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Plano de la funciónTaller de álgebra lím ±1 indet.2 P/Q ∞3 0/04 conjugado5 1^∞6 continua7 discont.8 AV9 AH10 AO11 Bolzano12

RESUMEN DEL TEMA · FÓRMULAS · 2º BACH · MATEMÁTICAS

Límites
y continuidad

Un límite te dice hacia dónde va una función, aunque nunca llegue. Cuando sale una indeterminación no es un error: es una señal de que debes transformar la expresión antes de decidir.

Toca un número y baja a su fórmula. Arrastra un pequeño explorador por el esquema.

UN PEQUEÑO EXPLORADORToca un número o arrástrame por el eje x y te explico cada rincón de los límites y la continuidad.
RESUMEN Nº 5TEMA 7 DEL LIBRO
Base de todo el análisisPAU: límites y Bolzano
ESCALA: ninguna · esquema, no a escala

1Límites laterales

lim⁡x→af(x)=L  ⟺  lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x)=L\lim_{x\to a} f(x)=L \iff \lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=L

Imprescindibles en funciones a trozos y cuando el denominador se anula.

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2Indeterminaciones

00\dfrac{0}{0}∞∞\dfrac{\infty}{\infty}∞−∞\infty-\infty0⋅∞0\cdot\infty1∞1^{\infty}∞0\infty^{0}000^{0}

Atención: k/0 no es indeterminación, da ±∞; mira los laterales.

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3Cociente de polinomios en el infinito

lim⁡x→∞anxn+…bmxm+…={±∞n>manbmn=m0n<m\lim_{x\to\infty}\dfrac{a_n x^n+\dots}{b_m x^m+\dots}=\begin{cases}\pm\infty & n>m\\ \dfrac{a_n}{b_m} & n=m\\ 0 & n<m\end{cases}

Solo cuentan los términos de mayor grado; vigila el signo.

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4Indeterminación 0/0 racional

lim⁡x→aP(x)Q(x)=lim⁡x→a(x−a) P1(x)(x−a) Q1(x)=lim⁡x→aP1(x)Q1(x)\lim_{x\to a}\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\lim_{x\to a}\dfrac{(x-a)\,P_1(x)}{(x-a)\,Q_1(x)}=\lim_{x\to a}\dfrac{P_1(x)}{Q_1(x)}

Factoriza con Ruffini y simplifica (x−a) antes de sustituir.

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5Multiplicar por el conjugado

(A−B)(A+B)=A−B2\left(\sqrt{A}-B\right)\left(\sqrt{A}+B\right)=A-B^{2}

Para ∞−∞ o 0/0 con raíces; multiplica numerador y denominador.

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6Indeterminación 1^∞ y el número e

lim⁡x→∞(1+1x)x=e\lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}=elim⁡f(x)g(x)=elim⁡g(x) (f(x)−1)\lim f(x)^{g(x)}=e^{\lim g(x)\,\left(f(x)-1\right)}

Solo si la base tiende a 1 y el exponente a ∞.

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7Continuidad en un punto

f contıˊnua en a  ⟺  ∃f(a), ∃lim⁡x→af(x) i lim⁡x→af(x)=f(a)f \text{ contínua en } a \iff \exists f(a),\ \exists\lim_{x\to a} f(x)\ \text{i}\ \lim_{x\to a} f(x)=f(a)

Hay que comprobar las tres condiciones; a trozos, iguala laterales y f(a).

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8Tipos de discontinuidad

evitable: lim⁡x→a−f=lim⁡x→a+f≠f(a)\text{evitable: } \lim_{x\to a^-}f=\lim_{x\to a^+}f\ne f(a)salt: lim⁡x→a−f≠lim⁡x→a+f\text{salt: } \lim_{x\to a^-}f\ne\lim_{x\to a^+}fasimptoˋtica: lim⁡f=±∞\text{asimptòtica: } \lim f=\pm\infty

Evitable también si f(a) no existe pero el límite sí.

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9Asíntota vertical

x=a  ⟺  lim⁡x→a±f(x)=±∞x=a \iff \lim_{x\to a^{\pm}} f(x)=\pm\infty

Búscalas donde se anula el denominador; comprueba que no sea 0/0.

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10Asíntota horizontal

y=L  ⟺  lim⁡x→±∞f(x)=Ly=L \iff \lim_{x\to\pm\infty} f(x)=L

Estudia +∞ y −∞ por separado, sobre todo con exponenciales y raíces.

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11Asíntota oblicua

y=mx+ny=mx+nm=lim⁡x→∞f(x)xm=\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}n=lim⁡x→∞(f(x)−mx)n=\lim_{x\to\infty}\left(f(x)-mx\right)

Solo si no hay horizontal; hace falta m finito y distinto de 0.

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12Teorema de Bolzano

f contıˊnua en [a,b], f(a)⋅f(b)<0  ⟹  ∃ c∈(a,b): f(c)=0f \text{ contínua en } [a,b],\ f(a)\cdot f(b)<0 \implies \exists\, c\in(a,b):\ f(c)=0

Justifica primero la continuidad; para f(x)=g(x), aplícalo a f−g.

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