Vectors a l’espai: productes escalar, vectorial i mixt

Un punt indica una posició. Un vector indica un desplaçament, amb una direcció, un sentit i una longitud.

Si tens dos punts

$$A=(a_1,a_2,a_3),\qquad B=(b_1,b_2,b_3),$$

el vector que va d’$A$ a $B$ és:

$$\boxed{\overrightarrow{AB}=B-A=(b_1-a_1,\ b_2-a_2,\ b_3-a_3)}.$$

És a dir: punt final menys punt inicial.

Exemple resolt

Si

$$A=(1,0,2),\qquad B=(2,2,2),$$

aleshores:

$$\overrightarrow{AB}=(2-1,\ 2-0,\ 2-2)=(1,2,0).$$

Això vol dir que, per anar d’$A$ a $B$, augmentes $x$ en una unitat, augmentes $y$ en dues i no canvies $z$.

Si inverteixes el recorregut:

$$\overrightarrow{BA}=(-1,-2,0)=-\overrightarrow{AB}.$$

Com que has intercanviat l’origen i el final, el sentit canvia; per això totes les components canvien de signe.

Dos vectors amb les mateixes components representen el mateix desplaçament, encara que els dibuixis en llocs diferents.

Suma i multiplicació per un nombre

Les operacions es fan component a component:

$$(u_1,u_2,u_3)+(v_1,v_2,v_3) =(u_1+v_1,u_2+v_2,u_3+v_3),$$

$$\lambda(u_1,u_2,u_3) =(\lambda u_1,\lambda u_2,\lambda u_3).$$

Per exemple:

$$(1,2,0)+(2,0,1)=(3,2,1),$$

$$-2(1,2,0)=(-2,-4,0).$$

Multiplicar un vector no nul per un nombre positiu manté el sentit; multiplicar-lo per un nombre negatiu l’inverteix. En tots dos casos, la longitud queda multiplicada pel valor absolut del nombre.

Mòdul d’un vector

El mòdul és la longitud del vector. Si $\vec u=(u_1,u_2,u_3)$:

$$\boxed{|\vec u|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}}.$$

Aquesta expressió prové d’aplicar el teorema de Pitàgores a les tres components perpendiculars.

Per a $\vec u=(1,2,0)$:

$$|\vec u|=\sqrt{1^2+2^2+0^2}=\sqrt5.$$

Per tant, la distància entre els punts de l’exemple anterior és:

$$d(A,B)=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt5.$$

El vector nul és $\vec 0=(0,0,0)$ i té mòdul zero.

Què és una combinació lineal?

Una combinació lineal consisteix a multiplicar vectors per nombres i sumar els resultats.

Per exemple, si

$$\vec u=(1,2,0),\qquad \vec v=(2,0,1),$$

aleshores:

$$2\vec u-\vec v =2(1,2,0)-(2,0,1) =(0,4,-1).$$

Per això, $(0,4,-1)$ és una combinació lineal de $\vec u$ i $\vec v$.

Què vol dir que uns vectors siguin dependents?

Els vectors $\vec u,\vec v,\vec w$ són linealment dependents si existeixen nombres $\alpha,\beta,\gamma$, no tots zero, que compleixen:

$$\alpha\vec u+\beta\vec v+\gamma\vec w=\vec 0.$$

Si l’única possibilitat és $\alpha=\beta=\gamma=0$, són linealment independents.

La condició «no tots zero» és essencial: si tots els coeficients són zero, la igualtat es compleix sempre i no ens diu res sobre els vectors.

Interpretació geomètrica

• Dos vectors no nuls són dependents si un és múltiple de l’altre. Per tant, tenen la mateixa direcció.
• Tres vectors a l’espai són dependents si, situats amb un mateix origen, queden dins d’un mateix pla.
• Si un conjunt conté el vector nul, és dependent.

Exemple resolt

Considera:

$$\begin{aligned} \vec u&=(1,2,0) \\ \vec v&=(2,0,1) \\ \vec t&=(3,2,1). \end{aligned}$$

Com que:

$$\vec t=\vec u+\vec v,$$

tenim:

$$\vec u+\vec v-\vec t=\vec 0.$$

Els coeficients $1,1,-1$ no són tots zero. Per això els tres vectors són dependents. A més, $\vec t$ no aporta una direcció fora del pla generat per $\vec u$ i $\vec v$.

Connexió amb els sistemes i els rangs

Si poses els vectors com a columnes:

$$M= \begin{pmatrix} u_1&v_1&w_1\\ u_2&v_2&w_2\\ u_3&v_3&w_3 \end{pmatrix},$$

la igualtat de dependència es converteix en el sistema homogeni:

$$M \begin{pmatrix} \alpha\\ \beta\\ \gamma \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}.$$

Així recuperes el que ja has treballat:

• Si $\operatorname{rang}(M)=3$, el sistema només té la solució nul·la; per tant, els vectors són independents.
• Si $\operatorname{rang}(M)<3$, hi ha solucions no nul·les; per tant, els vectors són dependents.

Com que $M$ és $3\times3$, els tres vectors són independents si i només si $\det M\neq0$, i són dependents si i només si $\det M=0$.

El producte escalar de

$$\vec u=(u_1,u_2,u_3),\qquad \vec v=(v_1,v_2,v_3)$$

és:

$$\boxed{\vec u\cdot\vec v=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3}.$$

El resultat és un nombre, no un vector.

Geomètricament, per a dos vectors no nuls:

$$\vec u\cdot\vec v=|\vec u|\,|\vec v|\cos\theta,$$

on $\theta$ és l’angle entre els vectors, entre $0^\circ$ i $180^\circ$.

Calcular un angle

Aïllant el cosinus:

$$\boxed{\cos\theta=\frac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u|\,|\vec v|}}.$$

Després:

$$\theta=\arccos\left(\frac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u|\,|\vec v|}\right).$$

Els vectors han de ser no nuls, perquè si un té mòdul zero el denominador és zero i l’angle no està definit.

Exemple resolt

Amb

$$\vec u=(1,2,0),\qquad \vec v=(2,0,1),$$

calculem:

$$\vec u\cdot\vec v=1\cdot2+2\cdot0+0\cdot1=2.$$

Els mòduls són:

$$|\vec u|=\sqrt5,\qquad |\vec v|=\sqrt5.$$

Per tant:

$$\cos\theta=\frac{2}{\sqrt5\sqrt5}=\frac25,$$

$$\boxed{\theta=\arccos\left(\frac25\right)\approx66,42^\circ}.$$

Si vols el resultat en graus, la calculadora ha d’estar en mode DEG.

Comprovar perpendicularitat

Per a dos vectors no nuls:

$$\boxed{\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0}.$$

La causa és que $\cos90^\circ=0$. Per això, per comprovar perpendicularitat no cal calcular l’angle: n’hi ha prou amb fer el producte escalar.

Per exemple:

$$(1,2,0)\cdot(2,-1,3)=2-2+0=0.$$

Com que tots dos vectors són no nuls, són perpendiculars.

El signe també dona informació:

Si els vectors tenen la mateixa direcció i sentit, l’angle és $0^\circ$; si tenen sentits oposats, és $180^\circ$.

Finalment:

$$\vec u\cdot\vec u=u_1^2+u_2^2+u_3^2=|\vec u|^2.$$

El producte vectorial de dos vectors és:

$$\boxed{ \vec u\times\vec v= \begin{pmatrix} u_2v_3-u_3v_2\\ u_3v_1-u_1v_3\\ u_1v_2-u_2v_1 \end{pmatrix} }.$$

També es pot recordar amb:

$$\vec u\times\vec v= \begin{vmatrix} \vec i&\vec j&\vec k\\ u_1&u_2&u_3\\ v_1&v_2&v_3 \end{vmatrix},$$

on $\vec i,\vec j,\vec k$ són els vectors unitaris dels tres eixos.

Si desenvolupes aquesta expressió per la primera fila, recorda els signes $+, -, +$:

$$\begin{aligned} \vec u\times\vec v&=(u_2v_3-u_3v_2)\vec i\\ &\quad -(u_1v_3-u_3v_1)\vec j\\ &\quad +(u_1v_2-u_2v_1)\vec k. \end{aligned}$$

Obtenir un vector perpendicular a dos vectors

Quan $\vec u\times\vec v\neq\vec0$, aquest vector és perpendicular tant a $\vec u$ com a $\vec v$.

Exemple resolt

Per als vectors:

$$\vec u=(1,2,0),\qquad \vec v=(2,0,1),$$

obtenim:

$$\begin{aligned} \vec u\times\vec v&=\begin{pmatrix} 2\cdot1-0\cdot0\\ 0\cdot2-1\cdot1\\ 1\cdot0-2\cdot2 \end{pmatrix} \\ &=\boxed{(2,-1,-4)}. \end{aligned}$$

Ho podem comprovar amb el producte escalar:

$$(1,2,0)\cdot(2,-1,-4)=2-2=0,$$

$$(2,0,1)\cdot(2,-1,-4)=4-4=0.$$

Com que els dos productes escalars són zero, el vector obtingut és perpendicular als dos vectors inicials. Aquest tipus de vector s’anomena vector normal al pla que generen.

L’ordre dels vectors importa

En el producte escalar:

$$\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u.$$

En canvi, en el producte vectorial:

$$\boxed{\vec v\times\vec u=-(\vec u\times\vec v)}.$$

Per tant, invertir l’ordre canvia el sentit del vector resultant, però no el seu mòdul. El sentit es determina amb la regla de la mà dreta.

Àrea d’un paral·lelogram

El mòdul del producte vectorial compleix:

$$|\vec u\times\vec v| =|\vec u|\,|\vec v|\sin\theta.$$

Un paral·lelogram amb costats adjacents $\vec u$ i $\vec v$ té base $|\vec u|$ i altura $|\vec v|\sin\theta$. Per això la seva àrea és:

$$\boxed{A_p=|\vec u\times\vec v|}.$$

En l’exemple:

$$A=\sqrt{2^2+(-1)^2+(-4)^2} =\boxed{\sqrt{21}}.$$

Àrea d’un triangle

El triangle ocupa la meitat del paral·lelogram construït amb els mateixos dos costats. Per tant:

$$\boxed{A_t=\frac12|\vec u\times\vec v|}.$$

Per als punts

$$\begin{aligned} A&=(1,0,2) \\ B&=(2,2,2) \\ C&=(3,0,3), \end{aligned}$$

tenim:

$$\overrightarrow{AB}=(1,2,0),\qquad \overrightarrow{AC}=(2,0,1).$$

Així:

$$\boxed{A_{ABC}=\frac{\sqrt{21}}2}.$$

Per aplicar aquesta fórmula, construeix els dos vectors des del mateix vèrtex.

Si el producte vectorial és zero, els dos vectors són dependents i l’àrea és zero. En el cas d’un triangle, això indica que els tres punts estan alineats.

El producte mixt de tres vectors és:

$$\boxed{\vec u\cdot(\vec v\times\vec w)}.$$

Primer fas el producte vectorial $\vec v\times\vec w$. Després fas el producte escalar amb $\vec u$. El resultat final és un nombre.

També es calcula amb el determinant:

$$\boxed{ \vec u\cdot(\vec v\times\vec w)= \begin{vmatrix} u_1&u_2&u_3\\ v_1&v_2&v_3\\ w_1&w_2&w_3 \end{vmatrix} }.$$

Exemple resolt

Prenem:

$$\begin{aligned} \vec u&=(1,2,0) \\ \vec v&=(2,0,1) \\ \vec w&=(0,1,1). \end{aligned}$$

Primer:

$$\begin{aligned} \vec v\times\vec w&=\begin{pmatrix} 0\cdot1-1\cdot1\\ 1\cdot0-2\cdot1\\ 2\cdot1-0\cdot0 \end{pmatrix} \\ &=(-1,-2,2). \end{aligned}$$

Després:

$$\begin{aligned} \vec u\cdot(\vec v\times\vec w)&=(1,2,0)\cdot(-1,-2,2) \\ &=-1-4+0 \\ &=\boxed{-5}. \end{aligned}$$

Volum d’un paral·lelepípede

Si els tres vectors representen arestes que surten d’un mateix vèrtex:

$$\boxed{V_p =\left|\vec u\cdot(\vec v\times\vec w)\right|}.$$

El producte vectorial determina l’àrea de la base i una direcció perpendicular a aquesta base. El producte escalar amb el tercer vector incorpora l’altura. Per això el valor absolut del producte mixt dona el volum.

En l’exemple:

$$\boxed{V=|-5|=5}.$$

El signe indica l’orientació dels vectors, no un volum negatiu. Per calcular un volum, sempre prenem el valor absolut.

Volum d’un tetraedre

Un tetraedre amb tres arestes que surten del mateix vèrtex té una sisena part del volum del paral·lelepípede corresponent:

$$\boxed{V_t =\frac16\left|\vec u\cdot(\vec v\times\vec w)\right|}.$$

Això passa perquè la base triangular té la meitat de l’àrea del paral·lelogram, i una piràmide té volum $\frac13$ de base per altura:

$$\frac12\cdot\frac13=\frac16.$$

Si:

$$\begin{aligned} A&=(1,0,2) \\ B&=(2,2,2) \\ C&=(3,0,3) \\ D&=(1,1,3), \end{aligned}$$

aleshores:

$$\begin{aligned} \overrightarrow{AB}&=(1,2,0) \\ \overrightarrow{AC}&=(2,0,1) \\ \overrightarrow{AD}&=(0,1,1). \end{aligned}$$

Per tant:

$$\boxed{V_{ABCD}=\frac{|-5|}{6}=\frac56}.$$

Les àrees s’expressen en unitats quadrades i els volums, en unitats cúbiques.

Decidir si quatre punts són coplanaris

Quatre punts són coplanaris si pertanyen a un mateix pla.

Per comprovar-ho, tries un dels punts com a origen dels tres vectors:

$$\begin{aligned} \overrightarrow{AB} \\ \overrightarrow{AC} \\ \overrightarrow{AD}. \end{aligned}$$

Llavors, els quatre punts són coplanaris si i només si:

$$\boxed{\overrightarrow{AB}\cdot \left(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}\right)=0}.$$

La connexió és: producte mixt zero si i només si determinant zero, i això passa si i només si els tres vectors són dependents.

Com que els tres vectors no generen volum, els quatre punts queden en un mateix pla.

En l’exemple anterior, el producte mixt és $-5\neq0$. Per tant, els quatre punts no són coplanaris.

En canvi, si substituïm $D$ per $E=(4,2,3)$:

$$\overrightarrow{AE}=(3,2,1) =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}.$$

El tercer vector és combinació lineal dels altres dos; per tant, els tres vectors són dependents i el producte mixt és zero. Així, $A,B,C,E$ són coplanaris.

Comprovacions que eviten errors

• Distingir el resultat de cada producte: escalar i mixt donen nombres; vectorial dona un vector.
• Respectar l’ordre: en el producte vectorial, intercanviar els vectors canvia el signe.
• Comprovar els vectors nuls abans de calcular angles: no pots dividir per un mòdul zero.
• No confondre un vector amb el seu mòdul: $(2,-1,-4)$ és un vector; $\sqrt{21}$ és la seva longitud.
• Prendre valor absolut en els volums: el signe del producte mixt no és el signe del volum.
• Recordar els factors: triangle, $\frac12$; tetraedre, $\frac16$.
• Construir els vectors des d’un mateix punt quan treballis amb triangles, tetraedres o coplanaritat.

La idea que uneix el tema és aquesta: les components permeten calcular; els resultats descriuen la geometria. El producte escalar relaciona direccions amb angles, el vectorial relaciona dues direccions amb una perpendicular i una àrea, i el mixt detecta si tres direccions generen volum. Això també explica per què els vectors directors i els vectors normals són les peces bàsiques per descriure rectes i plans a l’espai.