Matemáticas · 2.º de Bachillerato · PAU

Matrices, determinantes y sistemas

Cuándo tiene un sistema una solución, ninguna o infinitas, y cómo se justifica: Gauss, rango, determinante, inversa y una primera discusión con parámetro. Lee cada apartado y juega con la figura de al lado.

12 min de lectura
8 figuras interactivas
3 ejercicios resueltos

¡lee y juega!

¿Qué aprenderás a decidir?

La pregunta central es esta:

¿Cuántas soluciones tiene un sistema y cómo podemos justificarlo?

Para responderla, conectaremos cuatro ideas:

Gauss transforma el sistema en otro equivalente, pero más fácil de interpretar.
El rango indica cuántas condiciones independientes hay.
El determinante, cuando la matriz es cuadrada, permite detectar si tiene rango máximo.
La inversa, cuando existe, permite resolver $AX=B$ mediante $X=A^{-1}B$ .

Al final deberás ser capaz de:

Distinguir la matriz de coeficientes $A$ de la matriz ampliada $(A\mid B)$ .
Calcular determinantes y rangos de matrices de dimensiones hasta $3\times3$ .
Clasificar un sistema y justificar su clasificación.
Resolverlo o explicar por qué no tiene solución.
Discutir un sistema con un parámetro sin perder los casos excepcionales.

Antes de empezar…

¿Una, ninguna o infinitas?

Dos ecuaciones con dos incógnitas son dos rectas. Las soluciones son los puntos que están en las dos a la vez: si se cortan, hay uno; si son paralelas, ninguno; si son la misma recta, infinitos.

Con tres incógnitas pasa lo mismo con planos: tres planos pueden coincidir en un solo punto, compartir una recta o no tener ningún punto común. No siempre podremos dibujarlo, pero Gauss, el rango y el determinante lo deciden por escrito. Es lo que aprenderás en esta página.

Mira el vídeo y después mueve tú la recta naranja: ¿cuándo deja de cortar a la azul?

Míralo en 42 segundos

Ahora pruébalo tú:

La recta azul es x + 2y = 3; la naranja, 2x + my = c. El determinante de los coeficientes es m − 4: cuando vale 0, las rectas son paralelas o coinciden.

Comprobación inicial: ¿qué recuerdas?

Tiempo: 10 minutos. Dedica los primeros 5 minutos a intentarlo sin consultar la teoría. Después, corrígelo.

D1. Notación y dimensiones

Considera el sistema:

\begin{cases} x+2y=0,\\ y=-1. \end{cases}

Escríbelo como $AX=B$ . Indica las dimensiones de $A$ , $X$ y $B$ .

D2. Operaciones matriciales

Sean

M=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}, \qquad N=\begin{pmatrix}0&1\\2&-1\end{pmatrix}.

Calcula:

M+N,\qquad 2M,\qquad M\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}.

D3. Determinante

Calcula $\det M$ . ¿Qué te permite afirmar sobre la inversa de $M$ ?

D4. Primer paso de Gauss

En la matriz ampliada

\left( \begin{array}{cc|c} 1&2&3\\ 2&4&7 \end{array} \right),

haz $F_2\leftarrow F_2-2F_1$ . ¿Qué ecuación representa la nueva segunda fila?

Corrección

D1.

\begin{gathered} A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix},\\ X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}. \end{gathered}

Las dimensiones son:

A:2\times2,\qquad X:2\times1,\qquad B:2\times1.

El producto $AX$ está definido porque las dimensiones interiores coinciden:

(2\times2)(2\times1)=2\times1.

D2.

M+N=\begin{pmatrix}1&3\\2&0\end{pmatrix}, \qquad 2M=\begin{pmatrix}2&4\\0&2\end{pmatrix},

M\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot2+2(-1)\\0\cdot2+1(-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}.

D3. $\det M=1\cdot1-2\cdot0=1$ . Como es distinto de cero, $M$ tiene inversa.

D4.

\left( \begin{array}{cc|c} 1&2&3\\ 0&0&1 \end{array} \right).

La segunda fila dice $0x+0y=1$ , es decir, $0=1$ . Como esta igualdad es imposible, el sistema no tiene solución.

La notación que utilizaremos

Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se puede escribir así:

\begin{cases} a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_1,\\ a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=b_2,\\ a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=b_3. \end{cases}

En forma matricial:

\underbrace{ \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}_{X} = \underbrace{\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}}_{B}.

$A$ contiene los coeficientes de las incógnitas.
$X$ contiene las incógnitas.
$B$ contiene los términos independientes.
$(A\mid B)$ incorpora también la información de los términos independientes:

(A\mid B)= \left( \begin{array}{ccc|c} a_{11}&a_{12}&a_{13}&b_1\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&b_2\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&b_3 \end{array} \right).

Aquí, $A$ es $3\times3$ , pero $(A\mid B)$ es $3\times4$ .

La matriz ampliada es una herramienta para representar el sistema. No le calcularemos un determinante, porque no es cuadrada.

Recordatorio de operaciones

Operación	Condición	Cómo se calcula
$A+C$	Mismas dimensiones	Sumando las entradas de la misma posición
$kA$	Cualquier escalar $k$	Multiplicando todas las entradas por $k$
$AC$	Columnas de $A$ = filas de $C$	Fila de $A$ por columna de $C$

En general, $AC$ y $CA$ no son iguales. Incluso puede ocurrir que un producto esté definido y el otro no.

Determinante: ¿qué nos dice y qué no nos dice?

3.1. Determinante de una matriz $2\times2$

\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc.

Por ejemplo:

\det\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix} =2\cdot1-1\cdot1=1.

3.2. Determinante de una matriz $3\times3$

Una manera de calcularlo es desarrollar por la primera fila:

\begin{aligned} \det \begin{pmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i \end{pmatrix} &=a(ei-fh)-b(di-fg)\\ &\quad+c(dh-eg). \end{aligned}

Observa los signos: $+, -, +$ .

Trabajaremos con esta matriz:

A= \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&2&1\\ 1&1&2 \end{pmatrix}.

Su determinante es:

\begin{aligned} \det A &=1(4-1)-1(2-1)+1(1-2)\\ &=3-1-1=1. \end{aligned}

3.3. Conclusiones

Para una matriz cuadrada $A$ de orden $n$ :

\boxed{ \begin{aligned} \det A\neq0 &\iff \operatorname{rango}(A)=n\\ &\iff A\text{ tiene inversa}. \end{aligned}}

Por tanto, si $AX=B$ tiene $n$ incógnitas y $\det A\neq0$ , tiene una única solución, sea cual sea $B$ .

En cambio:

\boxed{\det A=0\quad\Longrightarrow\quad \operatorname{rango}(A)<n.}

Esto no decide si no hay ninguna solución o hay infinitas soluciones. Hay que mirar también $B$ , mediante la matriz ampliada.

Si el determinante es cero, no concluyas «incompatible». Concluye «hay que comparar los rangos».

En este caso cuadrado, sí puedes descartar una solución única: el rango de $A$ es menor que el número de incógnitas.

Gauss: simplificar sin cambiar las soluciones

Podemos hacer tres operaciones elementales por filas:

Intercambiar dos filas: $F_i\leftrightarrow F_j$ .
Multiplicar una fila por un número no nulo: $F_i\leftarrow kF_i$ , con $k\neq0$ .
Sumar a una fila un múltiplo de otra: $F_i\leftarrow F_i+kF_j$ .

Estas operaciones son reversibles. Por eso, si las aplicamos a toda la matriz ampliada, conservan las soluciones del sistema.

Multiplicar una fila por cero no es válido: borraría una condición y no podríamos recuperarla.

Ejemplo explicado: una única solución

Resolvemos:

\begin{cases} x+y+z=6,\\ x+2y+z=8,\\ x+y+2z=9. \end{cases}

La matriz ampliada es:

\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 1&2&1&8\\ 1&1&2&9 \end{array} \right).

Hacemos:

F_2\leftarrow F_2-F_1, \qquad F_3\leftarrow F_3-F_1.

Obtenemos:

\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 0&1&0&2\\ 0&0&1&3 \end{array} \right).

Ahora leemos las ecuaciones de abajo arriba:

z=3,\qquad y=2,\qquad x+2+3=6.

Por tanto:

\boxed{(x,y,z)=(1,2,3).}

Comprobación en el sistema original

\begin{gathered} 1+2+3=6,\qquad 1+2\cdot2+3=8,\\ 1+2+2\cdot3=9. \end{gathered}

Las tres igualdades se cumplen. Por tanto, la solución satisface todas las condiciones, no solo las ecuaciones transformadas.

Rango y pivotes

¿Qué es el rango?

El rango es el número de filas —o de columnas— linealmente independientes.

Para calcularlo con Gauss:

Transforma la matriz hasta obtener una forma escalonada.
Cuenta las filas no nulas, o los pivotes.

Un pivote es el primer elemento no nulo de una fila no nula en una forma escalonada. Los pivotes de las filas siguientes quedan más a la derecha.

En el ejemplo anterior, la parte de coeficientes queda:

\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.

Hay tres pivotes, de modo que:

\operatorname{rango}(A)=3.

La matriz ampliada también tiene tres pivotes:

\operatorname{rango}(A\mid B)=3.

No cuentes las filas no nulas antes de hacer Gauss. Dos filas no nulas pueden aportar la misma información.

Por ejemplo:

\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix}.

La segunda fila inicial era el doble de la primera. Por eso, el rango es $1$ , no $2$ .

Otra herramienta: los menores

Un menor de orden $2$ es el determinante de una submatriz $2\times2$ .

En una matriz $3\times3$ :

Si el determinante es no nulo, el rango es $3$ .
Si el determinante es cero pero algún menor de orden $2$ es no nulo, el rango es $2$ .
Si todos estos menores son cero, pero hay alguna entrada no nula, el rango es $1$ .
La matriz nula tiene rango $0$ .

En esta sesión, Gauss será el procedimiento principal, porque también permite leer las soluciones.

Compatibilidad: comparar dos rangos

Llamamos $n$ al número de incógnitas.

El criterio de Rouché–Frobenius establece:

Comparación	Clasificación	Soluciones
$\operatorname{rango}(A)\neq\operatorname{rango}(A\mid B)$	Sistema incompatible, SI	Ninguna
$\operatorname{rango}(A)=\operatorname{rango}(A\mid B)=n$	Sistema compatible determinado, SCD	Una
$\operatorname{rango}(A)=\operatorname{rango}(A\mid B)<n$	Sistema compatible indeterminado, SCI	Infinitas

¿Por qué?

Si la ampliada tiene más rango que $A$ , los términos independientes introducen una contradicción. Por eso no hay solución.
Si los rangos coinciden, las condiciones son compatibles.
Si, además, el rango es $n$ , hay suficientes condiciones independientes para determinar todas las incógnitas.
Si el rango es menor que $n$ , quedan variables libres. Por eso aparece una familia de soluciones.

En un sistema compatible, el número de variables libres es:

\boxed{n-\operatorname{rango}(A).}

Intento guiado G1: infinitas soluciones

\begin{cases} x+y+z=6,\\ x+2y+z=8,\\ 2x+3y+2z=14. \end{cases}

Escribe $(A\mid B)$ .
Haz $F_2\leftarrow F_2-F_1$ y $F_3\leftarrow F_3-2F_1$ .
Elimina la nueva tercera fila con la segunda.
Compara los rangos con $n=3$ .
Toma $z=\lambda$ , con $\lambda\in\mathbb R$ , y expresa todas las soluciones.

Intento guiado G2: ninguna solución

Repite G1, pero cambia el término independiente de la tercera ecuación de $14$ a $15$ .

Antes de calcular: ¿qué crees que ocurrirá? La tercera ecuación tiene el mismo lado izquierdo que la suma de las dos primeras, pero exige un resultado diferente.

Soluciones razonadas

G1.

\begin{aligned} &\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 1&2&1&8\\ 2&3&2&14 \end{array} \right)\\ \longrightarrow\ &\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 0&1&0&2\\ 0&1&0&2 \end{array} \right)\\ \longrightarrow\ &\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 0&1&0&2\\ 0&0&0&0 \end{array} \right). \end{aligned}

Así:

\operatorname{rango}(A)=\operatorname{rango}(A\mid B)=2<3.

Es un SCI. La fila nula representa $0=0$ , que no impone ninguna condición nueva.

De las otras filas:

y=2,\qquad x+z=4.

Tomando $z=\lambda$ :

\boxed{(x,y,z)=(4-\lambda,\,2,\,\lambda), \qquad \lambda\in\mathbb R.}

Comprobación:

(4-\lambda)+2+\lambda=6,

(4-\lambda)+4+\lambda=8,

2(4-\lambda)+6+2\lambda=14.

Todas las igualdades se cumplen para cualquier $\lambda$ .

G2. Las mismas operaciones dan:

\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 0&1&0&2\\ 0&0&0&1 \end{array} \right).

La parte $A$ tiene dos pivotes, pero la ampliada tiene tres:

\operatorname{rango}(A)=2,\qquad \operatorname{rango}(A\mid B)=3.

La última fila exige $0=1$ . Por tanto, es un SI.

La inversa de una matriz

La matriz identidad es la que tiene unos en la diagonal y ceros en el resto:

I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, \qquad I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.

La inversa de una matriz cuadrada $A$ es una matriz $A^{-1}$ que cumple:

AA^{-1}=A^{-1}A=I.

Existe si, y solo si, $\det A\neq0$ .

7.1. Inversa $2\times2$

C=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \quad\text{i}\quad ad-bc\neq0,

entonces:

\boxed{ C^{-1}=\frac1{ad-bc} \begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}. }

Ejemplo explicado

C=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}, \qquad \det C=1.

Por tanto:

C^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}.

La comprobamos:

CC^{-1} = \begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Conexión con los sistemas

Si $CX=B$ , multiplicamos por la izquierda por $C^{-1}$ :

C^{-1}CX=C^{-1}B.

Como $C^{-1}C=I$ , obtenemos:

\boxed{X=C^{-1}B.}

Por ejemplo, si $B=\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}$ :

X= \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}.

Intento guiado G3

Calcula la inversa de

D=\begin{pmatrix}1&2\\1&3\end{pmatrix}.

Comprueba $DD^{-1}=I$ y resuelve:

D\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}.

Solución. $\det D=3-2=1$ , de modo que:

D^{-1}=\begin{pmatrix}3&-2\\-1&1\end{pmatrix}.

DD^{-1} = \begin{pmatrix} 3-2&-2+2\\ 3-3&-2+3 \end{pmatrix} =I.

X=D^{-1}B= \begin{pmatrix}15-14\\-5+7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}.

La comprobación es $1+2\cdot2=5$ y $1+3\cdot2=7$ .

7.2. Inversa $3\times3$ con Gauss–Jordan

Para calcularla, transformamos:

(A\mid I)\longrightarrow(I\mid A^{-1}).

Utilizamos la matriz del ejemplo resuelto:

\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1&1&1&1&0&0\\ 1&2&1&0&1&0\\ 1&1&2&0&0&1 \end{array} \right).

Con $F_2\leftarrow F_2-F_1$ y $F_3\leftarrow F_3-F_1$ :

\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1&1&1&1&0&0\\ 0&1&0&-1&1&0\\ 0&0&1&-1&0&1 \end{array} \right).

Ahora hacemos $F_1\leftarrow F_1-F_2$ y, después, $F_1\leftarrow F_1-F_3$ :

\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1&0&0&3&-1&-1\\ 0&1&0&-1&1&0\\ 0&0&1&-1&0&1 \end{array} \right).

Por tanto:

\boxed{ A^{-1}= \begin{pmatrix} 3&-1&-1\\ -1&1&0\\ -1&0&1 \end{pmatrix}. }

La comprobación da:

\begin{aligned} AA^{-1} &= \begin{pmatrix} 3-1-1&-1+1&-1+1\\ 3-2-1&-1+2&-1+1\\ 3-1-2&-1+1&-1+2 \end{pmatrix}\\ &=I_3. \end{aligned}

Y, para el sistema con $B=(6,8,9)^T$ :

A^{-1}B= \begin{pmatrix} 18-8-9\\ -6+8\\ -6+9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}.

Obtenemos la misma solución que con Gauss.

Si $A$ no tiene inversa, no puedes utilizar $X=A^{-1}B$ , pero aún puedes estudiar y resolver el sistema con Gauss.

Práctica independiente: un problema de tres incógnitas

Tiempo: 15 minutos. Inténtalo antes de mirar las pistas o la solución.

Una papelería vende cuadernos, carpetas y rotuladores. Los precios unitarios son los mismos en todas las compras.

Compra	Cuadernos	Carpetas	Rotuladores	Precio total
1	1	1	1	9 €
2	2	1	1	11 €
3	1	2	3	20 €

Define las tres incógnitas y escribe el sistema.
Escribe $A$ , $X$ y $B$ .
Resuelve con Gauss.
Justifica el tipo de sistema con los rangos.
Comprueba las tres compras y que los precios sean positivos.

Pistas progresivas

$x,y,z$ deben representar precios unitarios, no cantidades de productos.
Puedes hacer $F_2\leftarrow F_2-2F_1$ y $F_3\leftarrow F_3-F_1$ .
Después suma la segunda fila a la tercera.

Solución completa

Sean $x,y,z$ los precios, en euros, de un cuaderno, una carpeta y un rotulador.

\begin{cases} x+y+z=9,\\ 2x+y+z=11,\\ x+2y+3z=20. \end{cases}

\begin{gathered} A=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&1&1\\1&2&3\end{pmatrix},\\ X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix}9\\11\\20\end{pmatrix}. \end{gathered}

\begin{aligned} &\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&9\\ 2&1&1&11\\ 1&2&3&20 \end{array} \right)\\ \longrightarrow\ &\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&9\\ 0&-1&-1&-7\\ 0&1&2&11 \end{array} \right)\\ \longrightarrow\ &\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&9\\ 0&-1&-1&-7\\ 0&0&1&4 \end{array} \right). \end{aligned}

Hay tres pivotes en $A$ y en la ampliada:

\operatorname{rango}(A)=\operatorname{rango}(A\mid B)=3=n.

Es un SCD.

z=4,\qquad -y-4=-7\Rightarrow y=3,

x+3+4=9\Rightarrow x=2.

Respuesta: un cuaderno cuesta 2 €, una carpeta 3 € y un rotulador 4 €.

Comprobación:

\begin{gathered} 2+3+4=9,\qquad 2\cdot2+3+4=11,\\ 2+2\cdot3+3\cdot4=20. \end{gathered}

Los tres precios son positivos. Por tanto, la solución cumple las ecuaciones y las condiciones del contexto.

Primera discusión de un sistema con parámetro

Un parámetro, como $a$ , representa un número real fijo que aún no hemos concretado.

Discutir un sistema significa clasificarlo para todos los valores del parámetro. Sustituir $a=2$ y resolver solo aquel sistema no es una discusión completa.

Ejemplo final

\begin{cases} x+y+z=3,\\ x+ay+z=3,\\ x+y+(a+1)z=4. \end{cases}

Paso 1. Encontrar los valores excepcionales

La matriz de coeficientes es:

A(a)= \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&a&1\\ 1&1&a+1 \end{pmatrix}.

Restamos la primera fila a la segunda y a la tercera:

\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 0&a-1&0\\ 0&0&a \end{pmatrix}.

Sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante. Como la matriz resultante es triangular:

\det A(a)=1\cdot(a-1)\cdot a.

Por tanto:

\boxed{\det A(a)=a(a-1).}

Los valores excepcionales son $a=0$ y $a=1$ .

Restar un múltiplo de otra fila conserva el determinante. En cambio, intercambiar filas cambia su signo, y multiplicar una fila por $k$ multiplica el determinante por $k$ .

Paso 2. Hacer Gauss sin dividir todavía

(A\mid B) \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&3\\ 0&a-1&0&0\\ 0&0&a&1 \end{array} \right).

Ahora separamos los casos. Todavía no dividimos por $a$ ni por $a-1$ , porque estas expresiones pueden ser cero.

Caso A. $a\neq0$ y $a\neq1$

Los tres pivotes son no nulos:

\operatorname{rango}(A)=\operatorname{rango}(A\mid B)=3.

Es un SCD.

Ahora sí podemos dividir:

(a-1)y=0\Rightarrow y=0,

az=1\Rightarrow z=\frac1a,

x=3-\frac1a.

\boxed{ \begin{gathered} (x,y,z)=\left(3-\frac1a,\,0,\,\frac1a\right),\\ a\notin\{0,1\}. \end{gathered} }

Caso representativo: $a=2$ .

(x,y,z)=\left(\frac52,0,\frac12\right).

Comprobación en las ecuaciones originales:

\frac52+0+\frac12=3,

\frac52+2\cdot0+\frac12=3,

\frac52+0+3\cdot\frac12=4.

Caso B. $a=0$

\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&3\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&0&1 \end{array} \right).

\operatorname{rango}(A)=2,\qquad \operatorname{rango}(A\mid B)=3.

La última fila dice $0=1$ . Por tanto, es un SI.

Caso C. $a=1$

\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&3\\ 0&0&0&0\\ 0&0&1&1 \end{array} \right).

Intercambiando las dos últimas filas obtenemos una forma escalonada con dos pivotes:

\operatorname{rango}(A)=\operatorname{rango}(A\mid B)=2<3.

Es un SCI.

z=1,\qquad x+y=2.

Tomando $y=\lambda$ :

\boxed{(x,y,z)=(2-\lambda,\lambda,1), \qquad \lambda\in\mathbb R.}

Para cualquier $\lambda$ , las dos primeras ecuaciones dan $3$ , y la tercera da $4$ .

Resumen de la discusión

Valor de $a$	$\operatorname{rango}(A)$	$\operatorname{rango}(A\mid B)$	Tipo
$a\notin\{0,1\}$	3	3	SCD
$a=0$	2	3	SI
$a=1$	2	2	SCI

Aquí $a$ es el parámetro del sistema. En cambio, $\lambda$ es el parámetro libre que describe las soluciones de un caso concreto.

Practica

Ponte a prueba

Tres ejercicios resueltos paso a paso, de menor a mayor dificultad. Inténtalos antes de abrir las pistas y la solución.

Básico

1Gauss en un sistema $3\times3$

Considera:

\begin{cases} x+y+z=7,\\ 2x+y+z=9,\\ x+2y+3z=14. \end{cases}

a
Escribe $A$ , $X$ , $B$ y $(A\mid B)$ .

b
Aplica Gauss hasta obtener una matriz ampliada escalonada. Anota las operaciones.

c
Identifica los pivotes y calcula

\operatorname{rango}(A),\qquad \operatorname{rango}(A\mid B).

Clasifica el sistema.

d
Resuélvelo por sustitución de abajo arriba.

e
Comprueba la solución en las tres ecuaciones originales.

f
Calcula $\det A$ y explica por qué el resultado concuerda con la clasificación anterior.

Pista 1

Empieza con $F_2\leftarrow F_2-2F_1$ y $F_3\leftarrow F_3-F_1$ .

Pista 2

Las nuevas segunda y tercera filas tienen coeficientes opuestos en la columna de $y$ .

Pista 3

Suma la segunda fila a la tercera. Después resuelve de abajo arriba.

Muestra la solución

\begin{gathered} A=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&1&1\\1&2&3\end{pmatrix},\\ X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix}7\\9\\14\end{pmatrix}. \end{gathered}

(A\mid B)= \left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&7\\ 2&1&1&9\\ 1&2&3&14 \end{array} \right).

b
Hacemos:

F_2\leftarrow F_2-2F_1,\qquad F_3\leftarrow F_3-F_1.

\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&7\\ 0&-1&-1&-5\\ 0&1&2&7 \end{array} \right).

Después, $F_3\leftarrow F_3+F_2$ :

\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&7\\ 0&-1&-1&-5\\ 0&0&1&2 \end{array} \right).

c
Los pivotes de la parte de coeficientes son $1,-1,1$ . Así:

\operatorname{rango}(A)=\operatorname{rango}(A\mid B)=3=n.

Es un SCD.

z=2,

-y-z=-5\Rightarrow -y-2=-5\Rightarrow y=3,

x+y+z=7\Rightarrow x+3+2=7\Rightarrow x=2.

\boxed{(x,y,z)=(2,3,2).}

2+3+2=7,

2\cdot2+3+2=9,

2+2\cdot3+3\cdot2=14.

f
Las operaciones realizadas para obtener la matriz triangular no cambian el determinante. Por tanto:

\det A=1\cdot(-1)\cdot1=-1\neq0.

El determinante no nulo implica rango $3$ , de modo que concuerda con la clasificación como SCD.

Intermedio

2Mismos coeficientes, distinta compatibilidad

Compara estos dos sistemas:

\text{Sistema I}\quad \begin{cases} x+y+z=7,\\ 2x+y+z=9,\\ 3x+2y+2z=16, \end{cases}

\text{Sistema II}\quad \begin{cases} x+y+z=7,\\ 2x+y+z=9,\\ 3x+2y+2z=17. \end{cases}

a
Explica qué relación hay entre los coeficientes de la tercera ecuación y los de las dos primeras.

b
Aplica Gauss a ambos sistemas y compara los rangos de $A$ y de $(A\mid B)$ .

c
Clasifícalos. Interpreta la última fila de cada matriz ampliada.

d
Expresa todas las soluciones del sistema compatible con una variable libre y comprueba la familia obtenida.

Pista 1

El lado izquierdo de la tercera ecuación es la suma de los lados izquierdos de las dos primeras.

Pista 2

Elimina con $F_2\leftarrow F_2-2F_1$ , $F_3\leftarrow F_3-3F_1$ y después $F_3\leftarrow F_3-F_2$ .

Pista 3

En el sistema I queda $0=0$ ; en el II queda $0=1$ . En el primero, toma $z=\lambda$ .

Muestra la solución

(3,2,2)=(1,1,1)+(2,1,1).

Por tanto, la tercera ecuación solo será coherente con las dos primeras si su término independiente es $7+9=16$ .

b
En ambos sistemas hacemos:

\begin{gathered} F_2\leftarrow F_2-2F_1,\qquad F_3\leftarrow F_3-3F_1,\\ F_3\leftarrow F_3-F_2. \end{gathered}

Para el sistema I:

\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&7\\ 0&-1&-1&-5\\ 0&0&0&0 \end{array} \right).

Para el sistema II:

\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&7\\ 0&-1&-1&-5\\ 0&0&0&1 \end{array} \right).

c
Sistema I:

\operatorname{rango}(A)=\operatorname{rango}(A\mid B)=2<3.

Es un SCI. La última fila representa $0=0$ , que no añade ninguna condición.

Sistema II:

\operatorname{rango}(A)=2,\qquad \operatorname{rango}(A\mid B)=3.

Es un SI. La última fila representa $0=1$ . Como esta igualdad es imposible, ninguna terna puede satisfacer todas las ecuaciones.

d
En el sistema I:

y+z=5,\qquad x+y+z=7\Rightarrow x=2.

Tomando $z=\lambda$ :

\boxed{(x,y,z)=(2,5-\lambda,\lambda),\qquad \lambda\in\mathbb R.}

Comprobación:

2+(5-\lambda)+\lambda=7,

4+(5-\lambda)+\lambda=9,

6+2(5-\lambda)+2\lambda=16.

Las tres igualdades se cumplen para cualquier $\lambda$ .

Tipo PAU

3Tipo PAU: discusión completa de un sistema $3\times3$

Considera el sistema, con $a\in\mathbb R$ :

\begin{cases} x+y+z=4,\\ 2x+(a+1)y+2z=8,\\ x+y+(a+1)z=a+1. \end{cases}

a
Calcula el determinante de la matriz de coeficientes e identifica los valores excepcionales.

b
Discute la compatibilidad para todos los valores de $a$ . Justifica cada caso comparando

\operatorname{rango}(A),\qquad \operatorname{rango}(A\mid B),\qquad n.

c
Resuelve el sistema en el caso compatible indeterminado y comprueba la familia de soluciones.

d
Encuentra la solución en función de $a$ en los casos compatibles determinados.

e
Resuelve el caso $a=2$ y compruébalo en las ecuaciones originales.

Pista 1

Haz $F_2\leftarrow F_2-2F_1$ y $F_3\leftarrow F_3-F_1$ .

Pista 2

Obtendrás las ecuaciones $(a-1)y=0$ y $az=a-3$ .

Pista 3

Separa $a=0$ , $a=1$ y el resto. No dividas por $a$ ni por $a-1$ antes de hacerlo.

Muestra la solución

a
La matriz de coeficientes es:

A= \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 2&a+1&2\\ 1&1&a+1 \end{pmatrix}.

Hacemos:

F_2\leftarrow F_2-2F_1,\qquad F_3\leftarrow F_3-F_1.

La parte de coeficientes queda:

\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 0&a-1&0\\ 0&0&a \end{pmatrix}.

Estas operaciones no cambian el determinante:

\boxed{\det A=a(a-1).}

Los valores excepcionales son $a=0$ y $a=1$ .

b
Aplicando las mismas operaciones a la ampliada:

(A\mid B)\sim \left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&4\\ 0&a-1&0&0\\ 0&0&a&a-3 \end{array} \right).

Caso $a\notin\{0,1\}$ .

Hay tres pivotes en la parte de coeficientes:

\operatorname{rango}(A)=\operatorname{rango}(A\mid B)=3=n.

Es un SCD.

Caso $a=0$ .

\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&4\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&0&-3 \end{array} \right).

\operatorname{rango}(A)=2,\qquad \operatorname{rango}(A\mid B)=3.

La última fila es $0=-3$ . Es un SI.

Caso $a=1$ .

\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&4\\ 0&0&0&0\\ 0&0&1&-2 \end{array} \right).

Intercambiando las dos últimas filas vemos dos pivotes:

\operatorname{rango}(A)=\operatorname{rango}(A\mid B)=2<3.

Es un SCI.

Valor de $a$	Rango de $A$	Rango de la ampliada	Tipo
$a\notin\{0,1\}$	3	3	SCD
$a=0$	2	3	SI
$a=1$	2	2	SCI

c
Para $a=1$ :

z=-2,\qquad x+y=6.

Tomando $y=\lambda$ :

\boxed{(x,y,z)=(6-\lambda,\lambda,-2),\quad\lambda\in\mathbb R.}

Comprobación en el sistema original:

(6-\lambda)+\lambda-2=4,

2(6-\lambda)+2\lambda+2(-2)=8,

(6-\lambda)+\lambda+2(-2)=2=a+1.

d
Para $a\notin\{0,1\}$ , ahora sí podemos dividir:

(a-1)y=0\Rightarrow y=0,

az=a-3\Rightarrow z=1-\frac3a,

x=4-z=3+\frac3a.

\boxed{ \begin{gathered} (x,y,z)= \left(3+\frac3a,\ 0,\ 1-\frac3a\right),\\ a\notin\{0,1\}. \end{gathered}}

e
Para $a=2$ :

\boxed{(x,y,z)=\left(\frac92,0,-\frac12\right).}

Comprobación:

\frac92+0-\frac12=4,

2\cdot\frac92+3\cdot0+2\left(-\frac12\right)=8,

\frac92+0+3\left(-\frac12\right)=3.

Las tres ecuaciones se cumplen.

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Matrices, determinantes y sistemas

¿Qué aprenderás a decidir?

D1. Notación y dimensiones

D2. Operaciones matriciales

D3. Determinante

D4. Primer paso de Gauss

Corrección

Recordatorio de operaciones

3.1. Determinante de una matriz 2×22\times22×2

3.2. Determinante de una matriz 3×33\times33×3

3.3. Conclusiones

Ejemplo explicado: una única solución

Comprobación en el sistema original

¿Qué es el rango?

Otra herramienta: los menores

¿Por qué?

Intento guiado G1: infinitas soluciones

Intento guiado G2: ninguna solución

Soluciones razonadas

7.1. Inversa 2×22\times22×2

Ejemplo explicado

Conexión con los sistemas

Intento guiado G3

7.2. Inversa 3×33\times33×3 con Gauss–Jordan

Pistas progresivas

Solución completa

Ejemplo final

Paso 1. Encontrar los valores excepcionales

Paso 2. Hacer Gauss sin dividir todavía

Caso A. a≠0a\neq0a=0 y a≠1a\neq1a=1

Caso B. a=0a=0a=0

Caso C. a=1a=1a=1

Resumen de la discusión

1Gauss en un sistema 3×33\times33×3

2Mismos coeficientes, distinta compatibilidad

3Tipo PAU: discusión completa de un sistema 3×33\times33×3

3.1. Determinante de una matriz $2\times2$

3.2. Determinante de una matriz $3\times3$

7.1. Inversa $2\times2$

7.2. Inversa $3\times3$ con Gauss–Jordan

Caso A. $a\neq0$ y $a\neq1$

Caso B. $a=0$

Caso C. $a=1$

1Gauss en un sistema $3\times3$

3Tipo PAU: discusión completa de un sistema $3\times3$