Matemàtiques · 2n de Batxillerat · PAU

Matrius, determinants i sistemes

Quan té un sistema una solució, cap o infinites, i com es justifica: Gauss, rang, determinant, inversa i una primera discussió amb paràmetre. Llegeix cada apartat i juga amb la figura del costat.

12 min de lectura
8 figures interactives
3 exercicis resolts

llegeix i juga!

Què aprendràs a decidir?

La pregunta central és aquesta:

Quantes solucions té un sistema i com ho podem justificar?

Per respondre-la, connectarem quatre idees:

Gauss transforma el sistema en un altre d’equivalent, però més fàcil de llegir.
El rang indica quantes condicions independents hi ha.
El determinant, quan la matriu és quadrada, permet detectar si té rang màxim.
La inversa, quan existeix, permet resoldre $AX=B$ mitjançant $X=A^{-1}B$ .

Al final hauràs de poder:

Distingir la matriu de coeficients $A$ de la matriu ampliada $(A\mid B)$ .
Calcular determinants i rangs de matrius de dimensions fins a $3\times3$ .
Classificar un sistema i justificar-ne la classificació.
Resoldre’l o explicar per què no té solució.
Discutir un sistema amb un paràmetre sense perdre els casos excepcionals.

Abans de començar…

Una, cap o infinites?

Dues equacions amb dues incògnites són dues rectes. Les solucions són els punts que són a totes dues alhora: si es tallen, n’hi ha un; si són paral·leles, cap; si són la mateixa recta, infinites.

Amb tres incògnites passa el mateix amb plans: tres plans poden coincidir en un sol punt, compartir una recta o no tenir cap punt comú. No sempre ho podrem dibuixar, però Gauss, el rang i el determinant ho decideixen per escrit. És el que aprendràs en aquesta pàgina.

Mira el vídeo i després mou tu la recta taronja: quan deixa de tallar la blava?

Mira-ho en 42 segons

Ara prova-ho tu:

La recta blava és x + 2y = 3; la taronja, 2x + my = c. El determinant dels coeficients és m − 4: quan val 0, les rectes són paral·leles o coincideixen.

Comprovació inicial: què recordes?

Temps: 10 minuts. Dedica els primers 5 minuts a intentar-ho sense consultar la teoria. Després, corregeix-ho.

D1. Notació i dimensions

Considera el sistema:

\begin{cases} x+2y=0,\\ y=-1. \end{cases}

Escriu-lo com $AX=B$ . Indica les dimensions de $A$ , $X$ i $B$ .

D2. Operacions matricials

Siguin

M=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}, \qquad N=\begin{pmatrix}0&1\\2&-1\end{pmatrix}.

Calcula:

M+N,\qquad 2M,\qquad M\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}.

D3. Determinant

Calcula $\det M$ . Què et permet afirmar sobre la inversa de $M$ ?

D4. Primer pas de Gauss

En la matriu ampliada

\left( \begin{array}{cc|c} 1&2&3\\ 2&4&7 \end{array} \right),

fes $F_2\leftarrow F_2-2F_1$ . Quina equació representa la nova segona fila?

Correcció

D1.

\begin{gathered} A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix},\\ X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}. \end{gathered}

Les dimensions són:

A:2\times2,\qquad X:2\times1,\qquad B:2\times1.

El producte $AX$ està definit perquè les dimensions interiors coincideixen:

(2\times2)(2\times1)=2\times1.

D2.

M+N=\begin{pmatrix}1&3\\2&0\end{pmatrix}, \qquad 2M=\begin{pmatrix}2&4\\0&2\end{pmatrix},

M\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot2+2(-1)\\0\cdot2+1(-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}.

D3. $\det M=1\cdot1-2\cdot0=1$ . Com que és diferent de zero, $M$ té inversa.

D4.

\left( \begin{array}{cc|c} 1&2&3\\ 0&0&1 \end{array} \right).

La segona fila diu $0x+0y=1$ , és a dir, $0=1$ . Com que aquesta igualtat és impossible, el sistema no té solució.

La notació que farem servir

Un sistema de tres equacions amb tres incògnites es pot escriure així:

\begin{cases} a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_1,\\ a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=b_2,\\ a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=b_3. \end{cases}

En forma matricial:

\underbrace{ \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}_{X} = \underbrace{\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}}_{B}.

$A$ conté els coeficients de les incògnites.
$X$ conté les incògnites.
$B$ conté els termes independents.
$(A\mid B)$ incorpora també la informació dels termes independents:

(A\mid B)= \left( \begin{array}{ccc|c} a_{11}&a_{12}&a_{13}&b_1\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&b_2\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&b_3 \end{array} \right).

Aquí, $A$ és $3\times3$ , però $(A\mid B)$ és $3\times4$ .

La matriu ampliada és una eina per representar el sistema. No li calcularem un determinant, perquè no és quadrada.

Recordatori d’operacions

Operació	Condició	Com es calcula
$A+C$	Mateixes dimensions	Sumant les entrades de la mateixa posició
$kA$	Qualsevol escalar $k$	Multiplicant totes les entrades per $k$
$AC$	Columnes d’ $A$ = files de $C$	Fila d’ $A$ per columna de $C$

En general, $AC$ i $CA$ no són iguals. Fins i tot pot passar que un producte estigui definit i l’altre no.

Determinant: què ens diu i què no ens diu?

3.1. Determinant d’una matriu $2\times2$

\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc.

Per exemple:

\det\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix} =2\cdot1-1\cdot1=1.

3.2. Determinant d’una matriu $3\times3$

Una manera de calcular-lo és desenvolupar per la primera fila:

\begin{aligned} \det \begin{pmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i \end{pmatrix} &=a(ei-fh)-b(di-fg)\\ &\quad+c(dh-eg). \end{aligned}

Observa els signes: $+, -, +$ .

Treballarem amb aquesta matriu:

A= \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&2&1\\ 1&1&2 \end{pmatrix}.

El seu determinant és:

\begin{aligned} \det A &=1(4-1)-1(2-1)+1(1-2)\\ &=3-1-1=1. \end{aligned}

3.3. Conclusions

Per a una matriu quadrada $A$ d’ordre $n$ :

\boxed{ \begin{aligned} \det A\neq0 &\iff \operatorname{rang}(A)=n\\ &\iff A\text{ té inversa}. \end{aligned}}

Per tant, si $AX=B$ té $n$ incògnites i $\det A\neq0$ , té una única solució, sigui quin sigui $B$ .

En canvi:

\boxed{\det A=0\quad\Longrightarrow\quad \operatorname{rang}(A)<n.}

Això no decideix si hi ha cap solució o infinites solucions. Cal mirar també $B$ , mitjançant la matriu ampliada.

Si el determinant és zero, no concloguis «incompatible». Conclou «cal comparar els rangs».

En aquest cas quadrat, sí que pots descartar una solució única: el rang de $A$ és menor que el nombre d’incògnites.

Gauss: simplificar sense canviar les solucions

Podem fer tres operacions elementals per files:

Intercanviar dues files: $F_i\leftrightarrow F_j$ .
Multiplicar una fila per un nombre no nul: $F_i\leftarrow kF_i$ , amb $k\neq0$ .
Sumar a una fila un múltiple d’una altra: $F_i\leftarrow F_i+kF_j$ .

Aquestes operacions són reversibles. Per això, si les apliquem a tota la matriu ampliada, conserven les solucions del sistema.

Multiplicar una fila per zero no és vàlid: esborraria una condició i no podríem recuperar-la.

Exemple explicat: una única solució

Resolem:

\begin{cases} x+y+z=6,\\ x+2y+z=8,\\ x+y+2z=9. \end{cases}

La matriu ampliada és:

\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 1&2&1&8\\ 1&1&2&9 \end{array} \right).

Fem:

F_2\leftarrow F_2-F_1, \qquad F_3\leftarrow F_3-F_1.

Obtenim:

\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 0&1&0&2\\ 0&0&1&3 \end{array} \right).

Ara llegim les equacions de baix a dalt:

z=3,\qquad y=2,\qquad x+2+3=6.

Per tant:

\boxed{(x,y,z)=(1,2,3).}

Comprovació en el sistema original

\begin{gathered} 1+2+3=6,\qquad 1+2\cdot2+3=8,\\ 1+2+2\cdot3=9. \end{gathered}

Les tres igualtats es compleixen. Per tant, la solució satisfà totes les condicions, no només les equacions transformades.

Rang i pivots

Què és el rang?

El rang és el nombre de files —o de columnes— linealment independents.

Per calcular-lo amb Gauss:

Transforma la matriu fins a obtenir una forma esglaonada.
Compta les files no nul·les, o els pivots.

Un pivot és el primer element no nul d’una fila no nul·la en una forma esglaonada. Els pivots de les files següents queden més a la dreta.

En l’exemple anterior, la part de coeficients queda:

\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.

Hi ha tres pivots, de manera que:

\operatorname{rang}(A)=3.

La matriu ampliada també té tres pivots:

\operatorname{rang}(A\mid B)=3.

No comptis les files no nul·les abans de fer Gauss. Dues files no nul·les poden aportar la mateixa informació.

Per exemple:

\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix}.

La segona fila inicial era el doble de la primera. Per això, el rang és $1$ , no $2$ .

Una altra eina: els menors

Un menor d’ordre $2$ és el determinant d’una submatriu $2\times2$ .

En una matriu $3\times3$ :

Si el determinant és no nul, el rang és $3$ .
Si el determinant és zero però algun menor d’ordre $2$ és no nul, el rang és $2$ .
Si tots aquests menors són zero, però hi ha alguna entrada no nul·la, el rang és $1$ .
La matriu nul·la té rang $0$ .

En aquesta sessió, Gauss serà el procediment principal, perquè també permet llegir les solucions.

Compatibilitat: comparar dos rangs

Anomenem $n$ el nombre d’incògnites.

El criteri de Rouché–Frobenius estableix:

Comparació	Classificació	Solucions
$\operatorname{rang}(A)\neq\operatorname{rang}(A\mid B)$	Sistema incompatible, SI	Cap
$\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A\mid B)=n$	Sistema compatible determinat, SCD	Una
$\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A\mid B)<n$	Sistema compatible indeterminat, SCI	Infinites

Per què?

Si l’ampliada té més rang que $A$ , els termes independents introdueixen una contradicció. Per això no hi ha solució.
Si els rangs coincideixen, les condicions són compatibles.
Si, a més, el rang és $n$ , hi ha prou condicions independents per determinar totes les incògnites.
Si el rang és menor que $n$ , queden variables lliures. Per això apareix una família de solucions.

En un sistema compatible, el nombre de variables lliures és:

\boxed{n-\operatorname{rang}(A).}

Intent guiat G1: infinites solucions

\begin{cases} x+y+z=6,\\ x+2y+z=8,\\ 2x+3y+2z=14. \end{cases}

Escriu $(A\mid B)$ .
Fes $F_2\leftarrow F_2-F_1$ i $F_3\leftarrow F_3-2F_1$ .
Elimina la nova tercera fila amb la segona.
Compara els rangs amb $n=3$ .
Pren $z=\lambda$ , amb $\lambda\in\mathbb R$ , i expressa totes les solucions.

Intent guiat G2: cap solució

Repeteix G1, però canvia el terme independent de la tercera equació de $14$ a $15$ .

Abans de calcular: què creus que passarà? La tercera equació té el mateix costat esquerre que la suma de les dues primeres, però exigeix un resultat diferent.

Solucions raonades

G1.

\begin{aligned} &\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 1&2&1&8\\ 2&3&2&14 \end{array} \right)\\ \longrightarrow\ &\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 0&1&0&2\\ 0&1&0&2 \end{array} \right)\\ \longrightarrow\ &\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 0&1&0&2\\ 0&0&0&0 \end{array} \right). \end{aligned}

Així:

\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A\mid B)=2<3.

És un SCI. La fila nul·la representa $0=0$ , que no imposa cap condició nova.

De les altres files:

y=2,\qquad x+z=4.

Prenent $z=\lambda$ :

\boxed{(x,y,z)=(4-\lambda,\,2,\,\lambda), \qquad \lambda\in\mathbb R.}

Comprovació:

(4-\lambda)+2+\lambda=6,

(4-\lambda)+4+\lambda=8,

2(4-\lambda)+6+2\lambda=14.

Totes les igualtats es compleixen per a qualsevol $\lambda$ .

G2. Les mateixes operacions donen:

\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 0&1&0&2\\ 0&0&0&1 \end{array} \right).

La part $A$ té dos pivots, però l’ampliada en té tres:

\operatorname{rang}(A)=2,\qquad \operatorname{rang}(A\mid B)=3.

La darrera fila exigeix $0=1$ . Per tant, és un SI.

La inversa d’una matriu

La matriu identitat és la que té uns a la diagonal i zeros a la resta:

I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, \qquad I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.

La inversa d’una matriu quadrada $A$ és una matriu $A^{-1}$ que compleix:

AA^{-1}=A^{-1}A=I.

Existeix si, i només si, $\det A\neq0$ .

7.1. Inversa $2\times2$

C=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \quad\text{i}\quad ad-bc\neq0,

aleshores:

\boxed{ C^{-1}=\frac1{ad-bc} \begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}. }

Exemple explicat

C=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}, \qquad \det C=1.

Per tant:

C^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}.

Comprovem-la:

CC^{-1} = \begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Connexió amb els sistemes

Si $CX=B$ , multipliquem per l’esquerra per $C^{-1}$ :

C^{-1}CX=C^{-1}B.

Com que $C^{-1}C=I$ , obtenim:

\boxed{X=C^{-1}B.}

Per exemple, si $B=\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}$ :

X= \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}.

Intent guiat G3

Calcula la inversa de

D=\begin{pmatrix}1&2\\1&3\end{pmatrix}.

Comprova $DD^{-1}=I$ i resol:

D\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}.

Solució. $\det D=3-2=1$ , de manera que:

D^{-1}=\begin{pmatrix}3&-2\\-1&1\end{pmatrix}.

DD^{-1} = \begin{pmatrix} 3-2&-2+2\\ 3-3&-2+3 \end{pmatrix} =I.

X=D^{-1}B= \begin{pmatrix}15-14\\-5+7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}.

La comprovació és $1+2\cdot2=5$ i $1+3\cdot2=7$ .

7.2. Inversa $3\times3$ amb Gauss–Jordan

Per calcular-la, transformem:

(A\mid I)\longrightarrow(I\mid A^{-1}).

Fem servir la matriu de l’exemple resolt:

\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1&1&1&1&0&0\\ 1&2&1&0&1&0\\ 1&1&2&0&0&1 \end{array} \right).

Amb $F_2\leftarrow F_2-F_1$ i $F_3\leftarrow F_3-F_1$ :

\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1&1&1&1&0&0\\ 0&1&0&-1&1&0\\ 0&0&1&-1&0&1 \end{array} \right).

Ara fem $F_1\leftarrow F_1-F_2$ i, després, $F_1\leftarrow F_1-F_3$ :

\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1&0&0&3&-1&-1\\ 0&1&0&-1&1&0\\ 0&0&1&-1&0&1 \end{array} \right).

Per tant:

\boxed{ A^{-1}= \begin{pmatrix} 3&-1&-1\\ -1&1&0\\ -1&0&1 \end{pmatrix}. }

La comprovació dona:

\begin{aligned} AA^{-1} &= \begin{pmatrix} 3-1-1&-1+1&-1+1\\ 3-2-1&-1+2&-1+1\\ 3-1-2&-1+1&-1+2 \end{pmatrix}\\ &=I_3. \end{aligned}

I, per al sistema amb $B=(6,8,9)^T$ :

A^{-1}B= \begin{pmatrix} 18-8-9\\ -6+8\\ -6+9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}.

Obtenim la mateixa solució que amb Gauss.

Si $A$ no té inversa, no pots fer servir $X=A^{-1}B$ , però encara pots estudiar i resoldre el sistema amb Gauss.

Pràctica independent: un problema de tres incògnites

Temps: 15 minuts. Intenta’l abans de mirar les pistes o la solució.

Una papereria ven quaderns, carpetes i retoladors. Els preus unitaris són els mateixos en totes les compres.

Compra	Quaderns	Carpetes	Retoladors	Preu total
1	1	1	1	9 €
2	2	1	1	11 €
3	1	2	3	20 €

Defineix les tres incògnites i escriu el sistema.
Escriu $A$ , $X$ i $B$ .
Resol amb Gauss.
Justifica el tipus de sistema amb els rangs.
Comprova les tres compres i que els preus siguin positius.

Pistes progressives

$x,y,z$ han de representar preus unitaris, no quantitats de productes.
Pots fer $F_2\leftarrow F_2-2F_1$ i $F_3\leftarrow F_3-F_1$ .
Després suma la segona fila a la tercera.

Solució completa

Siguin $x,y,z$ els preus, en euros, d’un quadern, una carpeta i un retolador.

\begin{cases} x+y+z=9,\\ 2x+y+z=11,\\ x+2y+3z=20. \end{cases}

\begin{gathered} A=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&1&1\\1&2&3\end{pmatrix},\\ X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix}9\\11\\20\end{pmatrix}. \end{gathered}

\begin{aligned} &\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&9\\ 2&1&1&11\\ 1&2&3&20 \end{array} \right)\\ \longrightarrow\ &\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&9\\ 0&-1&-1&-7\\ 0&1&2&11 \end{array} \right)\\ \longrightarrow\ &\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&9\\ 0&-1&-1&-7\\ 0&0&1&4 \end{array} \right). \end{aligned}

Hi ha tres pivots en $A$ i en l’ampliada:

\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A\mid B)=3=n.

És un SCD.

z=4,\qquad -y-4=-7\Rightarrow y=3,

x+3+4=9\Rightarrow x=2.

Resposta: un quadern costa 2 €, una carpeta 3 € i un retolador 4 €.

Comprovació:

\begin{gathered} 2+3+4=9,\qquad 2\cdot2+3+4=11,\\ 2+2\cdot3+3\cdot4=20. \end{gathered}

Els tres preus són positius. Per tant, la solució compleix les equacions i les condicions del context.

Primera discussió d’un sistema amb paràmetre

Un paràmetre, com ara $a$ , representa un nombre real fix que encara no hem concretat.

Discutir un sistema vol dir classificar-lo per a tots els valors del paràmetre. Substituir $a=2$ i resoldre només aquell sistema no és una discussió completa.

Exemple final

\begin{cases} x+y+z=3,\\ x+ay+z=3,\\ x+y+(a+1)z=4. \end{cases}

Pas 1. Trobar els valors excepcionals

La matriu de coeficients és:

A(a)= \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&a&1\\ 1&1&a+1 \end{pmatrix}.

Restem la primera fila a la segona i a la tercera:

\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 0&a-1&0\\ 0&0&a \end{pmatrix}.

Sumar a una fila un múltiple d’una altra no canvia el determinant. Com que la matriu resultant és triangular:

\det A(a)=1\cdot(a-1)\cdot a.

Per tant:

\boxed{\det A(a)=a(a-1).}

Els valors excepcionals són $a=0$ i $a=1$ .

Restar un múltiple d’una altra fila conserva el determinant. En canvi, intercanviar files en canvia el signe, i multiplicar una fila per $k$ multiplica el determinant per $k$ .

Pas 2. Fer Gauss sense dividir encara

(A\mid B) \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&3\\ 0&a-1&0&0\\ 0&0&a&1 \end{array} \right).

Ara separem els casos. Encara no dividim per $a$ ni per $a-1$ , perquè aquestes expressions poden ser zero.

Cas A. $a\neq0$ i $a\neq1$

Els tres pivots són no nuls:

\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A\mid B)=3.

És un SCD.

Ara sí que podem dividir:

(a-1)y=0\Rightarrow y=0,

az=1\Rightarrow z=\frac1a,

x=3-\frac1a.

\boxed{ \begin{gathered} (x,y,z)=\left(3-\frac1a,\,0,\,\frac1a\right),\\ a\notin\{0,1\}. \end{gathered} }

Cas representatiu: $a=2$ .

(x,y,z)=\left(\frac52,0,\frac12\right).

Comprovació en les equacions originals:

\frac52+0+\frac12=3,

\frac52+2\cdot0+\frac12=3,

\frac52+0+3\cdot\frac12=4.

Cas B. $a=0$

\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&3\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&0&1 \end{array} \right).

\operatorname{rang}(A)=2,\qquad \operatorname{rang}(A\mid B)=3.

La darrera fila diu $0=1$ . Per tant, és un SI.

Cas C. $a=1$

\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&3\\ 0&0&0&0\\ 0&0&1&1 \end{array} \right).

Intercanviant les dues darreres files obtenim una forma esglaonada amb dos pivots:

\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A\mid B)=2<3.

És un SCI.

z=1,\qquad x+y=2.

Prenent $y=\lambda$ :

\boxed{(x,y,z)=(2-\lambda,\lambda,1), \qquad \lambda\in\mathbb R.}

Per a qualsevol $\lambda$ , les dues primeres equacions donen $3$ , i la tercera dona $4$ .

Resum de la discussió

Valor de $a$	$\operatorname{rang}(A)$	$\operatorname{rang}(A\mid B)$	Tipus
$a\notin\{0,1\}$	3	3	SCD
$a=0$	2	3	SI
$a=1$	2	2	SCI

Aquí $a$ és el paràmetre del sistema. En canvi, $\lambda$ és el paràmetre lliure que descriu les solucions d’un cas concret.

Practica

Posa’t a prova

Tres exercicis resolts pas a pas, de menys a més difícils. Intenta’ls abans d’obrir les pistes i la solució.

Bàsic

1Gauss en un sistema $3\times3$

Considera:

\begin{cases} x+y+z=7,\\ 2x+y+z=9,\\ x+2y+3z=14. \end{cases}

a
Escriu $A$ , $X$ , $B$ i $(A\mid B)$ .

b
Aplica Gauss fins a obtenir una matriu ampliada esglaonada. Anota les operacions.

c
Identifica els pivots i calcula

\operatorname{rang}(A),\qquad \operatorname{rang}(A\mid B).

Classifica el sistema.

d
Resol-lo per substitució de baix a dalt.

e
Comprova la solució en les tres equacions originals.

f
Calcula $\det A$ i explica per què el resultat concorda amb la classificació anterior.

Pista 1

Comença amb $F_2\leftarrow F_2-2F_1$ i $F_3\leftarrow F_3-F_1$ .

Pista 2

Les noves segona i tercera files tenen coeficients oposats a la columna de $y$ .

Pista 3

Suma la segona fila a la tercera. Després resol de baix a dalt.

Mostra la solució

\begin{gathered} A=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&1&1\\1&2&3\end{pmatrix},\\ X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix}7\\9\\14\end{pmatrix}. \end{gathered}

(A\mid B)= \left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&7\\ 2&1&1&9\\ 1&2&3&14 \end{array} \right).

b
Fem:

F_2\leftarrow F_2-2F_1,\qquad F_3\leftarrow F_3-F_1.

\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&7\\ 0&-1&-1&-5\\ 0&1&2&7 \end{array} \right).

Després, $F_3\leftarrow F_3+F_2$ :

\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&7\\ 0&-1&-1&-5\\ 0&0&1&2 \end{array} \right).

c
Els pivots de la part de coeficients són $1,-1,1$ . Així:

\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A\mid B)=3=n.

És un SCD.

z=2,

-y-z=-5\Rightarrow -y-2=-5\Rightarrow y=3,

x+y+z=7\Rightarrow x+3+2=7\Rightarrow x=2.

\boxed{(x,y,z)=(2,3,2).}

2+3+2=7,

2\cdot2+3+2=9,

2+2\cdot3+3\cdot2=14.

f
Les operacions fetes per obtenir la matriu triangular no canvien el determinant. Per tant:

\det A=1\cdot(-1)\cdot1=-1\neq0.

El determinant no nul implica rang $3$ , de manera que concorda amb la classificació com a SCD.

Intermedi

2Mateixos coeficients, diferent compatibilitat

Compara aquests dos sistemes:

\text{Sistema I}\quad \begin{cases} x+y+z=7,\\ 2x+y+z=9,\\ 3x+2y+2z=16, \end{cases}

\text{Sistema II}\quad \begin{cases} x+y+z=7,\\ 2x+y+z=9,\\ 3x+2y+2z=17. \end{cases}

a
Explica quina relació hi ha entre els coeficients de la tercera equació i els de les dues primeres.

b
Aplica Gauss a tots dos sistemes i compara els rangs d’ $A$ i de $(A\mid B)$ .

c
Classifica’ls. Interpreta la darrera fila de cada matriu ampliada.

d
Expressa totes les solucions del sistema compatible amb una variable lliure i comprova la família obtinguda.

Pista 1

El costat esquerre de la tercera equació és la suma dels costats esquerres de les dues primeres.

Pista 2

Elimina amb $F_2\leftarrow F_2-2F_1$ , $F_3\leftarrow F_3-3F_1$ i després $F_3\leftarrow F_3-F_2$ .

Pista 3

En el sistema I queda $0=0$ ; en el II queda $0=1$ . En el primer, pren $z=\lambda$ .

Mostra la solució

(3,2,2)=(1,1,1)+(2,1,1).

Per tant, la tercera equació només serà coherent amb les dues primeres si el seu terme independent és $7+9=16$ .

b
En tots dos sistemes fem:

\begin{gathered} F_2\leftarrow F_2-2F_1,\qquad F_3\leftarrow F_3-3F_1,\\ F_3\leftarrow F_3-F_2. \end{gathered}

Per al sistema I:

\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&7\\ 0&-1&-1&-5\\ 0&0&0&0 \end{array} \right).

Per al sistema II:

\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&7\\ 0&-1&-1&-5\\ 0&0&0&1 \end{array} \right).

c
Sistema I:

\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A\mid B)=2<3.

És un SCI. La darrera fila representa $0=0$ , que no afegeix cap condició.

Sistema II:

\operatorname{rang}(A)=2,\qquad \operatorname{rang}(A\mid B)=3.

És un SI. La darrera fila representa $0=1$ . Com que aquesta igualtat és impossible, cap terna pot satisfer totes les equacions.

d
En el sistema I:

y+z=5,\qquad x+y+z=7\Rightarrow x=2.

Prenent $z=\lambda$ :

\boxed{(x,y,z)=(2,5-\lambda,\lambda),\qquad \lambda\in\mathbb R.}

Comprovació:

2+(5-\lambda)+\lambda=7,

4+(5-\lambda)+\lambda=9,

6+2(5-\lambda)+2\lambda=16.

Les tres igualtats es compleixen per a qualsevol $\lambda$ .

Tipus PAU

3Tipus PAU: discussió completa d’un sistema $3\times3$

Considera el sistema, amb $a\in\mathbb R$ :

\begin{cases} x+y+z=4,\\ 2x+(a+1)y+2z=8,\\ x+y+(a+1)z=a+1. \end{cases}

a
Calcula el determinant de la matriu de coeficients i identifica els valors excepcionals.

b
Discuteix la compatibilitat per a tots els valors d’ $a$ . Justifica cada cas comparant

\operatorname{rang}(A),\qquad \operatorname{rang}(A\mid B),\qquad n.

c
Resol el sistema en el cas compatible indeterminat i comprova la família de solucions.

d
Troba la solució en funció d’ $a$ en els casos compatibles determinats.

e
Resol el cas $a=2$ i comprova’l en les equacions originals.

Pista 1

Fes $F_2\leftarrow F_2-2F_1$ i $F_3\leftarrow F_3-F_1$ .

Pista 2

Obtindràs les equacions $(a-1)y=0$ i $az=a-3$ .

Pista 3

Separa $a=0$ , $a=1$ i la resta. No divideixis per $a$ ni per $a-1$ abans de fer-ho.

Mostra la solució

a
La matriu de coeficients és:

A= \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 2&a+1&2\\ 1&1&a+1 \end{pmatrix}.

Fem:

F_2\leftarrow F_2-2F_1,\qquad F_3\leftarrow F_3-F_1.

La part de coeficients queda:

\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 0&a-1&0\\ 0&0&a \end{pmatrix}.

Aquestes operacions no canvien el determinant:

\boxed{\det A=a(a-1).}

Els valors excepcionals són $a=0$ i $a=1$ .

b
Aplicant les mateixes operacions a l’ampliada:

(A\mid B)\sim \left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&4\\ 0&a-1&0&0\\ 0&0&a&a-3 \end{array} \right).

Cas $a\notin\{0,1\}$ .

Hi ha tres pivots a la part de coeficients:

\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A\mid B)=3=n.

És un SCD.

Cas $a=0$ .

\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&4\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&0&-3 \end{array} \right).

\operatorname{rang}(A)=2,\qquad \operatorname{rang}(A\mid B)=3.

La darrera fila és $0=-3$ . És un SI.

Cas $a=1$ .

\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&4\\ 0&0&0&0\\ 0&0&1&-2 \end{array} \right).

Intercanviant les dues darreres files veiem dos pivots:

\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A\mid B)=2<3.

És un SCI.

Valor d’ $a$	Rang d’ $A$	Rang de l’ampliada	Tipus
$a\notin\{0,1\}$	3	3	SCD
$a=0$	2	3	SI
$a=1$	2	2	SCI

c
Per a $a=1$ :

z=-2,\qquad x+y=6.

Prenent $y=\lambda$ :

\boxed{(x,y,z)=(6-\lambda,\lambda,-2),\quad\lambda\in\mathbb R.}

Comprovació en el sistema original:

(6-\lambda)+\lambda-2=4,

2(6-\lambda)+2\lambda+2(-2)=8,

(6-\lambda)+\lambda+2(-2)=2=a+1.

d
Per a $a\notin\{0,1\}$ , ara sí que podem dividir:

(a-1)y=0\Rightarrow y=0,

az=a-3\Rightarrow z=1-\frac3a,

x=4-z=3+\frac3a.

\boxed{ \begin{gathered} (x,y,z)= \left(3+\frac3a,\ 0,\ 1-\frac3a\right),\\ a\notin\{0,1\}. \end{gathered}}

e
Per a $a=2$ :

\boxed{(x,y,z)=\left(\frac92,0,-\frac12\right).}

Comprovació:

\frac92+0-\frac12=4,

2\cdot\frac92+3\cdot0+2\left(-\frac12\right)=8,

\frac92+0+3\left(-\frac12\right)=3.

Les tres equacions es compleixen.

Matrius, determinants i sistemes

Què aprendràs a decidir?

D1. Notació i dimensions

D2. Operacions matricials

D3. Determinant

D4. Primer pas de Gauss

Correcció

Recordatori d’operacions

3.1. Determinant d’una matriu 2×22\times22×2

3.2. Determinant d’una matriu 3×33\times33×3

3.3. Conclusions

Exemple explicat: una única solució

Comprovació en el sistema original

Què és el rang?

Una altra eina: els menors

Per què?

Intent guiat G1: infinites solucions

Intent guiat G2: cap solució

Solucions raonades

7.1. Inversa 2×22\times22×2

Exemple explicat

Connexió amb els sistemes

Intent guiat G3

7.2. Inversa 3×33\times33×3 amb Gauss–Jordan

Pistes progressives

Solució completa

Exemple final

Pas 1. Trobar els valors excepcionals

Pas 2. Fer Gauss sense dividir encara

Cas A. a≠0a\neq0a=0 i a≠1a\neq1a=1

Cas B. a=0a=0a=0

Cas C. a=1a=1a=1

Resum de la discussió

1Gauss en un sistema 3×33\times33×3

2Mateixos coeficients, diferent compatibilitat

3Tipus PAU: discussió completa d’un sistema 3×33\times33×3

3.1. Determinant d’una matriu $2\times2$

3.2. Determinant d’una matriu $3\times3$

7.1. Inversa $2\times2$

7.2. Inversa $3\times3$ amb Gauss–Jordan

Cas A. $a\neq0$ i $a\neq1$

Cas B. $a=0$

Cas C. $a=1$

1Gauss en un sistema $3\times3$

3Tipus PAU: discussió completa d’un sistema $3\times3$