Potencial, energía potencial y trabajo

Potencial gravitatorio: energía potencial por unidad de masa

Una masa $M$ crea un campo gravitatorio a su alrededor. A cada punto de este campo podemos asignar un potencial gravitatorio, que representamos con $V$.

El potencial indica qué energía potencial correspondería a cada kilogramo de masa situado en ese punto:

Por tanto, su unidad en el sistema internacional es:

El potencial no es una fuerza ni un vector. Es una magnitud escalar: tiene un valor con signo, pero no tiene dirección ni sentido.

El cero en el infinito

Para definir la energía potencial, tenemos que elegir dónde vale cero. En este tema utilizamos:

Con esta referencia, el potencial creado por una masa puntual $M$ es:

Aquí:

• $G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2}$ es la constante de gravitación universal.
• $M$ es la masa que crea el campo.
• $r$ es la distancia desde el centro de $M$ hasta el punto que estudiamos.

La misma expresión sirve en el exterior de un cuerpo esférico con distribución de masa esféricamente simétrica, como el modelo habitual de un planeta.

Si el punto se encuentra a una altura $h$ sobre la superficie de un planeta de radio $R$, hay que utilizar:

No debes sustituir $r$ por la altura $h$.

¿Cómo cambia el potencial con la distancia?

Como $G$, $M$ y $r$ son positivos, el potencial es negativo a cualquier distancia finita.

Cuando te alejas de $M$, el denominador $r$ aumenta. Por eso:

se hace menos negativo y se acerca a cero.

Por ejemplo:

Así pues, alejarse hace aumentar el potencial, aunque siga siendo negativo.

Energía potencial gravitatoria y significado del signo negativo

Si colocamos una masa $m$ en un punto de potencial $V$, su energía potencial gravitatoria es:

La unidad de $U$ es el julio, $\mathrm{J}$.

La diferencia entre las dos magnitudes es importante:

En un mismo punto, dos masas tienen el mismo potencial, pero no la misma energía potencial. Si duplicas $m$, duplicas $U$.

La energía potencial corresponde a la interacción entre las masas. Cuando decimos «la energía potencial del cuerpo», estamos utilizando una forma abreviada de hablar de esta interacción.

Cuando un cuerpo se acerca al astro, $r$ disminuye y $U=-GMm/r$ se hace más negativa, es decir, la energía potencial disminuye. Si solo actúa la gravedad, la energía mecánica se conserva, de modo que lo que pierde la energía potencial lo gana la energía cinética: el cuerpo va cada vez más deprisa. En muchos libros la energía potencial se escribe $E_p$ en lugar de $U$; las dos notaciones designan la misma magnitud.

¿Por qué la energía potencial es negativa?

Hemos fijado:

La gravedad es atractiva. Por eso, si quieres alejar una masa lentamente, tienes que aplicar una fuerza exterior que contrarreste la atracción gravitatoria. Esta fuerza aporta energía al sistema.

Como hay que aportar energía para pasar de una distancia finita hasta el infinito, la energía potencial inicial debe estar por debajo de cero. De ahí viene el signo negativo:

El signo negativo no significa que la energía esté mal calculada. Indica que su valor es inferior al nivel de referencia que hemos elegido.

Tampoco significa, por sí solo, que el cuerpo no pueda alejarse indefinidamente: para valorar el movimiento también hay que tener en cuenta la energía cinética.

Diferencias de potencial y de energía potencial

En un problema casi siempre te piden un cambio entre dos puntos: de dónde sale el cuerpo y adónde llega.

Para ir de $A$ a $B$, en el campo de un solo astro:

Letras y unidades SI

• $r_A,r_B$: distancias inicial y final al centro, en m.
• $\Delta V$: diferencia de potencial, en J/kg.
• $\Delta U$: variación de energía potencial, en J.
• $M,m$: masas, en kg.

Cuándo se utiliza: para cambios de altura, trabajos y conservación de la energía.

Cuándo NO: esta expresión con un único $M$ no incluye otros astros. En ese caso, calcula el potencial total en cada punto.

Error más típico: invertir el orden. Si subes, $\Delta U>0$; si bajas, $\Delta U<0$, aunque las dos energías sean negativas.

Ejemplo resueltoPotencial y energía potencial a dos distancias

Utilizamos estos valores aproximados para la Tierra:

Consideramos una masa:

En la superficie, $r_A=R$:

A una distancia $2R$ del centro, $r_B=2R$:

La masa se ha alejado. Por eso, tanto el potencial como la energía potencial han aumentado: ahora son menos negativos.

Fíjate en que a $r_B=2R$, la altura sobre la superficie es:

Superposición: los potenciales se suman como escalares

Si varias masas crean el campo, el potencial total en un punto es la suma de los potenciales de cada una:

Para masas puntuales:

Cada $r_i$ es la distancia entre el punto estudiado y la masa $M_i$.

No debes descomponer los potenciales en componentes, porque no son vectores. Solo tienes que sumar sus valores con signo.

En cambio, el campo gravitatorio sí es vectorial:

Para sumar campos, tienes que tener en cuenta la dirección y el sentido de cada contribución.

Ejemplo resueltoDos masas iguales y un punto en medio

Dos masas iguales $M$ están separadas una distancia $2d$. Estudiamos el punto medio, situado a distancia $d$ de cada una.

Campo gravitatorio

Cada masa crea un campo de módulo:

Los dos campos tienen sentidos opuestos. Por eso se cancelan:

Potencial gravitatorio

Cada masa crea un potencial:

Como los potenciales son escalares, se suman:

Por tanto, el campo puede ser cero en un punto sin que el potencial sea cero.

La causa es que los campos se pueden cancelar por sus sentidos opuestos, mientras que los potenciales no tienen sentido espacial y las dos contribuciones son negativas.

Ejemplo resueltoDos masas: suma escalar de potenciales

Dos masas puntuales fijas, $M_1=3,00\cdot10^{20}\ \mathrm{kg}$ y $M_2=5,00\cdot10^{20}\ \mathrm{kg}$, están separadas $1,20\cdot10^6\ \mathrm m$.

• $A$ es el punto medio.
• $B$ está entre las masas, a $4,00\cdot10^5\ \mathrm m$ de $M_1$.
• Una masa de prueba de $m=10,0\ \mathrm{kg}$ va de $A$ a $B$.

Buscamos: $V_A$, $V_B$ y el trabajo gravitatorio.

Paso 1. Organizamos las distancias

Paso 2. Aplicamos la superposición escalar

Paso 3. Diferencia de potencial y trabajo

Con los valores no redondeados de la calculadora:

Como $W_{\mathrm{grav}}=-m\Delta V$:

Comprobación: en $B$, el potencial total es más negativo. La energía potencial disminuye y el trabajo gravitatorio es positivo.

Trampa: no deduzcas el cambio de potencial mirando solo a qué masa te acercas. Hay que incluir las dos contribuciones.

Trabajo de la gravedad: $W_{\mathrm g}=-\Delta U$

Definimos el cambio de energía potencial entre un punto inicial $A$ y un punto final $B$ como:

El trabajo que realiza la gravedad es:

Para una masa $m$ en el campo de una masa $M$:

También lo podemos expresar con el potencial:

La gravedad es conservativa. Por eso, su trabajo depende de los puntos inicial y final, no del camino seguido entre estos puntos.

¿Cómo puedes comprobar el signo?

Cuando el cuerpo cae hacia $M$, la gravedad favorece el movimiento y realiza trabajo positivo. Como consecuencia, la energía potencial disminuye y, si solo actúa la gravedad, la cinética aumenta.

Cuando el cuerpo se aleja, la gravedad se opone al movimiento y realiza trabajo negativo. Como consecuencia, si no hay ninguna otra fuerza que aporte energía, la cinética disminuye mientras la potencial aumenta.

Trabajo externo para alejar una masa lentamente

Ahora imagina que un dispositivo aleja la masa lentamente, de manera que el cambio de energía cinética sea despreciable.

El teorema del trabajo y la energía cinética da:

Como $\Delta K\approx0$:

Por tanto:

En el modelo ideal en el que la cinética no cambia, esta igualdad es exacta.

Como al alejar la masa aumenta la energía potencial, el trabajo externo es positivo. El dispositivo aporta la energía necesaria para contrarrestar la gravedad.

Ejemplo resueltoAlejar la masa de $R$ a $2R$

Recuperamos los valores del ejemplo anterior:

El cambio de energía potencial es:

Por tanto:

Los signos son opuestos porque el trabajo externo compensa el trabajo negativo de la gravedad y mantiene la cinética constante.

Si el alejamiento lento fuese desde una distancia $r$ hasta el infinito:

Esto concreta el significado del signo negativo de $U$: esta es la energía que hay que aportar para llegar lentamente hasta el nivel $U=0$.

Aproximación de campo uniforme

Cerca de la superficie, y solo para desniveles pequeños, recuperas la fórmula de 4º de ESO y 1º de Bachillerato.

Letras y unidades SI

• $g$: campo aproximadamente constante, en N/kg.
• $h_A,h_B$: alturas medidas hacia arriba, en m.
• $d=|h_B-h_A|$: separación vertical, en m.
• $\Delta V$: en J/kg; $\Delta U$: en J; $m$: en kg.

Cuándo se utiliza: en desniveles pequeños respecto al radio del astro.

Cuándo NO: para grandes cambios de altura o si $d$ no es la separación vertical.

Error más típico: escribir $U=mgh$ como si tuviera el mismo cero que $U=-GMm/r$. La expresión $mg\Delta h$ da una diferencia de energía.

Si te dan $\Delta V$ y $d$ para hallar $g$, utiliza esta relación, no una masa y un radio que no te piden utilizar.

Ejemplo resueltoSubir una carga: potenciales, energías y trabajos

Un astro esférico tiene masa $M=6,00\cdot10^{23}\ \mathrm{kg}$ y radio $R=2,00\cdot10^6\ \mathrm m$. Una carga de $m=2,00\cdot10^2\ \mathrm{kg}$ se traslada lentamente desde la superficie $A$ hasta una altura $h_B=2,00\cdot10^6\ \mathrm m$. No hay rozamiento.

Buscamos: los potenciales, la variación de energía potencial y los trabajos.

Paso 1. Distancias al centro

Paso 2. Potencial en cada punto

Aplicamos el potencial de un astro esférico en el exterior:

Paso 3. Variación de energía potencial

Utilizamos $\Delta U=m\Delta V$. Para evitar restar resultados ya redondeados, sustituimos directamente las distancias:

Paso 4. Trabajos

Como la gravedad es conservativa:

El traslado es lento, de modo que $\Delta E_c\simeq0$. Por tanto:

Comprobación: subimos; el potencial se hace menos negativo y $U$ aumenta. La gravedad se opone al movimiento y realiza trabajo negativo.

Dos comprobaciones inversas útiles

Si nos dieran la energía final $U_B=-2,00\cdot10^9\ \mathrm J$, podríamos recuperar la distancia:

Si una medida local alrededor de $B$ da $|\Delta V|=62,5\ \mathrm{J/kg}$ entre puntos separados verticalmente $25,0\ \mathrm m$, podemos considerar el campo uniforme:

A partir de $GMm/r_B^2=mg_B$:

Trampa: primero obtenemos $g$ de la diferencia de potencial; después utilizamos este $g$ para hallar la posición.

Conservación de la energía mecánica en movimientos radiales

La energía mecánica es la suma de la energía cinética y la potencial:

En el campo gravitatorio de una masa $M$:

Si solo actúa la gravedad, la energía mecánica se conserva:

Este modelo supone que la masa $M$ se puede considerar fija, como hacemos habitualmente cuando estudiamos un cuerpo de masa muy pequeña comparada con la del planeta.

La masa $m$ aparece en todos los términos y se puede simplificar:

Si despejamos la velocidad final:

¿Por qué no hace falta suponer $g$ constante?

El campo varía con la distancia:

Si el cuerpo cambia mucho de distancia al centro, también cambia el campo que experimenta. Por eso no podemos tratar todo el movimiento como si tuviese una aceleración gravitatoria constante.

La expresión:

ya incorpora esta variación. Así podemos calcular el cambio de velocidad sin utilizar una $g$ constante.

La aproximación $\Delta U\approx mg\,\Delta h$ solo es adecuada cerca de la superficie y para cambios de altura pequeños comparados con el radio del planeta.

Si el movimiento radial es hacia fuera

Si el cuerpo se lanza hacia fuera y después llega a un punto donde se detiene momentáneamente, en ese punto:

La conservación de la energía queda:

De aquí:

Si el punto inicial es la superficie, la altura máxima es:

Esta expresión da un punto de parada a distancia finita solo si el término de la derecha es positivo.

Ejemplo resueltoCaída radial desde $2R$ hasta la superficie

Un cuerpo parte del reposo a una distancia $2R$ del centro de la Tierra y cae radialmente hasta la superficie. Despreciamos la resistencia del aire.

Datos:

Como solo actúa la gravedad:

Simplificamos $m$ y reordenamos:

Por tanto:

Este resultado es el módulo de la velocidad. El movimiento tiene dirección radial y sentido hacia el centro.

Interpretación: el cuerpo se acerca a la Tierra, de manera que su energía potencial se hace más negativa. Como la energía mecánica se conserva, esta disminución de energía potencial se transforma en un aumento de cinética.

Ejemplo resueltoCaída desde el reposo

Retomamos el astro del ejemplo 1:

Un objeto de $m=2,00\cdot10^2\ \mathrm{kg}$ se encuentra a $r_A=4,00\cdot10^6\ \mathrm m$. Lo soltamos desde el reposo.

Velocidad al llegar a la superficie

Datos: $v_A=0$, $r_B=R=2,00\cdot10^6\ \mathrm m$. Despreciamos la atmósfera.

Buscamos: $v_B$.

Solo actúa la gravedad; por tanto, se conserva la energía mecánica:

Cancelamos $m$, ponemos $v_A=0$ y despejamos:

Comprobación: al bajar, la energía potencial disminuye y se transforma en cinética. La velocidad aumenta desde cero, como cabía esperar.

Trampa: la velocidad inicial es cero, pero la final no lo es: hay que incluir la energía cinética final.

CompruebaQué debes comprobar en un problema

Antes de sustituir números, revisa estos puntos:

• Distancias: todas las $r$ se miden desde el centro. Si tienes una altura, haz $r=R+h$.
• Referencia: con el cero en el infinito, $V$ y $U$ son negativos a distancia finita.
• Cambios: $\Delta U$ significa siempre $U_B-U_A$, con $A$ inicial y $B$ final.
• Trabajo: identifica quién lo realiza. El trabajo gravitatorio es $-\Delta U$; el trabajo externo es $\Delta U$ si la cinética no cambia.
• Superposición: los potenciales se suman como escalares; los campos, como vectores.
• Energía: si solo actúa la gravedad, conserva $K+U$. Si hay trabajo externo, la energía mecánica puede cambiar.
• Coherencia física: si solo actúa la gravedad de una masa central, en una caída radial la rapidez aumenta; en un movimiento radial hacia fuera, disminuye.

Las cuatro relaciones que conectan todo el tema son:

El potencial describe el punto del campo; la energía potencial incorpora la masa que colocas en él; el cambio de energía potencial determina el trabajo gravitatorio; y, si solo actúa la gravedad, este trabajo explica el cambio de energía cinética.