Campo gravitatorio · Capítulo 4

El campo gravitatorio de los planetas

Desde fuera, un planeta se comporta como si toda su masa estuviera en el centro. Por eso el campo depende de la distancia al centro, no de la altura.

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El campo gravitatorio en la superficie: $g=GM/R^2$

Un cuerpo de masa $m$ situado en la superficie del planeta recibe la fuerza que da la ley de gravitación universal, $F=GMm/R^2$ . Esta fuerza es su peso, $F=mg$ . Igualamos las dos expresiones:

mg=\frac{GMm}{R^2}

La masa $m$ se cancela:

\boxed{g=\frac{GM}{R^2}}

Para la Tierra:

g_0=\frac{3{,}986\cdot10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}}{(6{,}371\cdot10^6\ \mathrm{m})^2} =\frac{3{,}986\cdot10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}}{4{,}059\cdot10^{13}\ \mathrm{m^2}} \simeq9{,}82\ \mathrm{m/s^2}

La relación también se utiliza al revés: si conoces $g_0$ y $R$ , obtienes $GM=g_0R^2$ . A una distancia $r$ del centro, el mismo razonamiento da $g=GM/r^2$ .

Unidades y relación con la aceleración

El campo se mide en:

\mathrm{N/kg}

Como $1\ \mathrm{N}=1\ \mathrm{kg\,m/s^2}$ , también podemos expresarlo en:

\mathrm{m/s^2}

Si la gravedad es la única fuerza que actúa, la segunda ley de Newton da:

m\vec a=\vec F=m\vec g \qquad\Rightarrow\qquad \boxed{\vec a=\vec g}

Por eso, en las mismas condiciones y sin resistencia del aire, dos cuerpos de masas diferentes tienen la misma aceleración gravitatoria. El cuerpo de mayor masa recibe más fuerza, pero también tiene más masa; al calcular $F/m$ , estos dos efectos se compensan.

Distancia al centro y campo gravitatorio

\boxed{ \begin{aligned} r&=R+h\\ g&=\frac{GM}{r^2}\\ r&=\sqrt{\frac{GM}{g}} \end{aligned}}

Letras y unidades SI

$r$ : distancia al centro del astro, en m.
$R$ : radio del astro, en m.
$h$ : altura sobre la superficie, en m.
$M$ : masa del astro, en kg.
$g$ : módulo del campo gravitatorio, en N/kg, equivalente a m/s².

Cuándo se utiliza: fuera de un astro esférico, o para una masa puntual. La relación del campo se obtiene igualando el peso y la fuerza gravitatoria: $mg=GMm/r^2$ .

Cuándo NO: en el interior de un astro no puedes poner, en general, toda su masa $M$ en esta expresión.

Error más típico: poner la altura $h$ en el denominador en lugar de $r=R+h$ .

Ejemplo resueltoCampo a 400 km sobre la Tierra

Consideramos:

M_{\mathrm T}=5{,}97\times10^{24}\ \mathrm{kg}

R_{\mathrm T}=6{,}37\times10^6\ \mathrm{m}, \qquad h=4{,}00\times10^5\ \mathrm{m}

Primero, calculamos la distancia al centro:

r=R_{\mathrm T}+h =6{,}77\times10^6\ \mathrm{m}

Después, calculamos el campo:

g=\frac{GM_{\mathrm T}}{r^2} =\frac{(6{,}67\times10^{-11})(5{,}97\times10^{24})} {(6{,}77\times10^6)^2}

\boxed{g\approx8{,}69\ \mathrm{N/kg}}

El campo apunta hacia el centro de la Tierra.

Si en este punto hay un cuerpo de $2{,}00\ \mathrm{kg}$ :

F=mg=2{,}00\cdot8{,}69

\boxed{F\approx17{,}4\ \mathrm{N}}

La fuerza también apunta hacia el centro terrestre. El campo es menor que en la superficie porque la distancia al centro es mayor.

Ejemplo resueltoCampo en la superficie, peso y altura

Un cuerpo con distribución de masa esféricamente simétrica tiene radio $R=2,00\cdot10^6\ \text{m}$ y densidad media $\rho=3,00\cdot10^3\ \text{kg/m}^3$ . Considera un objeto de masa $m=60,0\ \text{kg}$ .

Buscamos: el campo y el peso en la superficie y a $h=1,00\cdot10^6\ \text{m}$ , y la altura donde el campo vale $0,500\ \text{N/kg}$ .

Paso 1. Obtenemos la masa del cuerpo esférico

\begin{aligned} M&=\rho\frac43\pi R^3\\ &=\left(3,00\cdot10^3\ \frac{\text{kg}}{\text{m}^3}\right) \frac43\pi(2,00\cdot10^6\ \text{m})^3\\ &=1,005\cdot10^{23}\ \text{kg}. \end{aligned}

Paso 2. Deducimos y calculamos el campo superficial

Por la ley de gravitación universal y la definición de campo:

\begin{aligned} F_g&=\frac{GMm}{R^2}\\ &=mg_0\\ \Longrightarrow\quad g_0&=\frac{GM}{R^2}. \end{aligned}

\begin{aligned} g_0&=\frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2) (1,005\cdot10^{23}\ \text{kg}) }{ (2,00\cdot10^6\ \text{m})^2 }\\ &=\boxed{1,68\ \text{N/kg}}. \end{aligned}

El campo apunta radialmente hacia el centro.

Paso 3. Calculamos el campo a la altura indicada

Primero, la distancia al centro:

\begin{aligned} r&=R+h\\ &=2,00\cdot10^6\ \text{m}+1,00\cdot10^6\ \text{m}\\ &=3,00\cdot10^6\ \text{m}. \end{aligned}

\begin{aligned} g(h)&=\frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2) (1,005\cdot10^{23}\ \text{kg}) }{ (3,00\cdot10^6\ \text{m})^2 }\\ &=\boxed{0,745\ \text{N/kg}}. \end{aligned}

Paso 4. Calculamos los pesos

Utilizamos los campos calculados con la masa sin redondear; escribimos los valores intermedios con cuatro cifras significativas:

\begin{aligned} P_0&=mg_0\\ &=(60,0\ \text{kg})(1,676\ \text{N/kg})\\ &=\boxed{101\ \text{N}}. \end{aligned}

\begin{aligned} P_h&=mg(h)\\ &=(60,0\ \text{kg})(0,7450\ \text{N/kg})\\ &=\boxed{44,7\ \text{N}}. \end{aligned}

Si dejamos el objeto libre y solo actúa la gravedad, la segunda ley de Newton da:

m\vec g=m\vec a\quad\Longrightarrow\quad\vec a=\vec g.

A esa altura, la aceleración sería $0,745\ \text{m/s}^2$ , hacia el centro.

Paso 5. Hallamos la altura donde $g=0,500\ \text{N/kg}$

g=\frac{GM}{r^2} \quad\Longrightarrow\quad r=\sqrt{\frac{GM}{g}}.

\begin{aligned} r&=\sqrt{ \frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2) (1,005\cdot10^{23}\ \text{kg}) }{ 0,500\ \text{N/kg} }}\\ &=3,662\cdot10^6\ \text{m}. \end{aligned}

\begin{aligned} h&=r-R\\ &=3,662\cdot10^6\ \text{m}-2,00\cdot10^6\ \text{m}\\ &=\boxed{1,66\cdot10^6\ \text{m}}. \end{aligned}

Comprobación: al subir, el campo y el peso disminuyen, pero la masa sigue siendo $60,0\ \text{kg}$ . Para tener un campo inferior a $0,745\ \text{N/kg}$ , hace falta una altura superior a $1,00\cdot10^6\ \text{m}$ , como hemos obtenido.

Trampa: el resultado pedido era $h$ , no $r$ .

CompruebaComprobaciones antes de dar una respuesta en la PAU

Distancia: ¿has utilizado la distancia entre centros? Si te dan una altura, ¿has calculado $R+h$ ?
Unidades: ¿has pasado las masas a kg y las distancias a m?
Magnitud solicitada: ¿te piden fuerza, en N, o campo, en N/kg?
Dirección y sentido: ¿has indicado hacia dónde apunta el vector?
Superposición: ¿has sumado vectores o componentes, y no solo módulos?
Coherencia: si aumenta la distancia y el resto no cambia, la fuerza y el campo deben disminuir.

Las cuatro expresiones clave

\boxed{F=G\frac{Mm}{r^2}} \qquad \boxed{g=G\frac{M}{r^2}}

\boxed{\vec F=m\vec g} \qquad \boxed{\vec g_{\text{total}}=\sum_i\vec g_i}

La idea central es esta: las masas crean campo; el campo determina la fuerza sobre un cuerpo; y la fuerza resultante determina su aceleración.

Practica

Ponte a prueba

Básico

1La altura no es la distancia al centro

Un planeta tiene masa $6{,}00\times10^{23}\ \mathrm{kg}$ y radio $3{,}00\times10^6\ \mathrm{m}$ . Un cuerpo de $80{,}0\ \mathrm{kg}$ se encuentra a $1\,000\ \mathrm{km}$ sobre la superficie.

a
Haz un esquema y calcula la distancia del cuerpo al centro del planeta.
b
Calcula la fuerza gravitatoria sobre el cuerpo.
c
Calcula la fuerza que recibiría el mismo cuerpo en la superficie.
d
Calcula la fuerza cuando la altura sobre la superficie es igual al radio del planeta. Compárala con la fuerza en la superficie.
e
Un alumno utiliza $r=1{,}00\times10^6\ \mathrm{m}$ en el apartado b. Explica el error y determina por qué factor sobreestima la fuerza.

Muestra la solución

a) Distancia correcta

Primero convertimos la altura:

h=1000\ \mathrm{km}=1{,}00\times10^6\ \mathrm{m}

El esquema radial es: centro → superficie → cuerpo. Así:

r=R+h=3{,}00\times10^6+1{,}00\times10^6

\boxed{r=4{,}00\times10^6\ \mathrm{m}}

b) Fuerza a esta altura

\begin{aligned} F&=G\frac{Mm}{r^2}\\ &=6{,}67\times10^{-11} \frac{(6{,}00\times10^{23})(80{,}0)} {(4{,}00\times10^6)^2} \end{aligned}

\boxed{F=2{,}00\times10^2\ \mathrm{N}}

Apunta hacia el centro del planeta.

c) Fuerza en la superficie

Ahora $r=R$ :

F_0=6{,}67\times10^{-11} \frac{(6{,}00\times10^{23})(80{,}0)} {(3{,}00\times10^6)^2}

\boxed{F_0=356\ \mathrm{N}}

d) Altura igual al radio

Si $h=R$ , la distancia al centro es $2R$ :

F_{h=R}=\frac{F_0}{4} =\boxed{88{,}9\ \mathrm{N}}

La fuerza es una cuarta parte de la superficial porque la distancia al centro se ha duplicado.

e) Error de utilizar solo la altura

La distancia incorrecta es cuatro veces más pequeña que la correcta:

\begin{aligned} \frac{F_{\text{errónea}}}{F_{\text{correcta}}} &=\left(\frac{r_{\text{correcta}}}{r_{\text{errónea}}}\right)^2\\ &=\left(\frac{4{,}00\times10^6}{1{,}00\times10^6}\right)^2 =\boxed{16} \end{aligned}

El alumno sobreestima la fuerza por un factor de 16 porque ha medido desde la superficie, no desde el centro.

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