Original Academia
← Torna a la biblioteca← BibliotecaES
MultiplicacióÀlgebraMirallSistemes AB1 M²2 (A+B)²3 AB=BA4 det QP5 A⁻¹6 AB=07 A²=I8 M⁻¹9 X10 rg11 det A=012

RESUM DEL TEMA · FÓRMULES · 2N BATX · MATEMÀTIQUES

Matrius
inversa i sistemes

Una matriu no és un nombre: l'ordre importa. Respecta el costat on multipliques, comprova el determinant abans d'invertir i, si és zero, no t'aturis: compara rangs i decideix.

Toca un número i baixa a la seva fórmula. Arrossega una calculadora per l’esquema.

UNA CALCULADORAToca un número o arrossega'm per recórrer el taller de matrius i sistemes.
RESUM Nº 8TEMA 1 DEL LLIBRE
2n Batx · Tema 1PAU: equacions i rangs
ESCALA: cap · esquema, no a escala

1Producte de matrius

(m×n)⋅(n×p)=m×p(m\times n)\cdot(n\times p)=m\times pcij=∑kaik bkjc_{ij}=\sum_k a_{ik}\,b_{kj}

Columnes de la primera = files de la segona; sempre fila per columna.

encara no hi ha cap apunt amb l’explicació completa

2Potències i polinomis d'una matriu

M2=M⋅MM^2=M\cdot M(M−2I)2=M2−4M+4I(M-2I)^2=M^2-4M+4I

No elevis cada element; el nombre sempre va multiplicat per I.

→ explicació completa

3Quadrat d'una suma de matrius

(A+B)2=A2+AB+BA+B2(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2

Només és A²+2AB+B² si AB=BA, per exemple amb la identitat.

→ explicació completa

4Matrius que commuten

AB=BAAB=BA

Iguala els quatre elements dels dos productes i resol el sistema.

encara no hi ha cap apunt amb l’explicació completa

5Producte 3×2 per 2×3

Q3×2 P2×3: rg⁡(QP)≤2  ⇒  det⁡(QP)=0Q_{3\times2}\,P_{2\times3}:\ \operatorname{rg}(QP)\le 2 \;\Rightarrow\; \det(QP)=0

Aquesta 3×3 mai no és invertible, sigui quin sigui el paràmetre.

encara no hi ha cap apunt amb l’explicació completa

6Determinant i inversa 2×2

det⁡A=ad−bc\det A=ad-bcA−1=1ad−bc(d−b−ca)A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}

Només existeix si det A ≠ 0; comprova que AA⁻¹ = I.

encara no hi ha cap apunt amb l’explicació completa

7Si AB = 0 amb B ≠ 0

AB=0, B≠0  ⇒  det⁡A=0AB=0,\ B\neq0 \;\Rightarrow\; \det A=0

Si A fos invertible, multiplicant per A⁻¹ sortiria B = 0.

encara no hi ha cap apunt amb l’explicació completa

8Matriu que és la seva pròpia inversa

A=A−1  ⟺  A2=IA=A^{-1}\iff A^2=I

Imposa totes les equacions alhora; descarta candidats que només compleixen la diagonal.

encara no hi ha cap apunt amb l’explicació completa

9Inversa a partir d'una identitat

M B=I⇒M−1=BM\,B=I\Rightarrow M^{-1}=BM(M−4I)=−5I⇒M−1=4I−M5M(M-4I)=-5I\Rightarrow M^{-1}=\dfrac{4I-M}{5}

Deixa I sola a un costat i treu M factor comú.

encara no hi ha cap apunt amb l’explicació completa

10Equacions matricials

AX=B⇒X=A−1BAX=B\Rightarrow X=A^{-1}BXA=B⇒X=BA−1XA=B\Rightarrow X=BA^{-1}AX+B=C⇒X=A−1(C−B)AX+B=C\Rightarrow X=A^{-1}(C-B)

A⁻¹ al mateix costat que A; mai canviïs l'ordre del producte.

encara no hi ha cap apunt amb l’explicació completa

11Teorema de Rouché–Frobenius

rg⁡A=rg⁡(A∣B)=n: SCD\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}(A|B)=n:\ \mathrm{SCD}rg⁡A=rg⁡(A∣B)<n: SCI\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}(A|B)<n:\ \mathrm{SCI}rg⁡A≠rg⁡(A∣B): SI\operatorname{rg}A\neq\operatorname{rg}(A|B):\ \mathrm{SI}

n és el nombre d'incògnites; amb dues equacions i tres incògnites, mai SCD.

encara no hi ha cap apunt amb l’explicació completa

12Discussió amb un paràmetre

det⁡A≠0⇒SCD\det A\neq0\Rightarrow\mathrm{SCD}(0  0  0∣c), c≠0⇒SI(0\;0\;0\mid c),\ c\neq0\Rightarrow\mathrm{SI}n−rg⁡An-\operatorname{rg}A

Determinant zero no vol dir SI: estudia cada valor crític amb Gauss.

encara no hi ha cap apunt amb l’explicació completa