Original Academia
← Torna a la biblioteca← BibliotecaES
Pla de la funcióTaller d'àlgebra lím ±1 indet.2 P/Q ∞3 0/04 conjugat5 1^∞6 contínua7 discont.8 AV9 AH10 AO11 Bolzano12

RESUM DEL TEMA · FÓRMULES · 2N BATX · MATEMÀTIQUES

Límits
i continuïtat

Un límit et diu cap a on va una funció, encara que no hi arribi mai. Quan surt una indeterminació no és un error: és un senyal que has de transformar l'expressió abans de decidir.

Toca un número i baixa a la seva fórmula. Arrossega un petit explorador per l’esquema.

UN PETIT EXPLORADORToca un número o arrossega'm per l'eix x i t'explico cada racó dels límits i la continuïtat.
RESUM Nº 5TEMA 7 DEL LLIBRE
Base de tota l'anàlisiPAU: límits i Bolzano
ESCALA: cap · esquema, no a escala

1Límits laterals

lim⁡x→af(x)=L  ⟺  lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x)=L\lim_{x\to a} f(x)=L \iff \lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=L

Imprescindibles en funcions a trossos i quan el denominador s'anul·la.

encara no hi ha cap apunt amb l’explicació completa

2Indeterminacions

00\dfrac{0}{0}∞∞\dfrac{\infty}{\infty}∞−∞\infty-\infty0⋅∞0\cdot\infty1∞1^{\infty}∞0\infty^{0}000^{0}

Atenció: k/0 no és indeterminació, dona ±∞; mira els laterals.

encara no hi ha cap apunt amb l’explicació completa

3Quocient de polinomis a l'infinit

lim⁡x→∞anxn+…bmxm+…={±∞n>manbmn=m0n<m\lim_{x\to\infty}\dfrac{a_n x^n+\dots}{b_m x^m+\dots}=\begin{cases}\pm\infty & n>m\\ \dfrac{a_n}{b_m} & n=m\\ 0 & n<m\end{cases}

Només compten els termes de grau més alt; vigila el signe.

encara no hi ha cap apunt amb l’explicació completa

4Indeterminació 0/0 racional

lim⁡x→aP(x)Q(x)=lim⁡x→a(x−a) P1(x)(x−a) Q1(x)=lim⁡x→aP1(x)Q1(x)\lim_{x\to a}\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\lim_{x\to a}\dfrac{(x-a)\,P_1(x)}{(x-a)\,Q_1(x)}=\lim_{x\to a}\dfrac{P_1(x)}{Q_1(x)}

Factoritza amb Ruffini i simplifica (x−a) abans de substituir.

encara no hi ha cap apunt amb l’explicació completa

5Multiplicar pel conjugat

(A−B)(A+B)=A−B2\left(\sqrt{A}-B\right)\left(\sqrt{A}+B\right)=A-B^{2}

Per a ∞−∞ o 0/0 amb arrels; multiplica numerador i denominador.

encara no hi ha cap apunt amb l’explicació completa

6Indeterminació 1^∞ i el nombre e

lim⁡x→∞(1+1x)x=e\lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}=elim⁡f(x)g(x)=elim⁡g(x) (f(x)−1)\lim f(x)^{g(x)}=e^{\lim g(x)\,\left(f(x)-1\right)}

Només si la base tendeix a 1 i l'exponent a ∞.

encara no hi ha cap apunt amb l’explicació completa

7Continuïtat en un punt

f contıˊnua en a  ⟺  ∃f(a), ∃lim⁡x→af(x) i lim⁡x→af(x)=f(a)f \text{ contínua en } a \iff \exists f(a),\ \exists\lim_{x\to a} f(x)\ \text{i}\ \lim_{x\to a} f(x)=f(a)

Cal comprovar les tres condicions; en trossos, iguala laterals i f(a).

encara no hi ha cap apunt amb l’explicació completa

8Tipus de discontinuïtat

evitable: lim⁡x→a−f=lim⁡x→a+f≠f(a)\text{evitable: } \lim_{x\to a^-}f=\lim_{x\to a^+}f\ne f(a)salt: lim⁡x→a−f≠lim⁡x→a+f\text{salt: } \lim_{x\to a^-}f\ne\lim_{x\to a^+}fasimptoˋtica: lim⁡f=±∞\text{asimptòtica: } \lim f=\pm\infty

Evitable també si f(a) no existeix però el límit sí.

encara no hi ha cap apunt amb l’explicació completa

9Asímptota vertical

x=a  ⟺  lim⁡x→a±f(x)=±∞x=a \iff \lim_{x\to a^{\pm}} f(x)=\pm\infty

Busca-les on s'anul·la el denominador; comprova que no sigui 0/0.

encara no hi ha cap apunt amb l’explicació completa

10Asímptota horitzontal

y=L  ⟺  lim⁡x→±∞f(x)=Ly=L \iff \lim_{x\to\pm\infty} f(x)=L

Estudia +∞ i −∞ per separat, sobretot amb exponencials i arrels.

encara no hi ha cap apunt amb l’explicació completa

11Asímptota obliqua

y=mx+ny=mx+nm=lim⁡x→∞f(x)xm=\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}n=lim⁡x→∞(f(x)−mx)n=\lim_{x\to\infty}\left(f(x)-mx\right)

Només si no hi ha horitzontal; cal m finit i diferent de 0.

encara no hi ha cap apunt amb l’explicació completa

12Teorema de Bolzano

f contıˊnua en [a,b], f(a)⋅f(b)<0  ⟹  ∃ c∈(a,b): f(c)=0f \text{ contínua en } [a,b],\ f(a)\cdot f(b)<0 \implies \exists\, c\in(a,b):\ f(c)=0

Justifica primer la continuïtat; per a f(x)=g(x), aplica'l a f−g.

encara no hi ha cap apunt amb l’explicació completa