Matemàtiques · 2n de Batxillerat · PAU

Límits, continuïtat i asímptotes

Què vol dir que una funció s’acosta a un valor, com es calculen els límits, quan una funció és contínua i com es justifiquen les asímptotes. Llegeix cada apartat i juga amb la figura del costat.

12 min de lectura
13 figures interactives
3 exercicis resolts

llegeix i juga!

El domini et diu per a quins valors de $x$ està definida una funció. Ara estudiaràs què passa amb $f(x)$ quan $x$ s’acosta a un punt o quan creix o decreix sense límit.

La distinció principal és aquesta:

$f(a)$ és el valor de la funció exactament en $x=a$ .
$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)$ descriu el comportament de la funció quan $x$ s’acosta a $a$ , sense necessitat de prendre el valor $a$ .

Aquesta diferència permet entendre els límits, comprovar la continuïtat i justificar les asímptotes.

Abans de començar…

Acostar-se sense arribar

La funció f(x) = (x² − 1)/(x − 1) no té cap valor a x = 1: en substituir surt 0/0. Però si proves x = 0,9, 0,99, 0,999…, obtens 1,9, 1,99, 1,999… Els valors s’acosten a 2 tant com vulguis.

Això és un límit: no diu quant val la funció en un punt, sinó cap a on va quan t’hi acostes. Amb la mateixa idea veuràs quan una funció és contínua, quan fa un salt i quan s’enfila sense fi al costat d’una asímptota.

Mira el vídeo i després prova-ho tu: acosta x a 1 i amplia tant com vulguis. El forat es tanca mai?

Mira-ho en 43 segons

Ara prova-ho tu:

La lupa amplia ×10, ×100 i ×1000 al voltant del punt (1, 2). Per a x ≠ 1, la funció coincideix amb la recta x + 1.

Què significa un límit?

Escrivim

\lim_{x\to a}f(x)=L

quan els valors de $f(x)$ s’acosten a $L$ a mesura que $x$ s’acosta a $a$ .

Per estudiar aquest límit, mirem valors de $x$ propers a $a$ , però diferents de $a$ . Per això, el límit pot existir encara que $f(a)$ no estigui definit o tingui un valor diferent de $L$ .

Exemple: el límit i el valor de la funció són diferents

Considera

f(x)= \begin{cases} x+1,&x\neq 1,\\ 5,&x=1. \end{cases}

Quan $x$ s’acosta a $1$ , els valors de $x+1$ s’acosten a $2$ . Per tant,

\boxed{\lim_{x\to1}f(x)=2}.

En canvi, la definició de la funció dona

\boxed{f(1)=5}.

En el gràfic veuries:

la recta $y=x+1$ , amb un cercle buit en $(1,2)$ ;
un punt ple en $(1,5)$ .

El cercle buit indica que aquell punt no pertany al gràfic. El punt ple indica el valor que sí que pren la funció.

Com que els valors propers a $1$ segueixen la recta, el límit és $2$ . Com que la funció assigna el valor $5$ a $x=1$ , tenim $f(1)=5$ .

Límits laterals: acostar-se per cada costat

Pots acostar-te a un punt des de dos costats.

Notació	Com t’acostes a $a$
$\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)$	Per l’esquerra: amb valors $x<a$
$\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)$	Per la dreta: amb valors $x>a$

El signe $^{-}$ o $^{+}$ indica el costat des d’on s’acosta $x$ . No indica el signe de $f(x)$ .

Quan existeix el límit en un punt?

Perquè existeixi un límit finit, els dos límits laterals han d’existir i coincidir:

\boxed{ \begin{aligned} \lim_{x\to a^-}f(x)&=\lim_{x\to a^+}f(x)=L \\ \Longrightarrow\quad \lim_{x\to a}f(x)&=L \end{aligned} }.

Si els límits laterals són diferents, el límit en $a$ no existeix.

Exemple: els laterals no coincideixen

Sigui

g(x)= \begin{cases} x+2,&x<1,\\ 2x+3,&x\geq1. \end{cases}

Per l’esquerra de $1$ , has d’utilitzar $x+2$ :

\lim_{x\to1^-}g(x)=1+2=3.

Per la dreta, has d’utilitzar $2x+3$ :

\lim_{x\to1^+}g(x)=2\cdot1+3=5.

Com que $3\neq5$ ,

El límit $\displaystyle\lim_{x\to1}g(x)$ no existeix.

A més, $g(1)=5$ , perquè la segona expressió inclou $x=1$ .

El fet que $g(1)$ existeixi no garanteix que existeixi el límit: els dos costats s’acosten a altures diferents.

Límits finits i infinits

El punt al qual s’acosta $x$ i el resultat del límit són dues coses diferents.

Límit finit

Un límit és finit si $f(x)$ s’acosta a un nombre real:

\lim_{x\to2}(3x+1)=7.

Límit infinit

Escrivim

\lim_{x\to a}f(x)=+\infty

si $f(x)$ creix sense límit quan $x$ s’acosta a $a$ .

Escrivim

\lim_{x\to a}f(x)=-\infty

si $f(x)$ decreix sense límit.

L’infinit no és un nombre ni és el valor $f(a)$ . Aquesta notació descriu un comportament sense límit.

Exemple: dos laterals infinits de signe diferent

Considera

h(x)=\frac{1}{x-2}.

Si $x\to2^-$ , el denominador és negatiu i s’acosta a zero. Per això, el quocient es fa negatiu amb un valor absolut cada vegada més gran:

$\lim_{x\to2^-}\frac{1}{x-2}=-\infty.$
Si $x\to2^+$ , el denominador és positiu i s’acosta a zero. Per això, el quocient creix sense límit:

$\lim_{x\to2^+}\frac{1}{x-2}=+\infty.$

Com que els laterals tenen signes diferents, no hi ha un únic límit bilateral, ni finit ni infinit.

En canvi,

\lim_{x\to2}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty,

perquè el denominador és positiu a tots dos costats i s’acosta a zero. Els dos laterals són, doncs, $+\infty$ .

Calcular límits per substitució

En moltes funcions habituals, pots calcular el límit substituint $x$ pel valor al qual s’acosta.

Això funciona, per exemple:

en els polinomis;
en els quocients de polinomis, si el denominador no s’anul·la;
en altres funcions contínues, als punts on estan definides.

Exemple amb un polinomi

\lim_{x\to2}(x^2-3x+4) =2^2-3\cdot2+4 =\boxed{2}.

Exemple amb un quocient

\lim_{x\to1}\frac{x+2}{x^2+1} =\frac{1+2}{1^2+1} =\boxed{\frac32}.

Com que el denominador val $2$ , no s’anul·la. Per això, la substitució directa resol el límit.

Si el denominador dona zero, no pots acabar el càlcul amb la substitució: has d’analitzar què passa.

La indeterminació $0/0$ : factoritzar i simplificar

Si en substituir obtens

\frac00,

no has obtingut el resultat del límit. Has trobat una indeterminació: aquesta informació, tota sola, no permet saber el resultat.

En quocients de polinomis, sovint la resols factoritzant.

Exemple resolt

Calcula

\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}.

1. Substitueix per detectar el problema.

\frac{1^2-1}{1-1}=\frac00.

2. Factoritza el numerador.

Com que $x^2-1=(x-1)(x+1)$ ,

\frac{x^2-1}{x-1} =\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}.

3. Simplifica per a $x\neq1$ .

\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1.

4. Calcula el límit de l’expressió simplificada.

\boxed{ \lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1} =\lim_{x\to1}(x+1)=2 }.

La simplificació és vàlida per a $x\neq1$ . Això és suficient perquè el límit estudia valors propers a $1$ , no el valor exacte en $1$ .

Per tant:

la funció original no està definida en $x=1$ ;
el seu límit en $x=1$ sí que existeix i val $2$ .

No confonguis simplificar una expressió per calcular-ne el límit amb definir el valor de la funció al punt.

Límits a l’infinit en quocients de polinomis

Ara no acostem $x$ a un nombre concret:

$x\to+\infty$ : $x$ pren valors positius cada vegada més grans;
$x\to-\infty$ : $x$ pren valors negatius amb valor absolut cada vegada més gran.

En un quocient de polinomis, el comportament a l’infinit depèn dels termes de grau més alt, perquè són els que dominen quan $|x|$ és molt gran.

f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)},

compara el grau del numerador amb el del denominador.

Comparació de graus	Resultat a l’infinit
Grau del numerador menor	El límit és $0$
Graus iguals	El límit és el quocient dels coeficients principals
Grau del numerador major	No hi ha límit finit; cal determinar el signe del creixement

Exemple 1: grau del numerador menor

\lim_{x\to\pm\infty}\frac{3x+1}{x^2+2}=0.

Ho pots justificar dividint entre $x^2$ :

\frac{3x+1}{x^2+2} =\frac{\frac3x+\frac1{x^2}}{1+\frac2{x^2}} \longrightarrow\frac01=0.

El denominador creix més ràpid que el numerador. Per això, el quocient s’acosta a zero.

Exemple 2: graus iguals

\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x^2-3x+1}{5x^2+4} =\boxed{\frac25}.

Dividint entre $x^2$ ,

\frac{2-\frac3x+\frac1{x^2}}{5+\frac4{x^2}} \longrightarrow\frac25.

Exemple 3: grau del numerador major

\frac{x^3+1}{x^2+1}

es comporta, per a valors grans de $|x|$ , com

\frac{x^3}{x^2}=x.

Per tant,

\begin{aligned} \lim_{x\to+\infty}\frac{x^3+1}{x^2+1}&=+\infty \\ \lim_{x\to-\infty}\frac{x^3+1}{x^2+1}&=-\infty \end{aligned}.

Quan el grau del numerador és més gran, no n’hi ha prou amb escriure “infinit”: has de comprovar el signe en cada extrem.

Comprovar la continuïtat en un punt

Una funció és contínua en un punt interior del domini si el valor de la funció coincideix amb el valor al qual s’acosta des dels dos costats:

\boxed{ \lim_{x\to a^-}f(x) = \lim_{x\to a^+}f(x) = f(a) }.

Per comprovar-ho, calcula aquestes tres dades:

El límit per l’esquerra.
El límit per la dreta.
El valor $f(a)$ .

Si les tres coincideixen, la funció és contínua en $a$ . Si falla alguna condició, no ho és.

En un extrem del domini, només es considera el costat des del qual et pots acostar dins del domini.

Exemple: funció a trossos amb un paràmetre

Troba el valor de $k$ perquè sigui contínua en $x=2$ :

f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-4}{x-2},&x<2,\\[2mm] kx,&x\geq2. \end{cases}

Límit per l’esquerra. Factoritza:

x^2-4=(x-2)(x+2).

Per tant,

\lim_{x\to2^-}f(x) =\lim_{x\to2^-}(x+2)=4.

Límit per la dreta.

\lim_{x\to2^+}f(x)=\lim_{x\to2^+}kx=2k.

Valor en el punt. Com que la condició $x\geq2$ inclou $x=2$ ,

f(2)=2k.

Perquè sigui contínua, cal que

4=2k= f(2).

Així,

\boxed{k=2}.

Amb aquest valor, els dos trams s’acosten a $4$ i la funció també val $4$ en el punt. Per això, no hi ha cap interrupció en $x=2$ .

Discontinuïtats evitables i de salt

Discontinuïtat evitable

Hi ha una discontinuïtat evitable en $a$ quan el límit existeix i és finit, però:

$f(a)$ no està definit, o bé
$f(a)$ és diferent del límit.

És evitable perquè la pots corregir definint o canviant només el valor en aquell punt.

Per exemple,

f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}

té límit $2$ en $x=1$ , però no està definida allí. Si afegeixes $f(1)=2$ , la funció passa a ser contínua.

Com que els dos costats ja s’acosten al mateix valor, només cal omplir el forat a l’altura correcta.

Discontinuïtat de salt

Hi ha una discontinuïtat de salt quan els dos límits laterals són finits, però diferents.

En l’exemple

g(x)= \begin{cases} x+2,&x<1,\\ 2x+3,&x\geq1, \end{cases}

teníem

\begin{aligned} \lim_{x\to1^-}g(x)&=3 \\ \lim_{x\to1^+}g(x)&=5 \end{aligned}.

Per tant, hi ha un salt de mida

|5-3|=2.

No el pots corregir canviant només $g(1)$ : cap valor pot coincidir alhora amb $3$ i amb $5$ .

Si algun lateral és infinit, la discontinuïtat no és evitable ni de salt finit; sovint s’anomena discontinuïtat infinita.

Asímptotes verticals

La recta

\boxed{x=a}

és una asímptota vertical si, com a mínim per un dels costats, la funció tendeix a $+\infty$ o a $-\infty$ quan $x$ s’acosta a $a$ .

Per justificar-la, has d’escriure el límit corresponent.

Exemple resolt

Per a

f(x)=\frac{1}{x-2},

ja hem obtingut

\begin{aligned} \lim_{x\to2^-}f(x)&=-\infty \\ \lim_{x\to2^+}f(x)&=+\infty \end{aligned}.

Per tant,

La recta $\boxed{x=2}$ és una asímptota vertical.

En el gràfic, la branca de l’esquerra baixa sense límit i la de la dreta puja sense límit quan s’acosten a la recta $x=2$ .

Un denominador nul no garanteix una asímptota

Per a

g(x)=\frac{x^2-1}{x-1},

el denominador s’anul·la en $x=1$ , però

\lim_{x\to1}g(x)=2.

Per això, $x=1$ no és una asímptota vertical: hi ha un forat, no un creixement infinit.

En una funció racional, els zeros del denominador són punts que cal estudiar, no asímptotes automàtiques.

Asímptotes horitzontals

La recta

\boxed{y=L}

és una asímptota horitzontal si

\lim_{x\to+\infty}f(x)=L

o bé

\lim_{x\to-\infty}f(x)=L,

amb $L$ finit.

Pot haver-hi una asímptota horitzontal en un extrem i una altra de diferent en l’altre.

Exemple resolt

Sigui

f(x)=\frac{2x^2+3}{x^2+1}.

Com que els graus són iguals,

\lim_{x\to+\infty}f(x) = \lim_{x\to-\infty}f(x)=2.

Per tant,

La recta $\boxed{y=2}$ és una asímptota horitzontal als dos extrems.

Una asímptota horitzontal es pot travessar

Considera

g(x)=2+\frac{x}{x^2+1}.

Com que la fracció tendeix a zero,

\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=2.

Així, $y=2$ és una asímptota horitzontal. Però $g(0)=2$ , i la fracció canvia de signe en passar per zero. Per tant, el gràfic travessa l’asímptota.

Una asímptota horitzontal descriu el comportament llunyà de la funció; no és una barrera que el gràfic no pugui creuar.

Com interpretar un gràfic

Quan estudiïs un punt $x=a$ , separa les preguntes:

Pregunta	Què has de mirar
Quin és el límit per l’esquerra?	Cap a quina altura va la branca situada a l’esquerra de $a$
Quin és el límit per la dreta?	Cap a quina altura va la branca situada a la dreta de $a$
Quant val $f(a)$ ?	Si hi ha un punt ple amb abscissa $a$ , i a quina altura és
És contínua en $a$ ?	Si els dos laterals i el valor del punt coincideixen
Hi ha una asímptota vertical?	Si alguna branca creix o decreix sense límit prop de $a$
Hi ha una asímptota horitzontal?	A quina altura s’acosta el gràfic quan $x\to+\infty$ o $x\to-\infty$

Per exemple, si les dues branques s’acosten a un cercle buit en $(3,4)$ , però hi ha un punt ple en $(3,1)$ , aleshores

\begin{aligned} \lim_{x\to3^-}f(x) &= \lim_{x\to3^+}f(x)=4 \\ f(3)&=1 \end{aligned}.

El límit existeix, però la funció té una discontinuïtat evitable perquè $f(3)\neq4$ .

Model contextualitzat de tipus PAU: cost mitjà de producció

Una empresa té un cost fix de $1.200$ € i un cost variable de $6$ € per quilogram produït.

Si produeix $x>0$ quilograms, el cost total és

T(x)=1200+6x.

El cost mitjà per quilogram és el cost total dividit per la quantitat produïda:

C(x)=\frac{1200+6x}{x} =6+\frac{1200}{x}, \qquad x>0.

Domini i continuïtat

El domini contextual és $x>0$ : no té sentit una producció negativa, i amb producció zero no podem calcular un cost mitjà per quilogram.

Com que el denominador no s’anul·la per a $x>0$ , la funció és contínua en tot el seu domini.

Què passa amb una producció molt petita?

\lim_{x\to0^+}C(x) = \lim_{x\to0^+}\left(6+\frac{1200}{x}\right) =+\infty.

Per tant, $x=0$ és una asímptota vertical del model.

Com que el cost fix es reparteix entre una quantitat de producció cada vegada més petita, el cost mitjà per quilogram creix sense límit.

Només estudiem el límit per la dreta perquè el model exigeix $x>0$ .

Què passa si la producció augmenta molt?

\lim_{x\to+\infty}C(x) =6+0=6.

Per tant,

La recta $\boxed{y=6}$ és una asímptota horitzontal.

Com que el cost fix es reparteix entre cada vegada més quilograms, la seva aportació per quilogram s’acosta a zero. Per això, el cost mitjà s’acosta al cost variable de $6$ €/kg.

No arriba a ser exactament $6$ €/kg per a cap producció finita, perquè

\frac{1200}{x}>0 \quad\Longrightarrow\quad C(x)>6.

Quina producció permet un cost mitjà de com a màxim $8$ €/kg?

Plantegem

6+\frac{1200}{x}\leq8.

Aïllem la fracció:

\frac{1200}{x}\leq2.

Com que $x>0$ , podem multiplicar per $x$ sense canviar el sentit de la desigualtat:

1200\leq2x \quad\Longrightarrow\quad \boxed{x\geq600}.

L’empresa ha de produir com a mínim 600 kg perquè el cost mitjà no superi els $8$ €/kg.

Idees clau per justificar una resposta

Límit i valor no són el mateix: el límit depèn del comportament proper al punt; $f(a)$ depèn del valor assignat al punt.
Els dos laterals han de coincidir perquè hi hagi un límit finit.
$0/0$ no és un resultat: és una indeterminació que cal resoldre.
La continuïtat exigeix tres coincidències: límit esquerre, límit dret i valor de la funció.
Una discontinuïtat evitable es corregeix en un sol punt; un salt, no.
Una asímptota vertical es justifica amb un límit lateral infinit.
Una asímptota horitzontal es justifica amb un límit finit a l’infinit.

En una resposta de PAU, escriu tant el càlcul com la conclusió. Per exemple:

\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty.

Per tant, $x=2$ és una asímptota vertical.

Així queda explícit quin comportament de la funció causa la conclusió que dones.

Practica

Posa’t a prova

Tres exercicis resolts pas a pas, de menys a més difícils. Intenta’ls abans d’obrir la solució.

Bàsic

1Límits laterals d’una funció a trossos

Considera

g(x)= \begin{cases} x^2+1,&x<0,\\ 4,&x=0,\\ 2-x,&x>0. \end{cases}

a
Calcula $\displaystyle\lim_{x\to-1}g(x)$ i $\displaystyle\lim_{x\to1}g(x)$ .

b
Calcula $\displaystyle\lim_{x\to0^-}g(x)$ , $\displaystyle\lim_{x\to0^+}g(x)$ i $g(0)$ .

c
Decideix si existeix $\displaystyle\lim_{x\to0}g(x)$ . Justifica la resposta.

d
Classifica la discontinuïtat en $x=0$ . Es podria corregir canviant només $g(0)$ ?

Mostra la solució

a
A prop de $-1$ s’utilitza $x^2+1$ :

\lim_{x\to-1}g(x)=(-1)^2+1=\boxed{2}.

A prop d’ $1$ s’utilitza $2-x$ :

\lim_{x\to1}g(x)=2-1=\boxed{1}.

b
En $0$ ,

\lim_{x\to0^-}g(x)=\lim_{x\to0^-}(x^2+1)=\boxed{1},

\lim_{x\to0^+}g(x)=\lim_{x\to0^+}(2-x)=\boxed{2},

mentre que

\boxed{g(0)=4}.

c
Com que $1\neq2$ ,

El límit $\displaystyle\lim_{x\to0}g(x)$ no existeix.

d
Hi ha una discontinuïtat de salt, perquè els laterals són finits i diferents. La mida del salt és

|2-1|=\boxed{1}.

Canviar $g(0)$ no modifica els laterals. Per això, cap canvi només en el punt pot eliminar el salt.

Intermedi

2Denominador nul: límit finit o infinit?

Per a cadascuna de les funcions següents, estudia el punt $x=2$ :

f(x)=\frac{x+1}{x-2},\qquad g(x)=\frac{-2}{(x-2)^2},

h(x)=\frac{x^2-4}{x-2},\qquad j(x)=\frac{x-2}{x^2-4}.

a
Calcula els dos límits laterals de cada funció.

b
Indica si hi ha un límit bilateral finit, un límit bilateral infinit o cap límit bilateral.

c
Decideix en quins casos $x=2$ és una asímptota vertical. Justifica-ho amb límits.

d
Explica per què l’afirmació «si el denominador s’anul·la, hi ha una asímptota vertical» és falsa.

Mostra la solució

a
Per a $f(x)=(x+1)/(x-2)$ , el numerador s’acosta a $3>0$ .

Per l’esquerra, el denominador és negatiu i s’acosta a zero.
Per la dreta, és positiu i s’acosta a zero.

Per això,

\boxed{ \begin{aligned} \lim_{x\to2^-}f(x)&=-\infty \\ \lim_{x\to2^+}f(x)&=+\infty \end{aligned} }.

Per a $g(x)=-2/(x-2)^2$ , el denominador és positiu a tots dos costats i s’acosta a zero. El numerador és negatiu:

\boxed{\lim_{x\to2^-}g(x)= \lim_{x\to2^+}g(x)=-\infty}.

Per a $h$ , simplifiquem:

h(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2,\qquad x\neq2.

Per tant,

\boxed{\lim_{x\to2^-}h(x)= \lim_{x\to2^+}h(x)=4}.

Per a $j$ ,

j(x)=\frac{x-2}{(x-2)(x+2)} =\frac1{x+2},\qquad x\neq2,-2.

Així,

\boxed{\lim_{x\to2^-}j(x)= \lim_{x\to2^+}j(x)=\frac14}.

b
Resum dels límits bilaterals:

Funció	Límit en $2$
$f$	No existeix: els laterals infinits tenen signes diferents
$g$	$-\infty$
$h$	$4$
$j$	$1/4$

c
La recta $x=2$ és una asímptota vertical de $f$ i de $g$ , perquè tenen laterals infinits.

No ho és de $h$ ni de $j$ , perquè els límits són finits. En aquests dos casos hi ha discontinuïtats evitables.

d
Que el denominador s’anul·li només indica que cal estudiar el punt. En $h$ i $j$ , la cancel·lació d’un factor deixa una expressió amb límit finit. Per això, un denominador nul no garanteix una asímptota vertical.

Tipus PAU

3Tipus PAU: continuïtat, paràmetres i asímptotes

Sigui la funció

f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1},&x<1,\\ b,&x=1,\\ \dfrac{ax+3}{x+1},&x>1, \end{cases}

on $a$ i $b$ són nombres reals.

a
Troba el domini de $f$ . Explica per què $x=-1$ no queda exclòs.

b
Troba $a$ i $b$ perquè la funció sigui contínua en tot el seu domini.

c
Amb els valors de l’apartat anterior, calcula els límits a $+\infty$ i a $-\infty$ . Indica les asímptotes horitzontals.

d
Amb aquests mateixos valors, decideix si hi ha alguna asímptota vertical.

e
Si $a=3$ i $b=2$ , estudia la continuïtat en $x=1$ i classifica la discontinuïtat.

Mostra la solució

a
En el primer tram, $x<1$ , el denominador $x-1$ no s’anul·la.

En el tercer tram, $x>1$ , el denominador $x+1$ tampoc no s’anul·la.

El punt $x=1$ té el valor $b$ . Per tant,

\boxed{\operatorname{Dom}(f)=\mathbb R}.

En $x=-1$ s’utilitza el primer tram, no el tercer:

\begin{aligned} f(-1)&=\frac{(-1)^2-1}{-1-1} \\ &=\frac0{-2} \\ &=0 \end{aligned}.

Per això, $-1$ no queda exclòs.

b
Per l’esquerra de $1$ ,

\frac{x^2-1}{x-1}=x+1,

i, per tant,

\lim_{x\to1^-}f(x)=2.

Per la dreta,

\lim_{x\to1^+}f(x)=\frac{a+3}{2}.

El valor del punt és $f(1)=b$ . La continuïtat exigeix

2=\frac{a+3}{2}=b.

Resolem:

\begin{aligned} 4&=a+3 \\ a&=1 \\ b&=2 \end{aligned}.

Així,

\boxed{a=1,\qquad b=2}.

La resta de cada tram és contínua, de manera que aquests valors fan la funció contínua en tot $\mathbb R$ .

c
A $+\infty$ , utilitzem el tercer tram:

\lim_{x\to+\infty}\frac{x+3}{x+1}=1.

Per tant,

\boxed{y=1}

és una asímptota horitzontal a la dreta.

A $-\infty$ , utilitzem el primer tram simplificat:

\lim_{x\to-\infty}(x+1)=-\infty.

No hi ha asímptota horitzontal a l’esquerra.

d
No hi ha cap asímptota vertical.

En $x=1$ , els dos laterals són finits i valen $2$ .
En $x=-1$ , la funció segueix $x+1$ , i el límit és $0$ .
En els altres punts, les expressions dels trams són contínues i finites.

Per tant, no hi ha cap lateral infinit en un punt finit.

e
Amb $a=3$ i $b=2$ ,

\lim_{x\to1^-}f(x)=2,

\lim_{x\to1^+}f(x)=\frac{3+3}{2}=3,

f(1)=2.

Com que els laterals són diferents, el límit bilateral no existeix. Hi ha una discontinuïtat de salt, de mida

\boxed{|3-2|=1}.

Límits, continuïtat i asímptotes

Exemple: el límit i el valor de la funció són diferents

Quan existeix el límit en un punt?

Exemple: els laterals no coincideixen

Límit finit

Límit infinit

Exemple: dos laterals infinits de signe diferent

Exemple amb un polinomi

Exemple amb un quocient

Exemple resolt

Exemple 1: grau del numerador menor

Exemple 2: graus iguals

Exemple 3: grau del numerador major

Exemple: funció a trossos amb un paràmetre

Discontinuïtat evitable

Discontinuïtat de salt

Exemple resolt

Un denominador nul no garanteix una asímptota

Exemple resolt

Una asímptota horitzontal es pot travessar

Domini i continuïtat

Què passa amb una producció molt petita?

Què passa si la producció augmenta molt?

Quina producció permet un cost mitjà de com a màxim 888 €/kg?

1Límits laterals d’una funció a trossos

2Denominador nul: límit finit o infinit?

3Tipus PAU: continuïtat, paràmetres i asímptotes

Quina producció permet un cost mitjà de com a màxim $8$ €/kg?