Camp gravitatori · Capítol 4

El camp gravitatori dels planetes

Des de fora, un planeta es comporta com si tota la seva massa fos al centre. Per això el camp depèn de la distància al centre, no de l’altura.

4 min de lectura
1 figures interactives
1 exercicis resolts

El camp gravitatori a la superfície: $g=GM/R^2$

Un cos de massa $m$ situat a la superfície del planeta rep la força que dona la llei de gravitació universal, $F=GMm/R^2$ . Aquesta força és el seu pes, $F=mg$ . Igualem les dues expressions:

mg=\frac{GMm}{R^2}

La massa $m$ es cancel·la:

\boxed{g=\frac{GM}{R^2}}

Per a la Terra:

g_0=\frac{3{,}986\cdot10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}}{(6{,}371\cdot10^6\ \mathrm{m})^2} =\frac{3{,}986\cdot10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}}{4{,}059\cdot10^{13}\ \mathrm{m^2}} \simeq9{,}82\ \mathrm{m/s^2}

La relació també es fa servir a l’inrevés: si coneixes $g_0$ i $R$ , obtens $GM=g_0R^2$ . A una distància $r$ del centre, el mateix raonament dona $g=GM/r^2$ .

Unitats i relació amb l’acceleració

El camp es mesura en:

\mathrm{N/kg}

Com que $1\ \mathrm{N}=1\ \mathrm{kg\,m/s^2}$ , també podem expressar-lo en:

\mathrm{m/s^2}

Si la gravetat és l’única força que actua, la segona llei de Newton dona:

m\vec a=\vec F=m\vec g \qquad\Rightarrow\qquad \boxed{\vec a=\vec g}

Per això, en les mateixes condicions i sense resistència de l’aire, dos cossos de masses diferents tenen la mateixa acceleració gravitatòria. El cos més massiu rep més força, però també té més massa; en calcular $F/m$ , aquests dos efectes es compensen.

Distància al centre i camp gravitatori

\boxed{ \begin{aligned} r&=R+h\\ g&=\frac{GM}{r^2}\\ r&=\sqrt{\frac{GM}{g}} \end{aligned}}

Lletres i unitats SI

$r$ : distància al centre de l’astre, en m.
$R$ : radi de l’astre, en m.
$h$ : altura sobre la superfície, en m.
$M$ : massa de l’astre, en kg.
$g$ : mòdul del camp gravitatori, en N/kg, equivalent a m/s².

Quan es fa servir: fora d’un astre esfèric, o per a una massa puntual. La relació del camp s’obté igualant el pes i la força gravitatòria: $mg=GMm/r^2$ .

Quan NO: a l’interior d’un astre no pots posar, en general, tota la seva massa $M$ en aquesta expressió.

Error més típic: posar l’altura $h$ al denominador en lloc de $r=R+h$ .

Exemple resoltCamp a 400 km sobre la Terra

Considerem:

M_{\mathrm T}=5{,}97\times10^{24}\ \mathrm{kg}

R_{\mathrm T}=6{,}37\times10^6\ \mathrm{m}, \qquad h=4{,}00\times10^5\ \mathrm{m}

Primer, calculem la distància al centre:

r=R_{\mathrm T}+h =6{,}77\times10^6\ \mathrm{m}

Després, calculem el camp:

g=\frac{GM_{\mathrm T}}{r^2} =\frac{(6{,}67\times10^{-11})(5{,}97\times10^{24})} {(6{,}77\times10^6)^2}

\boxed{g\approx8{,}69\ \mathrm{N/kg}}

El camp apunta cap al centre de la Terra.

Si en aquest punt hi ha un cos de $2{,}00\ \mathrm{kg}$ :

F=mg=2{,}00\cdot8{,}69

\boxed{F\approx17{,}4\ \mathrm{N}}

La força també apunta cap al centre terrestre. El camp és menor que a la superfície perquè la distància al centre és més gran.

Exemple resoltCamp a la superfície, pes i altura

Un cos amb distribució de massa esfèricament simètrica té radi $R=2,00\cdot10^6\ \text{m}$ i densitat mitjana $\rho=3,00\cdot10^3\ \text{kg/m}^3$ . Considera un objecte de massa $m=60,0\ \text{kg}$ .

Busquem: el camp i el pes a la superfície i a $h=1,00\cdot10^6\ \text{m}$ , i l’altura on el camp val $0,500\ \text{N/kg}$ .

Pas 1. Obtenim la massa del cos esfèric

\begin{aligned} M&=\rho\frac43\pi R^3\\ &=\left(3,00\cdot10^3\ \frac{\text{kg}}{\text{m}^3}\right) \frac43\pi(2,00\cdot10^6\ \text{m})^3\\ &=1,005\cdot10^{23}\ \text{kg}. \end{aligned}

Pas 2. Deduïm i calculem el camp superficial

Per la llei de gravitació universal i la definició de camp:

\begin{aligned} F_g&=\frac{GMm}{R^2}\\ &=mg_0\\ \Longrightarrow\quad g_0&=\frac{GM}{R^2}. \end{aligned}

\begin{aligned} g_0&=\frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2) (1,005\cdot10^{23}\ \text{kg}) }{ (2,00\cdot10^6\ \text{m})^2 }\\ &=\boxed{1,68\ \text{N/kg}}. \end{aligned}

El camp apunta radialment cap al centre.

Pas 3. Calculem el camp a l’altura indicada

Primer, la distància al centre:

\begin{aligned} r&=R+h\\ &=2,00\cdot10^6\ \text{m}+1,00\cdot10^6\ \text{m}\\ &=3,00\cdot10^6\ \text{m}. \end{aligned}

\begin{aligned} g(h)&=\frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2) (1,005\cdot10^{23}\ \text{kg}) }{ (3,00\cdot10^6\ \text{m})^2 }\\ &=\boxed{0,745\ \text{N/kg}}. \end{aligned}

Pas 4. Calculem els pesos

Utilitzem els camps calculats amb la massa sense arrodonir; escrivim els valors intermedis amb quatre xifres significatives:

\begin{aligned} P_0&=mg_0\\ &=(60,0\ \text{kg})(1,676\ \text{N/kg})\\ &=\boxed{101\ \text{N}}. \end{aligned}

\begin{aligned} P_h&=mg(h)\\ &=(60,0\ \text{kg})(0,7450\ \text{N/kg})\\ &=\boxed{44,7\ \text{N}}. \end{aligned}

Si deixem l’objecte lliure i només actua la gravetat, la segona llei de Newton dona:

m\vec g=m\vec a\quad\Longrightarrow\quad\vec a=\vec g.

A aquella altura, l’acceleració seria $0,745\ \text{m/s}^2$ , cap al centre.

Pas 5. Trobem l’altura on $g=0,500\ \text{N/kg}$

g=\frac{GM}{r^2} \quad\Longrightarrow\quad r=\sqrt{\frac{GM}{g}}.

\begin{aligned} r&=\sqrt{ \frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2) (1,005\cdot10^{23}\ \text{kg}) }{ 0,500\ \text{N/kg} }}\\ &=3,662\cdot10^6\ \text{m}. \end{aligned}

\begin{aligned} h&=r-R\\ &=3,662\cdot10^6\ \text{m}-2,00\cdot10^6\ \text{m}\\ &=\boxed{1,66\cdot10^6\ \text{m}}. \end{aligned}

Comprovació: en pujar, el camp i el pes disminueixen, però la massa continua sent $60,0\ \text{kg}$ . Per tenir un camp inferior a $0,745\ \text{N/kg}$ , cal una altura superior a $1,00\cdot10^6\ \text{m}$ , com hem obtingut.

Parany: el resultat demanat era $h$ , no $r$ .

ComprovaComprovacions abans de donar una resposta a la PAU

Distància: has fet servir la distància entre centres? Si et donen una altura, has calculat $R+h$ ?
Unitats: has passat les masses a kg i les distàncies a m?
Magnitud demanada: et demanen força, en N, o camp, en N/kg?
Direcció i sentit: has indicat cap on apunta el vector?
Superposició: has sumat vectors o components, i no només mòduls?
Coherència: si augmenta la distància i la resta no canvia, la força i el camp han de disminuir.

Les quatre expressions clau

\boxed{F=G\frac{Mm}{r^2}} \qquad \boxed{g=G\frac{M}{r^2}}

\boxed{\vec F=m\vec g} \qquad \boxed{\vec g_{\text{total}}=\sum_i\vec g_i}

La idea central és aquesta: les masses creen camp; el camp determina la força sobre un cos; i la força resultant determina la seva acceleració.

Practica

Posa’t a prova

Bàsic

1L’altura no és la distància al centre

Un planeta té massa $6{,}00\times10^{23}\ \mathrm{kg}$ i radi $3{,}00\times10^6\ \mathrm{m}$ . Un cos de $80{,}0\ \mathrm{kg}$ es troba a $1\,000\ \mathrm{km}$ sobre la superfície.

a
Fes un esquema i calcula la distància del cos al centre del planeta.
b
Calcula la força gravitatòria sobre el cos.
c
Calcula la força que rebria el mateix cos a la superfície.
d
Calcula la força quan l’altura sobre la superfície és igual al radi del planeta. Compara-la amb la força a la superfície.
e
Un alumne fa servir $r=1{,}00\times10^6\ \mathrm{m}$ a l’apartat b. Explica l’error i determina per quin factor sobreestima la força.

Mostra la solució

a) Distància correcta

Primer convertim l’altura:

h=1000\ \mathrm{km}=1{,}00\times10^6\ \mathrm{m}

L’esquema radial és: centre → superfície → cos. Així:

r=R+h=3{,}00\times10^6+1{,}00\times10^6

\boxed{r=4{,}00\times10^6\ \mathrm{m}}

b) Força a aquesta altura

\begin{aligned} F&=G\frac{Mm}{r^2}\\ &=6{,}67\times10^{-11} \frac{(6{,}00\times10^{23})(80{,}0)} {(4{,}00\times10^6)^2} \end{aligned}

\boxed{F=2{,}00\times10^2\ \mathrm{N}}

Apunta cap al centre del planeta.

c) Força a la superfície

Ara $r=R$ :

F_0=6{,}67\times10^{-11} \frac{(6{,}00\times10^{23})(80{,}0)} {(3{,}00\times10^6)^2}

\boxed{F_0=356\ \mathrm{N}}

d) Altura igual al radi

Si $h=R$ , la distància al centre és $2R$ :

F_{h=R}=\frac{F_0}{4} =\boxed{88{,}9\ \mathrm{N}}

La força és una quarta part de la superficial perquè la distància al centre s’ha duplicat.

e) Error de fer servir només l’altura

La distància incorrecta és quatre vegades més petita que la correcta:

\begin{aligned} \frac{F_{\text{errònia}}}{F_{\text{correcta}}} &=\left(\frac{r_{\text{correcta}}}{r_{\text{errònia}}}\right)^2\\ &=\left(\frac{4{,}00\times10^6}{1{,}00\times10^6}\right)^2 =\boxed{16} \end{aligned}

L’alumne sobreestima la força per un factor de 16 perquè ha mesurat des de la superfície, no des del centre.