Matemàtiques · 2n de Batxillerat · PAU

Sistemes amb paràmetre i equacions matricials

Per a quins valors d’un paràmetre un sistema té una, cap o infinites solucions, i com s’aïlla X en una equació matricial sense canviar l’ordre dels productes. Llegeix cada apartat i juga amb la figura del costat.

10 min de lectura
7 figures interactives
3 exercicis resolts

llegeix i juga!

En aquest tema has de distingir dues tasques:

Discutir un sistema vol dir determinar quantes solucions té segons el valor del paràmetre.
Resoldre un sistema vol dir trobar aquestes solucions quan existeixen.

L’ordre importa: primer discuteixes el sistema i després resols els casos compatibles. Així evites dividir per una expressió que pot ser zero i perdre algun cas.

Abans de començar…

Per a quins valors d’a?

Un sistema de tres equacions amb tres incògnites són tres plans. Si els coeficients depenen d’un paràmetre $a$ , en canviar $a$ els plans giren i es desplacen.

Per a gairebé tots els valors, els tres plans es tallen en un sol punt. Però hi ha valors concrets en què dos plans passen a ser el mateix pla, o es tornen paral·lels, i la solució única desapareix. Trobar aquests valors i estudiar-los un per un és discutir el sistema.

Mira el vídeo i després mou tu $a$ : per a quins valors deixa d’haver-hi un sol punt comú?

Mira-ho en 41 segons

Ara prova-ho tu:

És el sistema de l’apartat 3: x + y + z = 3, x + ay + z = a + 2 i x + y + (a − 1)z = 4. Arrossega la caixa per girar-la.

El teorema de Rouché–Frobenius: què et diu i com l’apliques

Un sistema de tres equacions amb tres incògnites es pot escriure com

A\,U=B, \qquad U=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix},

on:

$A$ és la matriu de coeficients;
$B$ és la columna dels termes independents;
$(A\mid B)$ és la matriu ampliada, que s’obté afegint $B$ a la dreta d’ $A$ .

El teorema de Rouché–Frobenius relaciona els rangs amb les solucions:

Comparació dels rangs	Tipus de sistema	Solucions
$\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A\mid B)=3$	Compatible determinat, SCD	Una única solució
$\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A\mid B)<3$	Compatible indeterminat, SCI	Infinites solucions
$\operatorname{rang}(A)<\operatorname{rang}(A\mid B)$	Incompatible, SI	Cap solució

Per què funciona aquesta comparació?

Si afegir els termes independents augmenta el rang, aquests introdueixen una condició que contradiu les equacions de coeficients. Per això el sistema no té solució.
Si els rangs coincideixen, no hi ha contradicció. Per això el sistema és compatible.
Si, a més, el rang és igual al nombre d’incògnites, totes queden determinades. Si el rang és menor, queden variables lliures.

En un sistema compatible amb tres incògnites, el nombre de variables lliures és

\boxed{3-\operatorname{rang}(A)}.

Per exemple, si el rang és $2$ , necessites una variable lliure.

Com discutir un sistema $3\times3$ amb un paràmetre

Suposa que els coeficients depenen d’un paràmetre $a$ .

Pas 1. Calcula $\det(A)$

\det(A)\neq 0,

aleshores $A$ té rang $3$ . Com que la matriu ampliada té només tres files, el seu rang també és $3$ .

Per tant, tots els valors del paràmetre que fan el determinant no nul donen un SCD.

Pas 2. Troba els valors crítics

Resol

\det(A)=0.

Les solucions d’aquesta equació són els valors crítics: els valors en què el rang d’ $A$ deixa de ser $3$ .

Determinant zero no vol dir sistema incompatible.
Vol dir que has d’estudiar els rangs: el sistema pot tenir infinites solucions o no tenir-ne cap.

Pas 3. Estudia cada valor crític per separat

Substitueix el valor a la matriu ampliada i aplica Gauss.

En una matriu esglaonada:

el nombre de files no nul·les de la part de coeficients dona $\operatorname{rang}(A)$ ;
el nombre de files no nul·les de tota la matriu dona $\operatorname{rang}(A\mid B)$ .

Dues files són especialment importants:

(0\quad0\quad0\mid0)

representa $0=0$ . No imposa cap condició nova.

En canvi,

(0\quad0\quad0\mid c),\qquad c\neq0,

representa $0=c$ . Com que aquesta igualtat és impossible, el sistema és incompatible.

Pas 4. Resol els casos compatibles

Si és SCD, troba l’única solució.
Si és SCI, tria les variables lliures i expressa les altres en funció d’aquestes.

No divideixis per una expressió amb el paràmetre abans de separar els casos en què aquesta expressió és zero.

Exemple resolt: un sistema amb els tres tipus de compatibilitat

Discutim i resolem

\begin{cases} x+y+z=3,\\ x+ay+z=a+2,\\ x+y+(a-1)z=4. \end{cases}

Les matrius són

A= \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&a&1\\ 1&1&a-1 \end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix} 3\\a+2\\4 \end{pmatrix}.

3.1. Determinant i valors crítics

Fem les operacions

F_2\leftarrow F_2-F_1, \qquad F_3\leftarrow F_3-F_1.

Aquestes operacions no canvien el determinant. Per tant,

\det(A)= \begin{vmatrix} 1&1&1\\ 0&a-1&0\\ 0&0&a-2 \end{vmatrix} =(a-1)(a-2).

Els valors crítics són

\boxed{a=1\quad\text{i}\quad a=2}.

Sobre la matriu ampliada, les mateixes operacions donen

(A\mid B)\sim \begin{pmatrix} 1&1&1&\mid&3\\ 0&a-1&0&\mid&a-1\\ 0&0&a-2&\mid&1 \end{pmatrix}.

Ara separem els casos.

3.2. Cas $a\neq1,2$ : una única solució

Com que $\det(A)\neq0$ ,

\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A\mid B)=3.

Per tant, el sistema és SCD.

La forma esglaonada correspon a

\begin{cases} x+y+z=3,\\ (a-1)y=a-1,\\ (a-2)z=1. \end{cases}

Com que en aquest cas $a-1$ i $a-2$ no són zero, podem dividir:

y=1,\qquad z=\frac1{a-2}.

Substituint a la primera equació,

x=3-1-\frac1{a-2} =2-\frac1{a-2}.

La solució és

\boxed{ (x,y,z)= \left(2-\frac1{a-2},\,1,\,\frac1{a-2}\right), \qquad a\neq1,2. }

Encara que aquesta expressió es pugui calcular per a $a=1$ , no descriu totes les solucions d’aquell cas, perquè l’hem obtinguda dividint per $a-1$ .

3.3. Cas $a=1$ : infinites solucions

Substituïm $a=1$ :

\begin{pmatrix} 1&1&1&\mid&3\\ 0&0&0&\mid&0\\ 0&0&-1&\mid&1 \end{pmatrix}.

Hi ha dues files independents en la part de coeficients i també en l’ampliada:

\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A\mid B)=2<3.

Per tant, és SCI i té una variable lliure.

Les equacions que queden són

x+y+z=3,\qquad -z=1.

D’aquí,

z=-1,\qquad x+y=4.

Triem $y=t$ , amb $t\in\mathbb R$ . Aleshores,

x=4-t.

Totes les solucions són

\boxed{(x,y,z)=(4-t,t,-1),\qquad t\in\mathbb R.}

La variable lliure no és una incògnita que hàgim deixat sense resoldre: representa totes les possibilitats que permet el sistema.

3.4. Cas $a=2$ : cap solució

Substituïm $a=2$ :

\begin{pmatrix} 1&1&1&\mid&3\\ 0&1&0&\mid&1\\ 0&0&0&\mid&1 \end{pmatrix}.

La part de coeficients té rang $2$ , però l’ampliada té rang $3$ :

\operatorname{rang}(A)=2, \qquad \operatorname{rang}(A\mid B)=3.

La darrera fila exigeix $0=1$ . A causa d’aquesta contradicció, el sistema és SI.

Resum de la discussió

Valor d’ $a$	$\operatorname{rang}(A)$	$\operatorname{rang}(A\mid B)$	Resultat
$a\neq1,2$	3	3	SCD
$a=1$	2	2	SCI
$a=2$	2	3	SI

Equacions matricials: la inversa i el costat de multiplicació

En una equació matricial, $X$ és una matriu desconeguda.

Abans de resoldre, comprova:

Que les dimensions permeten fer les operacions.
Que la matriu que vols invertir és quadrada.
Que el seu determinant és diferent de zero.

La idea principal és: la inversa ha de quedar al costat que permet cancel·lar $A$ .

Això és necessari perquè, en general,

AB\neq BA.

4.1. Equació $AX=B$

Multipliquem per l’esquerra per $A^{-1}$ :

A^{-1}(AX)=A^{-1}B.

Com que $A^{-1}A=I$ ,

IX=A^{-1}B.

Per tant,

\boxed{X=A^{-1}B}.

4.2. Equació $XA=B$

Ara multipliquem per la dreta per $A^{-1}$ :

(XA)A^{-1}=BA^{-1}.

Com que $AA^{-1}=I$ ,

XI=BA^{-1}.

Per tant,

\boxed{X=BA^{-1}}.

4.3. Equació $AX+B=C$

Primer restem $B$ :

AX=C-B.

Després multipliquem per l’esquerra per $A^{-1}$ :

\boxed{X=A^{-1}(C-B)}.

No és correcte escriure $(C-B)A^{-1}$ : aquest canvi d’ordre correspondria a una altra equació.

Si $A$ no té inversa

Si $\det(A)=0$ , aquestes fórmules no es poden aplicar. Això no implica que l’equació matricial no tingui solució.

Per exemple, en $AX=B$ , cada columna d’ $X$ ha de resoldre un sistema amb matriu de coeficients $A$ i terme independent igual a la columna corresponent de $B$ . Pots estudiar aquests sistemes amb Gauss i Rouché–Frobenius.

Exemple resolt: el costat de multiplicació canvia el resultat

Prenem

\begin{aligned} A&= \begin{pmatrix} 1&2\\ 1&3 \end{pmatrix} \\ B&= \begin{pmatrix} 1&0\\ 2&1 \end{pmatrix} \\ C&= \begin{pmatrix} 4&2\\ 3&5 \end{pmatrix}. \end{aligned}

Primer comprovem que $A$ és invertible:

\det(A)=1\cdot3-2\cdot1=1\neq0.

Per a una matriu $2\times2$ ,

\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1} = \frac1{ad-bc} \begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}.

Així,

A^{-1}= \begin{pmatrix} 3&-2\\ -1&1 \end{pmatrix}.

Equació $AX=B$

\begin{aligned} X &=A^{-1}B \\ &=\begin{pmatrix} 3&-2\\ -1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0\\ 2&1 \end{pmatrix} \\ &=\boxed{ \begin{pmatrix} -1&-2\\ 1&1 \end{pmatrix} }. \end{aligned}

Comprovació:

\begin{aligned} AX &=\begin{pmatrix} 1&2\\ 1&3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1&-2\\ 1&1 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} 1&0\\ 2&1 \end{pmatrix} \\ &=B. \end{aligned}

Equació $XA=B$

\begin{aligned} X &=BA^{-1} \\ &=\begin{pmatrix} 1&0\\ 2&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3&-2\\ -1&1 \end{pmatrix} \\ &=\boxed{ \begin{pmatrix} 3&-2\\ 5&-3 \end{pmatrix} }. \end{aligned}

Comprovació:

\begin{aligned} XA &=\begin{pmatrix} 3&-2\\ 5&-3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2\\ 1&3 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} 1&0\\ 2&1 \end{pmatrix} \\ &=B. \end{aligned}

Les solucions són diferents perquè $A^{-1}B$ i $BA^{-1}$ no són el mateix producte.

Equació $AX+B=C$

Primer,

C-B= \begin{pmatrix} 3&2\\ 1&4 \end{pmatrix}.

Per tant,

\begin{aligned} X &=A^{-1}(C-B) \\ &=\begin{pmatrix} 3&-2\\ -1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3&2\\ 1&4 \end{pmatrix} \\ &=\boxed{ \begin{pmatrix} 7&-2\\ -2&2 \end{pmatrix} }. \end{aligned}

Comprovem:

AX= \begin{pmatrix} 3&2\\ 1&4 \end{pmatrix} =C-B.

En sumar-hi $B$ , obtenim $C$ , tal com demana l’equació.

Aplicació contextualitzada: preparar lots de material

Una entitat prepara tres tipus de lots:

Tipus de lot	Llibretes	Bolígrafs	Carpetes
I	1	1	1
II	1	3	1
III	1	1	2

Ha utilitzat 30 llibretes, 50 bolígrafs i 45 carpetes. Volem saber quants lots de cada tipus ha preparat.

Traduïm la informació a equacions

Definim $x$ , $y$ i $z$ com els nombres de lots de tipus I, II i III, respectivament.

Com que cada lot conté una llibreta,

x+y+z=30.

Com que els lots de tipus II contenen tres bolígrafs,

x+3y+z=50.

Com que els lots de tipus III contenen dues carpetes,

x+y+2z=45.

El sistema és

\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&3&1\\ 1&1&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}30\\50\\45\end{pmatrix}. \end{aligned}

Comprovem si hi ha una única resposta

Restant la primera fila a les altres dues, el determinant queda

\det(A)= \begin{vmatrix} 1&1&1\\ 0&2&0\\ 0&0&1 \end{vmatrix} =2\neq0.

Com que el determinant és no nul, les dades determinen una única combinació de lots.

Resolem

Restem la primera equació a la segona:

2y=20\quad\Rightarrow\quad y=10.

Restem la primera a la tercera:

z=15.

Finalment,

x=30-10-15=5.

L’entitat ha preparat 5 lots de tipus I, 10 de tipus II i 15 de tipus III.

La resposta també és vàlida en el context: els tres nombres són enters i no negatius. Si haguéssim obtingut un nombre negatiu de lots, el sistema tindria solució algebraica, però aquesta no seria admissible en el problema.

Exemple de síntesi de tipus PAU

Considerem

A_k= \begin{pmatrix} 1&0&1\\ 0&1&1\\ 1&1&k \end{pmatrix}, \qquad b= \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}.

Volem discutir i resoldre $A_kU=b$ . Després, per a $k=3$ , resoldrem una equació matricial.

7.1. Discussió i resolució del sistema

Fem

F_3\leftarrow F_3-F_1-F_2.

Obtenim

(A_k\mid b)\sim \begin{pmatrix} 1&0&1&\mid&1\\ 0&1&1&\mid&2\\ 0&0&k-2&\mid&0 \end{pmatrix}.

Per tant,

\det(A_k)=k-2.

Si $k\neq2$

El determinant no és zero, de manera que

\operatorname{rang}(A_k)=\operatorname{rang}(A_k\mid b)=3.

És SCD. La darrera equació és

(k-2)z=0.

Com que $k-2\neq0$ , tenim $z=0$ . Les altres equacions donen $x=1$ i $y=2$ .

\boxed{(x,y,z)=(1,2,0),\qquad k\neq2.}

Observa que el valor de la solució no canvia amb $k$ , tot i que sí que canvia la matriu.

Si $k=2$

La darrera fila és completament nul·la. Per tant,

\operatorname{rang}(A_2)=\operatorname{rang}(A_2\mid b)=2.

És SCI. Queden

x+z=1,\qquad y+z=2.

Prenem $z=t$ . Aleshores,

\boxed{(x,y,z)=(1-t,2-t,t),\qquad t\in\mathbb R.}

7.2. Equació matricial per a $k=3$

Resolem

XA_3+D=I_3, \qquad D= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}.

Primer comprovem que la inversa existeix:

\det(A_3)=3-2=1\neq0.

Calculant-la per Gauss sobre $(A_3\mid I_3)$ , obtenim

A_3^{-1}= \begin{pmatrix} 2&1&-1\\ 1&2&-1\\ -1&-1&1 \end{pmatrix}.

Aïllem el producte que conté $X$ :

XA_3=I_3-D.

Com que $A_3$ és a la dreta d’ $X$ , multipliquem per la dreta per $A_3^{-1}$ :

X=(I_3-D)A_3^{-1}.

Així,

\begin{aligned} X &=\begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2&1&-1\\ 1&2&-1\\ -1&-1&1 \end{pmatrix} \\ &=\boxed{ \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ -1&-1&1 \end{pmatrix} }. \end{aligned}

Per comprovar-ho, la darrera fila de $XA_3$ és

(-1,-1,1) \begin{pmatrix} 1&0&1\\ 0&1&1\\ 1&1&3 \end{pmatrix} =(0,0,1).

Les altres files són nul·les. Per tant,

XA_3=I_3-D \quad\Rightarrow\quad XA_3+D=I_3.

Què ha de quedar clar en una resposta de PAU

Una resposta completa no ha de ser llarga, però sí que ha de mostrar què has calculat i què en dedueixes.

En una discussió amb paràmetre

Escriu:

El determinant i els valors que l’anul·len.
La classificació dels valors no crítics.
Els dos rangs per a cada valor crític.
La classificació corresponent.
Les solucions dels casos compatibles, si te les demanen.

Per exemple:

Per a $a=1$ , els dos rangs són $2$ . Com que coincideixen i són menors que el nombre d’incògnites, el sistema és compatible indeterminat i té una variable lliure.

Aquesta frase connecta el càlcul dels rangs amb la conclusió.

En una equació matricial

Deixa constància de:

$\det(A)\neq0$ , per justificar que existeix $A^{-1}$ ;
el costat pel qual multipliques;
el resultat de $X$ ;
una comprovació substituint a l’equació inicial.

Idees essencials

Si el determinant és no nul, un sistema quadrat és SCD. Si és nul, cal comparar els rangs de la matriu de coeficients i de l’ampliada.

Quan $A$ és quadrada i $\det(A)\neq0$ , les fórmules són:

\boxed{ \begin{aligned} AX=B &\;\Rightarrow\;X=A^{-1}B,\\ XA=B &\;\Rightarrow\;X=BA^{-1},\\ AX+B=C &\;\Rightarrow\;X=A^{-1}(C-B). \end{aligned} }

Practica

Posa’t a prova

Tres exercicis resolts pas a pas, de menys a més difícils. Intenta’ls abans d’obrir les pistes i la solució.

Bàsic

1Tres equacions matricials, tres aïllaments

Siguin

\begin{aligned} A&=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix} \\ B&=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix} \\ C&=\begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}. \end{aligned}

a
Comprova que $A$ té inversa i calcula-la.

b
Resol $AX=B$ .

c
Resol $XA=B$ .

d
Resol $AX+B=C$ .

e
Comprova les tres solucions substituint-les a les equacions corresponents. Explica per què les solucions de b) i c) són diferents.

Pista 1

Calcula primer el determinant d’ $A$ .

Pista 2

En $AX=B$ , multiplica per l’esquerra per $A^{-1}$ .

Pista 3

En $XA=B$ , multiplica per la dreta per $A^{-1}$ .

Pista 4

En $AX+B=C$ , resta primer $B$ . No canviïs l’ordre dels factors.

Mostra la solució

\det(A)=2\cdot1-1\cdot1=1\neq0.

Per tant,

\boxed{ A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}. }

b
Multipliquem per l’esquerra:

X=A^{-1}B = \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}.

Així,

\boxed{X=\begin{pmatrix}1&1\\-1&0\end{pmatrix}}.

c
Multipliquem per la dreta:

X=BA^{-1} = \begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}.

Per tant,

\boxed{X=\begin{pmatrix}-1&3\\-1&2\end{pmatrix}}.

d
Primer aïllem $AX$ :

AX=C-B= \begin{pmatrix}3&-1\\2&2\end{pmatrix}.

Després, $$ X=A^{-1}(C-B)

\begin{pmatrix}1&-1\-1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3&-1\2&2\end{pmatrix}. $$

Obtenim

\boxed{X=\begin{pmatrix}1&-3\\1&5\end{pmatrix}}.

e
Les comprovacions són:

\begin{aligned} \begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&1\\-1&0\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix} \\ &=B, \end{aligned}

\begin{aligned} \begin{pmatrix}-1&3\\-1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix} \\ &=B, \end{aligned}

\begin{aligned} \begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&-3\\1&5\end{pmatrix} +B &=\begin{pmatrix}3&-1\\2&2\end{pmatrix}+B \\ &=C. \end{aligned}

Les solucions de b) i c) són diferents perquè

A^{-1}B\neq BA^{-1}.

El producte de matrius no és commutatiu.

Intermedi

2Dos valors crítics amb conseqüències diferents

Considera el sistema

\begin{cases} x+y+z=4,\\ x+ay+z=a+3,\\ x+y+(a+1)z=5. \end{cases}

a
Calcula el determinant de la matriu de coeficients i identifica els valors crítics.

b
Discuteix el sistema segons $a$ . Presenta el resultat en una taula amb els dos rangs i la classificació.

c
Resol el sistema per als valors no crítics.

d
Resol el cas compatible indeterminat amb una variable lliure.

e
Explica quina equació impossible apareix en el cas incompatible.

Pista 1

Resta la primera fila de les altres dues.

Pista 2

El determinant queda com un producte de dos factors senzills.

Pista 3

Un valor crític anul·la una fila sencera; l’altre deixa una fila amb coeficients zero i terme independent no nul.

Pista 4

En el cas indeterminat, fixa $z$ i expressa $x$ i $y$ amb una variable lliure.

Mostra la solució

a
Restem la primera fila de les altres dues:

(A\mid b)\sim \begin{pmatrix} 1&1&1&\mid&4\\ 0&a-1&0&\mid&a-1\\ 0&0&a&\mid&1 \end{pmatrix}.

Per tant,

\boxed{\det(A)=a(a-1)}.

Els valors crítics són $a=0$ i $a=1$ .

Valor d’ $a$	Rang d’ $A$	Rang de l’ampliada	Tipus
$a\neq0,1$	3	3	SCD
$a=0$	2	3	SI
$a=1$	2	2	SCI

Per a $a=0$ , la darrera fila té la part de coeficients nul·la però terme independent $1$ . Per això el rang de l’ampliada és més gran.

Per a $a=1$ , la segona fila és completament nul·la. Com que els rangs coincideixen i són menors que $3$ , hi ha infinites solucions.

c
Si $a\neq0,1$ ,

y=1,\qquad z=\frac1a.

La primera equació dona

x=4-1-\frac1a=3-\frac1a.

Així,

\boxed{ (x,y,z)=\left(3-\frac1a,1,\frac1a\right). }

d
Si $a=1$ , tenim

z=1,\qquad x+y=3.

Prenent $y=t$ ,

\boxed{(x,y,z)=(3-t,t,1),\quad t\in\mathbb R}.

e
Si $a=0$ , la darrera equació reduïda és

\boxed{0=1}.

Aquesta contradicció fa que no hi hagi cap solució.

Tipus PAU

3Tipus PAU: discussió completa i resolució

Considera el sistema

\begin{cases} x+y+z=4,\\ 2x+(a+2)y+3z=a+9,\\ x+2y+(a+1)z=6. \end{cases}

a
Calcula el determinant de la matriu de coeficients i determina per a quins valors d’ $a$ el sistema és compatible determinat.

b
Estudia els valors crítics comparant el rang de la matriu de coeficients amb el de l’ampliada.

c
Resol el cas compatible indeterminat.

d
Troba la solució en funció d’ $a$ per als valors que fan el sistema compatible determinat.

e
Resol el sistema per a $a=0$ i comprova el resultat en les tres equacions.

Pista 1

Fes $F_2\leftarrow F_2-2F_1$ i $F_3\leftarrow F_3-F_1$ .

Pista 2

A la part inferior apareixerà

Pista 3

Els valors crítics són les arrels d’ $a^2-1$ .

Pista 4

Per a cada valor crític, compara les dues equacions reduïdes.

Pista 5

Per al cas general, resol primer el sistema de dues equacions en $y,z$ i després calcula $x$ .

Mostra la solució

a
La matriu ampliada és

\begin{pmatrix} 1&1&1&\mid&4\\ 2&a+2&3&\mid&a+9\\ 1&2&a+1&\mid&6 \end{pmatrix}.

Fem

F_2\leftarrow F_2-2F_1,\qquad F_3\leftarrow F_3-F_1.

Obtenim

\begin{pmatrix} 1&1&1&\mid&4\\ 0&a&1&\mid&a+1\\ 0&1&a&\mid&2 \end{pmatrix}.

Per tant,

\det(A)=a^2-1=(a-1)(a+1).

El sistema és SCD si

\boxed{a\neq-1,1}.

b
Estudiem els valors crítics.

Per a $a=1$ :

\begin{pmatrix} 1&1&1&\mid&4\\ 0&1&1&\mid&2\\ 0&1&1&\mid&2 \end{pmatrix}.

Les dues darreres files coincideixen. Els dos rangs són $2$ , de manera que és SCI.

Per a $a=-1$ :

\begin{pmatrix} 1&1&1&\mid&4\\ 0&-1&1&\mid&0\\ 0&1&-1&\mid&2 \end{pmatrix}.

Sumant les dues darreres files apareix

(0\quad0\quad0\mid2).

Per tant,

\operatorname{rang}(A)=2,\qquad \operatorname{rang}(A\mid b)=3,

i és SI.

Valor d’ $a$	Rang d’ $A$	Rang de l’ampliada	Tipus
$a\neq-1,1$	3	3	SCD
$a=1$	2	2	SCI
$a=-1$	2	3	SI

c
Si $a=1$ , queden

x+y+z=4,\qquad y+z=2.

Així, $x=2$ . Prenem $z=t$ , de manera que $y=2-t$ :

\boxed{(x,y,z)=(2,2-t,t),\quad t\in\mathbb R}.

d
Per a $a\neq-1,1$ , resolem

ay+z=a+1,\qquad y+az=2.

Multipliquem la segona equació per $a$ i li restem la primera:

(a^2-1)z=2a-(a+1)=a-1.

Com que $a\neq1,-1$ ,

z=\frac{a-1}{(a-1)(a+1)}=\frac1{a+1}.

Ara, de $y+az=2$ ,

y=2-\frac{a}{a+1}=\frac{a+2}{a+1}.

Finalment,

x=4-y-z =4-\frac{a+3}{a+1} =\frac{3a+1}{a+1}.

Per tant,

\boxed{ (x,y,z)= \left( \frac{3a+1}{a+1}, \frac{a+2}{a+1}, \frac1{a+1} \right), \quad a\neq-1,1. }

Encara que les expressions es puguin calcular per a $a=1$ , només donarien una de les infinites solucions d’aquell cas. La fórmula s’ha obtingut en el cas SCD.

e
Si $a=0$ ,

\boxed{(x,y,z)=(1,2,1)}.

Comprovació:

1+2+1=4,

2\cdot1+2\cdot2+3\cdot1=9,

1+2\cdot2+1=6.

Les tres equacions es compleixen.

Sistemes amb paràmetre i equacions matricials

Pas 1. Calcula det⁡(A)\det(A)det(A)

Pas 2. Troba els valors crítics

Pas 3. Estudia cada valor crític per separat

Pas 4. Resol els casos compatibles

3.1. Determinant i valors crítics

3.2. Cas a≠1,2a\neq1,2a=1,2: una única solució

3.3. Cas a=1a=1a=1: infinites solucions

3.4. Cas a=2a=2a=2: cap solució

Resum de la discussió

4.1. Equació AX=BAX=BAX=B

4.2. Equació XA=BXA=BXA=B

4.3. Equació AX+B=CAX+B=CAX+B=C

Si AAA no té inversa

Equació AX=BAX=BAX=B

Equació XA=BXA=BXA=B

Equació AX+B=CAX+B=CAX+B=C

Traduïm la informació a equacions

Comprovem si hi ha una única resposta

Resolem

7.1. Discussió i resolució del sistema

Si k≠2k\neq2k=2

Si k=2k=2k=2

7.2. Equació matricial per a k=3k=3k=3

En una discussió amb paràmetre

En una equació matricial

Idees essencials

1Tres equacions matricials, tres aïllaments

Després, $$ X=A^{-1}(C-B)

2Dos valors crítics amb conseqüències diferents

3Tipus PAU: discussió completa i resolució

Pas 1. Calcula $\det(A)$

3.2. Cas $a\neq1,2$ : una única solució

3.3. Cas $a=1$ : infinites solucions

3.4. Cas $a=2$ : cap solució

4.1. Equació $AX=B$

4.2. Equació $XA=B$

4.3. Equació $AX+B=C$

Si $A$ no té inversa

Equació $AX=B$

Equació $XA=B$

Equació $AX+B=C$

Si $k\neq2$

Si $k=2$

7.2. Equació matricial per a $k=3$