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Apuntes de FísicaBiblioteca

Campo gravitatorio · Capítulo 1

Las leyes de Kepler

Antes de saber por qué se mueven, los astrónomos ya sabían cómo se mueven: Kepler lo resumió en tres leyes a partir de las observaciones de Tycho Brahe.

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Primera ley de Kepler: las órbitas son elípticas

Los planetas describen elipses con el Sol en uno de los focos. El mismo modelo sirve para un satélite que orbita alrededor de un planeta.

Una elipse tiene dos focos. El astro central ocupa un foco, no el centro geométrico. Por eso, la distancia entre el cuerpo orbitante y el astro no es constante.

Los dos puntos que más nos interesan son:

  • Perihelio: punto más próximo al Sol.
  • Afelio: punto más alejado del Sol.

Los nombres generales son periastro y apoastro, también aplicables a una órbita alrededor de otra estrella. Para una órbita alrededor de la Tierra, los nombres específicos son perigeo y apogeo. Las relaciones físicas son las mismas.

Si rpr_p es la distancia mínima y rar_a la máxima:

a=rp+ra2 \boxed{a=\frac{r_p+r_a}{2}}

Por tanto:

rp+ra=2a r_p+r_a=2a

El semieje mayor aa es la magnitud que entra en la tercera ley de Kepler. A veces se denomina «distancia media», pero no debes identificarlo con una media temporal de todas las distancias.

El círculo es un caso particular

Cuando rp=rar_p=r_a, la elipse se convierte en un círculo:

rp=ra=a=r r_p=r_a=a=r

Consecuencia: todas las expresiones que encontraremos para elipses deben recuperar los resultados de las órbitas circulares cuando a=ra=r.

Segunda ley de Kepler: áreas iguales en tiempos iguales

El segmento que une el cuerpo con el astro central barre áreas iguales durante intervalos de tiempo iguales.

Esto implica que el cuerpo:

  • se mueve más deprisa cerca del astro;
  • se mueve más lentamente lejos del astro.
Una elipse con el astro en un foco y dos áreas barridas en el mismo tiempo: una corta y ancha cerca del astro y una larga y estrecha lejos; las dos valen lo mismo.Una elipse con el astro en un foco y dos áreas barridas en el mismo tiempo: una corta y ancha cerca del astro y una larga y estrecha lejos; las dos valen lo mismo.
En el mismo tiempo Δt\Delta t, el radio barre la misma área: cerca del astro recorre un arco más largo, es decir, va más rápido.

Tercera ley de Kepler: periodo y tamaño de la órbita

La constante 4π2/GM4\pi^2/GM sale de igualar la gravedad a la fuerza centrípeta en una órbita circular: lo tienes en Periodo y radio de una órbita circular.

Para cuerpos que orbitan alrededor del mismo astro:

T2∝a3 \boxed{T^2\propto a^3}

En el modelo M≫mM\gg m:

T2=4π2GM a3 \boxed{T^2=\frac{4\pi^2}{GM}\,a^3}

Por tanto:

T2a3=4π2GM \boxed{\frac{T^2}{a^3}=\frac{4\pi^2}{GM}}

Cuanto mayor es la órbita, más largo es el periodo. La dependencia concreta es:

T∝a3/2 T\propto a^{3/2}

Si comparas dos órbitas alrededor del mismo astro:

T12T22=a13a23 \boxed{\frac{T_1^2}{T_2^2}=\frac{a_1^3}{a_2^3}}

La constante T2/a3T^2/a^3 depende de la masa central. No es la misma para órbitas alrededor de astros de masas diferentes.