Original Academia Original Academia
Apuntes de FísicaBiblioteca

Campo gravitatorio · Capítulo 3

El campo gravitatorio

Una masa modifica el espacio que la rodea: cualquier otra masa que pongas en él recibe una fuerza. Esta propiedad del espacio es el campo gravitatorio.

  • 6 min de lectura
  • 1 figuras interactivas
  • 2 ejercicios resueltos

Campo gravitatorio en un punto

El campo gravitatorio indica la fuerza gravitatoria por unidad de masa que recibiría un cuerpo situado en ese punto:

g⃗=F⃗m \boxed{\vec g=\frac{\vec F}{m}}

Por tanto, si conocemos el campo, podemos calcular la fuerza sobre un cuerpo de masa mm:

F⃗=mg⃗ \boxed{\vec F=m\vec g}

El campo existe aunque no coloquemos ningún cuerpo. El cuerpo nos sirve para describir o medir el efecto del campo.

Como gg es inversamente proporcional a r2r^2, el campo aumenta a medida que nos acercamos al astro de masa MM, porque rr disminuye, y se hace más débil cuando nos alejamos de él. Por ejemplo, si la distancia rr se reduce a la mitad, el campo se hace cuatro veces más intenso.

Campo producido por una masa MM

A una distancia rr de una masa puntual MM, el módulo del campo es:

g=GMr2 \boxed{g=G\frac{M}{r^2}}

Su dirección y su sentido son los mismos que los de la fuerza sobre una masa situada en ese punto: apunta hacia MM.

Con el vector unitario definido antes:

g⃗=−GMr2 r^ \boxed{\vec g=-G\frac{M}{r^2}\,\hat{\boldsymbol r}}

El campo depende de la masa que lo crea y de la posición del punto, pero no de la masa del cuerpo que situemos en él. En cambio, la fuerza sobre ese cuerpo sí depende de su masa, porque F⃗=mg⃗\vec F=m\vec g.

Superposición: el campo creado por varias masas

Si varias masas crean campo en un mismo punto PP, el campo total es la suma vectorial de sus contribuciones:

g⃗total(P)=g⃗1(P)+g⃗2(P)+⋯ \boxed{\vec g_{\text{total}}(P)=\vec g_1(P)+\vec g_2(P)+\cdots}

Para cada masa MiM_i:

gi=GMiri2 g_i=G\frac{M_i}{r_i^2}

Aquí, rir_i es la distancia desde la masa MiM_i hasta el punto PP. Cada campo apunta desde PP hacia la masa que lo crea.

Procedimiento

  1. Dibuja las masas y el punto PP.
  2. Calcula la distancia de cada masa a PP.
  3. Dibuja en PP el vector campo producido por cada masa.
  4. Elige los ejes y los sentidos positivos.
  5. Calcula y suma las componentes de los campos.

Si trabajas en dos dimensiones:

gx=∑igix,gy=∑igiy g_x=\sum_i g_{ix}, \qquad g_y=\sum_i g_{iy}

Después:

∣g⃗total∣=gx2+gy2 |\vec g_{\text{total}}|=\sqrt{g_x^2+g_y^2}

No sumes directamente los módulos si los vectores tienen direcciones o sentidos diferentes. Como el campo es un vector, el resultado depende tanto de la intensidad de cada contribución como de su orientación.

Ejemplo resueltoDos masas y un punto entre ellas

Dos masas puntuales están separadas 6,00 km6{,}00\ \mathrm{km}:

  • MA=4,00×1012 kgM_A=4{,}00\times10^{12}\ \mathrm{kg}, a la izquierda.
  • MB=1,00×1012 kgM_B=1{,}00\times10^{12}\ \mathrm{kg}, a la derecha.

El punto PP está en el medio, a 3,00×103 m3{,}00\times10^3\ \mathrm{m} de cada una. Tomamos la derecha como sentido positivo.

El campo de AA apunta hacia la izquierda:

gAx=−GMAr2=−2,96×10−5 N/kg g_{Ax}=-G\frac{M_A}{r^2} =-2{,}96\times10^{-5}\ \mathrm{N/kg}

El campo de BB apunta hacia la derecha:

gBx=+GMBr2=+7,41×10−6 N/kg g_{Bx}=+G\frac{M_B}{r^2} =+7{,}41\times10^{-6}\ \mathrm{N/kg}

Por tanto:

gtotal,x=gAx+gBx g_{\text{total},x}=g_{Ax}+g_{Bx}
gtotal,x=−2,22×10−5 N/kg \boxed{g_{\text{total},x}=-2{,}22\times10^{-5}\ \mathrm{N/kg}}

El campo resultante apunta hacia la izquierda. Las distancias son iguales, pero AA tiene más masa; por eso su contribución es más intensa y determina el sentido del resultado.

Dos masas separadas 6 km, la de la izquierda cuatro veces mayor, y el punto P en medio: el campo de A, hacia la izquierda, es cuatro veces el de B, hacia la derecha; el total apunta a la izquierda con tres unidades.Dos masas separadas 6 km, la de la izquierda cuatro veces mayor, y el punto P en medio: el campo de A, hacia la izquierda, es cuatro veces el de B, hacia la derecha; el total apunta a la izquierda con tres unidades.
En el punto medio, g⃗A\vec g_A es cuatro veces g⃗B\vec g_B y de sentido contrario: el campo total apunta hacia AA.

Si las dos masas fueran iguales, en el punto medio los campos tendrían el mismo módulo y sentidos contrarios. En consecuencia, el campo total sería cero.

Ejemplo resueltoCampos en una recta y punto de campo nulo

Dos masas puntuales están situadas sobre el eje xx:

  • M1=9,00⋅1012 kgM_1=9,00\cdot10^{12}\ \text{kg}, en x=0x=0.
  • M2=1,00⋅1012 kgM_2=1,00\cdot10^{12}\ \text{kg}, en x=4,00⋅103 mx=4,00\cdot10^3\ \text{m}.

Buscamos: el campo en x=1,00⋅103 mx=1,00\cdot10^3\ \text{m} y el punto donde el campo total es nulo.

Paso 1. Dibujamos los sentidos

Tomamos positivo hacia la derecha:

M₁ ●────── P ──────────────────● M₂
          ← g₁      g₂ →

En PP, el campo de M1M_1 es negativo y el de M2M_2 es positivo.

Las distancias son:

r1=1,00⋅103 mr2=4,00⋅103 m−1,00⋅103 m=3,00⋅103 m. \begin{aligned} r_1&=1,00\cdot10^3\ \text{m}\\ r_2&=4,00\cdot10^3\ \text{m}-1,00\cdot10^3\ \text{m}\\ &=3,00\cdot10^3\ \text{m}. \end{aligned}

Paso 2. Calculamos cada campo

Por la ley de gravitación universal y la definición de campo, gi=GMi/ri2g_i=GM_i/r_i^2:

g1x=−(6,67⋅10−11 N⋅m2/kg2)(9,00⋅1012 kg)(1,00⋅103 m)2=−6,003⋅10−4 N/kg. \begin{aligned} g_{1x}&=- \frac{(6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2)(9,00\cdot10^{12}\ \text{kg})} {(1,00\cdot10^3\ \text{m})^2}\\ &=-6,003\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}. \end{aligned}
g2x=+(6,67⋅10−11 N⋅m2/kg2)(1,00⋅1012 kg)(3,00⋅103 m)2=+7,411⋅10−6 N/kg. \begin{aligned} g_{2x}&=+ \frac{(6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2)(1,00\cdot10^{12}\ \text{kg})} {(3,00\cdot10^3\ \text{m})^2}\\ &=+7,411\cdot10^{-6}\ \text{N/kg}. \end{aligned}

Paso 3. Aplicamos el principio de superposición

gx=g1x+g2x=−6,003⋅10−4 N/kg+7,411⋅10−6 N/kg=−5,93⋅10−4 N/kg. \begin{aligned} g_x&=g_{1x}+g_{2x}\\ &=-6,003\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}+7,411\cdot10^{-6}\ \text{N/kg}\\ &=\boxed{-5,93\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}}. \end{aligned}

Por tanto:

  • Módulo: 5,93⋅10−4 N/kg5,93\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}.
  • Dirección: el eje xx.
  • Sentido: hacia la izquierda.

Paso 4. Hallamos el punto nulo

Entre las masas, los campos se oponen. Para que la suma sea nula, los módulos deben ser iguales:

GM1x2=GM2(d−x)2. \frac{GM_1}{x^2}=\frac{GM_2}{(d-x)^2}.

Simplificamos GG, reordenamos y hacemos la raíz cuadrada con los dos signos:

(d−xx)2=M2M1⟹d−xx=±M2M1⟹x=d1±M2/M1. \left(\frac{d-x}{x}\right)^2=\frac{M_2}{M_1} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d-x}{x}=\pm\sqrt{\frac{M_2}{M_1}} \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{d}{1\pm\sqrt{M_2/M_1}}.
M2M1=1,00⋅1012 kg9,00⋅1012 kg=0,3333. \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}=\sqrt{\frac{1,00\cdot10^{12}\ \text{kg}}{9,00\cdot10^{12}\ \text{kg}}}=0,3333.
x+=4,00⋅103 m1+0,3333=3,00⋅103 m,x−=4,00⋅103 m1−0,3333=6,00⋅103 m. \begin{aligned} x_+&=\frac{4,00\cdot10^3\ \text{m}}{1+0,3333}=\boxed{3,00\cdot10^3\ \text{m}},\\ x_-&=\frac{4,00\cdot10^3\ \text{m}}{1-0,3333}=6,00\cdot10^3\ \text{m}. \end{aligned}

Como el punto debe estar entre las masas, 0<x<4,00⋅103 m0<x<4,00\cdot10^3\ \text{m}, la solución es x+x_+.

Comprobación: está entre las masas y queda a 1,00⋅103 m1,00\cdot10^3\ \text{m} de la masa pequeña. La masa grande es nueve veces mayor y queda tres veces más lejos: el factor 32=93^2=9 compensa la diferencia de masas.

Trampa: la raíz x−=6,00⋅103 mx_-=6,00\cdot10^3\ \text{m} queda fuera del intervalo. No es un punto de campo nulo: allí ambos campos apuntan hacia la izquierda.

Ejemplo resueltoSuperposición en el plano: componentes y ángulo

Calculamos el campo en el origen O=(0,0)O=(0,0), creado por dos masas puntuales:

  • M1=2,50⋅1013 kgM_1=2,50\cdot10^{13}\ \text{kg}, en (3,00⋅103, 4,00⋅103) m(3,00\cdot10^3,\ 4,00\cdot10^3)\ \text{m}.
  • M2=5,00⋅1013 kgM_2=5,00\cdot10^{13}\ \text{kg}, en (−3,00⋅103, 4,00⋅103) m(-3,00\cdot10^3,\ 4,00\cdot10^3)\ \text{m}.

Buscamos: las componentes, el módulo, la dirección y el sentido del campo resultante.

Paso 1. Distancias y sentidos

Las dos masas están a la misma distancia del origen:

r1=r2=(3,00⋅103 m)2+(4,00⋅103 m)2=5,00⋅103 m. \begin{aligned} r_1&=r_2\\ &=\sqrt{(3,00\cdot10^3\ \text{m})^2+ (4,00\cdot10^3\ \text{m})^2}\\ &=5,00\cdot10^3\ \text{m}. \end{aligned}

El campo de M1M_1 apunta hacia arriba y a la derecha; el de M2M_2, hacia arriba y a la izquierda.

Paso 2. Módulos de los campos individuales

g1=(6,67⋅10−11 N⋅m2/kg2)(2,50⋅1013 kg)(5,00⋅103 m)2=6,670⋅10−5 N/kg. \begin{aligned} g_1&=\frac{(6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2)(2,50\cdot10^{13}\ \text{kg})} {(5,00\cdot10^3\ \text{m})^2}\\ &=6,670\cdot10^{-5}\ \text{N/kg}. \end{aligned}
g2=(6,67⋅10−11 N⋅m2/kg2)(5,00⋅1013 kg)(5,00⋅103 m)2=1,334⋅10−4 N/kg. \begin{aligned} g_2&=\frac{(6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2)(5,00\cdot10^{13}\ \text{kg})} {(5,00\cdot10^3\ \text{m})^2}\\ &=1,334\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}. \end{aligned}

Paso 3. Componentes con signo

Los factores geométricos son 3/53/5 para las componentes horizontales y 4/54/5 para las verticales:

g1x=(6,670⋅10−5 N/kg)35=+4,002⋅10−5 N/kg, g_{1x}=(6,670\cdot10^{-5}\ \text{N/kg})\frac35 =+4,002\cdot10^{-5}\ \text{N/kg},
g1y=(6,670⋅10−5 N/kg)45=+5,336⋅10−5 N/kg, g_{1y}=(6,670\cdot10^{-5}\ \text{N/kg})\frac45 =+5,336\cdot10^{-5}\ \text{N/kg},
g2x=−(1,334⋅10−4 N/kg)35=−8,004⋅10−5 N/kg, g_{2x}=-(1,334\cdot10^{-4}\ \text{N/kg})\frac35 =-8,004\cdot10^{-5}\ \text{N/kg},
g2y=(1,334⋅10−4 N/kg)45=+1,067⋅10−4 N/kg. g_{2y}=(1,334\cdot10^{-4}\ \text{N/kg})\frac45 =+1,067\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}.

Paso 4. Sumamos por componentes

Por el principio de superposición:

gx=4,002⋅10−5 N/kg−8,004⋅10−5 N/kg=−4,002⋅10−5 N/kg, g_x=4,002\cdot10^{-5}\ \text{N/kg}-8,004\cdot10^{-5}\ \text{N/kg} =-4,002\cdot10^{-5}\ \text{N/kg},
gy=5,336⋅10−5 N/kg+1,067⋅10−4 N/kg=1,601⋅10−4 N/kg. g_y=5,336\cdot10^{-5}\ \text{N/kg}+1,067\cdot10^{-4}\ \text{N/kg} =1,601\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}.

Por tanto,

g⃗res=(−4,00⋅10−5 ı^+1,60⋅10−4 ȷ^) N/kg \boxed{ \vec g_{\mathrm{res}} =\left(-4,00\cdot10^{-5}\,\hat{\imath} +1,60\cdot10^{-4}\,\hat{\jmath}\right)\ \text{N/kg} }

Paso 5. Módulo y orientación

gres=(−4,002⋅10−5 N/kg)2+(1,601⋅10−4 N/kg)2=1,65⋅10−4 N/kg. \begin{aligned} g_{\mathrm{res}}&=\sqrt{(-4,002\cdot10^{-5}\ \text{N/kg})^2+(1,601\cdot10^{-4}\ \text{N/kg})^2}\\ &=\boxed{1,65\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}}. \end{aligned}

Como gx<0g_x<0 y gy>0g_y>0, el vector está en el segundo cuadrante. El ángulo respecto de +x+x, en sentido antihorario, es:

θ=180∘−arctan⁡(1,601⋅10−4 N/kg4,002⋅10−5 N/kg)=104∘. \theta= 180^\circ- \arctan\left( \frac{1,601\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}}{4,002\cdot10^{-5}\ \text{N/kg}} \right) =\boxed{104^\circ}.

Resultado: el campo tiene módulo 1,65⋅10−4 N/kg1,65\cdot10^{-4}\ \text{N/kg} y apunta hacia arriba y hacia la izquierda, con una orientación de 104∘104^\circ respecto de +x+x.

Comprobación: las componentes verticales se suman; las horizontales se oponen y domina la de la masa mayor, situada a la izquierda. El sentido obtenido concuerda con las posiciones de las masas.

Trampa: sumar g1+g2g_1+g_2 como si fueran números positivos daría un módulo incorrecto: los dos campos no son paralelos.

Practica

Ponte a prueba

Tipo PAU

1¿Dónde se anula el campo?

Dos masas están separadas 12,0 km12{,}0\ \mathrm{km}:

MA=1,60×1013 kg,xA=0 M_A=1{,}60\times10^{13}\ \mathrm{kg},\quad x_A=0
MB=4,00×1012 kg,xB=12,0 km \begin{gathered} M_B=4{,}00\times10^{12}\ \mathrm{kg},\\ x_B=12{,}0\ \mathrm{km} \end{gathered}
  1. a
    Calcula el campo total en el punto medio.
  2. b
    Halla el punto finito del eje xx donde el campo total es cero.
  3. c
    Explica por qué este punto queda más cerca de la masa más pequeña.
  4. d
    Justifica por qué no hay ningún punto de campo nulo a la izquierda de AA ni a la derecha de BB.
  5. e
    ¿Qué fuerza recibiría una masa de 7,00 kg7{,}00\ \mathrm{kg} situada en el punto de campo nulo?
Muestra la solución

a) Campo en el punto medio

El punto medio está a 6000 m6000\ \mathrm{m} de cada masa:

gA,x=−G1,60×101360002=−2,96444×10−5 N/kg \begin{aligned} g_{A,x}&=-G\frac{1{,}60\times10^{13}}{6000^2}\\ &=-2{,}96444\times10^{-5}\ \mathrm{N/kg} \end{aligned}
gB,x=+G4,00×101260002=+7,41111×10−6 N/kg \begin{aligned} g_{B,x}&=+G\frac{4{,}00\times10^{12}}{6000^2}\\ &=+7{,}41111\times10^{-6}\ \mathrm{N/kg} \end{aligned}
gx=−2,22×10−5 N/kg \boxed{g_x=-2{,}22\times10^{-5}\ \mathrm{N/kg}}

Apunta hacia AA, la masa más grande.

b) Posición del punto nulo

Entre las masas, los campos tienen sentidos contrarios. Igualamos los módulos:

GMAx2=GMB(12000−x)2 G\frac{M_A}{x^2} =G\frac{M_B}{(12000-x)^2}

Cancelamos GG y tomamos la raíz cuadrada:

x12000−x=MAMB=4=2 \frac{x}{12000-x} =\sqrt{\frac{M_A}{M_B}} =\sqrt{4}=2
x=2(12000−x) x=2(12000-x)
3x=24000 3x=24000
x=8,00×103 m \boxed{x=8{,}00\times10^3\ \mathrm{m}}

El punto está a 8,00 km8{,}00\ \mathrm{km} de AA y a 4,00 km4{,}00\ \mathrm{km} de BB.

c) ¿Por qué queda más cerca de la masa pequeña?

La masa pequeña crea un campo menos intenso a igual distancia. Para que iguale el campo de la masa grande, hay que situarse más cerca de ella. La menor distancia compensa la menor masa.

d) ¿Por qué no hay puntos nulos en el exterior?

A la izquierda de AA, ambos campos apuntan a la derecha. A la derecha de BB, ambos apuntan a la izquierda. Como tienen el mismo sentido, no pueden cancelarse.

e) Fuerza en el punto nulo

F⃗=mg⃗=7,00 0⃗ \vec F=m\vec g=7{,}00\,\vec 0
F⃗=0⃗ \boxed{\vec F=\vec 0}

Es nula la fuerza resultante, no cada una de las dos fuerzas gravitatorias.

Tipo PAU

2Tipo PAU — Un punto donde el campo se anula

Dos masas puntuales están fijas sobre el eje xx:

  • M1=1,60⋅1015 kgM_1=1,60\cdot10^{15}\ \text{kg}, en x=0x=0.
  • M2=4,00⋅1014 kgM_2=4,00\cdot10^{14}\ \text{kg}, en x=1,80⋅104 mx=1,80\cdot10^4\ \text{m}.

a) [1,25 puntos]

Calcula el campo resultante en el punto de coordenada x=6,00⋅103 mx=6,00\cdot10^3\ \text{m}, con su módulo, dirección y sentido. Calcula también la fuerza sobre una masa de prueba de 12,0 kg12,0\ \text{kg} situada en este punto.

b) [1,25 puntos]

Deduce y calcula la posición del punto de campo nulo. Si al resolver la igualdad de módulos aparecen dos raíces algebraicas, calcúlalas y justifica cuál es válida. Explica también por qué el campo no se puede anular en el exterior del segmento entre las masas.

Muestra la solución
  1. a
    Tomamos +x+x hacia la derecha. Las distancias desde el punto a las masas son:
r1=6,00⋅103 m, r_1=6,00\cdot10^3\ \text{m},
r2=1,80⋅104 m−6,00⋅103 m=1,20⋅104 m. r_2=1,80\cdot10^4\ \text{m}-6,00\cdot10^3\ \text{m} =1,20\cdot10^4\ \text{m}.

El primer campo apunta hacia la izquierda y el segundo hacia la derecha:

g1x=−(6,67⋅10−11 N⋅m2/kg2)(1,60⋅1015 kg)(6,00⋅103 m)2=−2,964⋅10−3 N/kg \begin{aligned} g_{1x}&=-\frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2) (1,60\cdot10^{15}\ \text{kg}) }{ (6,00\cdot10^3\ \text{m})^2 }\\ &=-2,964\cdot10^{-3}\ \text{N/kg} \end{aligned}
g2x=+(6,67⋅10−11 N⋅m2/kg2)(4,00⋅1014 kg)(1,20⋅104 m)2=+1,853⋅10−4 N/kg. \begin{aligned} g_{2x}&=+\frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2) (4,00\cdot10^{14}\ \text{kg}) }{ (1,20\cdot10^4\ \text{m})^2 }\\ &=+1,853\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}. \end{aligned}

Por el principio de superposición:

gx=g1x+g2x=−2,964⋅10−3 N/kg+1,853⋅10−4 N/kg=−2,78⋅10−3 N/kg. \begin{aligned} g_x&=g_{1x}+g_{2x}\\ &=-2,964\cdot10^{-3}\ \text{N/kg}+1,853\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}\\ &=\boxed{-2,78\cdot10^{-3}\ \text{N/kg}}. \end{aligned}

El módulo es 2,78⋅10−3 N/kg2,78\cdot10^{-3}\ \text{N/kg}, la dirección es el eje xx y el sentido es hacia la izquierda.

La fuerza es:

Fx=mgx=(12,0 kg)(−2,779⋅10−3 N/kg)=−3,34⋅10−2 N. \begin{aligned} F_x&=mg_x\\ &=(12,0\ \text{kg})(-2,779\cdot10^{-3}\ \text{N/kg})\\ &=\boxed{-3,34\cdot10^{-2}\ \text{N}}. \end{aligned}

También apunta hacia la izquierda.

  1. b
    Entre las masas, los campos se oponen. Si xx es la distancia a M1M_1 y dd la separación, la condición de campo nulo es:
GM1x2=GM2(d−x)2. \frac{GM_1}{x^2}=\frac{GM_2}{(d-x)^2}.

Esta igualdad también se puede obtener igualando las fuerzas sobre una misma masa de prueba:

GmM1x2=GmM2(d−x)2. \frac{GmM_1}{x^2}=\frac{GmM_2}{(d-x)^2}.

Simplificando y reorganizando:

(d−xx)2=M2M1. \left(\frac{d-x}{x}\right)^2=\frac{M_2}{M_1}.

Si mantenemos las dos raíces algebraicas:

d−xx=±M2M1⟹x=d1±M2/M1. \frac{d-x}{x}=\pm\sqrt{\frac{M_2}{M_1}} \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{d}{1\pm\sqrt{M_2/M_1}}.

El factor de masas vale:

M2M1=4,00⋅1014 kg1,60⋅1015 kg=0,500. \sqrt{\frac{M_2}{M_1}} = \sqrt{\frac{4,00\cdot10^{14}\ \text{kg}} {1,60\cdot10^{15}\ \text{kg}}} =0,500.

Las dos raíces son:

x+=1,80⋅104 m1+0,500=1,20⋅104 m, x_+= \frac{1,80\cdot10^4\ \text{m}}{1+0,500} =\boxed{1,20\cdot10^4\ \text{m}},
x−=1,80⋅104 m1−0,500=3,60⋅104 m. x_-= \frac{1,80\cdot10^4\ \text{m}}{1-0,500} =\boxed{3,60\cdot10^4\ \text{m}}.

La válida es x=1,20⋅104 mx=1,20\cdot10^4\ \text{m}, porque está entre las masas y allí los campos tienen sentidos opuestos.

Esquema de sentidos:

Entre las masas:
M₁ ●────────────P────────● M₂
                ← g₁  g₂ →

A la derecha de ambas:
M₁ ●────────────────────● M₂────────● Q
                                    ← g₁
                                    ← g₂

La raíz x=3,60⋅104 mx=3,60\cdot10^4\ \text{m} está a la derecha de ambas masas. Allí los módulos son iguales, pero los vectores apuntan ambos hacia la izquierda: se suman, no se anulan.

A la izquierda de ambas masas, los dos campos apuntan hacia la derecha. Por tanto, tampoco puede haber campo nulo.

Comprobación: el punto válido está a 1,20⋅104 m1,20\cdot10^4\ \text{m} de la masa grande y a 6,00⋅103 m6,00\cdot10^3\ \text{m} de la pequeña. La masa grande es cuatro veces mayor y está al doble de distancia: el cuadrado de la distancia compensa la diferencia de masas.

Trampa: una solución de la igualdad de módulos no es necesariamente una solución de la condición vectorial g⃗res=0⃗\vec g_{\mathrm{res}}=\vec 0.

Pauta orientativa — 2,5 puntos

Apartado Paso valorado Puntos
a) Distancias y sentidos correctos 0,25
Expresión, sustitución y valor del primer campo 0,25
Expresión, sustitución y valor del segundo campo 0,25
Superposición, resultado e interpretación del vector 0,25
Expresión, sustitución y resultado de la fuerza 0,25
b) Igualdad de campos o fuerzas, justificada por los sentidos 0,25
Simplificación y ecuación de distancias 0,25
Obtención algebraica de las dos ramas 0,25
Sustitución y cálculo de las dos raíces 0,25
Selección de la raíz válida y justificación de la exclusión exterior 0,25