

Como $3\neq5$ ,

El límite $\displaystyle\lim_{x\to1}g(x)$ no existe.

Además, $g(1)=5$ , porque la segunda expresión incluye $x=1$ .

El hecho de que $g(1)$ exista no garantiza que exista el límite: los dos lados se acercan a alturas distintas.

Límites finitos e infinitos

El punto al que se acerca $x$ y el resultado del límite son dos cosas distintas.

Límite finito

Un límite es finito si $f(x)$ se acerca a un número real:

\lim_{x\to2}(3x+1)=7.

Límite infinito

Escribimos

\lim_{x\to a}f(x)=+\infty

si $f(x)$ crece sin límite cuando $x$ se acerca a $a$ .

Escribimos

\lim_{x\to a}f(x)=-\infty

si $f(x)$ decrece sin límite.

El infinito no es un número ni es el valor $f(a)$ . Esta notación describe un comportamiento sin límite.

Ejemplo: dos laterales infinitos de distinto signo

Considera

h(x)=\frac{1}{x-2}.

Si $x\to2^-$ , el denominador es negativo y se acerca a cero. Por eso, el cociente se hace negativo con un valor absoluto cada vez mayor:

$\lim_{x\to2^-}\frac{1}{x-2}=-\infty.$
Si $x\to2^+$ , el denominador es positivo y se acerca a cero. Por eso, el cociente crece sin límite:

$\lim_{x\to2^+}\frac{1}{x-2}=+\infty.$

Como los laterales tienen signos distintos, no hay un único límite bilateral, ni finito ni infinito.

En cambio,

\lim_{x\to2}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty,

porque el denominador es positivo a ambos lados y se acerca a cero. Los dos laterales son, por tanto, $+\infty$ .

Calcular límites por sustitución

En muchas funciones habituales, puedes calcular el límite sustituyendo $x$ por el valor al que se acerca.

Esto funciona, por ejemplo:

en los polinomios;
en los cocientes de polinomios, si el denominador no se anula;
en otras funciones continuas, en los puntos donde están definidas.

Ejemplo con un polinomio

\lim_{x\to2}(x^2-3x+4) =2^2-3\cdot2+4 =\boxed{2}.

Ejemplo con un cociente

\lim_{x\to1}\frac{x+2}{x^2+1} =\frac{1+2}{1^2+1} =\boxed{\frac32}.

Como el denominador vale $2$ , no se anula. Por eso, la sustitución directa resuelve el límite.

Si el denominador da cero, no puedes terminar el cálculo con la sustitución: debes analizar qué ocurre.

La indeterminación $0/0$ : factorizar y simplificar

Si al sustituir obtienes

\frac00,

no has obtenido el resultado del límite. Has encontrado una indeterminación: esta información, por sí sola, no permite saber el resultado.

En cocientes de polinomios, a menudo la resuelves factorizando.

Ejemplo resuelto

Calcula

\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}.

1. Sustituye para detectar el problema.

\frac{1^2-1}{1-1}=\frac00.

2. Factoriza el numerador.

Como $x^2-1=(x-1)(x+1)$ ,

\frac{x^2-1}{x-1} =\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}.

3. Simplifica para $x\neq1$ .

\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1.

4. Calcula el límite de la expresión simplificada.

\boxed{ \lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1} =\lim_{x\to1}(x+1)=2 }.

La simplificación es válida para $x\neq1$ . Esto es suficiente porque el límite estudia valores cercanos a $1$ , no el valor exacto en $1$ .

Por tanto:

la función original no está definida en $x=1$ ;
su límite en $x=1$ sí existe y vale $2$ .

No confundas simplificar una expresión para calcular su límite con definir el valor de la función en el punto.

Límites en el infinito en cocientes de polinomios

Ahora no acercamos $x$ a un número concreto:

$x\to+\infty$ : $x$ toma valores positivos cada vez mayores;
$x\to-\infty$ : $x$ toma valores negativos con valor absoluto cada vez mayor.

En un cociente de polinomios, el comportamiento en el infinito depende de los términos de mayor grado, porque son los que dominan cuando $|x|$ es muy grande.

f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)},

compara el grado del numerador con el del denominador.

Comparación de grados	Resultado en el infinito
Grado del numerador menor	El límite es $0$
Grados iguales	El límite es el cociente de los coeficientes principales
Grado del numerador mayor	No hay límite finito; hay que determinar el signo del crecimiento

Ejemplo 1: grado del numerador menor

\lim_{x\to\pm\infty}\frac{3x+1}{x^2+2}=0.

Lo puedes justificar dividiendo entre $x^2$ :

\frac{3x+1}{x^2+2} =\frac{\frac3x+\frac1{x^2}}{1+\frac2{x^2}} \longrightarrow\frac01=0.

El denominador crece más rápido que el numerador. Por eso, el cociente se acerca a cero.

Ejemplo 2: grados iguales

\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x^2-3x+1}{5x^2+4} =\boxed{\frac25}.

Dividiendo entre $x^2$ ,

\frac{2-\frac3x+\frac1{x^2}}{5+\frac4{x^2}} \longrightarrow\frac25.

Ejemplo 3: grado del numerador mayor

\frac{x^3+1}{x^2+1}

se comporta, para valores grandes de $|x|$ , como

\frac{x^3}{x^2}=x.

Por tanto,

\begin{aligned} \lim_{x\to+\infty}\frac{x^3+1}{x^2+1}&=+\infty \\ \lim_{x\to-\infty}\frac{x^3+1}{x^2+1}&=-\infty \end{aligned}.

Cuando el grado del numerador es mayor, no basta con escribir “infinito”: debes comprobar el signo en cada extremo.

Comprobar la continuidad en un punto

Una función es continua en un punto interior del dominio si el valor de la función coincide con el valor al que se acerca desde los dos lados:

\boxed{ \lim_{x\to a^-}f(x) = \lim_{x\to a^+}f(x) = f(a) }.

Para comprobarlo, calcula estos tres datos:

El límite por la izquierda.
El límite por la derecha.
El valor $f(a)$ .

Si los tres coinciden, la función es continua en $a$ . Si falla alguna condición, no lo es.

En un extremo del dominio, solo se considera el lado desde el que te puedes acercar dentro del dominio.

Ejemplo: función a trozos con un parámetro

Halla el valor de $k$ para que sea continua en $x=2$ :

f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-4}{x-2},&x<2,\\[2mm] kx,&x\geq2. \end{cases}

Límite por la izquierda. Factoriza:

x^2-4=(x-2)(x+2).

Por tanto,

\lim_{x\to2^-}f(x) =\lim_{x\to2^-}(x+2)=4.

Límite por la derecha.

\lim_{x\to2^+}f(x)=\lim_{x\to2^+}kx=2k.

Valor en el punto. Como la condición $x\geq2$ incluye $x=2$ ,

f(2)=2k.

Para que sea continua, es necesario que

4=2k= f(2).

Así,

\boxed{k=2}.

Con este valor, los dos tramos se acercan a $4$ y la función también vale $4$ en el punto. Por eso, no hay ninguna interrupción en $x=2$ .

Discontinuidades evitables y de salto

Discontinuidad evitable

Hay una discontinuidad evitable en $a$ cuando el límite existe y es finito, pero:

$f(a)$ no está definido, o bien
$f(a)$ es distinto del límite.

Es evitable porque la puedes corregir definiendo o cambiando solo el valor en ese punto.

Por ejemplo,

f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}

tiene límite $2$ en $x=1$ , pero no está definida allí. Si añades $f(1)=2$ , la función pasa a ser continua.

Como los dos lados ya se acercan al mismo valor, solo hay que rellenar el hueco a la altura correcta.

Discontinuidad de salto

Hay una discontinuidad de salto cuando los dos límites laterales son finitos, pero distintos.

En el ejemplo

g(x)= \begin{cases} x+2,&x<1,\\ 2x+3,&x\geq1, \end{cases}

teníamos

\begin{aligned} \lim_{x\to1^-}g(x)&=3 \\ \lim_{x\to1^+}g(x)&=5 \end{aligned}.

Por tanto, hay un salto de tamaño

|5-3|=2.

No lo puedes corregir cambiando solo $g(1)$ : ningún valor puede coincidir a la vez con $3$ y con $5$ .

Si algún lateral es infinito, la discontinuidad no es evitable ni de salto finito; a menudo se denomina discontinuidad infinita.

Asíntotas verticales

La recta

\boxed{x=a}

es una asíntota vertical si, al menos por uno de los lados, la función tiende a $+\infty$ o a $-\infty$ cuando $x$ se acerca a $a$ .

Para justificarla, debes escribir el límite correspondiente.

Ejemplo resuelto

Para

f(x)=\frac{1}{x-2},

ya hemos obtenido

\begin{aligned} \lim_{x\to2^-}f(x)&=-\infty \\ \lim_{x\to2^+}f(x)&=+\infty \end{aligned}.

Por tanto,

La recta $\boxed{x=2}$ es una asíntota vertical.

En la gráfica, la rama de la izquierda baja sin límite y la de la derecha sube sin límite cuando se acercan a la recta $x=2$ .

Un denominador nulo no garantiza una asíntota

Para

g(x)=\frac{x^2-1}{x-1},

el denominador se anula en $x=1$ , pero

\lim_{x\to1}g(x)=2.

Por eso, $x=1$ no es una asíntota vertical: hay un hueco, no un crecimiento infinito.

En una función racional, los ceros del denominador son puntos que hay que estudiar, no asíntotas automáticas.

Asíntotas horizontales

La recta

\boxed{y=L}

es una asíntota horizontal si

\lim_{x\to+\infty}f(x)=L

o bien

\lim_{x\to-\infty}f(x)=L,

con $L$ finito.

Puede haber una asíntota horizontal en un extremo y otra distinta en el otro.

Ejemplo resuelto

Sea

f(x)=\frac{2x^2+3}{x^2+1}.

Como los grados son iguales,

\lim_{x\to+\infty}f(x) = \lim_{x\to-\infty}f(x)=2.

Por tanto,

La recta $\boxed{y=2}$ es una asíntota horizontal en ambos extremos.

Una asíntota horizontal se puede atravesar

Considera

g(x)=2+\frac{x}{x^2+1}.

Como la fracción tiende a cero,

\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=2.

Así, $y=2$ es una asíntota horizontal. Pero $g(0)=2$ , y la fracción cambia de signo al pasar por cero. Por tanto, la gráfica atraviesa la asíntota.

Una asíntota horizontal describe el comportamiento lejano de la función; no es una barrera que la gráfica no pueda cruzar.

Cómo interpretar una gráfica

Cuando estudies un punto $x=a$ , separa las preguntas:

Pregunta	Qué debes mirar
¿Cuál es el límite por la izquierda?	Hacia qué altura va la rama situada a la izquierda de $a$
¿Cuál es el límite por la derecha?	Hacia qué altura va la rama situada a la derecha de $a$
¿Cuánto vale $f(a)$ ?	Si hay un punto relleno con abscisa $a$ , y a qué altura está
¿Es continua en $a$ ?	Si los dos laterales y el valor del punto coinciden
¿Hay una asíntota vertical?	Si alguna rama crece o decrece sin límite cerca de $a$
¿Hay una asíntota horizontal?	A qué altura se acerca la gráfica cuando $x\to+\infty$ o $x\to-\infty$

Por ejemplo, si las dos ramas se acercan a un círculo vacío en $(3,4)$ , pero hay un punto relleno en $(3,1)$ , entonces

\begin{aligned} \lim_{x\to3^-}f(x) &= \lim_{x\to3^+}f(x)=4 \\ f(3)&=1 \end{aligned}.

El límite existe, pero la función tiene una discontinuidad evitable porque $f(3)\neq4$ .

Modelo contextualizado de tipo PAU: coste medio de producción

Una empresa tiene un coste fijo de $1.200$ € y un coste variable de $6$ € por kilogramo producido.

Si produce $x>0$ kilogramos, el coste total es

T(x)=1200+6x.

El coste medio por kilogramo es el coste total dividido por la cantidad producida:

C(x)=\frac{1200+6x}{x} =6+\frac{1200}{x}, \qquad x>0.

Dominio y continuidad

El dominio contextual es $x>0$ : no tiene sentido una producción negativa, y con producción cero no podemos calcular un coste medio por kilogramo.

Como el denominador no se anula para $x>0$ , la función es continua en todo su dominio.

¿Qué ocurre con una producción muy pequeña?

\lim_{x\to0^+}C(x) = \lim_{x\to0^+}\left(6+\frac{1200}{x}\right) =+\infty.

Por tanto, $x=0$ es una asíntota vertical del modelo.

Como el coste fijo se reparte entre una cantidad de producción cada vez menor, el coste medio por kilogramo crece sin límite.

Solo estudiamos el límite por la derecha porque el modelo exige $x>0$ .

¿Qué ocurre si la producción aumenta mucho?

\lim_{x\to+\infty}C(x) =6+0=6.

Por tanto,

La recta $\boxed{y=6}$ es una asíntota horizontal.

Como el coste fijo se reparte entre cada vez más kilogramos, su aportación por kilogramo se acerca a cero. Por eso, el coste medio se acerca al coste variable de $6$ €/kg.

No llega a ser exactamente $6$ €/kg para ninguna producción finita, porque

\frac{1200}{x}>0 \quad\Longrightarrow\quad C(x)>6.

¿Qué producción permite un coste medio de como máximo $8$ €/kg?

Planteamos

6+\frac{1200}{x}\leq8.

Aislamos la fracción:

\frac{1200}{x}\leq2.

Como $x>0$ , podemos multiplicar por $x$ sin cambiar el sentido de la desigualdad:

1200\leq2x \quad\Longrightarrow\quad \boxed{x\geq600}.

La empresa debe producir como mínimo 600 kg para que el coste medio no supere los $8$ €/kg.

Ideas clave para justificar una respuesta

Límite y valor no son lo mismo: el límite depende del comportamiento cercano al punto; $f(a)$ depende del valor asignado al punto.
Los dos laterales deben coincidir para que haya un límite finito.
$0/0$ no es un resultado: es una indeterminación que hay que resolver.
La continuidad exige tres coincidencias: límite izquierdo, límite derecho y valor de la función.
Una discontinuidad evitable se corrige en un solo punto; un salto, no.
Una asíntota vertical se justifica con un límite lateral infinito.
Una asíntota horizontal se justifica con un límite finito en el infinito.

En una respuesta de PAU, escribe tanto el cálculo como la conclusión. Por ejemplo:

\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty.

Por tanto, $x=2$ es una asíntota vertical.

Así queda explícito qué comportamiento de la función causa la conclusión que das.

Practica

Ponte a prueba

Tres ejercicios resueltos paso a paso, de menor a mayor dificultad. Inténtalos antes de abrir la solución.

Básico

1Límites laterales de una función a trozos

Considera

g(x)= \begin{cases} x^2+1,&x<0,\\ 4,&x=0,\\ 2-x,&x>0. \end{cases}

a
Calcula $\displaystyle\lim_{x\to-1}g(x)$ y $\displaystyle\lim_{x\to1}g(x)$ .

b
Calcula $\displaystyle\lim_{x\to0^-}g(x)$ , $\displaystyle\lim_{x\to0^+}g(x)$ y $g(0)$ .

c
Decide si existe $\displaystyle\lim_{x\to0}g(x)$ . Justifica la respuesta.

d
Clasifica la discontinuidad en $x=0$ . ¿Se podría corregir cambiando solo $g(0)$ ?

Muestra la solución

a
Cerca de $-1$ se utiliza $x^2+1$ :

\lim_{x\to-1}g(x)=(-1)^2+1=\boxed{2}.

Cerca de $1$ se utiliza $2-x$ :

\lim_{x\to1}g(x)=2-1=\boxed{1}.

b
En $0$ ,

\lim_{x\to0^-}g(x)=\lim_{x\to0^-}(x^2+1)=\boxed{1},

\lim_{x\to0^+}g(x)=\lim_{x\to0^+}(2-x)=\boxed{2},

mientras que

\boxed{g(0)=4}.

c
Como $1\neq2$ ,

El límite $\displaystyle\lim_{x\to0}g(x)$ no existe.

d
Hay una discontinuidad de salto, porque los laterales son finitos y diferentes. El tamaño del salto es

|2-1|=\boxed{1}.

Cambiar $g(0)$ no modifica los laterales. Por eso, ningún cambio solo en el punto puede eliminar el salto.

Intermedio

2Denominador nulo: ¿límite finito o infinito?

Para cada una de las siguientes funciones, estudia el punto $x=2$ :

f(x)=\frac{x+1}{x-2},\qquad g(x)=\frac{-2}{(x-2)^2},

h(x)=\frac{x^2-4}{x-2},\qquad j(x)=\frac{x-2}{x^2-4}.

a
Calcula los dos límites laterales de cada función.

b
Indica si hay un límite bilateral finito, un límite bilateral infinito o ningún límite bilateral.

c
Decide en qué casos $x=2$ es una asíntota vertical. Justifícalo con límites.

d
Explica por qué la afirmación «si el denominador se anula, hay una asíntota vertical» es falsa.

Muestra la solución

a
Para $f(x)=(x+1)/(x-2)$ , el numerador se acerca a $3>0$ .

Por la izquierda, el denominador es negativo y se acerca a cero.
Por la derecha, es positivo y se acerca a cero.

Por eso,

\boxed{ \begin{aligned} \lim_{x\to2^-}f(x)&=-\infty \\ \lim_{x\to2^+}f(x)&=+\infty \end{aligned} }.

Para $g(x)=-2/(x-2)^2$ , el denominador es positivo a ambos lados y se acerca a cero. El numerador es negativo:

\boxed{\lim_{x\to2^-}g(x)= \lim_{x\to2^+}g(x)=-\infty}.

Para $h$ , simplificamos:

h(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2,\qquad x\neq2.

Por tanto,

\boxed{\lim_{x\to2^-}h(x)= \lim_{x\to2^+}h(x)=4}.

Para $j$ ,

j(x)=\frac{x-2}{(x-2)(x+2)} =\frac1{x+2},\qquad x\neq2,-2.

Así,

\boxed{\lim_{x\to2^-}j(x)= \lim_{x\to2^+}j(x)=\frac14}.

b
Resumen de los límites bilaterales:

Función	Límite en $2$
$f$	No existe: los laterales infinitos tienen signos diferentes
$g$	$-\infty$
$h$	$4$
$j$	$1/4$

c
La recta $x=2$ es una asíntota vertical de $f$ y de $g$ , porque tienen laterales infinitos.

No lo es de $h$ ni de $j$ , porque los límites son finitos. En estos dos casos hay discontinuidades evitables.

d
Que el denominador se anule solo indica que hay que estudiar el punto. En $h$ y $j$ , la cancelación de un factor deja una expresión con límite finito. Por eso, un denominador nulo no garantiza una asíntota vertical.

Tipo PAU

3Tipo PAU: continuidad, parámetros y asíntotas

Sea la función

f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1},&x<1,\\ b,&x=1,\\ \dfrac{ax+3}{x+1},&x>1, \end{cases}

donde $a$ y $b$ son números reales.

a
Halla el dominio de $f$ . Explica por qué $x=-1$ no queda excluido.

b
Halla $a$ y $b$ para que la función sea continua en todo su dominio.

c
Con los valores del apartado anterior, calcula los límites en $+\infty$ y en $-\infty$ . Indica las asíntotas horizontales.

d
Con estos mismos valores, decide si hay alguna asíntota vertical.

e
Si $a=3$ y $b=2$ , estudia la continuidad en $x=1$ y clasifica la discontinuidad.

Muestra la solución

a
En el primer tramo, $x<1$ , el denominador $x-1$ no se anula.

En el tercer tramo, $x>1$ , el denominador $x+1$ tampoco se anula.

El punto $x=1$ tiene el valor $b$ . Por tanto,

\boxed{\operatorname{Dom}(f)=\mathbb R}.

En $x=-1$ se utiliza el primer tramo, no el tercero:

\begin{aligned} f(-1)&=\frac{(-1)^2-1}{-1-1} \\ &=\frac0{-2} \\ &=0 \end{aligned}.

Por eso, $-1$ no queda excluido.

b
Por la izquierda de $1$ ,

\frac{x^2-1}{x-1}=x+1,

y, por tanto,

\lim_{x\to1^-}f(x)=2.

Por la derecha,

\lim_{x\to1^+}f(x)=\frac{a+3}{2}.

El valor del punto es $f(1)=b$ . La continuidad exige

2=\frac{a+3}{2}=b.

Resolvemos:

\begin{aligned} 4&=a+3 \\ a&=1 \\ b&=2 \end{aligned}.

Así,

\boxed{a=1,\qquad b=2}.

El resto de cada tramo es continuo, de modo que estos valores hacen la función continua en todo $\mathbb R$ .

c
En $+\infty$ , utilizamos el tercer tramo:

\lim_{x\to+\infty}\frac{x+3}{x+1}=1.

Por tanto,

\boxed{y=1}

es una asíntota horizontal a la derecha.

En $-\infty$ , utilizamos el primer tramo simplificado:

\lim_{x\to-\infty}(x+1)=-\infty.

No hay asíntota horizontal a la izquierda.

d
No hay ninguna asíntota vertical.

En $x=1$ , los dos laterales son finitos y valen $2$ .
En $x=-1$ , la función sigue $x+1$ , y el límite es $0$ .
En los otros puntos, las expresiones de los tramos son continuas y finitas.

Por tanto, no hay ningún lateral infinito en un punto finito.

e
Con $a=3$ y $b=2$ ,

\lim_{x\to1^-}f(x)=2,

\lim_{x\to1^+}f(x)=\frac{3+3}{2}=3,

f(1)=2.

Como los laterales son diferentes, el límite bilateral no existe. Hay una discontinuidad de salto, de tamaño

\boxed{|3-2|=1}.

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Límites, continuidad y asíntotas

Ejemplo: el límite y el valor de la función son distintos

¿Cuándo existe el límite en un punto?

Ejemplo: los laterales no coinciden

Límite finito

Límite infinito

Ejemplo: dos laterales infinitos de distinto signo

Ejemplo con un polinomio

Ejemplo con un cociente

Ejemplo resuelto

Ejemplo 1: grado del numerador menor

Ejemplo 2: grados iguales

Ejemplo 3: grado del numerador mayor

Ejemplo: función a trozos con un parámetro

Discontinuidad evitable

Discontinuidad de salto

Ejemplo resuelto

Un denominador nulo no garantiza una asíntota

Ejemplo resuelto

Una asíntota horizontal se puede atravesar

Dominio y continuidad

¿Qué ocurre con una producción muy pequeña?

¿Qué ocurre si la producción aumenta mucho?

¿Qué producción permite un coste medio de como máximo 888 €/kg?

1Límites laterales de una función a trozos

2Denominador nulo: ¿límite finito o infinito?

3Tipo PAU: continuidad, parámetros y asíntotas

¿Qué producción permite un coste medio de como máximo $8$ €/kg?