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MultiplicaciónÁlgebraEspejoSistemas AB1 M²2 (A+B)²3 AB=BA4 det QP5 A⁻¹6 AB=07 A²=I8 M⁻¹9 X10 rg11 det A=012

RESUMEN DEL TEMA · FÓRMULAS · 2º BACH · MATEMÁTICAS

Matrices
inversa y sistemas

Una matriz no es un número: el orden importa. Respeta el lado por el que multiplicas, comprueba el determinante antes de invertir y, si es cero, no te detengas: compara rangos y decide.

Toca un número y baja a su fórmula. Arrastra una calculadora por el esquema.

UNA CALCULADORAToca un número o arrástrame para recorrer el taller de matrices y sistemas.
RESUMEN Nº 8TEMA 1 DEL LIBRO
2.º Bach · Tema 1PAU: ecuaciones y rangos
ESCALA: ninguna · esquema, no a escala

1Producto de matrices

(m×n)⋅(n×p)=m×p(m\times n)\cdot(n\times p)=m\times pcij=∑kaik bkjc_{ij}=\sum_k a_{ik}\,b_{kj}

Columnas de la primera = filas de la segunda; siempre fila por columna.

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2Potencias y polinomios de una matriz

M2=M⋅MM^2=M\cdot M(M−2I)2=M2−4M+4I(M-2I)^2=M^2-4M+4I

No eleves cada elemento; el número siempre va multiplicado por I.

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3Cuadrado de una suma de matrices

(A+B)2=A2+AB+BA+B2(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2

Solo es A²+2AB+B² si AB=BA, por ejemplo con la identidad.

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4Matrices que conmutan

AB=BAAB=BA

Iguala los cuatro elementos de ambos productos y resuelve el sistema.

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5Producto 3×2 por 2×3

Q3×2 P2×3: rg⁡(QP)≤2  ⇒  det⁡(QP)=0Q_{3\times2}\,P_{2\times3}:\ \operatorname{rg}(QP)\le 2 \;\Rightarrow\; \det(QP)=0

Esta 3×3 nunca es invertible, sea cual sea el parámetro.

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6Determinante e inversa 2×2

det⁡A=ad−bc\det A=ad-bcA−1=1ad−bc(d−b−ca)A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}

Solo existe si det A ≠ 0; comprueba que AA⁻¹ = I.

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7Si AB = 0 con B ≠ 0

AB=0, B≠0  ⇒  det⁡A=0AB=0,\ B\neq0 \;\Rightarrow\; \det A=0

Si A fuera invertible, multiplicando por A⁻¹ saldría B = 0.

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8Matriz que es su propia inversa

A=A−1  ⟺  A2=IA=A^{-1}\iff A^2=I

Impón todas las ecuaciones a la vez; descarta candidatos que solo cumplen la diagonal.

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9Inversa a partir de una identidad

M B=I⇒M−1=BM\,B=I\Rightarrow M^{-1}=BM(M−4I)=−5I⇒M−1=4I−M5M(M-4I)=-5I\Rightarrow M^{-1}=\dfrac{4I-M}{5}

Deja I sola a un lado y saca M factor común.

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10Ecuaciones matriciales

AX=B⇒X=A−1BAX=B\Rightarrow X=A^{-1}BXA=B⇒X=BA−1XA=B\Rightarrow X=BA^{-1}AX+B=C⇒X=A−1(C−B)AX+B=C\Rightarrow X=A^{-1}(C-B)

A⁻¹ en el mismo lado que A; nunca cambies el orden del producto.

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11Teorema de Rouché–Frobenius

rg⁡A=rg⁡(A∣B)=n: SCD\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}(A|B)=n:\ \mathrm{SCD}rg⁡A=rg⁡(A∣B)<n: SCI\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}(A|B)<n:\ \mathrm{SCI}rg⁡A≠rg⁡(A∣B): SI\operatorname{rg}A\neq\operatorname{rg}(A|B):\ \mathrm{SI}

n es el número de incógnitas; con dos ecuaciones y tres incógnitas, nunca SCD.

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12Discusión con un parámetro

det⁡A≠0⇒SCD\det A\neq0\Rightarrow\mathrm{SCD}(0  0  0∣c), c≠0⇒SI(0\;0\;0\mid c),\ c\neq0\Rightarrow\mathrm{SI}n−rg⁡An-\operatorname{rg}A

Determinante cero no significa SI: estudia cada valor crítico con Gauss.

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