Vectores en el espacio: productos escalar, vectorial y mixto

Un punto indica una posición. Un vector indica un desplazamiento, con una dirección, un sentido y una longitud.

Si tienes dos puntos

$$A=(a_1,a_2,a_3),\qquad B=(b_1,b_2,b_3),$$

el vector que va de $A$ a $B$ es:

$$\boxed{\overrightarrow{AB}=B-A=(b_1-a_1,\ b_2-a_2,\ b_3-a_3)}.$$

Es decir: punto final menos punto inicial.

Ejemplo resuelto

Si

$$A=(1,0,2),\qquad B=(2,2,2),$$

entonces:

$$\overrightarrow{AB}=(2-1,\ 2-0,\ 2-2)=(1,2,0).$$

Esto significa que, para ir de $A$ a $B$, aumentas $x$ en una unidad, aumentas $y$ en dos y no cambias $z$.

Si inviertes el recorrido:

$$\overrightarrow{BA}=(-1,-2,0)=-\overrightarrow{AB}.$$

Como has intercambiado el origen y el final, el sentido cambia; por eso todas las componentes cambian de signo.

Dos vectores con las mismas componentes representan el mismo desplazamiento, aunque los dibujes en lugares distintos.

Suma y multiplicación por un número

Las operaciones se realizan componente a componente:

$$(u_1,u_2,u_3)+(v_1,v_2,v_3) =(u_1+v_1,u_2+v_2,u_3+v_3),$$

$$\lambda(u_1,u_2,u_3) =(\lambda u_1,\lambda u_2,\lambda u_3).$$

Por ejemplo:

$$(1,2,0)+(2,0,1)=(3,2,1),$$

$$-2(1,2,0)=(-2,-4,0).$$

Multiplicar un vector no nulo por un número positivo mantiene el sentido; multiplicarlo por un número negativo lo invierte. En ambos casos, la longitud queda multiplicada por el valor absoluto del número.

Módulo de un vector

El módulo es la longitud del vector. Si $\vec u=(u_1,u_2,u_3)$:

$$\boxed{|\vec u|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}}.$$

Esta expresión procede de aplicar el teorema de Pitágoras a las tres componentes perpendiculares.

Para $\vec u=(1,2,0)$:

$$|\vec u|=\sqrt{1^2+2^2+0^2}=\sqrt5.$$

Por tanto, la distancia entre los puntos del ejemplo anterior es:

$$d(A,B)=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt5.$$

El vector nulo es $\vec 0=(0,0,0)$ y tiene módulo cero.

¿Qué es una combinación lineal?

Una combinación lineal consiste en multiplicar vectores por números y sumar los resultados.

Por ejemplo, si

$$\vec u=(1,2,0),\qquad \vec v=(2,0,1),$$

entonces:

$$2\vec u-\vec v =2(1,2,0)-(2,0,1) =(0,4,-1).$$

Por eso, $(0,4,-1)$ es una combinación lineal de $\vec u$ y $\vec v$.

¿Qué significa que unos vectores sean dependientes?

Los vectores $\vec u,\vec v,\vec w$ son linealmente dependientes si existen números $\alpha,\beta,\gamma$, no todos cero, que cumplen:

$$\alpha\vec u+\beta\vec v+\gamma\vec w=\vec 0.$$

Si la única posibilidad es $\alpha=\beta=\gamma=0$, son linealmente independientes.

La condición «no todos cero» es esencial: si todos los coeficientes son cero, la igualdad se cumple siempre y no nos dice nada sobre los vectores.

Interpretación geométrica

• Dos vectores no nulos son dependientes si uno es múltiplo del otro. Por tanto, tienen la misma dirección.
• Tres vectores en el espacio son dependientes si, situados con un mismo origen, quedan dentro de un mismo plano.
• Si un conjunto contiene el vector nulo, es dependiente.

Ejemplo resuelto

Considera:

$$\begin{aligned} \vec u&=(1,2,0) \\ \vec v&=(2,0,1) \\ \vec t&=(3,2,1). \end{aligned}$$

Como:

$$\vec t=\vec u+\vec v,$$

tenemos:

$$\vec u+\vec v-\vec t=\vec 0.$$

Los coeficientes $1,1,-1$ no son todos cero. Por eso los tres vectores son dependientes. Además, $\vec t$ no aporta una dirección fuera del plano generado por $\vec u$ y $\vec v$.

Conexión con los sistemas y los rangos

Si colocas los vectores como columnas:

$$M= \begin{pmatrix} u_1&v_1&w_1\\ u_2&v_2&w_2\\ u_3&v_3&w_3 \end{pmatrix},$$

la igualdad de dependencia se convierte en el sistema homogéneo:

$$M \begin{pmatrix} \alpha\\ \beta\\ \gamma \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}.$$

Así recuperas lo que ya has trabajado:

• Si $\operatorname{rang}(M)=3$, el sistema solo tiene la solución nula; por tanto, los vectores son independientes.
• Si $\operatorname{rang}(M)<3$, hay soluciones no nulas; por tanto, los vectores son dependientes.

Como $M$ es $3\times3$, los tres vectores son independientes si y solo si $\det M\neq0$, y son dependientes si y solo si $\det M=0$.

El producto escalar de

$$\vec u=(u_1,u_2,u_3),\qquad \vec v=(v_1,v_2,v_3)$$

es:

$$\boxed{\vec u\cdot\vec v=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3}.$$

El resultado es un número, no un vector.

Geométricamente, para dos vectores no nulos:

$$\vec u\cdot\vec v=|\vec u|\,|\vec v|\cos\theta,$$

donde $\theta$ es el ángulo entre los vectores, entre $0^\circ$ y $180^\circ$.

Calcular un ángulo

Despejando el coseno:

$$\boxed{\cos\theta=\frac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u|\,|\vec v|}}.$$

Después:

$$\theta=\arccos\left(\frac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u|\,|\vec v|}\right).$$

Los vectores deben ser no nulos, porque si uno tiene módulo cero el denominador es cero y el ángulo no está definido.

Ejemplo resuelto

Con

$$\vec u=(1,2,0),\qquad \vec v=(2,0,1),$$

calculamos:

$$\vec u\cdot\vec v=1\cdot2+2\cdot0+0\cdot1=2.$$

Los módulos son:

$$|\vec u|=\sqrt5,\qquad |\vec v|=\sqrt5.$$

Por tanto:

$$\cos\theta=\frac{2}{\sqrt5\sqrt5}=\frac25,$$

$$\boxed{\theta=\arccos\left(\frac25\right)\approx66,42^\circ}.$$

Si quieres el resultado en grados, la calculadora debe estar en modo DEG.

Comprobar perpendicularidad

Para dos vectores no nulos:

$$\boxed{\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0}.$$

La causa es que $\cos90^\circ=0$. Por eso, para comprobar perpendicularidad no hace falta calcular el ángulo: basta con hacer el producto escalar.

Por ejemplo:

$$(1,2,0)\cdot(2,-1,3)=2-2+0=0.$$

Como ambos vectores son no nulos, son perpendiculares.

El signo también proporciona información:

Si los vectores tienen la misma dirección y sentido, el ángulo es $0^\circ$; si tienen sentidos opuestos, es $180^\circ$.

Finalmente:

$$\vec u\cdot\vec u=u_1^2+u_2^2+u_3^2=|\vec u|^2.$$

El producto vectorial de dos vectores es:

$$\boxed{ \vec u\times\vec v= \begin{pmatrix} u_2v_3-u_3v_2\\ u_3v_1-u_1v_3\\ u_1v_2-u_2v_1 \end{pmatrix} }.$$

También se puede recordar con:

$$\vec u\times\vec v= \begin{vmatrix} \vec i&\vec j&\vec k\\ u_1&u_2&u_3\\ v_1&v_2&v_3 \end{vmatrix},$$

donde $\vec i,\vec j,\vec k$ son los vectores unitarios de los tres ejes.

Si desarrollas esta expresión por la primera fila, recuerda los signos $+, -, +$:

$$\begin{aligned} \vec u\times\vec v&=(u_2v_3-u_3v_2)\vec i\\ &\quad -(u_1v_3-u_3v_1)\vec j\\ &\quad +(u_1v_2-u_2v_1)\vec k. \end{aligned}$$

Obtener un vector perpendicular a dos vectores

Cuando $\vec u\times\vec v\neq\vec0$, este vector es perpendicular tanto a $\vec u$ como a $\vec v$.

Ejemplo resuelto

Para los vectores:

$$\vec u=(1,2,0),\qquad \vec v=(2,0,1),$$

obtenemos:

$$\begin{aligned} \vec u\times\vec v&=\begin{pmatrix} 2\cdot1-0\cdot0\\ 0\cdot2-1\cdot1\\ 1\cdot0-2\cdot2 \end{pmatrix} \\ &=\boxed{(2,-1,-4)}. \end{aligned}$$

Lo podemos comprobar con el producto escalar:

$$(1,2,0)\cdot(2,-1,-4)=2-2=0,$$

$$(2,0,1)\cdot(2,-1,-4)=4-4=0.$$

Como los dos productos escalares son cero, el vector obtenido es perpendicular a los dos vectores iniciales. Este tipo de vector se denomina vector normal al plano que generan.

El orden de los vectores importa

En el producto escalar:

$$\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u.$$

En cambio, en el producto vectorial:

$$\boxed{\vec v\times\vec u=-(\vec u\times\vec v)}.$$

Por tanto, invertir el orden cambia el sentido del vector resultante, pero no su módulo. El sentido se determina con la regla de la mano derecha.

Área de un paralelogramo

El módulo del producto vectorial cumple:

$$|\vec u\times\vec v| =|\vec u|\,|\vec v|\sin\theta.$$

Un paralelogramo con lados adyacentes $\vec u$ y $\vec v$ tiene base $|\vec u|$ y altura $|\vec v|\sin\theta$. Por eso su área es:

$$\boxed{A_p=|\vec u\times\vec v|}.$$

En el ejemplo:

$$A=\sqrt{2^2+(-1)^2+(-4)^2} =\boxed{\sqrt{21}}.$$

Área de un triángulo

El triángulo ocupa la mitad del paralelogramo construido con los mismos dos lados. Por tanto:

$$\boxed{A_t=\frac12|\vec u\times\vec v|}.$$

Para los puntos

$$\begin{aligned} A&=(1,0,2) \\ B&=(2,2,2) \\ C&=(3,0,3), \end{aligned}$$

tenemos:

$$\overrightarrow{AB}=(1,2,0),\qquad \overrightarrow{AC}=(2,0,1).$$

Así:

$$\boxed{A_{ABC}=\frac{\sqrt{21}}2}.$$

Para aplicar esta fórmula, construye los dos vectores desde el mismo vértice.

Si el producto vectorial es cero, los dos vectores son dependientes y el área es cero. En el caso de un triángulo, esto indica que los tres puntos están alineados.

El producto mixto de tres vectores es:

$$\boxed{\vec u\cdot(\vec v\times\vec w)}.$$

Primero haces el producto vectorial $\vec v\times\vec w$. Después haces el producto escalar con $\vec u$. El resultado final es un número.

También se calcula con el determinante:

$$\boxed{ \vec u\cdot(\vec v\times\vec w)= \begin{vmatrix} u_1&u_2&u_3\\ v_1&v_2&v_3\\ w_1&w_2&w_3 \end{vmatrix} }.$$

Ejemplo resuelto

Tomamos:

$$\begin{aligned} \vec u&=(1,2,0) \\ \vec v&=(2,0,1) \\ \vec w&=(0,1,1). \end{aligned}$$

Primero:

$$\begin{aligned} \vec v\times\vec w&=\begin{pmatrix} 0\cdot1-1\cdot1\\ 1\cdot0-2\cdot1\\ 2\cdot1-0\cdot0 \end{pmatrix} \\ &=(-1,-2,2). \end{aligned}$$

Después:

$$\begin{aligned} \vec u\cdot(\vec v\times\vec w)&=(1,2,0)\cdot(-1,-2,2) \\ &=-1-4+0 \\ &=\boxed{-5}. \end{aligned}$$

Volumen de un paralelepípedo

Si los tres vectores representan aristas que parten de un mismo vértice:

$$\boxed{V_p =\left|\vec u\cdot(\vec v\times\vec w)\right|}.$$

El producto vectorial determina el área de la base y una dirección perpendicular a esta base. El producto escalar con el tercer vector incorpora la altura. Por eso el valor absoluto del producto mixto proporciona el volumen.

En el ejemplo:

$$\boxed{V=|-5|=5}.$$

El signo indica la orientación de los vectores, no un volumen negativo. Para calcular un volumen, siempre tomamos el valor absoluto.

Volumen de un tetraedro

Un tetraedro con tres aristas que parten del mismo vértice tiene una sexta parte del volumen del paralelepípedo correspondiente:

$$\boxed{V_t =\frac16\left|\vec u\cdot(\vec v\times\vec w)\right|}.$$

Esto ocurre porque la base triangular tiene la mitad del área del paralelogramo, y una pirámide tiene un volumen de $\frac13$ de base por altura:

$$\frac12\cdot\frac13=\frac16.$$

Si:

$$\begin{aligned} A&=(1,0,2) \\ B&=(2,2,2) \\ C&=(3,0,3) \\ D&=(1,1,3), \end{aligned}$$

entonces:

$$\begin{aligned} \overrightarrow{AB}&=(1,2,0) \\ \overrightarrow{AC}&=(2,0,1) \\ \overrightarrow{AD}&=(0,1,1). \end{aligned}$$

Por tanto:

$$\boxed{V_{ABCD}=\frac{|-5|}{6}=\frac56}.$$

Las áreas se expresan en unidades cuadradas y los volúmenes, en unidades cúbicas.

Decidir si cuatro puntos son coplanarios

Cuatro puntos son coplanarios si pertenecen a un mismo plano.

Para comprobarlo, eliges uno de los puntos como origen de los tres vectores:

$$\begin{aligned} \overrightarrow{AB} \\ \overrightarrow{AC} \\ \overrightarrow{AD}. \end{aligned}$$

Entonces, los cuatro puntos son coplanarios si y solo si:

$$\boxed{\overrightarrow{AB}\cdot \left(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}\right)=0}.$$

La conexión es: producto mixto cero si y solo si determinante cero, y esto ocurre si y solo si los tres vectores son dependientes.

Como los tres vectores no generan volumen, los cuatro puntos quedan en un mismo plano.

En el ejemplo anterior, el producto mixto es $-5\neq0$. Por tanto, los cuatro puntos no son coplanarios.

En cambio, si sustituimos $D$ por $E=(4,2,3)$:

$$\overrightarrow{AE}=(3,2,1) =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}.$$

El tercer vector es combinación lineal de los otros dos; por tanto, los tres vectores son dependientes y el producto mixto es cero. Así, $A,B,C,E$ son coplanarios.

Comprobaciones que evitan errores

• Distinguir el resultado de cada producto: escalar y mixto dan números; vectorial da un vector.
• Respetar el orden: en el producto vectorial, intercambiar los vectores cambia el signo.
• Comprobar los vectores nulos antes de calcular ángulos: no puedes dividir por un módulo cero.
• No confundir un vector con su módulo: $(2,-1,-4)$ es un vector; $\sqrt{21}$ es su longitud.
• Tomar valor absoluto en los volúmenes: el signo del producto mixto no es el signo del volumen.
• Recordar los factores: triángulo, $\frac12$; tetraedro, $\frac16$.
• Construir los vectores desde un mismo punto cuando trabajes con triángulos, tetraedros o coplanaridad.

La idea que une el tema es esta: las componentes permiten calcular; los resultados describen la geometría. El producto escalar relaciona direcciones con ángulos, el vectorial relaciona dos direcciones con una perpendicular y un área, y el mixto detecta si tres direcciones generan volumen. Esto también explica por qué los vectores directores y los vectores normales son las piezas básicas para describir rectas y planos en el espacio.