Viajes por el espacio: poner en órbita, cambiar de órbita y escapar

Energía necesaria para poner un satélite en órbita

Sin propulsión ni rozamiento, la gravedad conserva la energía mecánica. En cambio, para poner un satélite en órbita hay que aportarle energía mediante una acción no gravitatoria, como la propulsión.

En un modelo de masa constante y sin pérdidas, el trabajo neto de estas fuerzas es:

$$\boxed{W_{\text{no grav}}=\Delta E_m=E_{m,f}-E_{m,i}}$$

Desde la superficie hasta una órbita circular

Supongamos que el satélite parte en reposo respecto de un sistema de referencia centrado en el planeta. Esto implica que despreciamos la rotación terrestre.

Inicialmente:

$$E_{m,i}=-\frac{GMm}{R}$$

En la órbita circular final, de radio $r$:

$$E_{m,f}=-\frac{GMm}{2r}$$

Por tanto:

$$\boxed{\Delta E_m=\frac{GMm}{R}-\frac{GMm}{2r}}$$

No basta con calcular el aumento de energía potencial, porque el satélite también debe acabar con la velocidad orbital correspondiente.

Ejemplo resueltoPoner 1.000 kg en órbita a 400 km

La energía de la órbita a 400 km es la del ejemplo energías a 400 km de altura.

La energía inicial es:

$$E_{m,i} =-\frac{(3{,}986\cdot10^{14})(1\,000)}{6{,}371\cdot10^6} \simeq-6{,}26\cdot10^{10}\ \mathrm{J}$$

La energía final es la calculada antes:

$$E_{m,f}\simeq-2{,}94\cdot10^{10}\ \mathrm{J}$$

Por tanto:

$$\Delta E_m \simeq(-2{,}9434\cdot10^{10})-(-6{,}2565\cdot10^{10})$$

$$\boxed{\Delta E_m\simeq3{,}31\cdot10^{10}\ \mathrm{J}}$$

Este resultado es el aumento ideal de la energía mecánica del satélite, no la energía química que debe consumir un cohete real. En un lanzamiento real también intervienen la atmósfera, el rendimiento de los motores y la masa del combustible.

Energía necesaria para cambiar de órbita circular

Si el satélite pasa de una órbita circular de radio $r_1$ a otra de radio $r_2$:

$$\begin{aligned} &E_{m,1}=-\frac{GMm}{2r_1}\\ &E_{m,2}=-\frac{GMm}{2r_2} \end{aligned}$$

La diferencia es:

$$\boxed{\Delta E_m= \frac{GMm}{2}\left(\frac1{r_1}-\frac1{r_2}\right)}$$

• Si $r_2>r_1$, entonces $\Delta E_m>0$: hay que aportar energía.
• Si $r_2<r_1$, entonces $\Delta E_m<0$: hay que reducir la energía mecánica.

Ejemplo resueltoDe una órbita baja a una geoestacionaria

Para un satélite de $1\,000\ \mathrm{kg}$:

$$\begin{aligned} &r_1=6{,}771\cdot10^6\ \mathrm{m}\\ &r_2=4{,}2164\cdot10^7\ \mathrm{m} \end{aligned}$$

$$\Delta E_m= \frac{(3{,}986\cdot10^{14})(1\,000)}{2} \left( \frac1{6{,}771\cdot10^6} -\frac1{4{,}2164\cdot10^7} \right)$$

$$\boxed{\Delta E_m\simeq2{,}47\cdot10^{10}\ \mathrm{J}}$$

Hay que aportar energía, aunque la velocidad circular final será menor.

Este cálculo compara los estados inicial y final. No determina las maniobras ni el incremento total de velocidad necesario. Durante la transferencia, el satélite no pasa simplemente por una sucesión de órbitas circulares.

Ejemplo resueltoCambio a una órbita con el doble de periodo

El mismo satélite pasa de la órbita anterior, de radio $r_1=6,40\cdot10^6\ \mathrm m$, a otra órbita circular alrededor de Aster. El nuevo periodo es el doble.

Buscamos: el nuevo radio, la nueva altura y la energía que hay que aportar.

Paso 1. Aplicar la tercera ley de Kepler

Como las dos órbitas son alrededor del mismo astro:

$$\frac{T_1^2}{r_1^3}=\frac{T_2^2}{r_2^3}$$

Despejamos $r_2$:

$$r_2=r_1\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{2/3}$$

$$\begin{aligned} r_2 &= (6,40\cdot10^6\ \mathrm m)\,2^{2/3}\\ &= \boxed{1,02\cdot10^7\ \mathrm m} \end{aligned}$$

Para los cálculos siguientes conservamos $r_2=1,016\cdot10^7\ \mathrm m$.

Trampa: doblar el periodo no implica doblar el radio.

Paso 2. Calcular la altura

$$\begin{aligned} h_2 &= r_2-R\\ &= 1,016\cdot10^7\ \mathrm m-5,50\cdot10^6\ \mathrm m\\ &= \boxed{4,66\cdot10^6\ \mathrm m} \end{aligned}$$

Paso 3. Calcular el cambio de energía mecánica

Las órbitas inicial y final son circulares:

$$\Delta E_m =\frac{GMm}{2}\left(\frac1{r_1}-\frac1{r_2}\right)$$

$$\begin{aligned} \Delta E_m&= \frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2})(4,80\cdot10^{24}\ \mathrm{kg})(3,20\cdot10^2\ \mathrm{kg}) }{2}\\ &\quad{}\times \left( \frac1{6,40\cdot10^6\ \mathrm m} -\frac1{1,016\cdot10^7\ \mathrm m} \right)\\ &= \boxed{+2,96\cdot10^9\ \mathrm J} \end{aligned}$$

Sin rozamiento, el trabajo de los motores es:

$$\boxed{ \begin{aligned} W_{\mathrm{motores}} &= \Delta E_m\\ &= +2,96\cdot10^9\ \mathrm J \end{aligned} }$$

Paso 4. Distinguirlo del cambio de energía potencial

$$\begin{aligned} \Delta E_p &= GMm\left(\frac1{r_1}-\frac1{r_2}\right)\\ &= 2\Delta E_m \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \Delta E_p &= 2(2,96\cdot10^9\ \mathrm J)\\ &= \boxed{+5,92\cdot10^9\ \mathrm J} \end{aligned}$$

Como $\Delta E_m=\Delta E_c+\Delta E_p$:

$$\begin{aligned} \Delta E_c &= \Delta E_m-\Delta E_p\\ &= 2,96\cdot10^9\ \mathrm J-5,92\cdot10^9\ \mathrm J\\ &= \boxed{-2,96\cdot10^9\ \mathrm J} \end{aligned}$$

Comprobación: la nueva órbita es más alta y el satélite circula por ella más despacio. La energía cinética disminuye, pero la potencial aumenta más; por eso hay que aportar energía mecánica.

Velocidad de escape

La velocidad de escape es la velocidad mínima que debe tener un cuerpo a una distancia $r$ del centro para poder alejarse indefinidamente, sin propulsión posterior.

En el caso mínimo, llega al infinito con una velocidad que tiende a cero. Por tanto:

$$E_{m,\infty}=0$$

Por conservación de la energía:

$$\frac12mv_{\text{esc}}^2-\frac{GMm}{r}=0$$

Despejamos la velocidad:

$$\boxed{v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}}$$

La masa $m$ se cancela. Por eso, en este modelo, la velocidad de escape no depende de la masa del cuerpo que escapa.

Cuidado: la relación $v_{\text{esc}}=\sqrt2\,v_{\text{orb}}$ solo es válida si $v_{\text{orb}}$ es la velocidad de una órbita circular en el mismo radio $r$. En una órbita elíptica, la velocidad del satélite cambia a lo largo del recorrido y, en general, no es igual a $\sqrt{GM/r}$. Por eso, multiplicarla por $\sqrt2$ no da la velocidad de escape. En cualquier punto, la velocidad de escape sigue siendo $v_{\text{esc}}=\sqrt{2GM/r}$, donde $r$ es la distancia al centro en ese punto.

Desde la superficie

Hay que poner $r=R$:

$$\boxed{v_{\text{esc,sup}}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}}$$

Para la Tierra:

$$v_{\text{esc,sup}} =\sqrt{\frac{2(3{,}986\cdot10^{14})}{6{,}371\cdot10^6}}$$

$$\boxed{v_{\text{esc,sup}}\simeq11{,}2\ \mathrm{km/s}}$$

Es un valor ideal: no incluye la atmósfera ni el efecto de la rotación terrestre. Tampoco significa que un cohete real deba alcanzar esta velocidad instantáneamente en la superficie, porque puede seguir recibiendo energía de los motores mientras sube.

Ejemplo resueltoEscape desde Marte

Para Marte:

$$\begin{aligned} &M=6{,}417\cdot10^{23}\ \mathrm{kg}\\ &R=3{,}390\cdot10^6\ \mathrm{m} \end{aligned}$$

$$v_{\text{esc}} =\sqrt{\frac{2(6{,}674\cdot10^{-11})(6{,}417\cdot10^{23})} {3{,}390\cdot10^6}}$$

$$\boxed{v_{\text{esc}}\simeq5{,}03\ \mathrm{km/s}}$$

Es menor que en la Tierra porque el cociente $GM/R$ es menor: hace falta menos energía por unidad de masa para escapar de Marte.

Escapar desde una órbita: velocidad total e incremento de velocidad

Un satélite en órbita circular ya tiene velocidad. Por eso, no debes confundir:

• $v_{\text{esc}}$: la velocidad total que debe tener después de la maniobra.
• $\Delta v$: el incremento de velocidad que hay que darle.

Al mismo radio:

$$\begin{aligned} &v_{\text{orb}}=\sqrt{\frac{GM}{r}}\\ &v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{r}} \end{aligned}$$

Por tanto:

$$\boxed{v_{\text{esc}}=\sqrt2\,v_{\text{orb}}}$$

Si el impulso es breve, tangente a la órbita y en el mismo sentido del movimiento, las velocidades tienen la misma dirección. Entonces:

$$\Delta v=v_{\text{esc}}-v_{\text{orb}}$$

$$\boxed{\Delta v=(\sqrt2-1)v_{\text{orb}}}$$

Esta es la manera de minimizar el módulo del incremento de velocidad para escapar desde una órbita circular con un único impulso.

¿Cuánta energía hay que aportar para escapar?

La energía mecánica inicial de la órbita circular es:

$$E_{m,i}=-\frac{GMm}{2r}$$

En el escape mínimo, la energía final es cero:

$$\boxed{\Delta E_m=\frac{GMm}{2r}}$$

Para el satélite de $1\,000\ \mathrm{kg}$ a 400 km:

$$\boxed{\Delta E_m\simeq2{,}94\cdot10^{10}\ \mathrm{J}}$$

Como el radio prácticamente no cambia durante el impulso, la energía potencial tampoco cambia. Por eso, la energía aportada aumenta la energía cinética:

$$\Delta E_m=\frac12m\left(v_{\text{esc}}^2-v_{\text{orb}}^2\right)$$

No es correcto escribir $\Delta E_m=\frac12m(\Delta v)^2$: el cambio de energía cinética depende de la diferencia de los cuadrados de las velocidades, no del cuadrado de su diferencia.

Ejemplo resueltoEscape desde 400 km de altura

Hemos calculado:

$$v_{\text{orb}}\simeq7{,}67\ \mathrm{km/s}$$

La velocidad total de escape en ese punto es:

$$v_{\text{esc}}=\sqrt2\cdot7{,}67 \simeq10{,}85\ \mathrm{km/s}$$

Por tanto:

$$\Delta v=10{,}85-7{,}67$$

$$\boxed{\Delta v\simeq3{,}18\ \mathrm{km/s}}$$

El satélite no necesita un incremento de $10{,}85\ \mathrm{km/s}$, porque ya se mueve a $7{,}67\ \mathrm{km/s}$.

Ejemplo resueltoEscapar desde la órbita inicial

Volvemos a la órbita de radio $r=6,40\cdot10^6\ \mathrm m$.

Buscamos:

1. La velocidad mínima de escape.
2. La energía que hay que aportar al satélite de $3,20\cdot10^2\ \mathrm{kg}$.
3. La masa máxima que podría escapar si disponemos de $1,50\cdot10^{10}\ \mathrm J$ de energía útil.

Paso 1. Imponer la energía mínima de escape

Para escapar con la velocidad mínima, el satélite llega al infinito con velocidad nula. Por tanto:

$$E_{m,f}=0$$

Por conservación de la energía después del impulso:

$$\frac12mv_{\mathrm{esc}}^2-\frac{GMm}{r}=0$$

$$v_{\mathrm{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}$$

$$\begin{aligned} v_{\mathrm{esc}} &= \sqrt{ \frac{ 2(6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2})(4,80\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}) }{ 6,40\cdot10^6\ \mathrm m } }\\ &= \boxed{1,00\cdot10^4\ \mathrm{m/s}} \end{aligned}$$

Comprobación: es mayor que la velocidad circular, $7,07\cdot10^3\ \mathrm{m/s}$, y la relación es $\sqrt2$.

Paso 2. Calcular la energía adicional

Inicialmente, el satélite ya tiene energía cinética porque está en órbita:

$$E_{m,i}=-\frac{GMm}{2r}$$

La energía mínima que hay que aportar es:

$$\begin{aligned} \Delta E_{\mathrm{esc}} &= E_{m,f}-E_{m,i}\\ &= 0-\left(-\frac{GMm}{2r}\right)\\ &= \frac{GMm}{2r} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \Delta E_{\mathrm{esc}} &= \frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2})(4,80\cdot10^{24}\ \mathrm{kg})(3,20\cdot10^2\ \mathrm{kg}) }{ 2(6,40\cdot10^6\ \mathrm m) }\\ &= \boxed{8,00\cdot10^9\ \mathrm J} \end{aligned}$$

Trampa: no hay que aportar toda la energía cinética asociada a $v_{\mathrm{esc}}$, porque el satélite ya se mueve. Hay que aportar la diferencia entre el estado final y el inicial.

Paso 3. Calcular la masa máxima

Igualamos la energía útil disponible al incremento mínimo necesario:

$$E_d=\frac{GMm_{\max}}{2r}$$

$$m_{\max}=\frac{2rE_d}{GM}$$

$$\begin{aligned} m_{\max} &= \frac{ 2(6,40\cdot10^6\ \mathrm m)(1,50\cdot10^{10}\ \mathrm J) }{ (6,67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2}) (4,80\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}) }\\ &= \boxed{6,00\cdot10^2\ \mathrm{kg}} \end{aligned}$$

Comprobación: esta masa es mayor que la del satélite inicial, coherente con el hecho de que la energía disponible también es mayor que la que necesitaba aquel satélite.

Comprueba¿Qué debes comprobar en un problema de PAU?

Antes de sustituir datos, identifica el estado inicial, el estado final y lo que te piden.

• ¿Radio o altura? Si tienes $h$, calcula $r=R+h$.
• ¿Órbita circular? Solo en este caso puedes aplicar directamente $v=\sqrt{GM/r}$ y $E_m=-GMm/(2r)$.
• ¿Periodo o velocidad? Puedes encontrar el radio con $r=\sqrt[3]{GMT^2/(4\pi^2)}$ o con $r=GM/v^2$.
• ¿Energía aportada? Calcula siempre $E_{m,f}-E_{m,i}$, con los signos.
• ¿Escape? El umbral mínimo es $E_m=0$.
• ¿Velocidad total o incremento? Si el cuerpo ya se mueve, no son lo mismo.
• ¿Unidades? Pasa kilómetros a metros y minutos u horas a segundos.
• ¿Cómo lo escribes? Nombra las leyes («ley de gravitación universal», «segunda ley de Newton», «solo actúa la gravedad»), haz la sustitución numérica en cada expresión y pon unidades en todos los resultados, también en los intermedios, con 3 o 4 cifras significativas.

La conexión principal es esta:

La gravedad fija la velocidad necesaria para una órbita circular. Esta velocidad fija la energía cinética y, junto con la energía potencial, determina la energía mecánica. Para pasar a una órbita circular de radio diferente hay que cambiar esa energía; para escapar, hay que aumentarla hasta cero como mínimo.