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Apuntes de FísicaBiblioteca

Campo gravitatorio · Capítulo 2

La ley de gravitación universal

Newton encontró la fuerza que hay detrás de las leyes de Kepler: dos masas cualesquiera se atraen, y la misma ley vale para una manzana y para la Luna.

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Ley de gravitación universal

Dos masas puntuales, MM y mm, separadas una distancia rr, se atraen con una fuerza de módulo:

F=GMmr2 \boxed{F=G\frac{Mm}{r^2}}
Símbolo Significado Unidad del SI
FF Módulo de la fuerza gravitatoria N
MM, mm Masas de los dos cuerpos kg
rr Distancia entre las masas m
GG Constante de gravitación universal N m2/kg2\mathrm{N\,m^2/kg^2}
G≈6,67×10−11 N m2/kg2 G\approx 6{,}67\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2}

¿Qué consecuencias tiene esta ley?

  • Si una masa se duplica, manteniendo el resto igual, la fuerza se duplica, porque FF es proporcional a cada una de las masas.
  • Si la distancia se duplica, la fuerza pasa a ser una cuarta parte, porque la distancia aparece al cuadrado en el denominador:
    F′=F22=F4 F'=\frac{F}{2^2}=\frac{F}{4}
  • Si la distancia se triplica, la fuerza pasa a ser una novena parte.

La gravedad disminuye con la distancia, pero no disminuye de manera proporcional a 1/r1/r, sino a 1/r21/r^2.

¿Qué distancia debes poner en la fórmula?

La distancia rr se mide entre los centros de los cuerpos, cuando podemos tratarlos como masas puntuales o como cuerpos esféricos con distribución de masa esféricamente simétrica, sin que se superpongan.

En los problemas habituales con un planeta, consideramos el planeta esférico y el cuerpo que está cerca lo suficientemente pequeño como para tratarlo como una masa puntual.

Cuerpo a una altura hh sobre la superficie

Si el planeta tiene radio RR, la distancia de su centro al cuerpo es:

r=R+h \boxed{r=R+h}

Por tanto:

F=GMm(R+h)2 \boxed{F=G\frac{Mm}{(R+h)^2}}

La altura hh se mide desde la superficie, pero la fórmula necesita la distancia desde el centro. Por eso hay que sumar el radio del planeta y la altura.

Un planeta de radio R y un cuerpo a una altura h sobre la superficie; la distancia r desde el centro del planeta hasta el cuerpo es R más h.Un planeta de radio R y un cuerpo a una altura h sobre la superficie; la distancia r desde el centro del planeta hasta el cuerpo es R más h.
La altura hh se cuenta desde la superficie; la distancia de la fórmula, r=R+hr=R+h, desde el centro.

La relación r=R+hr=R+h no sirve solo para la fuerza. En todas las fórmulas gravitatorias (FF, gg, la velocidad orbital, el periodo, la energía potencial) debes introducir rr, no hh, porque todas miden la distancia desde el centro del planeta. Por ejemplo, a una altura hh el campo es g=GM/(R+h)2g=GM/(R+h)^2.

Cuerpo en la superficie

Si h=0h=0, entonces:

r=R⇒F=GMmR2 r=R \qquad\Rightarrow\qquad F=G\frac{Mm}{R^2}
Compte!

Error que hay que evitar: sustituir rr solo por la altura. Un cuerpo en la superficie tiene altura cero, pero su distancia al centro del planeta es RR, no cero.

Antes de sustituir los datos, pasa todas las distancias a metros. Por ejemplo:

400 km=4,00×105 m 400\ \mathrm{km}=4{,}00\times10^5\ \mathrm{m}

Dirección y sentido de la fuerza gravitatoria

La fuerza es un vector. Para describirla, no basta con calcular su módulo.

Para dos masas puntuales:

  • Dirección: la recta que une las dos masas.
  • Sentido: hacia la masa que produce la atracción.
  • Módulo: F=GMm/r2F=GMm/r^2.

La fuerza sobre un cuerpo cercano a un planeta apunta, por tanto, hacia el centro del planeta.

Las dos masas se atraen mutuamente: cada una ejerce sobre la otra una fuerza del mismo módulo y de sentido contrario. Estas fuerzas no se cancelan sobre un mismo cuerpo, porque actúan sobre cuerpos diferentes.

¿Cómo expresamos el sentido con un signo?

Si definimos r^\hat{\boldsymbol r} como el vector unitario que apunta desde la masa MM hacia el cuerpo mm, la fuerza sobre mm es:

F⃗=−GMmr2 r^ \boxed{\vec F=-G\frac{Mm}{r^2}\,\hat{\boldsymbol r}}

El signo menos indica que la fuerza apunta en sentido contrario a r^\hat{\boldsymbol r}: hacia MM.

Dos masas, M y m, separadas una distancia r. Sobre m, una flecha F hacia M; sobre M, una flecha −F igual hacia m; y el vector unitario r̂ en m, apuntando en sentido contrario a M.Dos masas, M y m, separadas una distancia r. Sobre m, una flecha F hacia M; sobre M, una flecha −F igual hacia m; y el vector unitario r̂ en m, apuntando en sentido contrario a M.
r^\hat{\boldsymbol r} va de MM hacia mm; la fuerza sobre mm va al revés, hacia MM. Y mm tira de MM con una fuerza igual y de sentido contrario.

En la fórmula del módulo, F=GMm/r2F=GMm/r^2, no ponemos este signo, porque el módulo no es negativo.

Ejemplo resueltoGravitación y distancia entre centros

Dos esferas de masas 10,0 kg10{,}0\,\mathrm{kg} y 20,0 kg20{,}0\,\mathrm{kg}, con radios de 10,0 cm10{,}0\,\mathrm{cm} y 15,0 cm15{,}0\,\mathrm{cm}, tienen una separación entre superficies de 25,0 cm25{,}0\,\mathrm{cm}. Suponemos que la distribución de masa de cada esfera tiene simetría esférica.

1. Datos en SI

m1=10,0 kgm2=20,0 kg \begin{aligned} m_1&=10{,}0\,\mathrm{kg}\\ m_2&=20{,}0\,\mathrm{kg} \end{aligned}
R1=0,100 mR2=0,150 md=0,250 m \begin{aligned} R_1 &=0{,}100\,\mathrm{m}\\ R_2&=0{,}150\,\mathrm{m}\\ d&=0{,}250\,\mathrm{m} \end{aligned}

La distancia necesaria es:

r=R1+d+R2=0,100+0,250+0,150=0,500 m \begin{aligned} r &=R_1+d+R_2\\ &=0{,}100+0{,}250+0{,}150\\ &=0{,}500\,\mathrm{m} \end{aligned}

2. ¿Qué buscamos?

La fuerza gravitatoria sobre cada esfera, con dirección y sentido.

3. Fórmula

F=Gm1m2r2 F=G\frac{m_1m_2}{r^2}

4. Cálculo con unidades

F=(6,67⋅10−11 N m2kg2)(10,0 kg)(20,0 kg)(0,500 m)2 F= \left(6{,}67\cdot10^{-11}\, \frac{\mathrm{N\,m^2}}{\mathrm{kg^2}}\right) \frac{(10{,}0\,\mathrm{kg})(20{,}0\,\mathrm{kg})} {(0{,}500\,\mathrm{m})^2}
F=5,34⋅10−8 N \boxed{F=5{,}34\cdot10^{-8}\,\mathrm{N}}

Las unidades se reducen a newtons: se cancelan kg2\mathrm{kg^2} y m2\mathrm{m^2}.

Dirección y sentido:

Sitúa la esfera 1 a la izquierda y la esfera 2 a la derecha: la fuerza sobre la esfera 1 apunta a la derecha y la fuerza sobre la esfera 2, a la izquierda.

Las fuerzas siguen la recta entre centros y cada una apunta hacia la otra esfera.

5. ¿Tiene sentido?

Sí: la fuerza es muy pequeña, como corresponde a masas cotidianas separadas medio metro. Ambas esferas reciben una fuerza del mismo módulo, aunque tengan masas diferentes.

Si hubiésemos utilizado 0,250 m0{,}250\,\mathrm{m} como rr, habríamos obtenido una fuerza cuatro veces demasiado grande.

Ejemplo resueltoCambian las masas y la distancia

Partimos de una fuerza gravitatoria FF. La primera masa se duplica, la segunda se triplica y la distancia entre centros se duplica.

1. Datos

m1′=2m1m2′=3m2r′=2r \begin{aligned} m_1'&=2m_1\\ m_2'&=3m_2\\ r'&=2r \end{aligned}

2. ¿Qué buscamos?

El factor por el que cambia la fuerza: F′/FF'/F.

3. Fórmula

F′F=m1′m1m2′m2(rr′)2 \frac{F'}F= \frac{m_1'}{m_1} \frac{m_2'}{m_2} \left(\frac r{r'}\right)^2

4. Cálculo

F′F=2⋅3⋅(12)2=64=1,5 \begin{aligned} \frac{F'}F &=2\cdot3\cdot\left(\frac12\right)^2\\ &=\frac64\\ &=1{,}5 \end{aligned}
F′=1,5F \boxed{F'=1{,}5F}

La fuerza nueva es un 50 % mayor. El factor 1,51{,}5 no tiene unidades; si FF está en newtons, F′F' también.

5. ¿Tiene sentido?

Sí: el cambio de masas multiplica la fuerza por 66, pero duplicar la distancia la divide entre 44. El resultado neto es multiplicarla por 6/4=1,56/4=1{,}5. Sigue siendo una fuerza atractiva.

Practica

Ponte a prueba

Intermedio

1La distancia correcta: entre centros

Dos esferas con distribución de masa esféricamente simétrica tienen:

  • Masas: 12,0 kg12{,}0\,\mathrm{kg} y 18,0 kg18{,}0\,\mathrm{kg}.
  • Radios: 8,0 cm8{,}0\,\mathrm{cm} y 12,0 cm12{,}0\,\mathrm{cm}.
  • Separación entre las superficies más cercanas: 30,0 cm30{,}0\,\mathrm{cm}.
  1. a
    Haz un esquema y calcula la distancia entre centros.
  1. b
    Calcula la fuerza gravitatoria entre las esferas.
  1. c
    Un alumno utiliza r=0,300 mr=0{,}300\,\mathrm{m}. Calcula qué resultado obtendría.
  1. d
    ¿Por qué factor es mayor el resultado incorrecto que el correcto? Explica por qué el error aumenta la fuerza calculada.
Muestra la solución

a) Distancia entre centros

R1=0,080 md=0,300 mR2=0,120 m \begin{aligned} R_1 &=0{,}080\,\mathrm{m}\\ d&=0{,}300\,\mathrm{m}\\ R_2&=0{,}120\,\mathrm{m} \end{aligned}

El esquema de distancias es:

Del centro 1 al centro 2 recorremos, en este orden: el radio R1R_1 hasta la superficie de la esfera 1, el espacio dd hasta la superficie de la esfera 2 y el radio R2R_2 hasta su centro.

r=R1+d+R2=0,080+0,300+0,120=0,500 m \begin{aligned} r &=R_1+d+R_2\\ &=0{,}080+0{,}300+0{,}120\\ &=\boxed{0{,}500\,\mathrm{m}} \end{aligned}

b) Fuerza correcta

F=Gm1m2r2 F=G\frac{m_1m_2}{r^2}
F=(6,67⋅10−11 N m2kg2)(12,0 kg)(18,0 kg)(0,500 m)2 F= \left(6{,}67\cdot10^{-11}\, \frac{\mathrm{N\,m^2}}{\mathrm{kg^2}}\right) \frac{(12{,}0\,\mathrm{kg})(18{,}0\,\mathrm{kg})} {(0{,}500\,\mathrm{m})^2}
F=5,76⋅10−8 N \boxed{F=5{,}76\cdot10^{-8}\,\mathrm{N}}

c) Resultado con la distancia incorrecta

Llamamos FerrF_{\mathrm{err}} a la fuerza calculada con la distancia incorrecta.

Ferr=(6,67⋅10−11 N m2kg2)(12,0 kg)(18,0 kg)(0,300 m)2 F_{\mathrm{err}}= \left(6{,}67\cdot10^{-11}\, \frac{\mathrm{N\,m^2}}{\mathrm{kg^2}}\right) \frac{(12{,}0\,\mathrm{kg})(18{,}0\,\mathrm{kg})} {(0{,}300\,\mathrm{m})^2}
Ferr=1,60⋅10−7 N \boxed{F_{\mathrm{err}}=1{,}60\cdot10^{-7}\,\mathrm{N}}

d) Factor de error

FerrF=(0,500 m0,300 m)2=2,78 \frac{F_{\mathrm{err}}}{F} =\left(\frac{0{,}500\,\mathrm{m}}{0{,}300\,\mathrm{m}}\right)^2 =\boxed{2{,}78}

El resultado incorrecto es aproximadamente 2,78 veces el correcto.

Comprobación: utilizar una distancia demasiado pequeña hace que el denominador sea demasiado pequeño y, por tanto, da una fuerza demasiado grande.