Camp gravitatori · Capítol 3

El camp gravitatori

Una massa modifica l’espai que l’envolta: qualsevol altra massa que hi posis rep una força. Aquesta propietat de l’espai és el camp gravitatori.

6 min de lectura
1 figures interactives
2 exercicis resolts

Camp gravitatori en un punt

El camp gravitatori indica la força gravitatòria per unitat de massa que rebria un cos situat en aquell punt:

\boxed{\vec g=\frac{\vec F}{m}}

Per tant, si coneixem el camp, podem calcular la força sobre un cos de massa $m$ :

\boxed{\vec F=m\vec g}

El camp existeix encara que no hi posem cap cos. El cos ens serveix per descriure o mesurar l’efecte del camp.

Com que $g$ és inversament proporcional a $r^2$ , el camp augmenta a mesura que ens acostem a l'astre de massa $M$ , perquè $r$ disminueix, i es fa més feble quan ens n'allunyem. Per exemple, si la distància $r$ es redueix a la meitat, el camp es fa quatre vegades més intens.

Camp produït per una massa $M$

A una distància $r$ d’una massa puntual $M$ , el mòdul del camp és:

\boxed{g=G\frac{M}{r^2}}

La seva direcció i el seu sentit són els mateixos que els de la força sobre una massa situada en aquell punt: apunta cap a $M$ .

Amb el vector unitari definit abans:

\boxed{\vec g=-G\frac{M}{r^2}\,\hat{\boldsymbol r}}

El camp depèn de la massa que el crea i de la posició del punt, però no de la massa del cos que hi situem. En canvi, la força sobre aquest cos sí que depèn de la seva massa, perquè $\vec F=m\vec g$ .

Superposició: el camp creat per diverses masses

Si diverses masses creen camp en un mateix punt $P$ , el camp total és la suma vectorial de les seves contribucions:

\boxed{\vec g_{\text{total}}(P)=\vec g_1(P)+\vec g_2(P)+\cdots}

Per a cada massa $M_i$ :

g_i=G\frac{M_i}{r_i^2}

Aquí, $r_i$ és la distància des de la massa $M_i$ fins al punt $P$ . Cada camp apunta des de $P$ cap a la massa que el crea.

Procediment

Dibuixa les masses i el punt $P$ .
Calcula la distància de cada massa a $P$ .
Dibuixa a $P$ el vector camp produït per cada massa.
Tria els eixos i els sentits positius.
Calcula i suma les components dels camps.

Si treballes en dues dimensions:

g_x=\sum_i g_{ix}, \qquad g_y=\sum_i g_{iy}

Després:

|\vec g_{\text{total}}|=\sqrt{g_x^2+g_y^2}

No sumis directament els mòduls si els vectors tenen direccions o sentits diferents. Com que el camp és un vector, el resultat depèn tant de la intensitat de cada contribució com de la seva orientació.

Exemple resoltDues masses i un punt entre elles

Dues masses puntuals estan separades $6{,}00\ \mathrm{km}$ :

$M_A=4{,}00\times10^{12}\ \mathrm{kg}$ , a l’esquerra.
$M_B=1{,}00\times10^{12}\ \mathrm{kg}$ , a la dreta.

El punt $P$ és al mig, a $3{,}00\times10^3\ \mathrm{m}$ de cadascuna. Prenem la dreta com a sentit positiu.

El camp d’ $A$ apunta cap a l’esquerra:

g_{Ax}=-G\frac{M_A}{r^2} =-2{,}96\times10^{-5}\ \mathrm{N/kg}

El camp de $B$ apunta cap a la dreta:

g_{Bx}=+G\frac{M_B}{r^2} =+7{,}41\times10^{-6}\ \mathrm{N/kg}

Per tant:

g_{\text{total},x}=g_{Ax}+g_{Bx}

\boxed{g_{\text{total},x}=-2{,}22\times10^{-5}\ \mathrm{N/kg}}

El camp resultant apunta cap a l’esquerra. Les distàncies són iguals, però $A$ té més massa; per això la seva contribució és més intensa i determina el sentit del resultat.

Dues masses separades 6 km, la de l'esquerra quatre vegades més gran, i el punt P al mig: el camp d'A, cap a l'esquerra, és quatre vegades el de B, cap a la dreta; el total apunta a l'esquerra amb tres unitats. — Al punt mig, $\vec g_A$ és quatre vegades $\vec g_B$ i de sentit contrari: el camp total apunta cap a $A$ .

Si les dues masses fossin iguals, al punt mig els camps tindrien el mateix mòdul i sentits contraris. En conseqüència, el camp total seria zero.

Exemple resoltCamps en una recta i punt de camp nul

Dues masses puntuals estan situades sobre l’eix $x$ :

$M_1=9,00\cdot10^{12}\ \text{kg}$ , a $x=0$ .
$M_2=1,00\cdot10^{12}\ \text{kg}$ , a $x=4,00\cdot10^3\ \text{m}$ .

Busquem: el camp a $x=1,00\cdot10^3\ \text{m}$ i el punt on el camp total és nul.

Pas 1. Dibuixem els sentits

Prenem positiu cap a la dreta:

M₁ ●────── P ──────────────────● M₂
          ← g₁      g₂ →

A $P$ , el camp de $M_1$ és negatiu i el de $M_2$ és positiu.

Les distàncies són:

\begin{aligned} r_1&=1,00\cdot10^3\ \text{m}\\ r_2&=4,00\cdot10^3\ \text{m}-1,00\cdot10^3\ \text{m}\\ &=3,00\cdot10^3\ \text{m}. \end{aligned}

Pas 2. Calculem cada camp

Per la llei de gravitació universal i la definició de camp, $g_i=GM_i/r_i^2$ :

\begin{aligned} g_{1x}&=- \frac{(6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2)(9,00\cdot10^{12}\ \text{kg})} {(1,00\cdot10^3\ \text{m})^2}\\ &=-6,003\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}. \end{aligned}

\begin{aligned} g_{2x}&=+ \frac{(6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2)(1,00\cdot10^{12}\ \text{kg})} {(3,00\cdot10^3\ \text{m})^2}\\ &=+7,411\cdot10^{-6}\ \text{N/kg}. \end{aligned}

Pas 3. Apliquem el principi de superposició

\begin{aligned} g_x&=g_{1x}+g_{2x}\\ &=-6,003\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}+7,411\cdot10^{-6}\ \text{N/kg}\\ &=\boxed{-5,93\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}}. \end{aligned}

Per tant:

Mòdul: $5,93\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}$ .
Direcció: l’eix $x$ .
Sentit: cap a l’esquerra.

Pas 4. Trobem el punt nul

Entre les masses, els camps s’oposen. Perquè la suma sigui nul·la, els mòduls han de ser iguals:

\frac{GM_1}{x^2}=\frac{GM_2}{(d-x)^2}.

Simplifiquem $G$ , reordenem i fem l’arrel quadrada amb els dos signes:

\left(\frac{d-x}{x}\right)^2=\frac{M_2}{M_1} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d-x}{x}=\pm\sqrt{\frac{M_2}{M_1}} \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{d}{1\pm\sqrt{M_2/M_1}}.

\sqrt{\frac{M_2}{M_1}}=\sqrt{\frac{1,00\cdot10^{12}\ \text{kg}}{9,00\cdot10^{12}\ \text{kg}}}=0,3333.

\begin{aligned} x_+&=\frac{4,00\cdot10^3\ \text{m}}{1+0,3333}=\boxed{3,00\cdot10^3\ \text{m}},\\ x_-&=\frac{4,00\cdot10^3\ \text{m}}{1-0,3333}=6,00\cdot10^3\ \text{m}. \end{aligned}

Com que el punt ha de ser entre les masses, $0<x<4,00\cdot10^3\ \text{m}$ , la solució és $x_+$ .

Comprovació: és entre les masses i queda a $1,00\cdot10^3\ \text{m}$ de la massa petita. La massa gran és nou vegades més gran i queda tres vegades més lluny: el factor $3^2=9$ compensa la diferència de masses.

Parany: l’arrel $x_-=6,00\cdot10^3\ \text{m}$ queda fora de l’interval. No és un punt de camp nul: allà tots dos camps apunten cap a l’esquerra.

Exemple resoltSuperposició en el pla: components i angle

Calculem el camp a l’origen $O=(0,0)$ , creat per dues masses puntuals:

$M_1=2,50\cdot10^{13}\ \text{kg}$ , a $(3,00\cdot10^3,\ 4,00\cdot10^3)\ \text{m}$ .
$M_2=5,00\cdot10^{13}\ \text{kg}$ , a $(-3,00\cdot10^3,\ 4,00\cdot10^3)\ \text{m}$ .

Busquem: les components, el mòdul, la direcció i el sentit del camp resultant.

Pas 1. Distàncies i sentits

Les dues masses són a la mateixa distància de l’origen:

\begin{aligned} r_1&=r_2\\ &=\sqrt{(3,00\cdot10^3\ \text{m})^2+ (4,00\cdot10^3\ \text{m})^2}\\ &=5,00\cdot10^3\ \text{m}. \end{aligned}

El camp de $M_1$ apunta amunt i a la dreta; el de $M_2$ , amunt i a l’esquerra.

Pas 2. Mòduls dels camps individuals

\begin{aligned} g_1&=\frac{(6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2)(2,50\cdot10^{13}\ \text{kg})} {(5,00\cdot10^3\ \text{m})^2}\\ &=6,670\cdot10^{-5}\ \text{N/kg}. \end{aligned}

\begin{aligned} g_2&=\frac{(6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2)(5,00\cdot10^{13}\ \text{kg})} {(5,00\cdot10^3\ \text{m})^2}\\ &=1,334\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}. \end{aligned}

Pas 3. Components amb signe

Els factors geomètrics són $3/5$ per a les components horitzontals i $4/5$ per a les verticals:

g_{1x}=(6,670\cdot10^{-5}\ \text{N/kg})\frac35 =+4,002\cdot10^{-5}\ \text{N/kg},

g_{1y}=(6,670\cdot10^{-5}\ \text{N/kg})\frac45 =+5,336\cdot10^{-5}\ \text{N/kg},

g_{2x}=-(1,334\cdot10^{-4}\ \text{N/kg})\frac35 =-8,004\cdot10^{-5}\ \text{N/kg},

g_{2y}=(1,334\cdot10^{-4}\ \text{N/kg})\frac45 =+1,067\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}.

Pas 4. Sumem per components

Pel principi de superposició:

g_x=4,002\cdot10^{-5}\ \text{N/kg}-8,004\cdot10^{-5}\ \text{N/kg} =-4,002\cdot10^{-5}\ \text{N/kg},

g_y=5,336\cdot10^{-5}\ \text{N/kg}+1,067\cdot10^{-4}\ \text{N/kg} =1,601\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}.

Per tant,

\boxed{ \vec g_{\mathrm{res}} =\left(-4,00\cdot10^{-5}\,\hat{\imath} +1,60\cdot10^{-4}\,\hat{\jmath}\right)\ \text{N/kg} }

Pas 5. Mòdul i orientació

\begin{aligned} g_{\mathrm{res}}&=\sqrt{(-4,002\cdot10^{-5}\ \text{N/kg})^2+(1,601\cdot10^{-4}\ \text{N/kg})^2}\\ &=\boxed{1,65\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}}. \end{aligned}

Com que $g_x<0$ i $g_y>0$ , el vector és al segon quadrant. L’angle respecte de $+x$ , en sentit antihorari, és:

\theta= 180^\circ- \arctan\left( \frac{1,601\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}}{4,002\cdot10^{-5}\ \text{N/kg}} \right) =\boxed{104^\circ}.

Resultat: el camp té mòdul $1,65\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}$ i apunta amunt i cap a l’esquerra, amb una orientació de $104^\circ$ respecte de $+x$ .

Comprovació: les components verticals se sumen; les horitzontals s’oposen i domina la de la massa més gran, situada a l’esquerra. El sentit obtingut concorda amb les posicions de les masses.

Parany: sumar $g_1+g_2$ com si fossin nombres positius donaria un mòdul incorrecte: els dos camps no són paral·lels.

Practica

Posa’t a prova

Tipus PAU

1On s’anul·la el camp?

Dues masses estan separades $12{,}0\ \mathrm{km}$ :

M_A=1{,}60\times10^{13}\ \mathrm{kg},\quad x_A=0

\begin{gathered} M_B=4{,}00\times10^{12}\ \mathrm{kg},\\ x_B=12{,}0\ \mathrm{km} \end{gathered}

a
Calcula el camp total al punt mig.
b
Troba el punt finit de l’eix $x$ on el camp total és zero.
c
Explica per què aquest punt queda més a prop de la massa més petita.
d
Justifica per què no hi ha cap punt de camp nul a l’esquerra d’ $A$ ni a la dreta de $B$ .
e
Quina força rebria una massa de $7{,}00\ \mathrm{kg}$ situada al punt de camp nul?

Mostra la solució

a) Camp al punt mig

El punt mig és a $6000\ \mathrm{m}$ de cada massa:

\begin{aligned} g_{A,x}&=-G\frac{1{,}60\times10^{13}}{6000^2}\\ &=-2{,}96444\times10^{-5}\ \mathrm{N/kg} \end{aligned}

\begin{aligned} g_{B,x}&=+G\frac{4{,}00\times10^{12}}{6000^2}\\ &=+7{,}41111\times10^{-6}\ \mathrm{N/kg} \end{aligned}

\boxed{g_x=-2{,}22\times10^{-5}\ \mathrm{N/kg}}

Apunta cap a $A$ , la massa més gran.

b) Posició del punt nul

Entre les masses, els camps tenen sentits contraris. Igualem els mòduls:

G\frac{M_A}{x^2} =G\frac{M_B}{(12000-x)^2}

Cancel·lem $G$ i prenem l’arrel quadrada:

\frac{x}{12000-x} =\sqrt{\frac{M_A}{M_B}} =\sqrt{4}=2

x=2(12000-x)

3x=24000

\boxed{x=8{,}00\times10^3\ \mathrm{m}}

El punt és a $8{,}00\ \mathrm{km}$ d’ $A$ i a $4{,}00\ \mathrm{km}$ de $B$ .

c) Per què queda més a prop de la massa petita?

La massa petita crea un camp menys intens a igual distància. Perquè iguali el camp de la massa gran, cal situar-se més a prop seu. La menor distància compensa la menor massa.

d) Per què no hi ha punts nuls a l’exterior?

A l’esquerra d’ $A$ , tots dos camps apunten a la dreta. A la dreta de $B$ , tots dos apunten a l’esquerra. Com que tenen el mateix sentit, no poden cancel·lar-se.

e) Força al punt nul

\vec F=m\vec g=7{,}00\,\vec 0

\boxed{\vec F=\vec 0}

És nul·la la força resultant, no cadascuna de les dues forces gravitatòries.

Tipus PAU

2Tipus PAU — Un punt on el camp s’anul·la

Dues masses puntuals estan fixes sobre l’eix $x$ :

$M_1=1,60\cdot10^{15}\ \text{kg}$ , a $x=0$ .
$M_2=4,00\cdot10^{14}\ \text{kg}$ , a $x=1,80\cdot10^4\ \text{m}$ .

a) [1,25 punts]

Calcula el camp resultant al punt de coordenada

x=6,00\cdot10^3\ \text{m}

, amb el seu mòdul, direcció i sentit. Calcula també la força sobre una massa de prova de

12,0\ \text{kg}

situada en aquest punt.

b) [1,25 punts]

Dedueix i calcula la posició del punt de camp nul. Si en resoldre la igualtat de mòduls apareixen dues arrels algebraiques, calcula-les i justifica quina és vàlida. Explica també per què el camp no es pot anul·lar a l’exterior del segment entre les masses.

Mostra la solució

a
Prenem $+x$ cap a la dreta. Les distàncies des del punt a les masses són:

r_1=6,00\cdot10^3\ \text{m},

r_2=1,80\cdot10^4\ \text{m}-6,00\cdot10^3\ \text{m} =1,20\cdot10^4\ \text{m}.

El primer camp apunta cap a l’esquerra i el segon cap a la dreta:

\begin{aligned} g_{1x}&=-\frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2) (1,60\cdot10^{15}\ \text{kg}) }{ (6,00\cdot10^3\ \text{m})^2 }\\ &=-2,964\cdot10^{-3}\ \text{N/kg} \end{aligned}

\begin{aligned} g_{2x}&=+\frac{ (6,67\cdot10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2) (4,00\cdot10^{14}\ \text{kg}) }{ (1,20\cdot10^4\ \text{m})^2 }\\ &=+1,853\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}. \end{aligned}

Pel principi de superposició:

\begin{aligned} g_x&=g_{1x}+g_{2x}\\ &=-2,964\cdot10^{-3}\ \text{N/kg}+1,853\cdot10^{-4}\ \text{N/kg}\\ &=\boxed{-2,78\cdot10^{-3}\ \text{N/kg}}. \end{aligned}

El mòdul és $2,78\cdot10^{-3}\ \text{N/kg}$ , la direcció és l’eix $x$ i el sentit és cap a l’esquerra.

La força és:

\begin{aligned} F_x&=mg_x\\ &=(12,0\ \text{kg})(-2,779\cdot10^{-3}\ \text{N/kg})\\ &=\boxed{-3,34\cdot10^{-2}\ \text{N}}. \end{aligned}

També apunta cap a l’esquerra.

b
Entre les masses, els camps s’oposen. Si $x$ és la distància a $M_1$ i $d$ la separació, la condició de camp nul és:

\frac{GM_1}{x^2}=\frac{GM_2}{(d-x)^2}.

Aquesta igualtat també es pot obtenir igualant les forces sobre una mateixa massa de prova:

\frac{GmM_1}{x^2}=\frac{GmM_2}{(d-x)^2}.

Simplificant i reorganitzant:

\left(\frac{d-x}{x}\right)^2=\frac{M_2}{M_1}.

Si mantenim les dues arrels algebraiques:

\frac{d-x}{x}=\pm\sqrt{\frac{M_2}{M_1}} \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{d}{1\pm\sqrt{M_2/M_1}}.

El factor de masses val:

\sqrt{\frac{M_2}{M_1}} = \sqrt{\frac{4,00\cdot10^{14}\ \text{kg}} {1,60\cdot10^{15}\ \text{kg}}} =0,500.

Les dues arrels són:

x_+= \frac{1,80\cdot10^4\ \text{m}}{1+0,500} =\boxed{1,20\cdot10^4\ \text{m}},

x_-= \frac{1,80\cdot10^4\ \text{m}}{1-0,500} =\boxed{3,60\cdot10^4\ \text{m}}.

La vàlida és $x=1,20\cdot10^4\ \text{m}$ , perquè és entre les masses i allà els camps tenen sentits oposats.

Esquema de sentits:

Entre les masses:
M₁ ●────────────P────────● M₂
                ← g₁  g₂ →

A la dreta de totes dues:
M₁ ●────────────────────● M₂────────● Q
                                    ← g₁
                                    ← g₂

L’arrel $x=3,60\cdot10^4\ \text{m}$ és a la dreta de totes dues masses. Allà els mòduls són iguals, però els vectors apunten tots dos cap a l’esquerra: se sumen, no s’anul·len.

A l’esquerra de totes dues masses, els dos camps apunten cap a la dreta. Per tant, tampoc no hi pot haver camp nul.

Comprovació: el punt vàlid és a $1,20\cdot10^4\ \text{m}$ de la massa gran i a $6,00\cdot10^3\ \text{m}$ de la petita. La massa gran és quatre vegades més gran i queda el doble de lluny: el quadrat de la distància compensa la diferència de masses.

Parany: una solució de la igualtat de mòduls no és necessàriament una solució de la condició vectorial $\vec g_{\mathrm{res}}=\vec 0$ .

Pauta orientativa — 2,5 punts

Apartat	Pas valorat	Punts
a)	Distàncies i sentits correctes	0,25
	Expressió, substitució i valor del primer camp	0,25
	Expressió, substitució i valor del segon camp	0,25
	Superposició, resultat i interpretació del vector	0,25
	Expressió, substitució i resultat de la força	0,25
b)	Igualtat de camps o forces, justificada pels sentits	0,25
	Simplificació i equació de distàncies	0,25
	Obtenció algebraica de les dues branques	0,25
	Substitució i càlcul de les dues arrels	0,25
	Selecció de l’arrel vàlida i justificació de l’exclusió exterior	0,25