Original Academia
← Torna a la biblioteca← BibliotecaES
PUNTSSUPERFÍCIEDIRECCIONSSÒLIDABXYZ AB1 |u|2 det M3 u·v4 cos θ5 u⊥v6 u×v7 A paral·l.8 A tri9 [u,v,w]10 V tetr11 coplanar12

RESUM DEL TEMA · FÓRMULES · 2N BATX · MATEMÀTIQUES

Vectors
en l’espai

Amb tres productes ho resols gairebé tot: l’escalar dona angles i perpendiculars, el vectorial dona àrees i el mixt dona volums. Si n’hi ha un que val zero, també t’està dient alguna cosa.

Toca un número i baixa a la seva fórmula. Arrossega un vector lliure per l’esquema.

UN VECTOR LLIURESóc un vector lliure: toca un número o arrossega'm per l'espai i t'explico cada peça.
RESUM Nº 10TEMA 4 DEL LLIBRE
Base de la geometria 3DPAU: àrees i volums
ESCALA: cap · esquema, no a escala

1Vector determinat per dos punts

AB→=B−A=(b1−a1, b2−a2, b3−a3)\overrightarrow{AB}=B-A=(b_1-a_1,\ b_2-a_2,\ b_3-a_3)

Punt final menys punt inicial; si inverteixes l’ordre, el sentit canvia.

encara no hi ha cap apunt amb l’explicació completa

2Mòdul i distància entre dos punts

∣u⃗∣=u12+u22+u32|\vec u|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}d(A,B)=∣AB→∣d(A,B)=|\overrightarrow{AB}|

Pitàgores en tres dimensions; les longituds es donen en unitats (u).

encara no hi ha cap apunt amb l’explicació completa

3Independència lineal de tres vectors

det⁡(u⃗,v⃗,w⃗)≠0  ⟺  independents\det(\vec u,\vec v,\vec w)\neq0\iff\mathrm{independents}det⁡=0  ⟺  dependents\det=0\iff\mathrm{dependents}

Dependents vol dir coplanaris; dos vectors són dependents si són proporcionals.

encara no hi ha cap apunt amb l’explicació completa

4Producte escalar

u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2+u3v3\vec u\cdot\vec v=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣ ∣v⃗∣cos⁡θ\vec u\cdot\vec v=|\vec u|\,|\vec v|\cos\theta

El resultat és un nombre, no un vector.

encara no hi ha cap apunt amb l’explicació completa

5Angle entre dos vectors

cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∣u⃗∣ ∣v⃗∣\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u|\,|\vec v|}

Només per a vectors no nuls; l’angle queda entre 0° i 180°.

encara no hi ha cap apunt amb l’explicació completa

6Perpendicularitat de vectors

u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0

No cal calcular l’angle: n’hi ha prou amb el producte escalar.

encara no hi ha cap apunt amb l’explicació completa

7Producte vectorial

u⃗×v⃗=∣i⃗j⃗k⃗u1u2u3v1v2v3∣\vec u\times\vec v=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\end{vmatrix}

Signes +, −, + en desenvolupar; és perpendicular a tots dos vectors.

encara no hi ha cap apunt amb l’explicació completa

8Àrea d’un paral·lelogram

Ap=∣u⃗×v⃗∣ u2A_p=|\vec u\times\vec v|\ \mathrm{u}^2

És el mòdul del producte vectorial, no el vector mateix.

encara no hi ha cap apunt amb l’explicació completa

9Àrea d’un triangle

AABC=12∣AB→×AC→∣A_{ABC}=\dfrac12\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|

Construeix els dos vectors des del mateix vèrtex.

encara no hi ha cap apunt amb l’explicació completa

10Producte mixt

u⃗⋅(v⃗×w⃗)=∣u1u2u3v1v2v3w1w2w3∣\vec u\cdot(\vec v\times\vec w)=\begin{vmatrix}u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\\w_1&w_2&w_3\end{vmatrix}

Es calcula com un determinant 3×3; el resultat és un nombre.

encara no hi ha cap apunt amb l’explicació completa

11Volum del paral·lelepípede i del tetraedre

Vp=∣u⃗⋅(v⃗×w⃗)∣V_p=\left|\vec u\cdot(\vec v\times\vec w)\right|Vt=16∣u⃗⋅(v⃗×w⃗)∣V_t=\dfrac16\left|\vec u\cdot(\vec v\times\vec w)\right|

Sempre en valor absolut; tres arestes que surten del mateix vèrtex.

encara no hi ha cap apunt amb l’explicació completa

12Coplanaritat de quatre punts

A,B,C,D coplanaris  ⟺  AB→⋅(AC→×AD→)=0A,B,C,D\ \mathrm{coplanaris}\iff\overrightarrow{AB}\cdot\left(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}\right)=0

Producte mixt zero: no hi ha volum, i els punts són al mateix pla.

encara no hi ha cap apunt amb l’explicació completa