Les lleis de Kepler · Camp gravitatori

Primera llei de Kepler: les òrbites són el·líptiques

Els planetes descriuen el·lipses amb el Sol en un dels focus. El mateix model serveix per a un satèl·lit que orbita al voltant d’un planeta.

Una el·lipse té dos focus. L’astre central ocupa un focus, no el centre geomètric. Per això, la distància entre el cos orbitant i l’astre no és constant.

Els dos punts que ens interessen més són:

Periheli: punt més pròxim al Sol.
Afeli: punt més allunyat del Sol.

Els noms generals són periastre i apoastre, també aplicables a una òrbita al voltant d’una altra estrella. Per a una òrbita al voltant de la Terra, els noms específics són perigeu i apogeu. Les relacions físiques són les mateixes.

Si $r_p$ és la distància mínima i $r_a$ la màxima:

\boxed{a=\frac{r_p+r_a}{2}}

Per tant:

r_p+r_a=2a

El semieix major $a$ és la magnitud que entra en la tercera llei de Kepler. De vegades s’anomena «distància mitjana», però no l’has d’identificar amb una mitjana temporal de totes les distàncies.

El cercle és un cas particular

Quan $r_p=r_a$ , l’el·lipse es converteix en un cercle:

r_p=r_a=a=r

Conseqüència: totes les expressions que trobarem per a el·lipses han de recuperar els resultats de les òrbites circulars quan $a=r$ .

Segona llei de Kepler: àrees iguals en temps iguals

El segment que uneix el cos amb l’astre central escombra àrees iguals durant intervals de temps iguals.

Això implica que el cos:

es mou més de pressa a prop de l’astre;
es mou més lentament lluny de l’astre.

Una el·lipse amb l'astre en un focus i dues àrees escombrades en el mateix temps: una curta i ampla prop de l'astre i una llarga i estreta lluny; totes dues valen el mateix. — En el mateix temps $\Delta t$ , el radi escombra la mateixa àrea: a prop de l'astre recorre un arc més llarg, és a dir, va més de pressa.

Tercera llei de Kepler: període i mida de l’òrbita

La constant $4\pi^2/GM$ surt d’igualar la gravetat a la força centrípeta en una òrbita circular: ho tens a Període i radi d’una òrbita circular.

Per a cossos que orbiten al voltant del mateix astre:

\boxed{T^2\propto a^3}

En el model $M\gg m$ :

\boxed{T^2=\frac{4\pi^2}{GM}\,a^3}

Per tant:

\boxed{\frac{T^2}{a^3}=\frac{4\pi^2}{GM}}

Com més gran és l’òrbita, més llarg és el període. La dependència concreta és:

T\propto a^{3/2}

Si compares dues òrbites al voltant del mateix astre:

\boxed{\frac{T_1^2}{T_2^2}=\frac{a_1^3}{a_2^3}}

La constant $T^2/a^3$ depèn de la massa central. No és la mateixa per a òrbites al voltant d’astres de masses diferents.