Matemáticas · 2.º de Bachillerato · PAU

Sistemas con parámetro y ecuaciones matriciales

Para qué valores de un parámetro un sistema tiene una, ninguna o infinitas soluciones, y cómo se despeja X en una ecuación matricial sin cambiar el orden de los productos. Lee cada apartado y juega con la figura de al lado.

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3 ejercicios resueltos

¡lee y juega!

En este tema debes distinguir dos tareas:

Discutir un sistema significa determinar cuántas soluciones tiene según el valor del parámetro.
Resolver un sistema significa encontrar esas soluciones cuando existen.

El orden importa: primero discutes el sistema y después resuelves los casos compatibles. Así evitas dividir por una expresión que puede ser cero y perder algún caso.

Antes de empezar…

¿Para qué valores de a?

Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas son tres planos. Si los coeficientes dependen de un parámetro $a$ , al cambiar $a$ los planos giran y se desplazan.

Para casi todos los valores, los tres planos se cortan en un solo punto. Pero hay valores concretos en los que dos planos pasan a ser el mismo plano, o se vuelven paralelos, y la solución única desaparece. Encontrar esos valores y estudiarlos uno por uno es discutir el sistema.

Mira el vídeo y después mueve tú $a$ : ¿para qué valores deja de haber un solo punto común?

Míralo en 41 segundos

Ahora pruébalo tú:

Es el sistema del apartado 3: x + y + z = 3, x + ay + z = a + 2 y x + y + (a − 1)z = 4. Arrastra la caja para girarla.

El teorema de Rouché–Frobenius: qué te dice y cómo lo aplicas

Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se puede escribir como

A\,U=B, \qquad U=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix},

donde:

$A$ es la matriz de coeficientes;
$B$ es la columna de los términos independientes;
$(A\mid B)$ es la matriz ampliada, que se obtiene añadiendo $B$ a la derecha de $A$ .

El teorema de Rouché–Frobenius relaciona los rangos con las soluciones:

Comparación de los rangos	Tipo de sistema	Soluciones
$\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A\mid B)=3$	Compatible determinado, SCD	Una única solución
$\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A\mid B)<3$	Compatible indeterminado, SCI	Infinitas soluciones
$\operatorname{rang}(A)<\operatorname{rang}(A\mid B)$	Incompatible, SI	Ninguna solución

¿Por qué funciona esta comparación?

Si añadir los términos independientes aumenta el rango, estos introducen una condición que contradice las ecuaciones de coeficientes. Por eso el sistema no tiene solución.
Si los rangos coinciden, no hay contradicción. Por eso el sistema es compatible.
Si, además, el rango es igual al número de incógnitas, todas quedan determinadas. Si el rango es menor, quedan variables libres.

En un sistema compatible con tres incógnitas, el número de variables libres es

\boxed{3-\operatorname{rang}(A)}.

Por ejemplo, si el rango es $2$ , necesitas una variable libre.

Cómo discutir un sistema $3\times3$ con un parámetro

Supón que los coeficientes dependen de un parámetro $a$ .

Paso 1. Calcula $\det(A)$

\det(A)\neq 0,

entonces $A$ tiene rango $3$ . Como la matriz ampliada tiene solo tres filas, su rango también es $3$ .

Por tanto, todos los valores del parámetro que hacen que el determinante sea no nulo dan un SCD.

Paso 2. Encuentra los valores críticos

Resuelve

\det(A)=0.

Las soluciones de esta ecuación son los valores críticos: los valores en los que el rango de $A$ deja de ser $3$ .

Determinante cero no significa sistema incompatible.
Significa que debes estudiar los rangos: el sistema puede tener infinitas soluciones o no tener ninguna.

Paso 3. Estudia cada valor crítico por separado

Sustituye el valor en la matriz ampliada y aplica Gauss.

En una matriz escalonada:

el número de filas no nulas de la parte de coeficientes da $\operatorname{rang}(A)$ ;
el número de filas no nulas de toda la matriz da $\operatorname{rang}(A\mid B)$ .

Dos filas son especialmente importantes:

(0\quad0\quad0\mid0)

representa $0=0$ . No impone ninguna condición nueva.

En cambio,

(0\quad0\quad0\mid c),\qquad c\neq0,

representa $0=c$ . Como esta igualdad es imposible, el sistema es incompatible.

Paso 4. Resuelve los casos compatibles

Si es SCD, encuentra la única solución.
Si es SCI, elige las variables libres y expresa las demás en función de estas.

No dividas por una expresión con el parámetro antes de separar los casos en los que esa expresión es cero.

Ejemplo resuelto: un sistema con los tres tipos de compatibilidad

Discutimos y resolvemos

\begin{cases} x+y+z=3,\\ x+ay+z=a+2,\\ x+y+(a-1)z=4. \end{cases}

Las matrices son

A= \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&a&1\\ 1&1&a-1 \end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix} 3\\a+2\\4 \end{pmatrix}.

3.1. Determinante y valores críticos

Hacemos las operaciones

F_2\leftarrow F_2-F_1, \qquad F_3\leftarrow F_3-F_1.

Estas operaciones no cambian el determinante. Por tanto,

\det(A)= \begin{vmatrix} 1&1&1\\ 0&a-1&0\\ 0&0&a-2 \end{vmatrix} =(a-1)(a-2).

Los valores críticos son

\boxed{a=1\quad\text{y}\quad a=2}.

Sobre la matriz ampliada, las mismas operaciones dan

(A\mid B)\sim \begin{pmatrix} 1&1&1&\mid&3\\ 0&a-1&0&\mid&a-1\\ 0&0&a-2&\mid&1 \end{pmatrix}.

Ahora separamos los casos.

3.2. Caso $a\neq1,2$ : una única solución

Como $\det(A)\neq0$ ,

\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A\mid B)=3.

Por tanto, el sistema es SCD.

La forma escalonada corresponde a

\begin{cases} x+y+z=3,\\ (a-1)y=a-1,\\ (a-2)z=1. \end{cases}

Como en este caso $a-1$ y $a-2$ no son cero, podemos dividir:

y=1,\qquad z=\frac1{a-2}.

Sustituyendo en la primera ecuación,

x=3-1-\frac1{a-2} =2-\frac1{a-2}.

La solución es

\boxed{ (x,y,z)= \left(2-\frac1{a-2},\,1,\,\frac1{a-2}\right), \qquad a\neq1,2. }

Aunque esta expresión se pueda calcular para $a=1$ , no describe todas las soluciones de ese caso, porque la hemos obtenido dividiendo por $a-1$ .

3.3. Caso $a=1$ : infinitas soluciones

Sustituimos $a=1$ :

\begin{pmatrix} 1&1&1&\mid&3\\ 0&0&0&\mid&0\\ 0&0&-1&\mid&1 \end{pmatrix}.

Hay dos filas independientes en la parte de coeficientes y también en la ampliada:

\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A\mid B)=2<3.

Por tanto, es SCI y tiene una variable libre.

Las ecuaciones que quedan son

x+y+z=3,\qquad -z=1.

De aquí,

z=-1,\qquad x+y=4.

Elegimos $y=t$ , con $t\in\mathbb R$ . Entonces,

x=4-t.

Todas las soluciones son

\boxed{(x,y,z)=(4-t,t,-1),\qquad t\in\mathbb R.}

La variable libre no es una incógnita que hayamos dejado sin resolver: representa todas las posibilidades que permite el sistema.

3.4. Caso $a=2$ : ninguna solución

Sustituimos $a=2$ :

\begin{pmatrix} 1&1&1&\mid&3\\ 0&1&0&\mid&1\\ 0&0&0&\mid&1 \end{pmatrix}.

La parte de coeficientes tiene rango $2$ , pero la ampliada tiene rango $3$ :

\operatorname{rang}(A)=2, \qquad \operatorname{rang}(A\mid B)=3.

La última fila exige $0=1$ . A causa de esta contradicción, el sistema es SI.

Resumen de la discusión

Valor de $a$	$\operatorname{rang}(A)$	$\operatorname{rang}(A\mid B)$	Resultado
$a\neq1,2$	3	3	SCD
$a=1$	2	2	SCI
$a=2$	2	3	SI

Ecuaciones matriciales: la inversa y el lado de multiplicación

En una ecuación matricial, $X$ es una matriz desconocida.

Antes de resolver, comprueba:

Que las dimensiones permiten hacer las operaciones.
Que la matriz que quieres invertir es cuadrada.
Que su determinante es distinto de cero.

La idea principal es: la inversa debe quedar en el lado que permite cancelar $A$ .

Esto es necesario porque, en general,

AB\neq BA.

4.1. Ecuación $AX=B$

Multiplicamos por la izquierda por $A^{-1}$ :

A^{-1}(AX)=A^{-1}B.

Como $A^{-1}A=I$ ,

IX=A^{-1}B.

Por tanto,

\boxed{X=A^{-1}B}.

4.2. Ecuación $XA=B$

Ahora multiplicamos por la derecha por $A^{-1}$ :

(XA)A^{-1}=BA^{-1}.

Como $AA^{-1}=I$ ,

XI=BA^{-1}.

Por tanto,

\boxed{X=BA^{-1}}.

4.3. Ecuación $AX+B=C$

Primero restamos $B$ :

AX=C-B.

Después multiplicamos por la izquierda por $A^{-1}$ :

\boxed{X=A^{-1}(C-B)}.

No es correcto escribir $(C-B)A^{-1}$ : este cambio de orden correspondería a otra ecuación.

Si $A$ no tiene inversa

Si $\det(A)=0$ , estas fórmulas no se pueden aplicar. Esto no implica que la ecuación matricial no tenga solución.

Por ejemplo, en $AX=B$ , cada columna de $X$ debe resolver un sistema con matriz de coeficientes $A$ y término independiente igual a la columna correspondiente de $B$ . Puedes estudiar estos sistemas con Gauss y Rouché–Frobenius.

Ejemplo resuelto: el lado de multiplicación cambia el resultado

Tomamos

\begin{aligned} A&= \begin{pmatrix} 1&2\\ 1&3 \end{pmatrix} \\ B&= \begin{pmatrix} 1&0\\ 2&1 \end{pmatrix} \\ C&= \begin{pmatrix} 4&2\\ 3&5 \end{pmatrix}. \end{aligned}

Primero comprobamos que $A$ es invertible:

\det(A)=1\cdot3-2\cdot1=1\neq0.

Para una matriz $2\times2$ ,

\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1} = \frac1{ad-bc} \begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}.

Así,

A^{-1}= \begin{pmatrix} 3&-2\\ -1&1 \end{pmatrix}.

Ecuación $AX=B$

\begin{aligned} X &=A^{-1}B \\ &=\begin{pmatrix} 3&-2\\ -1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0\\ 2&1 \end{pmatrix} \\ &=\boxed{ \begin{pmatrix} -1&-2\\ 1&1 \end{pmatrix} }. \end{aligned}

Comprobación:

\begin{aligned} AX &=\begin{pmatrix} 1&2\\ 1&3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1&-2\\ 1&1 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} 1&0\\ 2&1 \end{pmatrix} \\ &=B. \end{aligned}

Ecuación $XA=B$

\begin{aligned} X &=BA^{-1} \\ &=\begin{pmatrix} 1&0\\ 2&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3&-2\\ -1&1 \end{pmatrix} \\ &=\boxed{ \begin{pmatrix} 3&-2\\ 5&-3 \end{pmatrix} }. \end{aligned}

Comprobación:

\begin{aligned} XA &=\begin{pmatrix} 3&-2\\ 5&-3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2\\ 1&3 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} 1&0\\ 2&1 \end{pmatrix} \\ &=B. \end{aligned}

Las soluciones son diferentes porque $A^{-1}B$ y $BA^{-1}$ no son el mismo producto.

Ecuación $AX+B=C$

Primero,

C-B= \begin{pmatrix} 3&2\\ 1&4 \end{pmatrix}.

Por tanto,

\begin{aligned} X &=A^{-1}(C-B) \\ &=\begin{pmatrix} 3&-2\\ -1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3&2\\ 1&4 \end{pmatrix} \\ &=\boxed{ \begin{pmatrix} 7&-2\\ -2&2 \end{pmatrix} }. \end{aligned}

Comprobamos:

AX= \begin{pmatrix} 3&2\\ 1&4 \end{pmatrix} =C-B.

Al sumarle $B$ , obtenemos $C$ , tal como pide la ecuación.

Aplicación contextualizada: preparar lotes de material

Una entidad prepara tres tipos de lotes:

Tipo de lote	Libretas	Bolígrafos	Carpetas
I	1	1	1
II	1	3	1
III	1	1	2

Ha utilizado 30 libretas, 50 bolígrafos y 45 carpetas. Queremos saber cuántos lotes de cada tipo ha preparado.

Traducimos la información a ecuaciones

Definimos $x$ , $y$ y $z$ como los números de lotes de tipo I, II y III, respectivamente.

Como cada lote contiene una libreta,

x+y+z=30.

Como los lotes de tipo II contienen tres bolígrafos,

x+3y+z=50.

Como los lotes de tipo III contienen dos carpetas,

x+y+2z=45.

El sistema es

\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&3&1\\ 1&1&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}30\\50\\45\end{pmatrix}. \end{aligned}

Comprobamos si hay una única respuesta

Restando la primera fila a las otras dos, el determinante queda

\det(A)= \begin{vmatrix} 1&1&1\\ 0&2&0\\ 0&0&1 \end{vmatrix} =2\neq0.

Como el determinante es no nulo, los datos determinan una única combinación de lotes.

Resolvemos

Restamos la primera ecuación a la segunda:

2y=20\quad\Rightarrow\quad y=10.

Restamos la primera a la tercera:

z=15.

Finalmente,

x=30-10-15=5.

La entidad ha preparado 5 lotes de tipo I, 10 de tipo II y 15 de tipo III.

La respuesta también es válida en el contexto: los tres números son enteros y no negativos. Si hubiéramos obtenido un número negativo de lotes, el sistema tendría solución algebraica, pero esta no sería admisible en el problema.

Ejemplo de síntesis de tipo PAU

Consideramos

A_k= \begin{pmatrix} 1&0&1\\ 0&1&1\\ 1&1&k \end{pmatrix}, \qquad b= \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}.

Queremos discutir y resolver $A_kU=b$ . Después, para $k=3$ , resolveremos una ecuación matricial.

7.1. Discusión y resolución del sistema

Hacemos

F_3\leftarrow F_3-F_1-F_2.

Obtenemos

(A_k\mid b)\sim \begin{pmatrix} 1&0&1&\mid&1\\ 0&1&1&\mid&2\\ 0&0&k-2&\mid&0 \end{pmatrix}.

Por tanto,

\det(A_k)=k-2.

Si $k\neq2$

El determinante no es cero, de modo que

\operatorname{rang}(A_k)=\operatorname{rang}(A_k\mid b)=3.

Es SCD. La última ecuación es

(k-2)z=0.

Como $k-2\neq0$ , tenemos $z=0$ . Las otras ecuaciones dan $x=1$ y $y=2$ .

\boxed{(x,y,z)=(1,2,0),\qquad k\neq2.}

Observa que el valor de la solución no cambia con $k$ , aunque sí cambia la matriz.

Si $k=2$

La última fila es completamente nula. Por tanto,

\operatorname{rang}(A_2)=\operatorname{rang}(A_2\mid b)=2.

Es SCI. Quedan

x+z=1,\qquad y+z=2.

Tomamos $z=t$ . Entonces,

\boxed{(x,y,z)=(1-t,2-t,t),\qquad t\in\mathbb R.}

7.2. Ecuación matricial para $k=3$

Resolvemos

XA_3+D=I_3, \qquad D= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}.

Primero comprobamos que la inversa existe:

\det(A_3)=3-2=1\neq0.

Calculándola por Gauss sobre $(A_3\mid I_3)$ , obtenemos

A_3^{-1}= \begin{pmatrix} 2&1&-1\\ 1&2&-1\\ -1&-1&1 \end{pmatrix}.

Aislamos el producto que contiene $X$ :

XA_3=I_3-D.

Como $A_3$ está a la derecha de $X$ , multiplicamos por la derecha por $A_3^{-1}$ :

X=(I_3-D)A_3^{-1}.

Así,

\begin{aligned} X &=\begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2&1&-1\\ 1&2&-1\\ -1&-1&1 \end{pmatrix} \\ &=\boxed{ \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ -1&-1&1 \end{pmatrix} }. \end{aligned}

Para comprobarlo, la última fila de $XA_3$ es

(-1,-1,1) \begin{pmatrix} 1&0&1\\ 0&1&1\\ 1&1&3 \end{pmatrix} =(0,0,1).

Las otras filas son nulas. Por tanto,

XA_3=I_3-D \quad\Rightarrow\quad XA_3+D=I_3.

Qué debe quedar claro en una respuesta de PAU

Una respuesta completa no tiene que ser larga, pero sí debe mostrar qué has calculado y qué deduces de ello.

En una discusión con parámetro

Escribe:

El determinante y los valores que lo anulan.
La clasificación de los valores no críticos.
Los dos rangos para cada valor crítico.
La clasificación correspondiente.
Las soluciones de los casos compatibles, si te las piden.

Por ejemplo:

Para $a=1$ , los dos rangos son $2$ . Como coinciden y son menores que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado y tiene una variable libre.

Esta frase conecta el cálculo de los rangos con la conclusión.

En una ecuación matricial

Deja constancia de:

$\det(A)\neq0$ , para justificar que existe $A^{-1}$ ;
el lado por el que multiplicas;
el resultado de $X$ ;
una comprobación sustituyendo en la ecuación inicial.

Ideas esenciales

Si el determinante es no nulo, un sistema cuadrado es SCD. Si es nulo, hay que comparar los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada.

Cuando $A$ es cuadrada y $\det(A)\neq0$ , las fórmulas son:

\boxed{ \begin{aligned} AX=B &\;\Rightarrow\;X=A^{-1}B,\\ XA=B &\;\Rightarrow\;X=BA^{-1},\\ AX+B=C &\;\Rightarrow\;X=A^{-1}(C-B). \end{aligned} }

Practica

Ponte a prueba

Tres ejercicios resueltos paso a paso, de menor a mayor dificultad. Inténtalos antes de abrir las pistas y la solución.

Básico

1Tres ecuaciones matriciales, tres despejes

Sean

\begin{aligned} A&=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix} \\ B&=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix} \\ C&=\begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}. \end{aligned}

a
Comprueba que $A$ tiene inversa y calcúlala.

b
Resuelve $AX=B$ .

c
Resuelve $XA=B$ .

d
Resuelve $AX+B=C$ .

e
Comprueba las tres soluciones sustituyéndolas en las ecuaciones correspondientes. Explica por qué las soluciones de b) y c) son diferentes.

Pista 1

Calcula primero el determinante de $A$ .

Pista 2

En $AX=B$ , multiplica por la izquierda por $A^{-1}$ .

Pista 3

En $XA=B$ , multiplica por la derecha por $A^{-1}$ .

Pista 4

En $AX+B=C$ , resta primero $B$ . No cambies el orden de los factores.

Muestra la solución

\det(A)=2\cdot1-1\cdot1=1\neq0.

Por tanto,

\boxed{ A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}. }

b
Multiplicamos por la izquierda:

X=A^{-1}B = \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}.

Así,

\boxed{X=\begin{pmatrix}1&1\\-1&0\end{pmatrix}}.

c
Multiplicamos por la derecha:

X=BA^{-1} = \begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}.

Por tanto,

\boxed{X=\begin{pmatrix}-1&3\\-1&2\end{pmatrix}}.

d
Primero despejamos $AX$ :

AX=C-B= \begin{pmatrix}3&-1\\2&2\end{pmatrix}.

Después, $$ X=A^{-1}(C-B)

\begin{pmatrix}1&-1\-1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3&-1\2&2\end{pmatrix}. $$

Obtenemos

\boxed{X=\begin{pmatrix}1&-3\\1&5\end{pmatrix}}.

e
Las comprobaciones son:

\begin{aligned} \begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&1\\-1&0\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix} \\ &=B, \end{aligned}

\begin{aligned} \begin{pmatrix}-1&3\\-1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix} \\ &=B, \end{aligned}

\begin{aligned} \begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&-3\\1&5\end{pmatrix} +B &=\begin{pmatrix}3&-1\\2&2\end{pmatrix}+B \\ &=C. \end{aligned}

Las soluciones de b) y c) son diferentes porque

A^{-1}B\neq BA^{-1}.

El producto de matrices no es conmutativo.

Intermedio

2Dos valores críticos con consecuencias diferentes

Considera el sistema

\begin{cases} x+y+z=4,\\ x+ay+z=a+3,\\ x+y+(a+1)z=5. \end{cases}

a
Calcula el determinante de la matriz de coeficientes e identifica los valores críticos.

b
Discute el sistema según $a$ . Presenta el resultado en una tabla con los dos rangos y la clasificación.

c
Resuelve el sistema para los valores no críticos.

d
Resuelve el caso compatible indeterminado con una variable libre.

e
Explica qué ecuación imposible aparece en el caso incompatible.

Pista 1

Resta la primera fila de las otras dos.

Pista 2

El determinante queda como un producto de dos factores sencillos.

Pista 3

Un valor crítico anula una fila entera; el otro deja una fila con coeficientes cero y término independiente no nulo.

Pista 4

En el caso indeterminado, fija $z$ y expresa $x$ e $y$ con una variable libre.

Muestra la solución

a
Restamos la primera fila de las otras dos:

(A\mid b)\sim \begin{pmatrix} 1&1&1&\mid&4\\ 0&a-1&0&\mid&a-1\\ 0&0&a&\mid&1 \end{pmatrix}.

Por tanto,

\boxed{\det(A)=a(a-1)}.

Los valores críticos son $a=0$ y $a=1$ .

Valor de $a$	Rango de $A$	Rango de la ampliada	Tipo
$a\neq0,1$	3	3	SCD
$a=0$	2	3	SI
$a=1$	2	2	SCI

Para $a=0$ , la última fila tiene la parte de coeficientes nula pero término independiente $1$ . Por eso el rango de la ampliada es mayor.

Para $a=1$ , la segunda fila es completamente nula. Como los rangos coinciden y son menores que $3$ , hay infinitas soluciones.

c
Si $a\neq0,1$ ,

y=1,\qquad z=\frac1a.

La primera ecuación da

x=4-1-\frac1a=3-\frac1a.

Así,

\boxed{ (x,y,z)=\left(3-\frac1a,1,\frac1a\right). }

d
Si $a=1$ , tenemos

z=1,\qquad x+y=3.

Tomando $y=t$ ,

\boxed{(x,y,z)=(3-t,t,1),\quad t\in\mathbb R}.

e
Si $a=0$ , la última ecuación reducida es

\boxed{0=1}.

Esta contradicción hace que no haya ninguna solución.

Tipo PAU

3Tipo PAU: discusión completa y resolución

Considera el sistema

\begin{cases} x+y+z=4,\\ 2x+(a+2)y+3z=a+9,\\ x+2y+(a+1)z=6. \end{cases}

a
Calcula el determinante de la matriz de coeficientes y determina para qué valores de $a$ el sistema es compatible determinado.

b
Estudia los valores críticos comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada.

c
Resuelve el caso compatible indeterminado.

d
Halla la solución en función de $a$ para los valores que hacen el sistema compatible determinado.

e
Resuelve el sistema para $a=0$ y comprueba el resultado en las tres ecuaciones.

Pista 1

Haz $F_2\leftarrow F_2-2F_1$ y $F_3\leftarrow F_3-F_1$ .

Pista 2

En la parte inferior aparecerá

Pista 3

Los valores críticos son las raíces de $a^2-1$ .

Pista 4

Para cada valor crítico, compara las dos ecuaciones reducidas.

Pista 5

Para el caso general, resuelve primero el sistema de dos ecuaciones en $y,z$ y después calcula $x$ .

Muestra la solución

a
La matriz ampliada es

\begin{pmatrix} 1&1&1&\mid&4\\ 2&a+2&3&\mid&a+9\\ 1&2&a+1&\mid&6 \end{pmatrix}.

Hacemos

F_2\leftarrow F_2-2F_1,\qquad F_3\leftarrow F_3-F_1.

Obtenemos

\begin{pmatrix} 1&1&1&\mid&4\\ 0&a&1&\mid&a+1\\ 0&1&a&\mid&2 \end{pmatrix}.

Por tanto,

\det(A)=a^2-1=(a-1)(a+1).

El sistema es SCD si

\boxed{a\neq-1,1}.

b
Estudiamos los valores críticos.

Para $a=1$ :

\begin{pmatrix} 1&1&1&\mid&4\\ 0&1&1&\mid&2\\ 0&1&1&\mid&2 \end{pmatrix}.

Las dos últimas filas coinciden. Los dos rangos son $2$ , de modo que es SCI.

Para $a=-1$ :

\begin{pmatrix} 1&1&1&\mid&4\\ 0&-1&1&\mid&0\\ 0&1&-1&\mid&2 \end{pmatrix}.

Sumando las dos últimas filas aparece

(0\quad0\quad0\mid2).

Por tanto,

\operatorname{rang}(A)=2,\qquad \operatorname{rang}(A\mid b)=3,

y es SI.

Valor de $a$	Rango de $A$	Rango de la ampliada	Tipo
$a\neq-1,1$	3	3	SCD
$a=1$	2	2	SCI
$a=-1$	2	3	SI

c
Si $a=1$ , quedan

x+y+z=4,\qquad y+z=2.

Así, $x=2$ . Tomamos $z=t$ , de modo que $y=2-t$ :

\boxed{(x,y,z)=(2,2-t,t),\quad t\in\mathbb R}.

d
Para $a\neq-1,1$ , resolvemos

ay+z=a+1,\qquad y+az=2.

Multiplicamos la segunda ecuación por $a$ y le restamos la primera:

(a^2-1)z=2a-(a+1)=a-1.

Como $a\neq1,-1$ ,

z=\frac{a-1}{(a-1)(a+1)}=\frac1{a+1}.

Ahora, de $y+az=2$ ,

y=2-\frac{a}{a+1}=\frac{a+2}{a+1}.

Finalmente,

x=4-y-z =4-\frac{a+3}{a+1} =\frac{3a+1}{a+1}.

Por tanto,

\boxed{ (x,y,z)= \left( \frac{3a+1}{a+1}, \frac{a+2}{a+1}, \frac1{a+1} \right), \quad a\neq-1,1. }

Aunque las expresiones se puedan calcular para $a=1$ , solo darían una de las infinitas soluciones de aquel caso. La fórmula se ha obtenido en el caso SCD.

e
Si $a=0$ ,

\boxed{(x,y,z)=(1,2,1)}.

Comprobación:

1+2+1=4,

2\cdot1+2\cdot2+3\cdot1=9,

1+2\cdot2+1=6.

Las tres ecuaciones se cumplen.

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Sistemas con parámetro y ecuaciones matriciales

Paso 1. Calcula det⁡(A)\det(A)det(A)

Paso 2. Encuentra los valores críticos

Paso 3. Estudia cada valor crítico por separado

Paso 4. Resuelve los casos compatibles

3.1. Determinante y valores críticos

3.2. Caso a≠1,2a\neq1,2a=1,2: una única solución

3.3. Caso a=1a=1a=1: infinitas soluciones

3.4. Caso a=2a=2a=2: ninguna solución

Resumen de la discusión

4.1. Ecuación AX=BAX=BAX=B

4.2. Ecuación XA=BXA=BXA=B

4.3. Ecuación AX+B=CAX+B=CAX+B=C

Si AAA no tiene inversa

Ecuación AX=BAX=BAX=B

Ecuación XA=BXA=BXA=B

Ecuación AX+B=CAX+B=CAX+B=C

Traducimos la información a ecuaciones

Comprobamos si hay una única respuesta

Resolvemos

7.1. Discusión y resolución del sistema

Si k≠2k\neq2k=2

Si k=2k=2k=2

7.2. Ecuación matricial para k=3k=3k=3

En una discusión con parámetro

En una ecuación matricial

Ideas esenciales

1Tres ecuaciones matriciales, tres despejes

Después, $$ X=A^{-1}(C-B)

2Dos valores críticos con consecuencias diferentes

3Tipo PAU: discusión completa y resolución

Paso 1. Calcula $\det(A)$

3.2. Caso $a\neq1,2$ : una única solución

3.3. Caso $a=1$ : infinitas soluciones

3.4. Caso $a=2$ : ninguna solución

4.1. Ecuación $AX=B$

4.2. Ecuación $XA=B$

4.3. Ecuación $AX+B=C$

Si $A$ no tiene inversa

Ecuación $AX=B$

Ecuación $XA=B$

Ecuación $AX+B=C$

Si $k\neq2$

Si $k=2$

7.2. Ecuación matricial para $k=3$