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PUNTSSUPERFÍCIEDIRECCIONSSÒLIDABXYZ AB1 |u|2 det M3 u·v4 cos θ5 u⊥v6 u×v7 A paral.8 A tri9 [u,v,w]10 V tetr11 coplanar12

RESUMEN DEL TEMA · FÓRMULAS · 2º BACH · MATEMÁTICAS

Vectores
en el espacio

Con tres productos lo resuelves casi todo: el escalar da ángulos y perpendiculares, el vectorial da áreas y el mixto da volúmenes. Si uno vale cero, también te está diciendo algo.

Toca un número y baja a su fórmula. Arrastra un vector libre por el esquema.

UN VECTOR LIBRESoy un vector libre: toca un número o arrástrame por el espacio y te explico cada pieza.
RESUMEN Nº 10TEMA 4 DEL LIBRO
Base de la geometría 3DPAU: áreas y volúmenes
ESCALA: ninguna · esquema, no a escala

1Vector determinado por dos puntos

AB→=B−A=(b1−a1, b2−a2, b3−a3)\overrightarrow{AB}=B-A=(b_1-a_1,\ b_2-a_2,\ b_3-a_3)

Punto final menos punto inicial; si inviertes el orden, cambia el sentido.

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2Módulo y distancia entre dos puntos

∣u⃗∣=u12+u22+u32|\vec u|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}d(A,B)=∣AB→∣d(A,B)=|\overrightarrow{AB}|

Pitágoras en tres dimensiones; las longitudes se dan en unidades (u).

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3Independencia lineal de tres vectores

det⁡(u⃗,v⃗,w⃗)≠0  ⟺  independents\det(\vec u,\vec v,\vec w)\neq0\iff\mathrm{independents}det⁡=0  ⟺  dependents\det=0\iff\mathrm{dependents}

Dependientes significa coplanarios; dos vectores son dependientes si son proporcionales.

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4Producto escalar

u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2+u3v3\vec u\cdot\vec v=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣ ∣v⃗∣cos⁡θ\vec u\cdot\vec v=|\vec u|\,|\vec v|\cos\theta

El resultado es un número, no un vector.

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5Ángulo entre dos vectores

cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∣u⃗∣ ∣v⃗∣\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u|\,|\vec v|}

Solo para vectores no nulos; el ángulo queda entre 0° y 180°.

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6Perpendicularidad de vectores

u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0

No hace falta calcular el ángulo: basta con el producto escalar.

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7Producto vectorial

u⃗×v⃗=∣i⃗j⃗k⃗u1u2u3v1v2v3∣\vec u\times\vec v=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\end{vmatrix}

Signos +, −, + al desarrollar; es perpendicular a ambos vectores.

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8Área de un paralelogramo

Ap=∣u⃗×v⃗∣ u2A_p=|\vec u\times\vec v|\ \mathrm{u}^2

Es el módulo del producto vectorial, no el vector en sí.

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9Área de un triángulo

AABC=12∣AB→×AC→∣A_{ABC}=\dfrac12\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|

Construye los dos vectores desde el mismo vértice.

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10Producto mixto

u⃗⋅(v⃗×w⃗)=∣u1u2u3v1v2v3w1w2w3∣\vec u\cdot(\vec v\times\vec w)=\begin{vmatrix}u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\\w_1&w_2&w_3\end{vmatrix}

Se calcula como un determinante 3×3; el resultado es un número.

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11Volumen del paralelepípedo y del tetraedro

Vp=∣u⃗⋅(v⃗×w⃗)∣V_p=\left|\vec u\cdot(\vec v\times\vec w)\right|Vt=16∣u⃗⋅(v⃗×w⃗)∣V_t=\dfrac16\left|\vec u\cdot(\vec v\times\vec w)\right|

Siempre en valor absoluto; tres aristas que salen del mismo vértice.

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12Coplanaridad de cuatro puntos

A,B,C,D coplanaris  ⟺  AB→⋅(AC→×AD→)=0A,B,C,D\ \mathrm{coplanaris}\iff\overrightarrow{AB}\cdot\left(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}\right)=0

Producto mixto cero: no hay volumen, y los puntos están en el mismo plano.

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