Original Academia
← Torna a la biblioteca← BibliotecaES
ControlAndanaDipòsit AX = B1 Gauss2 rang A3 Rouché4 n − r5 det A = 06 Cramer7 SCI8 X = A⁻¹B9 AX = 010

RESUM DEL TEMA · FÓRMULES · 2N BATX · MATEMÀTIQUES

Sistemes
d’equacions

Abans de resoldre, compara rangs: el teorema de Rouché-Frobenius et diu si el sistema té una solució, infinites o cap, i aleshores tries Gauss, Cramer o la inversa.

Toca un número i baixa a la seva fórmula. Arrossega un vagonet que porta un sistema per l’esquema.

UN VAGONET QUE PORTA UN SISTEMAPorto un sistema d’equacions per resoldre: toca un número o arrossega’m per la via per visitar l’estació.
RESUM Nº 9TEMA 3 DEL LLIBRE
Rang A vs rang A*PAU: discutir amb paràm.
ESCALA: cap · esquema, no a escala

1Forma matricial d’un sistema

A X=BA\,X = BA∗=(A∣B)A^{*} = \left(A \mid B\right)

A: coeficients; A*: ampliada amb la columna de termes independents.

→ explicació completa

2Mètode de Gauss

Fi→Fi+k FjF_i \to F_i + k\,F_jFi→k Fi  (k≠0)F_i \to k\,F_i \;(k\neq 0)Fi↔FjF_i \leftrightarrow F_j

Esglaona l’ampliada A*; mai multipliquis una fila per zero.

→ explicació completa

3Rang per menors

rang A=r  ⟺  ∃ Mr≠0  i tots els  Mr+1=0\mathrm{rang}\,A = r \iff \exists\,M_r \neq 0 \;\text{i tots els}\; M_{r+1} = 0

Només cal orlar el menor no nul trobat, no provar-los tots.

→ explicació completa

4Teorema de Rouché-Frobenius

rang A=rang A∗=n⇒SCD\mathrm{rang}\,A = \mathrm{rang}\,A^{*} = n \Rightarrow \mathrm{SCD}rang A=rang A∗<n⇒SCI\mathrm{rang}\,A = \mathrm{rang}\,A^{*} < n \Rightarrow \mathrm{SCI}rang A≠rang A∗⇒SI\mathrm{rang}\,A \neq \mathrm{rang}\,A^{*} \Rightarrow \mathrm{SI}

n és el nombre d’incògnites, no el d’equacions.

→ explicació completa

5Graus de llibertat (paràmetres)

nre. de paraˋmetres=n−rang A\text{nre. de paràmetres} = n - \mathrm{rang}\,A

Només en SCI: tantes incògnites lliures com aquesta diferència.

→ explicació completa

6Discussió segons un paràmetre

det⁡A(m)=0⇒m∈{m1,m2,… }\det A(m) = 0 \Rightarrow m \in \{m_1, m_2, \dots\}m∉{mi}⇒SCDm \notin \{m_i\} \Rightarrow \mathrm{SCD}

Si A és quadrada; després estudia cada valor crític per separat.

→ explicació completa

7Regla de Cramer

xi=det⁡Aidet⁡Ax_i = \dfrac{\det A_i}{\det A}det⁡A≠0\det A \neq 0

A_i: substitueix la columna i per B. Només si det A ≠ 0.

encara no hi ha cap apunt amb l’explicació completa

8Cramer en un SCI

z=λ  ⇒  A′(xy)=B−λ Czz = \lambda \;\Rightarrow\; A' \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = B - \lambda\,C_z

Passa la incògnita lliure a la dreta; tria un menor no nul.

encara no hi ha cap apunt amb l’explicació completa

9Resolució amb la matriu inversa

X=A−1BX = A^{-1} BA−1=1det⁡A (Adj A)tA^{-1} = \dfrac{1}{\det A}\,\left(\mathrm{Adj}\,A\right)^{t}

A⁻¹ multiplica per l’esquerra: X = A⁻¹B, mai BA⁻¹.

→ explicació completa

10Sistemes homogenis

A X=0A\,X = 0det⁡A≠0⇒X=0\det A \neq 0 \Rightarrow X = 0det⁡A=0⇒SCI\det A = 0 \Rightarrow \mathrm{SCI}

Sempre compatibles: la solució trivial existeix sempre.

encara no hi ha cap apunt amb l’explicació completa