Camp gravitatori · Capítol 2

La llei de gravitació universal

Newton va trobar la força que hi ha darrere de les lleis de Kepler: dues masses qualssevol s’atrauen, i la mateixa llei val per a una poma i per a la Lluna.

5 min de lectura
1 figures interactives
1 exercicis resolts

Llei de gravitació universal

Dues masses puntuals, $M$ i $m$ , separades una distància $r$ , s’atrauen amb una força de mòdul:

\boxed{F=G\frac{Mm}{r^2}}

Símbol	Significat	Unitat del SI
$F$	Mòdul de la força gravitatòria	N
$M$ , $m$	Masses dels dos cossos	kg
$r$	Distància entre les masses	m
$G$	Constant de gravitació universal	$\mathrm{N\,m^2/kg^2}$

G\approx 6{,}67\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2}

Quines conseqüències té aquesta llei?

Si una massa es duplica, mantenint la resta igual, la força es duplica, perquè $F$ és proporcional a cadascuna de les masses.
Si la distància es duplica, la força passa a ser una quarta part, perquè la distància apareix al quadrat en el denominador:
$F'=\frac{F}{2^2}=\frac{F}{4}$
Si la distància es triplica, la força passa a ser una novena part.

La gravetat disminueix amb la distància, però no disminueix de manera proporcional a $1/r$ , sinó a $1/r^2$ .

Quina distància has de posar a la fórmula?

La distància $r$ es mesura entre els centres dels cossos, quan els podem tractar com a masses puntuals o com a cossos esfèrics amb distribució de massa esfèricament simètrica, sense que se superposin.

En els problemes habituals amb un planeta, considerem el planeta esfèric i el cos que hi ha a prop prou petit per tractar-lo com una massa puntual.

Cos a una altura $h$ sobre la superfície

Si el planeta té radi $R$ , la distància del seu centre al cos és:

\boxed{r=R+h}

Per tant:

\boxed{F=G\frac{Mm}{(R+h)^2}}

L’altura $h$ es mesura des de la superfície, però la fórmula necessita la distància des del centre. Per això cal sumar el radi del planeta i l’altura.

Un planeta de radi R i un cos a una altura h sobre la superfície; la distància r des del centre del planeta fins al cos és R més h. — L'altura $h$ es compta des de la superfície; la distància de la fórmula, $r=R+h$ , des del centre.

La relació $r=R+h$ no serveix només per a la força. A totes les fórmules gravitatòries ( $F$ , $g$ , la velocitat orbital, el període, l’energia potencial) has d’introduir $r$ , no $h$ , perquè totes mesuren la distància des del centre del planeta. Per exemple, a una altura $h$ el camp és $g=GM/(R+h)^2$ .

Cos a la superfície

Si $h=0$ , aleshores:

r=R \qquad\Rightarrow\qquad F=G\frac{Mm}{R^2}

Compte!
Error que cal evitar: substituir $r$ només per l’altura. Un cos a la superfície té altura zero, però la seva distància al centre del planeta és $R$ , no zero.

Abans de substituir les dades, passa totes les distàncies a metres. Per exemple:

400\ \mathrm{km}=4{,}00\times10^5\ \mathrm{m}

Direcció i sentit de la força gravitatòria

La força és un vector. Per descriure-la, no n’hi ha prou amb calcular-ne el mòdul.

Per a dues masses puntuals:

Direcció: la recta que uneix les dues masses.
Sentit: cap a la massa que produeix l’atracció.
Mòdul: $F=GMm/r^2$ .

La força sobre un cos proper a un planeta apunta, per tant, cap al centre del planeta.

Les dues masses s’atrauen mútuament: cadascuna exerceix sobre l’altra una força del mateix mòdul i de sentit contrari. Aquestes forces no es cancel·len sobre un mateix cos, perquè actuen sobre cossos diferents.

Com expressem el sentit amb un signe?

Si definim $\hat{\boldsymbol r}$ com el vector unitari que apunta des de la massa $M$ cap al cos $m$ , la força sobre $m$ és:

\boxed{\vec F=-G\frac{Mm}{r^2}\,\hat{\boldsymbol r}}

El signe menys indica que la força apunta en sentit contrari a $\hat{\boldsymbol r}$ : cap a $M$ .

Dues masses, M i m, separades una distància r. Sobre m, una fletxa F cap a M; sobre M, una fletxa −F igual cap a m; i el vector unitari r̂ a m, apuntant en sentit contrari a M. — $\hat{\boldsymbol r}$ va de $M$ cap a $m$ ; la força sobre $m$ va al revés, cap a $M$ . I $m$ estira $M$ amb una força igual i de sentit contrari.

A la fórmula del mòdul, $F=GMm/r^2$ , no posem aquest signe, perquè el mòdul no és negatiu.

Exemple resoltGravitació i distància entre centres

Dues esferes de masses $10{,}0\,\mathrm{kg}$ i $20{,}0\,\mathrm{kg}$ , amb radis de $10{,}0\,\mathrm{cm}$ i $15{,}0\,\mathrm{cm}$ , tenen una separació entre superfícies de $25{,}0\,\mathrm{cm}$ . Suposem que la distribució de massa de cada esfera té simetria esfèrica.

1. Dades en SI

\begin{aligned} m_1&=10{,}0\,\mathrm{kg}\\ m_2&=20{,}0\,\mathrm{kg} \end{aligned}

\begin{aligned} R_1 &=0{,}100\,\mathrm{m}\\ R_2&=0{,}150\,\mathrm{m}\\ d&=0{,}250\,\mathrm{m} \end{aligned}

La distància necessària és:

\begin{aligned} r &=R_1+d+R_2\\ &=0{,}100+0{,}250+0{,}150\\ &=0{,}500\,\mathrm{m} \end{aligned}

2. Què busquem?

La força gravitatòria sobre cada esfera, amb direcció i sentit.

3. Fórmula

F=G\frac{m_1m_2}{r^2}

4. Càlcul amb unitats

F= \left(6{,}67\cdot10^{-11}\, \frac{\mathrm{N\,m^2}}{\mathrm{kg^2}}\right) \frac{(10{,}0\,\mathrm{kg})(20{,}0\,\mathrm{kg})} {(0{,}500\,\mathrm{m})^2}

\boxed{F=5{,}34\cdot10^{-8}\,\mathrm{N}}

Les unitats es redueixen a newtons: es cancel·len $\mathrm{kg^2}$ i $\mathrm{m^2}$ .

Direcció i sentit:

Situa l’esfera 1 a l’esquerra i l’esfera 2 a la dreta: la força sobre l’esfera 1 apunta a la dreta i la força sobre l’esfera 2, a l’esquerra.

Les forces segueixen la recta entre centres i cadascuna apunta cap a l’altra esfera.

5. Té sentit?

Sí: la força és molt petita, com correspon a masses quotidianes separades mig metre. Totes dues esferes reben una força del mateix mòdul, tot i tenir masses diferents.

Si haguéssim utilitzat $0{,}250\,\mathrm{m}$ com a $r$ , hauríem obtingut una força quatre vegades massa gran.

Exemple resoltCanvien les masses i la distància

Partim d’una força gravitatòria $F$ . La primera massa es duplica, la segona es triplica i la distància entre centres es duplica.

1. Dades

\begin{aligned} m_1'&=2m_1\\ m_2'&=3m_2\\ r'&=2r \end{aligned}

2. Què busquem?

El factor pel qual canvia la força: $F'/F$ .

3. Fórmula

\frac{F'}F= \frac{m_1'}{m_1} \frac{m_2'}{m_2} \left(\frac r{r'}\right)^2

4. Càlcul

\begin{aligned} \frac{F'}F &=2\cdot3\cdot\left(\frac12\right)^2\\ &=\frac64\\ &=1{,}5 \end{aligned}

\boxed{F'=1{,}5F}

La força nova és un 50 % més gran. El factor $1{,}5$ no té unitats; si $F$ és en newtons, $F'$ també.

5. Té sentit?

Sí: el canvi de masses multiplica la força per $6$ , però duplicar la distància la divideix per $4$ . El resultat net és multiplicar-la per $6/4=1{,}5$ . Continua sent una força atractiva.

Practica

Posa’t a prova

Intermedi

1La distància correcta: entre centres

Dues esferes amb distribució de massa esfèricament simètrica tenen:

Masses: $12{,}0\,\mathrm{kg}$ i $18{,}0\,\mathrm{kg}$ .
Radis: $8{,}0\,\mathrm{cm}$ i $12{,}0\,\mathrm{cm}$ .
Separació entre les superfícies més properes: $30{,}0\,\mathrm{cm}$ .

a
Fes un esquema i calcula la distància entre centres.

b
Calcula la força gravitatòria entre les esferes.

c
Un alumne utilitza $r=0{,}300\,\mathrm{m}$ . Calcula quin resultat obtindria.

d
Per quin factor és més gran el resultat incorrecte que el correcte? Explica per què l’error augmenta la força calculada.

Mostra la solució

a) Distància entre centres

\begin{aligned} R_1 &=0{,}080\,\mathrm{m}\\ d&=0{,}300\,\mathrm{m}\\ R_2&=0{,}120\,\mathrm{m} \end{aligned}

L’esquema de distàncies és:

Del centre 1 al centre 2 recorrem, en aquest ordre: el radi $R_1$ fins a la superfície de l’esfera 1, l’espai $d$ fins a la superfície de l’esfera 2 i el radi $R_2$ fins al seu centre.

\begin{aligned} r &=R_1+d+R_2\\ &=0{,}080+0{,}300+0{,}120\\ &=\boxed{0{,}500\,\mathrm{m}} \end{aligned}

b) Força correcta

F=G\frac{m_1m_2}{r^2}

F= \left(6{,}67\cdot10^{-11}\, \frac{\mathrm{N\,m^2}}{\mathrm{kg^2}}\right) \frac{(12{,}0\,\mathrm{kg})(18{,}0\,\mathrm{kg})} {(0{,}500\,\mathrm{m})^2}

\boxed{F=5{,}76\cdot10^{-8}\,\mathrm{N}}

c) Resultat amb la distància incorrecta

Anomenem $F_{\mathrm{err}}$ la força calculada amb la distància incorrecta.

F_{\mathrm{err}}= \left(6{,}67\cdot10^{-11}\, \frac{\mathrm{N\,m^2}}{\mathrm{kg^2}}\right) \frac{(12{,}0\,\mathrm{kg})(18{,}0\,\mathrm{kg})} {(0{,}300\,\mathrm{m})^2}

\boxed{F_{\mathrm{err}}=1{,}60\cdot10^{-7}\,\mathrm{N}}

d) Factor d’error

\frac{F_{\mathrm{err}}}{F} =\left(\frac{0{,}500\,\mathrm{m}}{0{,}300\,\mathrm{m}}\right)^2 =\boxed{2{,}78}

El resultat incorrecte és aproximadament 2,78 vegades el correcte.

Comprovació: utilitzar una distància massa petita fa el denominador massa petit i, per tant, dona una força massa gran.