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ControlAndénDepósito AX = B1 Gauss2 rang A3 Rouché4 n − r5 det A = 06 Cramer7 SCI8 X = A⁻¹B9 AX = 010

RESUMEN DEL TEMA · FÓRMULAS · 2º BACH · MATEMÁTICAS

Sistemas
de ecuaciones

Antes de resolver, compara rangos: el teorema de Rouché-Frobenius te dice si el sistema tiene una solución, infinitas o ninguna, y entonces eliges Gauss, Cramer o la inversa.

Toca un número y baja a su fórmula. Arrastra una vagoneta que lleva un sistema por el esquema.

UNA VAGONETA QUE LLEVA UN SISTEMALlevo un sistema de ecuaciones por resolver: toca un número o arrástrame por la vía para visitar la estación.
RESUMEN Nº 9TEMA 3 DEL LIBRO
Rango A vs rango A*PAU: discutir con parám.
ESCALA: ninguna · esquema, no a escala

1Forma matricial de un sistema

A X=BA\,X = BA∗=(A∣B)A^{*} = \left(A \mid B\right)

A: coeficientes; A*: ampliada con la columna de términos independientes.

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2Método de Gauss

Fi→Fi+k FjF_i \to F_i + k\,F_jFi→k Fi  (k≠0)F_i \to k\,F_i \;(k\neq 0)Fi↔FjF_i \leftrightarrow F_j

Escalona la ampliada A*; nunca multipliques una fila por cero.

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3Rango por menores

rang A=r  ⟺  ∃ Mr≠0  y todos los  Mr+1=0\mathrm{rang}\,A = r \iff \exists\,M_r \neq 0 \;\text{y todos los}\; M_{r+1} = 0

Basta orlar el menor no nulo encontrado, no probarlos todos.

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4Teorema de Rouché-Frobenius

rang A=rang A∗=n⇒SCD\mathrm{rang}\,A = \mathrm{rang}\,A^{*} = n \Rightarrow \mathrm{SCD}rang A=rang A∗<n⇒SCI\mathrm{rang}\,A = \mathrm{rang}\,A^{*} < n \Rightarrow \mathrm{SCI}rang A≠rang A∗⇒SI\mathrm{rang}\,A \neq \mathrm{rang}\,A^{*} \Rightarrow \mathrm{SI}

n es el número de incógnitas, no el de ecuaciones.

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5Grados de libertad (parámetros)

nuˊmero de paraˊmetros=n−rang A\text{número de parámetros} = n - \mathrm{rang}\,A

Solo en SCI: tantas incógnitas libres como esta diferencia.

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6Discusión según un parámetro

det⁡A(m)=0⇒m∈{m1,m2,… }\det A(m) = 0 \Rightarrow m \in \{m_1, m_2, \dots\}m∉{mi}⇒SCDm \notin \{m_i\} \Rightarrow \mathrm{SCD}

Si A es cuadrada; luego estudia cada valor crítico por separado.

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7Regla de Cramer

xi=det⁡Aidet⁡Ax_i = \dfrac{\det A_i}{\det A}det⁡A≠0\det A \neq 0

A_i: sustituye la columna i por B. Solo si det A ≠ 0.

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8Cramer en un SCI

z=λ  ⇒  A′(xy)=B−λ Czz = \lambda \;\Rightarrow\; A' \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = B - \lambda\,C_z

Pasa la incógnita libre a la derecha; elige un menor no nulo.

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9Resolución con la matriz inversa

X=A−1BX = A^{-1} BA−1=1det⁡A (Adj A)tA^{-1} = \dfrac{1}{\det A}\,\left(\mathrm{Adj}\,A\right)^{t}

A⁻¹ multiplica por la izquierda: X = A⁻¹B, nunca BA⁻¹.

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10Sistemas homogéneos

A X=0A\,X = 0det⁡A≠0⇒X=0\det A \neq 0 \Rightarrow X = 0det⁡A=0⇒SCI\det A = 0 \Rightarrow \mathrm{SCI}

Siempre compatibles: la solución trivial existe siempre.

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